高中物理解题中涉及的数学知识

高中物理解题中涉及的数学知识

物理和数学是联系最密切的两门学科。运用数学工具解决物理问题的能力,是中学物理教学的最基本的要求。高中物理中用到的数学方法有:方程函数的思维方法,不等式法,极限的思维方法,数形结合法,参数的思维方法,统计及近似的思维方法,矢量分析法,比例法,递推归纳法,等等。现就“力学”与“电磁学”中常用数学知识进行归纳。

Ⅰ.力学部分：静力学、运动学、动力学、万有引力、功和能量与几何、代数知识相结合，从而增大题目难度，更注重求极值的方法。

Ⅱ.电磁学部分：电磁学中的平衡、加速、偏转及能量与圆的知识、三角函数，正余弦定理、相似三角形的对应比、扇形面积、二次函数求极值（配方法或公式法）、均值不等式 、正余弦函数、积化和差、和差积化、半角倍角公式、直线方程（斜率，截距）、对称性、)sin(cos sin 22?θθθ++=+b a b a a

b =?tan 、数学归纳法及数学作图等联系在一起。

第一章 解三角形 三角函数

1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则有2sin sin sin a b c

R C

===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 变形公式： ::sin :sin :sin a b c C =A B ；

2、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C

S

bc ab C ac ?AB =

A ==

B ． 3、余弦定理：在

C ?AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A ，推论：222

cos 2b c a bc

+-A =

4、均值定理： 若0a

>，0b >，则a b +≥2

a b

+≥．

()2

0,02a b ab a b +??≤>> ???

；

2

a b

+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +

=（和为定值）

，则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值）

，则当x y =时，和x y +取得最小值． 1、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=

． 2、弧度制与角度制的换算公式：2360

π=，1180

π=．

3、若扇形的圆心角为()α

α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，

2C r l =+，2112

2

S lr r α==．

4、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=；()sin 2tan cos α

αα

=．

5、函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??-=

???

．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 6、函数

()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：

12f ωπ

=

=T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

第二章 三角恒等变换

8、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin

sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

9、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α

αααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

?降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan α

α

α

=

-．

10、合一变形

?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

B x A y ++=)sin(??形式。()22sin cos sin ααα?A +B =A +B +，其中tan ?B

=A

．

第三章 平面向量

1、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a

b a b a b

-≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan

2

sin :2

2

2α

α

αααα万能公式+-=+=

②结合律：

()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a

x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．

2、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a

x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．

设A 、B 两点的坐标分别为

()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．

第四章 导数及其应用

1、定义：()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

00

；．

2、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()

y f x =在点

()()

00,x f x P 处的切

线的斜率．

3、常见函数的导数公式：①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '

=；

4、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：

()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．

5、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：

()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值

()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

第五章 函数

判别式2

4b

ac ?=-

0?> 0?= 0?<

二次函数的图象

2(0)

y ax bx c a =++>

O

一元二次方程的根

20(0)ax bx c a ++=> 21,242b b ac

x a

-±-=

122b x x a

==-

无实根

20(0)

ax bx c a ++>>的解集

1{|x x x <或2}x x >

{|x }2b x a

≠-

R

b

a

C B

A

a b C C -=A -AB =B

（1）求函数的值域或最值

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，

则在()

0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必有2()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：

2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：

12()()()(0)f x a x x x x a =--≠

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

()f x 更方便．

（3）二次函数

2()(0)f x ax bx c a =++≠图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b

x a =-顶点坐标是24(,

)24b ac b a a --． ②当0a >时，抛物线开口向上，当2b

x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=

；

当0a <时，抛物线开口向下，当2b

x a

=-时，2max 4()4ac b f x a -=

．

③当2

40b

ac ?=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数

))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x

叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、求函数)(x f y =的零点：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函

数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： )0(2≠++=a c bx ax y ．

１）△＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程02

=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点． ３）△＜０，方程02

=++c bx ax

无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

空间几何

1、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,就是 k = tan α

⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 2、 直线的斜率公式: k=y2-y1/x2-x1

两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那

么它们平行，即

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直 球的表面积24R S

π= 球体的体积 33

4R V

π=