2020春新教材高中数学-7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册

7.2.2 单位圆与三角函数线

(教师独具内容)

课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．

教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.

【知识导学】

知识点一 单位圆

(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□

01x 2

＋y 2

＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□

02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线

如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则

(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．

(2)其中|cos α|＝□

04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →

的方向与y

轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →

的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →

的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.

【新知拓展】

1．单位圆中的“单位”

半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．

2．对三角函数线的几点说明

(1)三角函数线是三角函数的图形表示．

(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．

P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，

A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做

(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→

B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→

C ．正弦线MP →，正切线AT →

D ．正弦线PM →，正切线AT →

(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π

16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )

A ．MP

B ．MP >OM >0

C ．OM

D ．OM >MP >0

(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π

4 C.π4或5π4

D.π4或7π4

答案 (1)C (2)D (3)C

题型一 画出角的三角函数线

例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝2

3；

(2)cos α＝－3

5；

(3)tan α＝2.

[解] (1)作直线y ＝2

3交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.

(2)作直线x ＝－3

5交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.

(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.

金版点睛

1．作三角函数线的四个步骤

(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .

(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其

反向延长线)交于T (T ′)．

(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→

)． 2．单位圆中求作角的终边的方法

应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．

[跟踪训练1] 作出5π

4

的正弦线、余弦线和正切线．

解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作

5π

4

的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →

分别为5π4的正

弦线、余弦线、正切线.

题型二 利用三角函数线比较大小

例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π

5；

(2)cos 2π3与cos 4π

5；

(3)tan 2π3与tan 4π

5.

[解] 如图，在单位圆中，

2π3的终边为OP 1，4π

5

的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.

(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→

|，

∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→

|，∴sin 2π3>sin 4π5.

(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→

|，

∵－|OM 1→|>－|OM 2→

|，∴cos 2π3>cos 4π5.

(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→

|，

∵－|AT 1→|<－|AT 2→

|，∴tan 2π3

金版点睛

三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．

(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．

(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．

(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．

[跟踪训练2] 若θ∈? ??

??3π

4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0

答案 D 解析 因为θ∈?

??

??3π4，π，

作出角的正弦线和余弦线如图所示，

所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，

所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.

题型三 利用三角函数线证明不等式

例3 已知α为锐角，求证：1

2.

[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，

过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →

|， ∴sin α＋cos α>1.

∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →

|＝12y ＝12

sin α，

S △POB ＝12

|OB →|·|PR →

|＝12x ＝12

cos α， S 扇形OAB ＝14

×π×12＝π4

，

又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB

∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π

2. ∴1

金版点睛

利用三角函数线证明不等式的策略

一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．

[跟踪训练3] 已知α∈? ??

??

0，π2，求证：sin α<α

证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵

的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →

，

∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积， ∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →

|， 即|MP →|<α<|AT →

|，∴sin α<α

1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在

C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在

D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D

解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．

2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上

答案 B

解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．

3.在[0,2π]上满足sin x ≥1

2

的x 的取值范围是( )

A.?

?????0，π6

B.??????π6，5π6

C.??

????π6

，2π3

D.??

??

?

?5π6，π 答案 B

解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1

→

|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈??????π6

，5π6.

4．角π

6的终边与单位圆的交点的坐标是________．

答案 ?

??

??

32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是? ????

32，12.

5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，

MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →

＝tan2.