五年级数学培优第8讲 巧解追及问题

第8讲巧解追及问题

巧点睛——方法和技巧

以下三个公式是解追及问题的关键：

速度差×追及时间＝路程差

路程差÷速度差＝追及时间

路程差÷追及时间＝速度差

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点睛

【例1】A汽车每小时行驶50千米，B汽车每小时行驶40千米。这两辆汽车同时从甲城出以，沿同一路线送货到乙城，A汽车在途中以生故障，停车2小时，结果A、B两辆汽车同时到达乙城。求甲、乙两城相距多少千米。

分析与解A汽车停国2小时相当于B汽车先行2小时，即，“路程差”为40×2＝80（千米），而“速度差”为每小时50－40＝10（千米），可得“追及时间”为

40×2÷（50－40）＝8（时）

这个时间就是A汽车从甲城到乙城所用的时间。所以，甲、乙两城相距50×8＝400（千米）

答：甲、乙两城相距400千米。

做一做1 一列货车从甲城开往乙城，每小时行50千米。货车开出后2小时，一列客车也从甲城开往乙城，每小时行80千米。为保证安全行车，规定两车的距离不应小于10千米。问：货车最晚应在

开出后几小时停下来让客车通过？

【例2】两地相距44千米。如果甲、乙两人分别从两地同时出发相向而行，则4小时后相遇；如果他们从同一地点同时同向出发，则3小时后，甲在乙前面9千米，求甲、乙两人的速度。

分析与解因为他们同时出发后4小时相遇，所以他们1小时所走的路程（即速度和）为44÷4＝11（千米）。

甲每小时比乙快（即速度差）9÷3＝3（千米）。

由“和差问题”计算公式知

甲每小时速度为（11＋3）÷2＝7（千米）；

乙每小时速度为（11－3）÷2＝4（千米）；

乙的速度也可以这样求：7－3＝4（千米）；

答：甲每小时走7千米，乙每小时走4千米。

小结从例2的解法可得出如下两个重要结论：

（速度和＋速度差）÷2＝快者速度

（速度和－速度差）÷2＝慢者速度

做一做2 甲、乙两汽车同时从同一地点出发，背向而行，2小时后相距250千米。如果同向同时行驶3小时后，则甲车比乙车多行45千米，求两车每小时各行多少千米。

【例3】甲、乙两车同时、同地出发去同一上目的地。甲车每小时行40千米，乙方车每小时行35千米。途中因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到目的地1小时。求两地间的距离。

分析与解甲车在途中因故障修车用了3小时，可以看做一开始甲车就因故障比乙迟开了3小时，再由“甲车比乙车迟到目的地1小时”想支，这1小时乙车已休息，而甲车还在行驶，也可以看成乙车比原来出发时间迟开1小时。这样，就相当于甲车比乙迟开了2小时，然后两车同时达到目的地。

当甲车开出时，乙车已行了35×2＝70（千米），甲车每小时比乙车多行40－35＝5（千米），即甲车每小时可追上乙5千米，则甲车要用70÷5＝14（时）才可以追上乙车，那么两地间的路程是40×14＝560（千米）。所以有

35×（3-1）÷（40－35）＝14（时）

40×14＝560（千米）

答：两地间的距离是560千米。

做一做A，B两地相距20千米，甲、乙两人同时从A地出发去B地。甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时5千米。甲在途中停了一段时间修车，乙到达B地时，甲离B地还有2千米，问：甲修车用了多少时间？

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】甲、乙两地相距48千米，其中有一部分是上坡路。某人骑自行车从甲地到达乙地后，沿原路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。已知自行车上坡每小时行10千米，求：自行车下坡时每小时行多少千米？

分析与解去时为上坡路，反回即为下坡路；去时为下坡路，返回时即为上坡路。某人上坡、下坡各行了48千米，行48千米上坡路共用了48÷10＝4.8（时），往返共用了（4＋12）÷60＋（3＋48）÷60＝8（时），行48千米下坡路共用了8－4.8＝3.2（时），下坡时平均每小时行48÷3.2＝15（千米/时）。

48÷[（4＋12）÷60＋（3＋48）÷60－48÷10]＝48÷3.2＝15（千米/时）

答：自行车下坡时平均每小时行15千米。

做一做4 南、北两镇之间全是小路。某人上山每小时瞳2千米，下山每小时瞳5千米。他从南镇到北镇要走38小时，从北镇到南镇要走32小时。问：两镇之间的路是多少千米？

【例5】从A站开往B站的公共汽车每隔30分钟开出一班。某乘客到达A站时汽车刚好开出，他立即改为步行，速度为每小时5千米。他向前走了3千米时，被第2辆汽车赶上，再向前走5千米又与第2 辆汽车在返回的途中相遇。已知这辆汽车在B站停留了30分钟，求A、B两站间的距离。

分析与解见上图，乘客从A站走到C点所用的时间是3÷5＝0.6（时）。第2辆汽车乘客出发30分钟后才出发，行到C点所用时间为0.6－30÷60＝0.1（时），汽车每小时行3÷0.1＝30（千米）。

乘客从C点走到D点所用的时间是5÷5＝1（时），第2辆汽车从C点行到B点再返回到D点共用了1小时，包括休息30÷60＝0.5（时），实际行了1－0.5＝0.5（时），所行路程为30×0.5＝15（千米）。从D点到B站的路程是（15－5）÷2＝5（千米），A、B两站的距离是3＋5＋5＝13（千米）。

综合算式得3÷（3÷5－30÷60）＝30（千米/时）

[30×（5÷5－30÷60）－5]÷2＝5（千米）

3＋5＋5＝13（千米）

答：A、B两站的距离是13千米。

做一做5 两人同时从A地去B地，一人骑自行车，另一个骑摩托车。自行车每小时行18千米，摩托车的速度是自行车的2倍。摩托车到达B地暂停30分钟立即返回A地，在返回途中与自行车相遇，他们从出发到相遇经过4小时30分钟。求A，B两地间的距离。

【例6】如右图1所示，是一个边长为100米的正方形的墙。

甲、乙两人分别从两个对角处沿墙按逆时针方向同时出发。已知甲每秒跑5米，乙第秒跑3分析与解 追上100米甲要用100÷（5－3）＝50（秒）

因为3×50＝150（米） 5×50＝250（米）

所以这时乙跑到CB 边的中点E 处，甲跑到边的中点F 处（如图2）。

由于甲到C ，乙到B 都只有100÷2＝50而甲的速度快，所以甲到C 处便可看到已。而甲从F 至C 需100÷2÷5＝10（秒），所以经过50＋10＝60（秒）可以看到经过60秒甲才能看到已。

做一做6 甲、乙两个同学分别站在长方形围墙外的两角上（如下图），如果他们同时开始绕着围墙沿逆时针方向跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，那么，甲至少跑多少秒才能看到乙？

C 级 （选学）决胜总决赛·勇夺冠军

【例7】陕西关中地区某村的弟兄四人要去距离该村63千米的杨凌参观农高会。史北几人的步行速度为第小时6千米，只有老大有一辆每次最多乘2个（包括骑摩托人），每小时最大速度为42千米的摩托车，要使史北四人尽快到达农高会，求这兄弟四人由本村到农高

会的最短时间（农高会是农业高科技展览会的简称）。

分析与解 因为摩托车需要一人驾驶，所以可固定一人驾摩托车，其余三人同时出发同时到达，所以这三人乘车的时间应当相同，步行的时间也应当相同。

如右图所示，①②③分别表示这三人步行的情况：

AD ＝EB ，CD ＝FB 。所以AC ＝EF 。

设AE ＝a ，EB ＝b ，则在第1个人行 b 的时间里，

摩托车行驶了4a －b 。

又因为摩托车的速度是步行速度的42÷6＝7（倍），

所以4a －b ＝7b ，即a ＝2b 。

于是b ＝63÷（2＋1）＝21，a ＝21×2＝42（千米）

四人由本村到达农高会最短需21÷6＋42＝4.5（时）

做一做7 甲、乙两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，。摩托车后座可带一个人。问：有三人配备一辆摩托车从甲地到乙地最少需要多少小时？（保留一位小学）

巧练习——温故知新（八）

A 级 冲刺名校·基础点睛

1.某班学生以每小时步行5千米的速度进行外出军训活动。他们从A 地出以10小时后，通讯员从A 地骑自行车以每小时15千米的速度追赶学生队伍。问：几小时后通讯员可追上学生队伍？

2.我军骑兵以每小时24千米的速度追赶敌人，当到某站时，得知敌人已于2小时前逃跑。已知我军骑兵的速度是敌人逃跑的2倍，问：我军骑兵几小时后可追上敌人？

3.学校和部队驻地相距16千米。小红和小宇由学校骑车去部队驻地，小红每小时行12千米，小宇每小时行15千米。当小红走了3千米后，小宇才出发。问：当小宇追上小红时，距部队驻地还有多少千米？

4.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小周从学校出发骑自行车去追小明，结果在距离学校1000米处追上小明。求小周骑自行车的速度。

5.摩托车和汽车从相距10千米的甲、乙两地同时同向出发，汽车在前，摩托车每小时行60千米，汽车每小时行35千米。出发几分钟后，摩托车发生故障，修理了半小时后继续前进。问：摩托车追上汽车时它们各行多少千米？

B级培优竞赛·更上层楼

6.同学们排成一支长480米的队伍去郊游，以每分钟70米的速度行进。队尾的同学小刚因事需从队尾追至队首，并立即返回队尾，他的速度是每分钟90米，求他从队尾到队首又回到队尾所需的时间。

7.一条东西向的公路与一条南北向的公路交叉于O点（如下图）。甲从十字路口南1350米处的M点沿公路北行，乙从十字路口的O点沿公路向东行。两人同时出发10分钟后，他们离十字路口的距离相等；又过了80分钟，两人离十字路口的距离又相等。已知甲的速度快于乙的速度，求甲、乙的速度。

8.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后爸爸立刻又回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。问：这时是几点几分？

9.有甲、乙两人，甲在汽车上发现乙向相反的方向走去，40秒后甲下车去追乙。如果他步行的速度比乙快1倍，但比汽车的速度慢0.8倍，问：甲追上乙需要多长时间？

10.甲、乙两地相距100千米，一辆汽车和一台拖拉机都从甲地开往乙地，汽车出发时，拖拉机开出15千米；当汽车到达乙地时，拖拉机距乙地还有10千米，那么汽车是在距乙地多少千米外追上拖拉机的？

C 级 （选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.ABC 的周长为360米，甲从A 点出发，按逆时针方向前进，每分钟走55米，乙从BC 边上的D 点（距C 点30米）出发，按顺时针方向前进，每分钟50米，若两人同时出发，问：几分钟相遇？当乙到达A 点时，甲在哪条边上？离C

12.有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A 地开往B 地，乙比丙晚出10分钟，经40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，经50分钟追上乙，那么，甲出发后多少分钟追上丙？

13.某省城每隔2小时有一趟班车开往K 县城，其速度为90千米每小时。今有一名旅游者自已驾车，以40千米每小时的速度从省城出发开往K 县城，当旅游者驾车行驶2小时后正好有一趟班车追上

并超过了旅游者；旅游者又驾车若干千米后，正好与后面追上来的第三趟班车周时到达K县城。问：该省城到K县城相距多少千米？

14.姐弟俩要从公园门口马路向东去某地。他们的家在公园的西边，他们商量称回家取车再骑车向东去某地省时间，还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。姐姐算了一下：已知骑车与步行的速度比是4：1，从公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才省时间。那么，公园门口到他们家的距离是多少米？

巧总结

本节我的收获是：

。

不足之处有：。