积分表147个公式的推导(修正版)

（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有

ax +的积分（10~18） (5)

（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)

（四）含有)0( 2

>+a b ax 的积分（22~28） (11)

（五）含有)0( 2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有

)0( 22>+a a x 的积分（31~44）

.........................................15 （七）含有)0( 22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0( 22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0( 2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)

（十）含有或))((x b a x --的积分（79~82）

...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)

附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)

x a x --±

- 1 -

（一）含有b ax +的积分（1~9）

b ax ln a

b ax dx b ax t C

t ln a

a b ax dx dt

dx ,adx dt t t b ax a

x x b ax )x (f C b ax ln a

b ax dx .++?=++=+?==+∴=∴=≠=+-≠+=++?=+????

1 1

)0( }

|{ 1 1

1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：

C b ax μa dx b ax b ax t C t μa dt

t a dx b ax dt

dx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμ

μμμμμ++?+=++=+?+==+∴=∴==+-≠++?+=

++++????111)()

1( 1)(

)

1( 1

)( 1

, 1)

( )()

1( 1

)( 2代入上式得：将则令证明：

()()()()()C b ax ln b b ax a

dx b ax x b ax t C

t ln b t a

t ln a b

a t dt

t b

dt a dt

t b 1a dt a ·t b t a dx b ax x dt

dx ,b t a x ,t t b ax a

x |x b ax x )x (f C b ax ln b b ax a

dx b ax x .22222222++?-+=++=+?-=+?-=-=???

?-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++?-+=+???????

11 11

1 )0( }

{ 1

3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：

- 2 -

b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln a

b b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln a

b x a b b ax d b ax a

b dx a b ax d b ax b

b ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dx

ax b a dx b ax abx a dx b ax a dx

b ax b abx b ax a

dx b ax x C

b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +??

???+?++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++??

????+?++-+=+?????????????? )( 2)(211 )(11 22 )

22 )(221 )(21

)(1 121)(1 )

2)(1 )( 2)(211 .422323

32222

3323321

2322

22222222232由以上各式整理得：证明：

b ax ln b C b ax x

ln b C

b ax ln b x ln b )

b ax (d b ax b dx x b dx

ax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b a

Ab B Aa b

x a x b ax b ax B

x b ax x a

x |x b ax x )x (f C

ax ln b b ax x dx .++?-=++?=++?-?=++-=+-=+?-=+???

???

?-==????==+∴++=++=++=+?-≠+?=++?-=+???????

1 1 1

1 1

111 1

11]1[)( B 1A 10 A B)(A B )A(1 , A )(1 }

{ )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：

- 3 -

C x b ax ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a b

x x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ++?+-=++?+-?-=++++-=+++-=+?????

????

==-=??????==+=+∴=++++++++=+++=+?-≠+?=++?+-=+?

???

????

1 1 )(1111 1111)( 1B A 100 1B )( C)(A )B()( A 1 , A )(1 }|{ )

(1)( 1)( .62222222

2222

222

22222于是有即则设的定义域为被积函数证明：

C b ax b b ax ln a C

b ax a b

b ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a b

B a

B Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax B

b ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln a dx b ax x .+???

?+++=

++++?=++-++=+-+=+???

???

-==????=+=∴=++?++=+++=+-≠+=+??? ??+++=+??????

1 )( 1 )( )(1

)(11 )(1

11)

( 1A 01 )(A

B )A( ,)( )( }{ )

( 1)( 72

222

22222

22于是有即则设的定义域为被积函数证明：

- 4 -

()C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b t ln b t a C t ln a b t a t a b dt t

a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x t a bt t b t a t b b ax x dt a dx ,b t a x ,t t b ax a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln b b ax a dx b ax x .+????

??+-+?-+=++=+-?-=+?-?+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+????

?+-+?-+=+?

?????

23222333323

32322322222222222222

232221)( )2(1 21 1

2112)( 2)()( 11 )0( }{)( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C

|x b

ax |ln ·b b ax b C b ax ·b b||ax ln b

|x|ln b dx b ax b a dx b ax b a dx x b b ax x dx b a D b a B b A 1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa Dx

b ax Bx b ax A 1 b ax D

b ax B x A b ax x a b

x |x b ax x )x (f C |x

b ax |ln b b ax b b ax x dx .2

222

2222222++-+=++++?-?=

+-+-=+??

???

-=-==??????==++=+∴+++++=+++++=++++=++

++=+-≠+=

++-+=+?????22

222222

21)(11

111)(1

111)( 1 )()( )()( )()(1 }{)

(1 ·1)(1)

( 9于是有则设：的定义域为证明：被积函数

- 5 -

（二）含有

ax +的积分（10~18）

b ax a C b ax a b ax d b ax a dx b ax C b ax a

dx b ax ++?=++?+?=++=+++?=++?

312

213)(32

)(2

1111)()(1 )(32 .10证明：C b ax b ax a C b ax b b ax a dx b ax x b ax t C b t a t C t a b t a dt a b dt a dt

bt t a dt a t t a b t dx b ax x t a

t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++?-?=++?-+=++=+-=+?-?=-=-=??-=+∴?-=+=-=≥=+++?-?=+?

???

32322233252325224222232)()23(152 )(]5)(3[152 )53(152 ******** )(2

2 , 2 , , )0(

)()23(152 .11代入上式得：将则令证明：[]

C b ax b abx x a a

b ax b b abx b x a b ax a dx b ax x b ax t C bt b t a

t C t a b t a b t a C t a b t a b t a dt t a b dt t a b dt t a dt

bt t b t t a dx b ax x a bt t b t t a b t b ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b ax x ++?+-?=

+?-++++?=++=+-+?=+?-?+?=+?+?-?+?+?+?=--=-+?=+∴-+=

?-=+=-=≥=+++?+-?=+?

??????

+++3

2223

22223322

243

3533327314321321

634323263325322

32522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2

2)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：

将则令证明：

- 6 -

C b ax b ax a C b ax a b b ax b ax a dx b ax x b ax t C t a

b t a C t a b t a bdt a dt t a dt a t

at b t dx b ax x dt a

dx a b t x t t b ax C b ax b ax a dx b ax x ++?-?=++?-+?+?=++=+?-?=+?-?+?=-=?-=+∴=-=>=+++?-?=+?

+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2

, 2 , , )0(

)()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令证明：[]

C b ax b abx x a a C b ax b ax b b abx b x a b ax a dx b

ax x b ax t C bt b t a

t C

t b t b t a dt t a b dt b a dt t a dt

bt b t a dt a t

t a b t dx b

ax x dt a t dx a b t x t t b ax C b ax b abx x a a dx b

ax x ++?+-?=++?+?-+++?+?=++=+-+?=

+-+=-+=-+=??-=+∴=-=>=+++?+-?=+?

)()843(152

)()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2

21)(

, 2 , , )0( )()843(152 .142223

2223

243

3253232343224322222223

2代入上式得：将则令证明：

- 7 -

?>+-+?->+++-+?=++-+?-=++=+-?-=-+=-<+++-+?=++=++-?=

-=->-=??-=+∴=-=>=+??

?<+-+?->+++-+?=+??

???????)0(

1 2 , 1

2 )

22 0 .2

1 )(1

22 0b .1 2

, 2 , , )0( )0(

)

1 .152

22222222b C b

ax arctan b

b C b

b ax b b ax ln b b ax x dx C b

ax arctan b

b ax x dx b ax t C

b arctan b dt b t dt b t b C

b ax b b ax ln b b

ax x dx b ax t C b t b t ln b dt b t dt b t dt

b t dt

a t

t a b t b

ax x dx dt a

dx a b t x t t b ax b C b

ax arctan b

b C b

b ax b b ax ln b b ax x dx 得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：C a

x a

x ln a a x dx

++-?=

-? 21 21 22：公式C a x

arctan a a x dx +?=+?

1 19 2

2：公式

高数积分公式大全

常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2d () x x ax b +? ＝ 21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +? ＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18 ． x ? ＝2a x -+ （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

积分表积分公式推导

高等数学积分表公式推导

目录（一）含有ax + b的积分（1~9） (1) （二）含有a x + b的积分（10~18） (5) （三）含有x± a 2 2 的积分（19~21）································ (9) （四）含有ax2+b (a > 0)的积分（22~28） (11) （五）含有ax2+bx +c(a > 0) 的积分（29~30）························· (14) （六）含有x 2 + a2(a > 0)的积分（31~44） (15) (a > 0)的积分（45~58）··································· (24) （八）含有a 2 ?x2(a > 0)的积分（59~72） (37) （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有± a +bx + c(a > 0)的积分（73~78） (48) 2 （十）含有± x? a x? b 或(x? a)(b?x)的积分（79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分（83~112）·························· (55) （十二）含有反三角函数的积分（其中a>0) （113~121） (68) （十三）含有指数函数的积分（122~131） (73) （十四）含有对数函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（132~136）·························· (78) （137~141）·························· (80) （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式························· (85) 说明 (86) 团队人员 (87)

常用的积分公式

9．2d ()x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ? ＝C 11 ．x ? ＝22(3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13 ．x ? ＝22(23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝22232(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0)(0)C b C b ?+>+< 16 ．? ＝2a bx b -- 17 ．x ? ＝b

18 ．x ? ＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有 2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝221ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+?

积分公式大全

2 常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4 5 6．2 d () x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2 d ()x x ax b +?＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8． 2 2d ()x x ax b +?＝ 2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d () x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ?＝ C 11 ．x ?＝2 2(3215ax b C a -

4 22 23．2 d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++ 24． 2 2d x x ax b +?＝2 d x b x a a ax b -+? 25．2d () x x ax b +? ＝ 2 21ln 2x C b ax b ++ 26．2 2 d ()x x ax b +?＝2 1d a x bx b ax b --+? 27．32d () x x ax b +? ＝ 2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．2 2 d ()x ax b +?＝2 2 1d 2()2x x b ax b b ax b +++? （五）含有2 ax bx c + +(0) a >的积分 29．2 d x ax bx c ++?＝ 22(4) (4) C b ac C b ac +<+> 30．2 d x x ax bx c ++? ＝2 21d ln 22b x ax bx c a a ax bx c ++- ++? (0) a >的积分 31．＝1 arsh x C a +＝ln(x C +

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv

附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别， 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别， 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?

⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I （递推公式）跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??

高等数学积分公式大全

常用高数积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? C 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+

14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1ln 2ax b C a ++

微积分公式大全

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++，　，　，　 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

积分表积分公式推导

高等数学积分表公式推导

页眉内容目录（一）含有 ax + b 的积分（1~9） (1) （二）含有 ax + b 的积分（10~18） (5) （三）含有 x ± a 2 2 的积分（19~21） (9) （四）含有 2 +b (a > 0)的积分（22~28）............................................11 （五）含有 ax 2 +bx +c (a > 0) 的积分（29~30）. (14) （六）含有 x 2 + a 2 (a > 0)的积分（31~44） (15) (a > 0)的积分（45~58）·········································24 （八）含有 a 2 ? x 2 (a > 0)的积分（59~72）·········································37 （七）含有 x ? a 2 2 （九）含有 ± a +bx + c (a > 0)的积分（73~78） (48) 2 （十）含有 ± x ? a x ? b 或 ( x ? a)(b ? x)的积分（79~82） (51) （十一）含有三角函数的积分（83~112）···········································55 （十二）含有反三角函数的积分（其中 a>0)（113~121）·······················68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）··········································73 （十四）含有对数函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（132~136） (78) （137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81) 附录：常数和基本初等函数导数公式 (85) 说明 .....................................................................................86 团队人 (87)

积分常用公式

积分常用公式一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：

高等数学积分公式大全

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 常用积分公式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +

定积分公式

二、基本积分表（188页1—15，205页16—24）（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?

（17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

积分公式表

1 2 基本积分表 kdx kx C (k 是常数) 1 x x dx C, (u 1 1 dx In | x | C x dx 2 arl tanx C 1 x sin xdx cosx C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C e x dx e x C a x dx - C , (a 0,且 a 1) In a shxdx chx C chxdx shx C 1 丄 x arc tan C a a (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (⑵ (13) (14) (15) (16) cosxdx sinx C 1) —dx cos x —V-dx sin x tan x C cot x C y dx

1 dx 1 2 2 .a x x arc sin- C a 从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 类换元法也叫凑微分法。务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 (17) 2-ln —| C 2a x a (19) ,1 dx a 2 x 2 ln( x .a 2 x 2) C (20) dx .x 2 a 2 In |x x 2 a (21) tan xdx In | cosx | C (22) cot xdx In | sinx| C (23) secxdx In | secx tanx (24) cscxdx In | cscx cotx C C I I (18) 注：1、 ?2 sin x 2 2 cos x 1,ta n x 2 2 sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x 1 cos2x ， sin 2 x 1 cos2x 注：由 f[ (x)] '(x)dx f[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如,

微积分计算公式

§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别， 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别， e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别，arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别， 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

(完整word版)证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ；（2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。引理（微分中值定理）设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：

(整理)积分基本公式.

2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注．(1)不是在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

6. 复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)．证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现 ?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u，且令，则v=?αy，（注意，当?y=0时，v=?αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即?y=0．于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明： (1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程． (2) 计算复合函数的过程：x→?y →?z 复合函数求导的过程：z→?y →?x ：各导数相乘例2.3.15求y=sin5x的导数．

(完整版)【经典】常用的求导和定积分公式(完美)

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+?