第3章振动系统地运动微分方程的题目解
习 题
3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =?
其中
)(22
a g
P J C O +=
ρ 得到复摆运动微分方程为 ??
ρcos )(22
Pa a g
P C =+ 或
0cos )(22
=-+??
ρga a C
3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为：
222
1
21ωC C J mv T +=
用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =
2
C C m J ρ=
故
222222
1)cos 2(21θρθθ C
m Re R e m T +-+=
系统具有理想约束，重力的元功为
题3-1图
题3-2图
θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式
W dT δ=
θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=??
????+-+ θθθθθθθθθθ
ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，
θθθθθθθθθθ
ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ
故微分方程为
0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ
m g e m R e Re R e m C ①
若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
0])[(22=++-θθρge r R C
要点及讨论
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程
???
??--=-=-=④③②
θ
θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C
上述方程包含C
x
，C
y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系
??
?-=-=θθ
θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ
sin cos e y e R x C
C 所以
?????+=+-=⑥
⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ
e e y e e R x C C
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能
222222
1)c o s 2(21θρθθ C
m Re R e m T +-+=
选半圆柱体中心O 1所在平面为零势面，系统的势能
θcos mge V -=
由 E V T =+
E mge m Re R e m C =-+-+θθρθθcos 2
1)cos 2(2122222 两边对时间t 求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3 均质杆AB ，长l ，质量为m ，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光
滑的。列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解：系统具有一个自由度，选?为广义坐标。系统在任一位置的动能为
222
1
21ωC C J mv T +=
由瞬心法求质心的速度
? 2l v C =，2121
ml J C =，?ω = 所以
223
1
21?
ml T ?= 系统的主动力图为图（a ）所示。重力的元功为
??δd l mg d m W C sin 2
=?=r g
由动能定理 W dT δ=
所以
???
d sin l
mg )ml (
d 2312122=? 系统的运动微分方程为
023=-
?
???sin l
g
要点及讨论
（1）平面运动刚体可用式2*2
1
ωC J T =
计算刚体动能，式中2*md J J C C +=为刚体对瞬心的转动惯量，d 为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度C v 也可用式2
22C C C y x v +=计算。其中
?????==??
cos 2sin 2l
y l x C C ?????-==????
s i n 2
c o s 2 l
y l x C C （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角θ为广义坐标，正方向如图（b ）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C 的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
θ 2l v C =，θd l
dr C 2=
系统的动能
223
121θ ml T ?=
主动力的元功
θθδd l mg W cos 2
-=
根据动能定理建立的方程为
θθθd l mg ml d cos 2)3121(22-=? 所以
θθ
cos 23l
g
-= “—”号说明当θ取正值时θ
为负，即反时针方向。 （3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m ，半径为r ，沿倾斜角为α的三角块作无滑动滚动，质量为M 的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。
题3-4图
解：系统具有两个自由度，选r x x 、为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
E V T =+
2222
22
1111[(cos )(sin )]2222r r r x T Mx m x x x mr r αα=++++??
22221111
cos 2224
r r r Mx mx mx mxx mx α=?+?+?++ 222131
cos 242
r r Mx mx mx mxx α=+++ sin r V mgx α=-
，水平方向动量守恒。C p x =
C x x m x
M r =++)cos (α 整理后可分别列写两个方程 E mgx x x m x m x
m M r r r =-+?++ααsin cos 2321)(2122 ①
C x x m x M r =++)cos (α ②
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t 求导后，即可得到系统运动微分方程。
23()sin [
1]02cos cos m M g x m α
αα
+-+=
要点及讨论
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间t 求导一次可得到系统的运动微分方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：
①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m ，刚性建筑的质量为M ，对质心C 的转动惯量为I C 。两刚体在O 处铰接并附有刚度系数为k 1的扭转弹簧。其他参数如图示。
设地基有水平运动z (t )，试建立系统微幅运动微分方程。图中2
,212c
c k k ==。
解：
应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。
对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为
Ox F z x c z x k x
m +----=)()( (1)
对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为 Ox C F x
M -= (2) Mg F y
M Oy C -= (3)
θθθθcos sin 1C a F a F k I Ox
Oy ++-= (4)
其中x C 、y C 及x 均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有 θθa x a x x C +≈+=sin
(5)
a a y C ≈=θcos
(6)
由方程(1)、(2)消去未知力，F Ox 并考虑式(5)得
kz z c kx x c Ma x
m M +=++++ θ)( (7)
题3-5图
又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力F Oy 、F Ox ，并考虑式(5)和(6)，得
0)()(1
2=-+++θθMga k Ma I x Ma C (8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x 和θ为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形
式
??
????????=θx q
那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：
???
?
??????+=??????
????????????-+??
?
???????????????+??????????????????++0)(0
00
0)()
(12kz z c x Mga k k x c
x Ma I Ma Ma m M C θθθ (9)
由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
另解：由动静法得,以整体为研究对象
∑=0X 2
()()cos sin 0mx Mx k x z c x z Ma M a θθθ
θ-------+=
以M 为研究对象：
0o
m
=∑
1cos sin 0c Mxa Ma a I Mga k θθθθθ++-+=
sin cos 1θθθθ∴很小 ＝，＝
又忽略高阶小量2
θ，所以以上两式化简后得：
()()()0m M x Ma c x z k x z θ+++-+-= 21()()0c Max I Ma k Mga θθ+++-=
化成矩阵形式为：
???
???????+=???????????????
?-+????????????????+????????????????++0)(00000)()(12kz z c x Mga k k x c x Ma I Ma Ma m M C θθθ
3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI ，单位长度的质量为m ，分布载荷为F (y , t )。试用哈密顿原理求运动方程。
解：若梁的挠曲函数为w (y , t )，则动能为
y t y w
m T l d ),(2
120
?
=
(a) 应变（势能）为
y t y w EI l d ),(2
1
20
''=
∏?
(b)
外力功为 y t y w t y F A l
d ),(),(0
?
=
(c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式 0Ad δ
d )(δ21
21
=+∏-=
?
?
t t T I t t t t (d)
得到
0d d δ),(d d δd d δm 0
2
1
2
12
1
=+
''''-?
??
??
?t y w t y F t y w w EI t y w w
l t t l t t l t t (e)
对式(e)进行分部积分运算，得到
d d δ),(d d δ)(d ]δ)[(d ]δ)(d d δd δ0
00002
1
2
1
2
1
21
2
1
1
2
=+
''''-
'''+
'''--
??
????
?
??
??
?
?
??
t y w t y F t y w w EI t w w EI t
w w EI t y w w
m y w w m l t t l t t l t t l t t l t t t t l
(f)
由于，21t t t ==时，哈密顿原理要求δw = 0，因而式(f)变为
d d δ),(d d δ)(d ]δ)[(d ]δ)(d d δ0
0000
2
1
2
1
21
21
2
1=+
''''-
'''+
'''--
?
??
??
?
?
?t y w t y F t y w w EI t
w w EI t w w EI t y w w
m l t t l t t l t t l t t l t t (f)
因为，t 1与t 2区间的虚位移δw 不可能为零，由此，得到梁的边界条件
δ)(0δ)(00='''=''''l l
W
W CEI W m CEI (h)
与运动方程
),()(t y F w EI w
m =''''+ (i)
两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
题3-6图
3-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
题3-7图
解：取各质量偏离其平衡位置的x 1、x 2、x 3、x 4为广义坐标。即
4,3,2,1==i x q i
i
(1)
则系统的动能
2
442332222112
1212121x m x m x m x m T +++=
(2)
系统的势能为
234423321222
11)(2
1)(21)(2121x x k x x k x x k x k V -+-+-+=
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
44343444
44444
444343233442333
33333
333232122331222
22222
222121122111
11111
1)(0;d d )()()(0;d d )()()(0;d d )()(0;d d x k x k x x k x V
x T x m x T t x q x k x k k x k x x k x x k x V
x T x m x T t x q x k x k k x k x x k x x k x V
x T x m x T t x q x k x k k x x k x k x V
x T
x m x T t x q +-=-=??=??=???
? ????=-++-=---=??=??=???
? ????=-++-=---=??=??=???
? ????=-+=--=??=??=???
? ????=
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
00)(0)(0)(4434444434323333323212222212111=+-=-++-=-++-=-++x k x k x
m x k x k k x k x m x k x k k x k x m x k x k k x
m (4)
写成矩阵形式 0=+kq q m (5)
其中
?????
??
?????
???
?=4321000000000000m m m m m 质量矩阵
???
??
??
?
????
??
?
?--+--+--+=44
443333222210
00000k k k k k k k k k k k k k k 刚度矩阵
{}4321x x x x T =q 位移列阵
3-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m 的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k ，扭转弹簧的弹性系数为k T ，如题3-8图所示。设I G 为建筑物相对质心G 的转动惯量，试利用坐标x （相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标θ，求出运动方程。
地震中可设θ为微小角度，因此
（b ）
3-8
????
?+-=++-=+θθθθθmgh k h h x m I kx h x
m T G )()(
因此运动方程为
???
?
?=--++=++0)()(02θθθT G k mgh I mh x mh kx x h mh
如果,sin ,sin 2t A x t A ωωθ==则
???
?
?=-++++=+--0
)()(0
112
22222212A k mgh A I mh A mh kA A m A mh T G ωωωω 则频率方程为
2
2
2
22
)
()(ω
ωωωmh k mgh I mh m k mh T G -++--
即 0)]())[(()(22222=-++-+T G k mgh I mh m k mh ωωω
或 0)(2224=+-+-+-T T G G kk mghk mk gh m k I mkh mI ωω
另解：动静法得。
以刚体m 为研究对象：
∑=0X 2
cos sin 0m h mx m h kx θθθθ---=
0o
m
=∑
2cos sin 0G T m h I k mxh mgh θθθθθ++--=
sin cos 1θθθθ∴很小 ＝，＝
又忽略高阶小量2
θ，所以以上两式化简后得：
0mh mx kx θ--=
2()()0G T mhx mh I mgh k θθ-++--=
图中：kx 、m x
应反向。方程应为 ?????=--++=++0)()(02θθθT G k mgh I mh x mh kx x h mh
3-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。
题3-9图
解：选择坐标q 1、q 2、q 3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M ，总质量对质心G 点的惯性矩为I G ，则
2
322212
12121q I q M q M T G ++=
2322232223112311)(2
1
)(21)(21)(21aq q k aq q k dq q k bq q k V -+-+-++=
式中，V 为贮存在弹簧中的势能。 有：
123423230
x q aq x q aq x x =-=-+== 14213313
0y y y q bq y q dq ===+=-
由拉格朗日方程得
11
22
33
()()()o d T
mq dt q d T mq dt q d T I q dt q ?=??=??=? 10T q ?=? 20T q ?=? 3
0T
q ?=? )()(3113111
dq q k bq q k q V
-++=??
22233
22V
k q k aq q ?=-? 1131132232233
()()()()V
k b q bq k d q dq ak q aq ak q aq q ?=+----+-+? 则运动方程为
0)(231111=-++q d b k q k q
M 02232222=-+q ak q k q
M 02)(2)(322312222113=+++--+q k a q k d b q ak q d b k q
I G 因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定t A q i i ωsin =，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。
3-10 题3-10图是一个带有附有质量m 1和m 2上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x
1和x 2为坐标，写出系统运动的作用力方程。
解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,121==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2111,k k ，列平衡方程， 对1m ：
∑=0X ，0sin sin 1221111
=---k T T k
θθ 题3-10图
∑=0Y ，0cos cos 1221
1
=--g m T T θθ
对2m ： ∑=0X ， 0s i n 2221
=+θT k
∑=0Y ， 0c o s 222
=-g m T
θ
设1,021==x x ，分别画出1m 与2m 的受力图，并施加二物块力2212,k k ，列 平衡方程， 对1m ： ∑=0X ， 0s i n 212
=+θT k
∑=0Y ， 0c o s 121
=--g m T T
θ
对2m ： ∑=0X ， 0s i n 2222
=--θT k k
∑=0Y ， 0c o s 22
=-g m T
θ
由，1111tan sin l =
≈θθ，2
221
tan sin l =≈θθ，1cos cos 21≈≈θθ，1cos ≈θ， 2
1
tan sin l =
≈θθ， 解得， 22121111)(l g m l g m m k k +++
=，2221l g m k -=，2212l g m k -=，2
2222l g
m k k += 得作用力方程为
???
???=????????????
??????+
--
++++???????????
?)()()(0021212222222
212112121
t P t P x x l g m k l g m l g m l g m l g m m k x x m m l
3-11 题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C 上受水平力P C 和扭矩M C 的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l 、A 及ρ，以质心C 的微小位移x C 与C θ为坐标，列出系统运动的作用力方程。
解：设C x 质心的水平位移与C θ相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。 设0,1==C C x θ，画出受力图，并施加物体力与力偶
2111,k k ，列平衡方程，
∑=0X ，02111
=--k k k
∑=0C M ， 02
221
21=-+l
k l k k 设1,0==C C x θ，画出受力图，并施加物体力与力偶2212,k k ，列平衡方程， ∑=0X ， 02
221
12=-+l
k l k k
∑=0Y ， 0=-mg N
∑=0C M ， 04
422
2
2122=--+l k l k l N k
题3-11图
2111k k k +=，2)(1221l k k k -=，2
)(1212l
k k k -=，24)(22122mgl l k k k -+=
得作用力方程为
??????=???????????
?
???
?-+--++?????????
????
?)()(24)(2)(2)(12002211212213t M t P x l mg l k k l k k l k k k k x Al lA
C C C C C C θθρρ
3-12 题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为EJ 1，上层为EJ 2，采用微小水平运动x 1及x 2为坐标，列出系统运动的位移方程。
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角
时，其梁的等效刚度为312l
EJ
k =，由此可将题3-12图等效为(a)图，其中
3111122h EJ k ?=，3
2
22122h EJ k ?= 广义坐标如图（a ）示。利用刚度影响系数
法求刚度矩阵k 。
设0,121==x x ，画出受力图，并施加物体力2111,k k ，列平衡方程，可得到
2111k k k +=，221k k -=
同理可求得2212,k k 。最后求得刚度矩阵为
K =???
?
??--+22
221k k k k k 由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为
?????
?
??????+=211
1
1
11111k k k k k ? 得到系统的位移方程为
题3-12图
??????????????????-???????????
?
??????+
=??????2121
21232131131
1
3
113
1210
024********x
x m m P P EJ h EJ h EJ
h EJ h EJ h x x 也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a ）中的1m 施加单位力，而2
m 不受力，此时第一个弹簧变形为
1
1
k ，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为， 1111k =
δ，1
211k =δ 同理求出1121k =
δ，21221
1k k +=δ。最后得到柔度矩阵为??
????=22211211δδδδ?
另解：（1）求刚度矩阵[K ]和质量矩阵[M ]
在各楼层处附加水平链杆，并分别使各层产生一单位位移。由各层的剪力平衡条件，可求得各刚度影响系数，其数值分别如图3-13(b)、(c)所示。得刚度矩阵为
???
?
??
??--=21
11
][k K (a)
质量矩阵为
???
?
??
??=???
???
?
?=21
][21
m m m M (b)
图3-13
（2）频率分析 引入符号
2ωηk
m =
(c)
则由式(3-12)知
0221
11|][][|2
=----=
-η
ηωM K (d)
展开上述频率方程，得
01422=+-ηη
(e)
解得式(e)的两个根为
?
??
?
?
??=+==-=707.122
1293.022
121ηη (f)
将式(f)代入式(c)，可得两个自振频率
?
?
?
?
???====
m k m k m k m k 401.6650.22211ηωηω
(g)
（3）振型分析 由振幅方程得
{}0)2()1(221
11=??
?
???????????????----χχηη
)2,1()
1(21
)
1()2(=-=
=
j j j j j ηχχρ
707
.02
2
)1(21707
.022
)1(212211-=-=-=
==-=ηρηρ
两个振型的大致形状如图3-13(a)、(b)所示。
偏微分方程简介
偏微分方程简介 PB06001109,李玉胜1、偏微分方程的起源 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的，所以有人说：偏微分
弦振动偏微分方程的求解
弦振动偏微分方程的求解 (郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015) 摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。 关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换 Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of Aeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015） Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform 在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。 一、无界弦的自由振动问题 无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1] ： ?? ?+∞<<-∞==>+∞<<-∞=) (),(),0(),(),0(), 0,(2x x x u x x u t x u a u t xx tt φ? 对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。 做变量代换at x -=ξ，at x +=η，代入偏微分方程，整理可得： 02=???η ξu ，得方程的通解为：)()()()(at x g at x f g f u ++-=+=ηξ 再代入初始条件，有： ?? ?='+'-==+=) 2() ()()(),0()1()()()(),0(x x g a x f a x u x x g x f x u t φ? 对(2)式积分: )3()(1)()(0c d a x g x f x += +-?λλφ 将（1）式和（3）式联立，解之则得： 2 )(212) ()(0c d a x x f x - -=?λλφ?
弦振动的研究
弦振动的实验研究 弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。 本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。 预备问题 1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？ 3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？ 4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的： 1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波； 2、学会测量弦线上横波传播速度的方法： 3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。 二、实验原理 一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程 ()2222t y dx dx x y T ??=??ρ （1） 若令ρ/2 T v =， 上式可写为 2222 21t y v x y ??=?? （2） x x+dx T T x y dl 图1
第8章常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ '''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；
(2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
第八章常微分方程数值解
151 第八章 常微分方程数值解 在工程和科学技术的实际问题中，常常需求解常微分方程。但由常微分方程理论可 知，常微分方程中往往只有少数较简单和典型的方程可求出其解析解。在大多数情况下，常微分方程只能用近似法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等；另一类则是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似解。 本章主要讨论一阶常微分方程的初值问题： ()()?????==0 ,y a y y x f dx dy b x a ≤≤ （8.1） 从理论上讲，只要方程中的()y x f ,连续且关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L ，使 ()()2121,,y y L y x f y x f -≤- 则常微分方程存在唯一解)(x y y =。 所谓微分方程数值解，就是求微分方程的解()x y 在一系列离散节点 b x x x x a n n =<<<<=-110 处()i x y 的近似值i y ),,1,0(n i =. 相邻的两个节点之间的距离i i i x x h -=+1称为由i x 到1+i x 的步长，通常取为常数h 。 求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的方法有： （1） 用差商代替微商 若用向前差商代替微商，即 ()() ()()()i i i i i x y x f x y h x y x y ,1='≈-+ )1,,1,0(-=n i 代入（8.1）中的微分方程，则得 ()1+i x y ()()()i i i x y x hf x y ,+≈
152 记)(i x y 的近似值i y ，则由上式右端可计算出)(1+i x y 的近似值，即 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ )1,,1,0(-=n i （8.2） （2） 数值积分法 利用数值积分法左矩形公式 ()()i i x y x y -+1=()()()i i x x y x hf dx x y x f i i ,,1 ≈? + 可得同样算法 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ （3） 用泰勒（Taylor ）公式 将函数)(x y 在i x 处展开，取一次Taylor 多项式近似，则得 ()()h x y x y i i +=+1()()i i x y h x y '+≈()()()i i i x y x hf x y ,+= 从而也得到离散化得计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ §1 欧拉（Euler ）方法 1.1欧拉方法 对一阶微分方程（8.1），把区间[]b a ,作n 等分：b x x x x a n n =<<<<=-110 ， 则分点为 ih a x i +=， n a b h -= ),2,1(n i = 由以上讨论可知，无论用一阶向前差商，还是用数值积分法左矩形公式，或者用泰勒公式取前两项都可得到同样的离散化计算公式 ()i i i i y x hf y y ,1+=+ 并将初值条件代入，则得到数值算法： () ()? ? ?=+=+a y y y x hf y y i i i i 01, ),2,1(n i = （8.3） 称其为欧拉方法。 几何上欧拉方法就是用一条折线近似表示曲线()x y y =（如图8-1）。因此欧拉方法又称为欧拉折线方法。
郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法
郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法
待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾
§8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )
§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′
偏微分方程 课程总结
偏微分方程 （13）
古典解的性质
—— 热传导方程
能 量 估 计
该类估计方法在物理上可以反映能量关系 特点: 在方程两端乘以u的某种关系式, 再 积分, 利用 利用一些已知的不等式进行估计 些已知的不等式进行估计, 最 终得到解u与已知函数之间的积分不等式.
1
常用概念
设 Ω ? R , p ≥ 1. 1 我们用 L (Ω) 表示满足条件
N p
的 Ω 上的Lebesgue可测函数u所构成的线性空 p 间. 对 u ∈ L (Ω), 定义 1/ p
|| u || p = || u || L p ( Ω ) =
∫
Ω
| u( x ) |p dx < +∞
(∫
Ω
| u ( x ) | p dx
)
.
Ω 上的Lebesgue可测函数 u 称为在 Ω 上本性有 界,如果存在 如果存在一个常数 个常数 K 使得 | u( x ) |≤ K a .e . Ω . 常数 K的下确界叫做 u 在 Ω 上的本性上确界, 记做
ess sup | u ( x ) | .
L (Ω) 表示Ω 上全体本性有界函数组成的线性空间.
|| u ||∞ = || u || L∞ ( Ω ) = ess sup | u ( x ) | .
x∈Ω
∞
x ∈Ω
2
常用概念
L (Ω)
p loc
u 是 Ω 上的可测函数:
对任意的紧集 G ? Ω , 都有 u ∈ Lp (G)
L (Ω) 中的函数称为 Ω 上的局部可积函数.
1 loc
设 u 和 v 是 R 上的局部可积函数, 如果 u 和 v 满 足积分等式
? ∫ u( x )? '( x )dx = ∫ v ( x )? ( x )dx ,
R R
?? ∈ D( R ),
3
则称 u 广义可导, 而称 v 为 u 的广义导数.
深度理解阻尼振动微分方程
深度理解阻尼振动微分方程 牛顿第二定律：ma F = 物体受力为： 弹性力：kx F -= 阻力：Cv F r -= 022=++kx dt dx C dt x d m 令20ω=m k ，δ2=m C ，则有： 022022=++x dt dx dt x d ωδ 该等式为二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程02202=++ωδr r 解为2022022 442ωδδωδδ-±-=-±-=r （1）小阻尼情况 0ωδ<，则有： i r 220δωδ-±-=，一对共轭复根，令220δωω-=。 微分方程通解为： )sin cos (21t c t c e x t ωωδ+=- 初始条件01x c =，ω δ0 02x v c += 特解为t x v t x x ωω δωsin cos 00 0++= ]sin cos [20020020020020020t x v x v t x v x x x v x x ωωδωωωδωδ??? ??+++??? ??++?? ? ??++=
若令200200cos ??? ??++=ωδ?x v x x ，200200sin ??? ??++-=ωδω?x v x v ，2 0020??? ??++=ωδx v x A 则有 ]sin sin cos [cos t t Ae x t ω?ω?δ?-?=- ()?ωδ+=-t Ae x t cos （2）大阻尼情况 0ωδ>，则有： 202ωδδ-±-=r ，两个不相等的实根。 微分方程通解为： t t e c e c x )(2)(1202202ωδδωδδ-+----+= （3）临界阻尼情况 0ωδ=，则有： δ-=r ，两个相等的实根。 微分方程通解为： )(21t c c e x t +=-δ 可见，阻尼振动其实就是解一个二阶常系数齐次线性微分方程！！
振动系统的运动微分方程题解
习 题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =?&& 其中 ) (22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ??ρcos )(22 Pa a g P C =+&& 或 0cos )(22 =-+??ρga a C && 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ&&Re R e CC v C -+== θω&= 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ&&C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为 题3-1图 题3-2图
θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+&& θθθθθθθθθθ ρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++&&&&& 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθρ&&&&&&&&&sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ&，等式两边同除θ& 故微分方程为 0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθ ρθmge mRe Re R e m C &&& ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C && 要点及讨论 （1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ?????--=-=-=④③②θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C &&&&&& 上述方程包含C x &&，C y &&，θ&&，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建 立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ&&&&&sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθ θθθθ&&&&& &&&&&&&e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 （2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)cos 2(21θρθθ&&C m Re R e m T +-+=
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法、改进欧拉法 2
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。 3．单步法的收敛性与稳定性。 重点、难点 一、微分方程的数值解法 在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。本章我们主要 讨论常微分方程初值问题?????==00 )() ,(y x y y x f dx dy 的数值解法。 数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。 二、欧拉法与改进欧拉法 欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。 将常微分方程),(y x f y ='变为() *+=?++1 1))(,()()(n x n x n n dt t y t f x y x y 1．欧拉法（欧拉折线法） 欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。 欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：N a b h N n y x hf y y n n n n -= -=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差 11121 )(2 ++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。
双曲型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 双曲型偏微分方程的求解及其应用 一、前言部分 在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。 随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程. 双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有
第八章 常微分方程答案(2012[1].6)
例1 微分方程221y x y xy '=-+-满足1)0(=y 的特解为 ． 解：2 2 2(1)(1)(1)(1)11dy dy y x y x dx x dx y y '=-+? =-?=-++?? 解得 2 arctan 2 x y x C =-+，由0 14 x y C π ==?= 则方程的特解为 2arctan 24 x y x π=-+ 或 2tan()24x y x π =-+ 例2 解微分方程3 23 x xy y y -='． 解：323x xy y y -='即为3 2 1y x y y x ?? ???'=?? - ??? ，为齐次微分方程.令y u y xu y u xu x ''=?=?=+， 由已知321 u y u '=-，整理得211 u du dx u x -=， 两边积分得 2 22ln ln ln ln 2ln 22u u y u x C Cy Cy x ?? -=+?=?= ??? 则方程的通解为 2 2ln y Cy x ?? = ??? . 例3 微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为 ． 解：原方程整理得1ln x y y x x '+ =，为一阶线性非齐次微分方程. 由通解公式得 11 ln 1ln ln 1dx dx x x x C y e e dx C xdx C x x x x - ??????=+=+=-+???????? 由1)1(=y 解得2C =，所以微分方程x y y x ln =+'满足1)1(=y 的特解为2 ln 1.y x x =-+
例4 微分方程3 1 y xy y += '的通解为 ． 解： 3 3dx dx xy y yx y dy dy =+? -=， 通解为 2 22 32 22232y y y ydy ydy e y e dy C Ce y x e y e dy C --???? +????? ???? =-?-? ?=+=?? 例5 解微分方程y x y y x 24=-'． ……① 解 原方程可化为y x y x y =?- '4 （2 1 =α的贝努里方程），即 x y x y y =?-'4 1 ……② 作换元y u = ，则 y y dx du 2' = ，②可化为 22x u x dx du =-（一阶线性非齐次方程） ……③ 由常数变易法可得③的通解为： )2ln (2x C x u + =， 故原方程通解为 )2 ln (2x C x y + =． 例6 已知函数(),()f x g x 满足x e x g x f x f x g x g x f 2)()(),()(),()(=+='='，且()00f =， 求)()()(x g x f x F =所满足的一阶微分方程，并求)(x F 的表达式． 解：(1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(2 2x f x g + =)()(2)]()([2 x g x f x g x f -+)(242x F e x -=, 可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为 2()2()4(0)0 x F x F x e F '?+=? =?．
第十四章偏微分方程
. §3 二阶偏微分方程 一、一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程 (1) 式中a ij(x)=a ij(x1,x2,…,x n)为x1,x2,…,x n的已知函数. [特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程 称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,a n是某些参数，且有.如果点x?=(x1?,x2?,…,x n?)满足特征方程，即 则过x?的平面的法线方向l:(a1,a2,…,a n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1?,x2?,…,x n?)，根据二次型 (a i为参量) 的特征根的符号，可将方程分为四类： (i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型. (ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型. (iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型. (iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型. 若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型. 在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式： 椭圆型： 双曲型： 超双曲型： 抛物型： 式中Φ为不包含二阶导数的项. [两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为 (2) a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零. 方程 a11d y2a12d x d y+a22d x2=0 称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型. 在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式： （i）（i）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式 或 （ii）（ii）抛物型:因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式 （iii）（iii）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设 为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式 二、极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理 椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理] 1?极值原理设D为n维欧氏空间E n的有界区域，S是D的边界，在D内考虑椭圆型方程
4.2 理想流体的运动微分方程
4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下
??? ? ? ? ???==??-==??- ==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）
第1章 单自由度系统的自由振动题解
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 m g k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k =3 24E J h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x k x =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2 a θ＝h α 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 82 2 cos sin 1212 2 -=-≈?-=== =αθ αθ 题1-1图 题1-2图 θ F sin α 2 θ α h mg θ
其中 12 c o s s i n ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2 30 412 1==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π 2π22 2 = == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 2 1211k k k k k += '，212132 k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212 k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 22 2/l GJ k = （2） 33 3/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(233211322133212 2312 l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
第八章常微分方程数值解
常微分方程数值解 1 将下列方程化为一阶方程组 (1) ???=′==+′?′′; 1)0(,1)0(034y y y y y (2) ? ??=′==+′?′′;0)1(,1)1(2232y y Inx x y y x y x (3) ? ??=′′?=′=′=′′′;2)0(,1)0(,1)0(62y y y y y y 2 用Euler 法解初值问题证明：其截断误差 ? ??=+=′0)0(y b ax y ()-y n x 22 1)(anh y n = 这里是Euler 法的近似解，而有y(x)=n n y nh x ,=bx ax +22 1为原初值问题的精确解 3 证明定理8.1.3 4用梯形法解初值问题证明：其近似解? ??==+′1)0(0y y y Λ,2,1,0,)22(=+?=n h h y n n 并证明当时，它收敛于原问题的精确解 0→h x e y ?= 5 利用Taylor 展开的方法推导Adams 外插四步2的计算公式和Adams 内插三步法的计算公式及相应的误差公式 6 证明隐式Euler 法（向后Euler 法）是一阶的 7 证明对于任何参数α，下列格式是二阶的： ????????+?+=++==++=+) )1(,)1((),(),()(2113121311k y h x hf k k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n n n αααα 8证明 由)],(),(2),(4[6 1111n n n n n n n n y x hf y x f y x f h y y +++=+++ 确定的隐式单步法的阶为3
2.3.2 弦振动方程的一般解
（ 2-3-14 ） 这里， 是仅包含位置变量的函数； 是仅包含时间变量 的函数。将 （ 2-3-15 ） 上式等号的左边仅与 有关，右边仅与 有关，而 和 都是独立变量，因而如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成立，则其等号两边应恒等于一个与 ， 都无关 的常数。如果令这一常数为 ，并且 ，那么 (2-1-15) 式可写成
（ 2-3-16 ） 于是可以分别得到两个独立的方程 （ 2-3-17 ） （ 2-3-18 ） 经过上面分离变量后，就把一个偏微分方程分解成两个具有单一独立变量的常微分方程。而这种形式的微分方程我们在第 1 章中己遇到过，因此我们可以仿照方程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) 方程的解为 （ 2-3-19 ） （ 2-3-20 ） 式中 都是待定常数。将上面二式代人 （ 2-3-14 ） 可得 （ 2-3-21 ） 其中 仍是待定常数。
如果弦的两端固定，可以利用对任意时间都满足的边界条件 （ 2-3-8 ） 式。将 代人 (2-1-21) 式可以定得常数 ，再将 代人 (2 － 1-21) 式可得如下关系 （ 2-3-22 ） 这时 不能为零，否则 和 都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。因此要得到非零解就必须令 （ 2-3-23 ） 要正弦函数等于零。显然应该使其宗量满足如下关系 （ 2-3-24 ） 用一新的符号 来代替 ，于是 （ 2-3-24 ） 式可写成 （ 2-3-25 ） 或 （ 2-3-26 ） 从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是一简谐函数，因而 应该代表振动的圆频率，而 代表弦的振动频率。从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具