例谈作业讲评有效处理

C B A

C ′ B ′ A ′ P 图1 例谈作业讲评的有效处理

数学课外作业是课堂教学的延续和补充，是学生巩固基础知识、形成基本技能的主要途径，是教师监控学生掌握知识程度的依据,它所反映的问题是教师进行进一步教学的第一手材料。对作业过程中出现的问题进行分析，反思教学过程中存在的问题，在此基础上设计出新的教学方案，是教师经常采用的教学方式。本文以最近教学中的一个作业习题讲评为例，略谈习题讲评的教学设计中的有效性思考。

在本学期我们安排了《立体几何》作为高三第二轮复习的开始，第一节课简要梳理了本节的主干知识，以及本节的一个主要的数学思想：化归思想——将要研究的立体几何图形或转化为几个基本的简单几何体的组合，或将所要研究的问题的特征量集中在某平面并从中取出来（如轴截面），或将所重点研究的平面从空间取出来，或将抽象的点线面的关系转化为教室中的一些几何体的直观关系，等等，所有例题都围绕着这

个思想中心。课后习题中有这样一个问题： 如图所示，在直三棱柱ABC-A ′B ′C ′中，∠ACB=90°,AC=6,BC=CC ′=2,P 是BC ′上一动点，则CP+PA ′的最小值为_____

第二天在批改作业时，发现很多同学这一题都是空着，只有1/5左右的同学是做对的，随机找了几位同学了解情况，这

些同学之间进行过讨论，是通过将两个平面图形△A ′C ′B 和

△CC ′B 展平为一个平面来做的,没有做出来的同学则说，以

前好像做过类似的问题，但是在长方体中，是通过剪开一条边，将立体图形的侧面展平成一个平面图形的对角线来解决的，但这题不好剪。

结合同学的这些想法，反思自己上一接课的教学的有效性，自以为还是比较欣慰的，虽然有那么多同学没有正确解答本题，但都有了初步的想法，有了化归的思想萌芽。但由于思想方法的高度抽象性和概括性，要真正掌握它绝非一朝一夕所能，讲求的是日积月累。 古尔德的研究表明：生物活动的效率越高，转化越快，进行自我组织的机会便越少，就越难以自行适应复杂多变的环境。古生物自组织的“低效性”要求启示我们也要容许学习过程的“低效性”，容许学生掌握各种知识的差异性。承认这种“低效性”和差异性，并非为自己找借口，而正体现了有效教学的理念。有效教学关注学生的进步和发展，要有“对象”意识，学生的感受和进步是教学追求的目标，对象的差异性决定了教学目标的达成也是有先后的，虽然不能完满操作，但从无意识到有意识也是一种进步，目标达成的错落是一种常态，同时也为合作学习及教师设计教学情境提供了很好的机会。另外，数学的本质是在于抽象和概括，数学教育的目的是为了培养学生的逻辑思维，能够是自己成为一个有思想的能够根据情境作出理性判断的现代人，因此，从长远看，思想性的渗透是有效教学设计追求的一个长远目标。当一个学生离开学校多年后再回顾起高中阶段的数学课时，知识也许已经很模糊了，但思想已经成为他的一部分了。

作业中反映出的问题，因为学生已经花了比较多的时间进行思考和讨论，相当于为我们组织教学提供了学生非常熟悉的情境，以此为基础，寻找一定的数学文化背景支撑，将同类型的问题进行系统梳理，强化数学方法和思想的运用策略，是一个非常不错的教学机会。鉴于以上考虑，再加上也有不少同学来问这个问题，决定以这个问题为基础做一个复习整理并运用的教学设计。

问题1：

如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米。一只蜘蛛在A 处，一只苍蝇在B 处。试问：

⑴蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？

⑵若苍蝇在C 处，则最短路程是多少？

设计意图：这是选自初中教案的一个例题，起点

比较低，所有同学都能够上手做，这是教学有效性的

起点；通过（1）（2）关系判断，可以体验到“空间

问题平面化”的数学思想的应用；（2）的解决需要进

行分类讨论，通过同学的合作或补充表达或教师的最

低程度的提醒，使学生逐步养成分类讨论的思想。

问题2：

在一个长宽高分别为5米、4米、3米的长方体房间内，一只蜘蛛在A 处，一只苍蝇在C 处，试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少？

设计意图：这是问题1的变式，重点考量同学对问题1（2）的方法掌握，也为问题三做一个铺垫。

问题3：

在一个长宽高分别为a 米、b 米、c 米的长方体房间内，一只蜘蛛在A 处，一只苍蝇在C 处，试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少？

设计意图：对问题1，2的概括和抽象，在直观基础上培养学生的抽象概括能力。 问题4：

H·E·杜登尼是１９ 世纪英国知名的谜题创作者, 蜘蛛和苍蝇＇问题最早出现在１９０３ 年的英国报纸上, 它是杜登尼最有名的谜题之一: 在一个３０′X １２′ X １２′的长方体房间, 一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板１ 英尺的地方.苍蝇则在对墙的中间离地板１ 英尺的地方．苍蝇是如此害怕, 以至于无法动弹．试问, 蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短的距离是多少?

设计意图：通过世界名题激发学生学习的学习兴趣,强化化归思想和分类讨论和数学思想。 问题5： (1) 如图4，圆锥的底面半径为r=5cm,母线L=10cm,AB 为底面直径，C 为PB 的中点，现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从A 爬到C ，它爬行的最短距离是多少？

(2）如果一个正三棱锥内接与一个半径为r 的球,球心在三棱锥的底

面上,如果一个蜘蛛从顶点开始沿着球面依次经过另外3个顶点,然后回

到顶点,求最短路程.

(3)如果蜘蛛在一个开口的圆柱形玻璃容器的外面，苍蝇在容器的里

面。该容器底面周长为100cm ，高80cm ，蜘蛛A 和苍蝇B 在同一个轴截面上，蜘蛛离开顶部40cm(图5—31)，苍蝇在圆柱底部，于是蜘蛛要逮住苍

蝇必须先爬到圆柱顶部，再进入圆柱容器里面，然后去擒获苍蝇。由于容

器是透明的，所以蜘蛛对苍蝇的所在地已一清二楚，所以事先对应爬行的路线早已心中有数，用最合理的方案一举使苍蝇落网，你能说出爬行的路线，以及爬行路线的长度吗? P

C D 图 2 A

B

图3 B 图4

设计意图:(1)将多面体的应用迁移到旋转体上;(2)将路程问题放

到球面上,涉及球面距离的概念,掌握情况好的情况下可以提出”为什

么球面上两定点之间的距离是大圆上过两点地劣弧长?”(3)加入了应

用色彩,进一步激发学生探索的动机,通过此提高学生学习数学的兴趣.

当问题转化为：“在玻璃容器边沿上求一点P,使PA+PB 最小”时，也可以和函数的最值进行联系，为本课习题的解法之一作一个伏笔。

问题6：

再尝试解作业题：有哪些解法？

设计意图：在通过问题1-5的讨论之后，作业题的解决已经是水到渠成的事情了。如果顺利，大部分同学应该有这样一种体验：既然长方体上的路程最小值可以平面化解决， 圆锥上的可以，那么棱锥上问题也应该可以。由此迁移顺利进行。可能遇到的问题有3个（作业草稿中已经有所体现）：翻动A ′PC ′能达到目的吗？展平后的实际图形是怎样的？如果用向量的方法或设C ′P=x 表示出两个距离之和后，如何求函数的最小值？这些可以通过作业的细致批改，让那些在作业中完成比较认真的同学有一个口头表达的机会，期间提示同学提出自己的问题，让各个层次的同学在不同的基础上都有提高的机会。

问题7：如图所示，已知正ABC-A ′B ′C ′的底面边长为1，

高为8，一质点自A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行2周到达A ′点的最短路线的长为_____，

反思：作业讲评是数学课堂的形式之一，如果只是将它当作“将错的订正”的过程，不去挖掘其中包含的教学素材，实

在是一种资源浪费。教师应当认真批改，并及时了解学生的正

式状况，为后续进行有效教学设计累积素材。事实上，作业讲

评就是一种教学情境，错题为教师提供了有效的教学思路，同

时也给同学提供了避免再错的经验，如果把“作业做地非常完

美”比作“教学有效”或“成功的教学”，那么当作业中出现很

多问题时，能够引起教师高度重视并对此加以反思，然后在此

基础上设计进一步的教学就是“追求有效教学”的过程，而不

是“低效教学”或“无效教学”。医学科学家乔纳斯．索尔克博士经过201次实验发现了脊髓灰质炎（俗称小儿麻痹症）的疫苗，结束了这一病症对人类的肆意蹂躏。有一次人们问他：“你取得了如此卓越的成就，彻底结束了脊髓灰质炎对人类的肆虐，取得这样的成就后，你是怎么看待先前的200次失败呢？”索尔克博士这样回答：“我这一生中从来没有经历过200次失败。我们家的字典上没有‘失败’这个词。前200次尝试增加了我的经验，让我学到很多东西。实际上是我做了201次发现。没有前200次的学习，我不可能得到这样的结果。”同样，作业（错题）讲评的教学同样可以增加教师的教学经验，它能不断地帮助教师调整教学策略，提升教师专业素质，使自己的教学越来越有效，教师应重点关注。

参考文献：

[1] 何乐晓 从“自组织”角度看对“有效教学”的两种误读

图一

′ C