2020年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题Word版含解析

2020年1月浙江省普通高中学业水平考试

数学试题

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。） 1.已知集合{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =，则A B =I （ ）

A.{3}

B.{1,2}

C.{4,5,6}

D.{1,2,3,4,5,6} 答案：A

解析：{3}A B =I .

2.函数()()log 4a f x x =-（0a >，且1a ≠）的定义域是（ ）

A.()0,4

B.()4,+∞ C ．(),4-∞ D ．()(),44,-∞+∞U 答案：C

解析：由题意得40x ->，解得4x <，即函数()f x 定义域是(),4-∞. 3.圆()()2

2

3216x y -++=的圆心坐标是（ ） A.()3,2- B.()2,3- C.()2,3- D.()3,2-

答案：D

解析：由圆的标准方程得圆心坐标是()3,2-. 4.一元二次不等式()90x x ->的解集是（ ） A.{}|0 9x x x <>或 B.{}|09x x <<

C.{}|9 0x x x <->或

D.{}|90x x -<<

答案：B

解析：()90(9)009x x x x x ->?-

x y +=的焦点坐标是（ ）

A.(0,3)，(0,3)-

B.(3,0)，(3,0)-

C.，(0,

D.，(

答案：B

解析：由2

25169c =-=，得3c =，又椭圆焦点在x 轴上，所以集点坐标是(3,0)，(3,0)-.

6.已知空间向量()1,1,3=-a ，()2,2,x =-b ，若//a b ，则实数x 的值是（ ） A.

43 B.43

- C.6- D.6

答案：C

解析：由已知得

1

2

=-

a b，所以

1

3

2

x

=

-，解得6

x=-.

7.22

cos sin

88

ππ

-=（）

A.

2

B.

2

- C.

1

2

D.

1

2

-

答案：A

解析：由余弦的二角公式得22

2

cos sin cos

884

πππ

-==.

8.若实数x，y满足不等式组1

1

y x

x y

y

≤

?

?

+≤

?

?≥-

?

，则2x y

+的最小值是（）

A.3

B.

3

2

C.0

D.3-

答案：D

解析：画出可行域如图所示，当目标函数2

z x y

=+经过点(1,1)

A--时，得

min

3

z=-.

9.平面α与平面β平行的条件可以是（）

A.α内有无穷多条直线都与β平行

B.直线aα

∥，aβ

∥，且直线a不在α内，也不在β内

C.直线aα

?，直线aβ

?，且aβ

∥，bα

∥

D.α内的任何直线都与β平行

答案：D

解析：若一平面内任意一条直线都与另一平面平行，则这两个平面平行.

10.函数()22

11

x x

f x

x x

-

-

=

++-

的图象大致是（）

A

D

答案：A

解析：∵2222()()|1||1||1||1|

x x x x

f x f x x x x x -----=

=-=--++--++-， ∴函数()f x 为奇函数，排除B 、C ；当1x ≥，22()2x x

f x x

--=，由指数函数的增长特性知()f x 递增，故

选A.

11.已知两条直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=，若12l l ⊥，则实数m 的值是（ ） A.1-或7- B.7- C.133

-

D.

133

答案：C

解析：∵12l l ⊥，∴2(3)4(5)0m m +++=，解得133

m =-

. 12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.24 B.12 C.8 D.4 答案：B

解析：该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，其体积是

1

(12)24122

V =?+??=.

13.已知x ，y 是实数，则“1x y +≤”是“12x ≤或1

2

y ≤”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：1x y +≤能推出12x ≤或12y ≤，而12x ≤或12y ≤不能推出1x y +≤，故“1x y +≤”是“12x ≤或1

2

y ≤”的充分而不必要条件.

14.已知数列{}n a 的前n 项和为212

343

n S n n =++（*n N ∈），则下列结论正确的是（ ）

A.数列{}n a 是等差数列

B.数列{}n a 是递增数列

C.1a ，5a ，9a 成等差数列

D.63S S -，96S S -，129S S -成等差数列

（第12题）

俯视图

侧视图

正视图

11

答案：D

解析：当1n =时，114712

a S ==， 当2n ≥

时，115

212

n n n a S S n -=-=

+，检验1n =时不符合， 所以47

,112

15,2212

n n a n n ?=??=??+≥??，逐项判断只有D 选项正确.

15.如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长 为a ，侧棱长为2a ，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角是（ ） A.30? B.45? C.60? D.90? 答案：A

解析：过1C 作111C H A B ⊥，易证1C H ⊥平面11A B BA ，所以1C AH ∠就是1AC 与侧面11ABB A 所成角的平面角，

由于13C H a =，13AC a =，所以11

sin 2

C AH ∠=，故所求的线面角为30o .

16如图所示，已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点

O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=?，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ） 27 B.5

2

77

答案：C

解析：如图所示，易求60F AF '∠=o

，由

||||3||,||||2AF BF AF AF AF a ''==-=，可得||3,||AF a AF a '==，在AF F '?中，由余弦定理可得，

222(2)(3)23cos 60c a a a a =+-???o ，解得

7c a =，即7e =. C 1

B 1

A 1

C

B

A

x

y

O

F

B

A

17.已知数列{}n a 满足1

1, 1

, 2

n n n a n a

a n ++??

=???为奇数，为偶数，（*N n ∈），若1023a ≤≤，则1a 的取值范围是（ ） A.1110a ≤≤ B.1117a ≤≤ C.123a ≤≤ D.126a ≤≤ 答案：B

解析：由递推关系可知222121211,2n n n n a a a a +++=+=

，所以222112n n a a +=+，即()2221

222

n n a a +-=-，可求()()1

1

2211122122n n n a a a --??

??

-=-=- ?

?

??

??

，所以()4

1011122a a ??

=-+ ???

，代入求得1117a ≤≤，故选

B.

18.已知四面体ABCD 中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为60?，且2BC =，3AD =，120ACD ∠=?，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ） A.

3 B.3 C.94

D.

3

4

答案：D

解析：不妨以ACD ?为底，B 到平面ACD 的距离为高来考虑四面体ABCD 的体积.

在ACD ?中，设,AC m DC n ==，则由余弦定理知2223m n mn =++，

由基本不等式知222

33m n mn mn =++≥，即3mn ≤，

所以1333sin120244

ACD S mn mn ?=

?=≤o ， 另一方面，设斜线CB 与平面ACD 所成角为θ，

则由最小角定理知60θ≤o

，从而3sin θ≤

， 所以B 到平面ACD 的距离||sin 3h CB θ=≤

所以1133344

ACD V S h ?=

?≤?=，故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。）

19.设等比数列{}n a 的前n 项和为()

*N n S n ∈，首项13a =，公比2q =，则4a = ；3S = ． 答案：24,21

解析：33

4133224,361221a a q S ==?==++=.

20.已知平面向量,a b 满足3=a ，4=b ，且a 与b 不共线．若k +a b 与k -a b 互相垂直，则实数k = . 答案：3

4

±

解析：∵k +a b 与k -a b 互相垂直，

∴2

22

2

()()9160k k k k +?-=-=-=a b a b a b ，解得34

k =±

. 21.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上

这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是S 边形ABCD 中，1AD =

，AC ，120ADC ∠=?

，AB =，2BC =，则平面四边形ABCD 的面积是 ．

答案：

4

解析：在ACD ?中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD D =+-??∠， 所以21

3121()2

CD CD =+-???-，解得1CD =，或2CD =-（舍），

因此ACD ?

的面积11sin 24

S AD CD D =

??∠=， 在ABC ?

中，由余弦定理得222cos 28AB BC AC B AB BC +-∠==?，

所以sin 8

B ∠=，

因此ABC ?

的面积21sin 2S AB BC B =

??∠=， D

C

B

A

故四边形ABCD 的面积12323

4

S S S +=+=

. 22.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增．若对任意x ∈R ，不等式

()()(21),f a x b f x x a b +-≥--∈R 恒成立，则222a b +的最小值是 ． 答案：

83

解析：如图，作出|||2|1||y x x =--的图象，

因为(||)(||2|1|)(,)f a x b f x x a b R +-≥--∈，

所以||||y a x b =+-的图象始终在|||2|1||y x x =--的上方，

所以0x =时，||2a b +≥且0b ≥，所以2

a b b +≥??

≥?，

2

2

2

2

2

2

48822(2)3883333a b b b b b b ?

?+≥-+=-+=-+≥ ??

?，

当且仅当24

,33

a b =

=时取等号. 三、解答题（本大题共3小题，共31分。）

23.（本题满分10分）已知函数()sin sin()3f x x x π

=+-．

（1）求(0)f 的值；

（2）求函数()f x 的最小正周期；

（3）当0,2x π??

∈????

时，求函数()f x 的最小值．

解析：（1）3

(0)sin

3

f π

==

.

（2

）因为11()sin sin sin sin 223f x x x x x x x π??=-=+=+ ??

?， 所以函数()f x 的最小正周期为2π. （3）由已知02

x π

≤≤，得

53

36

x π

π

π≤+

≤

， 所以，当2

x π

=

时，函数()sin 3f x x π?

?

=+

??

?

的最小值为

12

. 24.（本题满分10分）如图，已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，直线:l y kx b =+与抛物线C 相交于A ，B 两点．

（1）当1k =，2b =-时，求证：OA OB ⊥；

（2）若OA OB ⊥，点O 关于直线l 的对称点为D ，求DF 的取值范围． 解析：（1）由方程组2

22y x y x

=-??

=?消去y ，得2

640x x -+=. 设()()1122,,,A x y B x y ，

1212126,4,4x x x x y y +=?==-，

因为12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r

，

所以，OA OB ⊥. （2）由方程组2

2y kx b y x

=+??

=?消去x ，得2

220(0)ky y b k -+=≠. 2

121212222,,b b y y y y x x k k k

+==?=.

由2121222OA 0b b

OB x x y y k k

?=+=+

=u u u r u u u r ，解得-2 b k =或0b =（舍）. 设点O 关于直线l 的对称点()00,D x y ，

由方程组00001222y x k y x k ?=-??????=- ?????

，得2020241

41k

x k k y k ?=??+?-?=

?+?，即22

244,11k k D k k ??- ?++??. 由点1,02F ??

???

，得||DF == 由2

0k >，得17||,22DF ??∈

???

.

25.（本题满分11分）设a ∈R ，已知函数()()2242,011,0ax a x x f x a x x x

?+-+≤?

=?++->??．

（1）当1a =时，写出()f x 的单调递增区间；

（2）对任意2x ≤，不等式()()12f x a x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围．

解析：（1）当1a =时，222,01

()2,011,1x x x f x x x x

x x x ?

?-+≤??=-+<

+≥??

，

所以，()f x 的单调递增区间是(1,)+∞.

（2）若0,(24)2(1)2z

x ax a x a x ≤+-+≥-+， 于是2

(3)0ax a x +-≥在(,0]x ∈-∞上恒成立，

则0a =或0

302a a a

>??

-?≥??，得03a ≤≤.

若1

1,0110,()|1|11,12x a x x

x f x a x x x a x x

?-++<=++-=??++-≤≤??，

当0

11(1)2x a a x x -++≥-+，1(1)x a x x --≤

，得1

a x

≥-， 所以1a ≥-. 当1x =时，a R ∈.

当12x <≤时，()(1)2f x a x ≥-+， 即

11(1)2x a a x x ++-≥-+，(1)(21)(1)x x a x x

--≥-， 得211

2x a x x

-≤

=-，所以1a ≤ 综上所述，01a ≤≤.