电磁学第一章汇总
四川师范大学教案电磁学物理与电子工程学院
物理与电子工程学院
注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。
绪论
一、研究对象及目的、手段
电磁学是研究电磁现象的规律的科学。 研究对象： 电磁现象（电磁场）
目的： 通过对现象的研究，揭示电磁场的基本规律及本质。 手段： 以实验定律为基础，导出电磁场的基本规律。 在电磁学中，有三大基本实验定律：
库仑定律： 电荷激发电场的规律，是电磁学历史上第一个定量的规律，是整个电磁学的基础
（电荷→电场）
毕奥-萨伐尔定律： 电流元产生磁场的规律（电→磁） 法拉第电磁感应定律： 变化的磁场产生电场的规律（磁→电）
二、本书结构
???????
?
?
???
??
??
??????????????????）介质中（）真空中（磁场电流在其周围激发磁场
交流电路，电路又分直流电路和电流流过的路径是电路动就要形成电流，）：电荷产生定向的流、电流及电路（）电磁感应（、导体和介质中观察者是静止的产生电场的电荷相对于与电荷有关真空中静电场）电磁场（75846)32(, (1)9
第一章 静电场的基本规律
一、静电场
相对于观察者（惯性系）为静止的电荷所产生的电场。 二、描述电场的（两个重要）物理量
???)(位电势电场强度都是空间位置的函数?
?
?
?????代数量算术量标量点函数矢量点函数
三、描述静电场基本性质的规律
场强迭加原理：说明场具有迭加性，几个电磁场可以同时占据同一个几何空间；
高斯定理：说明静电场是有源场，激发电场的电荷就是“源”；
环路定理：说明静电场是有势场，静电场力作功与路径无关。
§1.1 电荷
一、电荷是物质的一种基本属性
用丝绸或毛皮摩擦过的玻璃棒、硬橡胶棒、石英等都能吸引轻小物体，这表明它们在摩擦后进入一种特别的状态。我们把处于这种状态的物体叫做带电体，并说它们带有电荷。
自然界中的电荷只有两种：
用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷命名为正电荷
用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷命名为负电荷
在这里要注意几个概念的区别和联系：
带电体：处于带电状态的物体；
电荷：是指带电体的一种属性（和质量是一个相当的物理量）
电量：是电荷的定量测度，正电荷的电量以正值表示，负电荷的电量以负值表示。
二、电荷的基本性质
1、对偶性：自然界中只有两种电荷（正电荷、负电荷），它是物质对称性的一种表现形式。
2、量子性：一切物体所带的电荷都是分立的，是以一个一个不连续的量值出现的，这种现象叫做电荷的量子化。物体所带电荷都是基元电荷的整数倍。基元电荷也叫电荷量子，它就是一个电子所带的电荷，用e表示，且e=1.602*10-19库仑。
应注意（指出）：基元电荷太小，宏观带电物体所带基元电荷的数目非常巨大，因此，电荷的量子化表现不出来。所以，在经典电磁学范围内，不考虑电荷的量子化，而把宏观带电物体所带电荷视为连续分布。
3、电荷之间有相互作用：
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。当异种电荷在一起时，它们的效应有互相抵消的作用。正负电荷完全抵消的状态叫中和。
4、电荷守恒定律：
电荷既不能产生，也不能消失，只是由一个物体转移到另一个物体，或者从物体的这一部分转
移到另一部分。或表述为：在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。如：
摩擦起电：是电荷从一个物体转移到另一个物体；感应起电（静电感应）：将中性物体上的正、负电荷分开。
三、物质的电结构理论（说明物体带电的原因）
?
?
?
?
?
??????????核外电子：带负电中子：不带电质子：带正电原子核原子分子
物质 质子数和核外电子数相等 在通常情况下，整个原子是电中性的。一切物体带电的根本原因，就是组成物体的原子分子中，存在着带负电的电子和带正电的质子。当其在某种外因作用下，比如摩擦，使得物体或物体的一部分上的电子数多于质子数，这时物体带负电，反之，物体带正电。
物质的电结构不同将呈现不同的导电性能，而根据导电性能的不同可把物体分成导体、半导体、绝缘体三种。
四、导体、半导体、绝缘体（电介质）
1、导体：允许电荷通过的物体。
金属——金属中的价电子在整个金属中自由运动（自由电子），金属中存在许多自由电子是金属容易导电的基本原因。
电解液——其中存在许多能作宏观运动的正负离子。 被电离的气体——气体被电离后，内部存在许多正、负离子。 2、绝缘体（电介质）：不允许电荷通过的物体。
绝缘体中的电子，受原子核的吸引力而被束缚（束缚电荷），自由电子极少，因而导电性极差。当然，绝缘体不是绝对的，在强大的外界电力作用下，绝缘体中的束缚电子可能摆脱束缚变为自由电子，从而绝缘体变成导体，这称为电介质的击穿。如：未被电离的干燥气体是绝缘体，被电离后便成导体。
3、半导体：导电性介于导体与绝缘体之间。如锗、硒、硅等。半导体中的载流子为自由电子和带正电的“空穴”。主要由“空穴”导电的半导体称为P 型半导体，主要由电子导电的半导体称为n 型半导体。半导体是一种非常特殊的材料，在近代电子技术中起着重要作用。这主要是因为半导体有几种特殊的效应：
掺杂效应：掺入少量杂质，可以大大改变半导体的导电性能。
热敏效应：温度升高导电性能迅速变化，做成热敏电阻，可作温度计等。 光敏效应：光照使导电性显著增加，做成光敏电阻，作为光电自动控制元件。
§1.2 库仑定律
一、点电荷模型
“点电荷”实际上是一个带电体，当带电体的线度比带电体之间的距离小得多时，它们之间的静电力基本上只取决于它们的电荷量和距离，而与其它因素无关，满足这个条件的带电体叫做点带电体或点电荷。
二、库仑定律
1、定义
真空中两个静止的点电荷间的静电力服从的规律叫库仑定律。 2、内容及数字表达式：
（1）两个点电荷间的静电力大小相等而方向相反，并且沿着它们的联线；同号电荷相斥，异号电荷相吸；
（2）静电力的大小与各自的电荷q 1及q 2成正比，与距离r 的平方成反比，即：
2
2
1r q q k
F （1.1） 其中k 是比例常数，依赖于各量单位的选取，所以要知道k 的值就必须知道式中各量的单位。 三、电荷的单位
电磁学中最常用的单位制有高斯制和国称制。而每个单位制中有四个基本量（有四个基本单位），力学和电磁学中的其它各物理量的单位都可以从这些基本单位导出，称为导出单位。
线度 << r 使 12F 只与 r q q 、、21
1、高斯制：
基本量为：长度、质量、时间、电荷量，对应的单位为 基本单位为：厘米、克、秒、静库。
电荷的单位：静库（即电荷的单位为基本单位） 静库是通过令式（1.1）中的k =1而定义的： k =1时，2
2
1r q q F =
（1.2） 当q 1=q 2=1及r=1时，且规定k =1，由上式F =1。
说明： 当两个电荷相等的点电荷相距1厘米，而它们之间的电性力为1达因时，这两个点电荷的电荷均为1静库。
2、国际制（MKSA 制）：
基本量为： 长度、质量、时间、电流强度。对应的单位为： 基本单位为：米、千克、秒、安培。
（1）在国际单位制中，电荷的单位是库仑，它是由上面四个基本单位推导出来的（称为导出单位）。 库仑的定义为：
如果导线中载有1安培的稳恒（恒定）电流，则在1秒内通过导线横截面的电荷定义为1库仑，即：
1库仑=1安培·1秒 或 库仑=安培·秒 （2） 库仑定律22
1r
q q k
F =中各量的单位已选定，所以k 只能由实验测出。大量实验测得： k =9×109
牛顿·米2
/库仑2
在国际单位制有理制中引入新的恒量0ε来代替k ，表示为：
41πε=
k ， 0ε=8.9×10
－12
库仑2/牛顿·米2
0ε称为真空中的介电常数，其含义见第三章。因此在国际单位制中，库仑定律表述为：
2
2
10
41r q q k ?
=
πε （1.3） 将（1.2）和（1.3）式比较发现，在不同的单位制中，同一物理定律有不同的表述形式。本书一律采用国际单位制。 （在有的电学实验中可能用到高斯制） 四、库仑定律的矢量形式
式（1.3）只反映了静电力的大小所服从的规律，并未涉及方向，要反映方向就必须把库仑定律写成矢量形式。
1、矢量的表示（本书中矢量的表示法）
a a a a a ??==??，a ?为与a ?
同方向的单位矢。 推广：e
r r ?=?
2、库仑定律的矢量形式
12202112?4r e
r
q
q F πε=? (1.4.1)
12F ?
表示点电荷1对2的作用力，作用在2上；12?r e
表示由点电荷1指向2的单位矢。 21202121?4r e
r q
q F πε=? （1.4.2） 21F ?
表示点电荷2对1的作用力，作用在1上；21?r e
表示由点电荷2指向1的单位矢。 显然 12?r e
=－21?r e 只要将q 1和q 2理解为可正可负的代数量，则（1.4）式可以同时反映静电力的大小和方向。例
如：q 1、q 2同号，q 1 *q 2＞0，则12F ?
与12?r e
同向，为排斥力，如图1；
图1 q 1、q 2同号（排斥力）
q 1、q 2异号，q 1*q 2＜0，则12F ?
与12?r e
反向，为吸引力，如图2。
图2 q1、q2异号（吸引力）
五、（力的）迭加原理（P8）
当空间有两个以上的点电荷时，作用于每一个电荷上的总静电力等于其它点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和，这就叫做迭加原理。
迭加原理说明：
（1）一个点电荷作用于另一点电荷的力，总是服从库仑定律的，不论其周围是否存在其它电荷。
（2）任何宏观带电体都可以分成无限多个带电元，将这些带电元视为点电荷，利用库仑定律和力的迭加原理，原则上可以解决静电学的全部问题。
六、库仑定律成立的条件和适用范围
1、成立条件：
真空中静止的点电荷。可以推广到一个静止的源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动的源电荷对静止电荷或运动电荷的作用。
2、适用范围
库仑定律在10－13厘米到109厘米的巨大范围内是可靠的。
七、库仑定律和万有引力定律的主要异同
1、相同点：都是有心力（指向两者的联线），长程力（相互作用范围很长，为无限远）；在形式上都服从距离平方反比关系和源量乘积的正比关系；
2、不同点：①静电力既有引力也有斥力，而万有引力只有引力，没有斥力（至少目前如此）。
②两种力的作用强度不同，电磁作用远远大于万有引力的强度。
例（补充）：计算氢原子内电子和原子核之间的静电作用力和万有引力，并比较两者大小。
已知：距离r=0.529×10－10米，电子质量m=9.11×10－31千克，氢原子核质量M=1.67×10－27千克，电子和原子核所带电量q1=q2=1.6×10－19库仑，万有引力恒量G0=6.67×10－11牛顿·米2/千克2。
解：据库仑定律，电子和原子核间的静电力为：
1023.842
021?==
r
q q f e πε－8
牛顿 万有引力： 63.32
0==r
mM G f m ×10－47
牛顿 比值
27.2=m
e
f f ×1039 可见在原子内，电子和原子核之间的静电力远比万有引力为大。在处理电子和原子核之间的相互作用时，常常只考虑静电力而忽略万有引力。
§1.3 静电场 一、电场
1、对电场的认识过程
（1）超距作用观点： 电荷 ??
→←直接
电荷 （2）近距作用学说： 电荷 ??
→←以太
电荷 （3）场的观点： 电荷 ?→←
场
电荷 2、场与实物的关系
场是物质存在的一种形态，具有由原子分子组成的实物的共性，即具有能量、质量和动量等物质的基本属性。但电磁场也有它的特殊性：有作为场的特点的波动性和迭加性；它可以脱离电荷或电流而单独存在；几个电磁场可以同时占据同一几何空间。
但注意：从质量密度来看，实物的质量密度较大 ，一般为103 kg/m 3，而场的质量密度较小，一般为10-23 kg/m 3，忽略。
3、静电场的对外表现
（1）对场中的其它带电体有作用力
（2）当带电体在电场中移动时，电场力对带电体作功，这表明电场具有能量。 二、电场强度
空间某点有一点电荷Q ，Q 在周围空间激发电场，在此电场中引入一个试探电荷q 1，讨论试探电荷q 1的受力情况：
121011?4r e r Qq F πε=? （q 1受的静电力） → 121
011?4r e r Q q F πε=? 在空间引入不同的试探点电荷q 2、q 3，则它所受的静电力的大小和方向为：
222022?4r e r Qq F πε=? 3
23
03
3?4r e r Qq F πε=? 从上面的三个等式可以看出：电性力的大小不但与试探电荷的位置（场点）有关，且与其电量i
q 也有关系，但试探电荷所受的静电力和其电荷量i q 的比值却是只与场点有关而与i q 无关的量，这一结论可以用迭加原理推广到任意电荷激发的电场。
1、电场强度的定义及数学表达式
在任意电场中，某点的电场强度，是表征该点电场特性的矢量，其大小等于位于该点的单位电荷所受的电场力；其方向与位于该点的正电荷所受的电场力的方向相同。写作：
q
F
E ??= （1.5）
2、说明
（1）式（1.5）具有普遍的意义，无论对静电场、运动电荷的电场、还是变化磁场所产生的电场，都适用；即使场中存在磁场，定义仍然有效。
（2）电场强度q
F
E ??=描述电场的强弱：对于一个给定的试探电荷q ，q 在场中某点受静电力大，
则电场强度E 大，电场强；反之电场弱；对于一定的空间点P ，不同的试探电荷q 1、q 2在P 点所受静电力大小不同21,F F ??，但 222111//q F E E q F p p ?
???===。
（3）电场中任一点，都有一个大小和方向确定的场强矢量E ?
，场点和场强有一一对应的关系，即E ?
是空间坐标的矢量点函数。
如果电场中空间各点的场强的大小和方向都相同，则称为均匀电场或匀强电场。 （4）场强迭加原理：P9
在点电荷组的电场中，空间某点的总场强，等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。即：
()n n E E E F F F q
E ?
ΛΛ???ΛΛ???+++=+++=21211 （1.6）
三、场强的计算
1、点电荷电场中的场强
真空中有一点电荷q ，距q 为r 处的P 点引入一试探电荷0q ，则0q 受力为：r e
r qq F ?42
00
πε=
?
由场强定义得： r e
r
q q F E ?4/2
00πε=
=?
? （1.7） （1.7）式表明：E 与q 成正比，与r 2
成反比。 q 为正，r e E ?与?
同向（背离q ）；
q 为负，r e E ?与?
反向（指向q ）。
2、点电荷系（组）电场中的场强
电场由若干个点电荷q 1、q 2……q n 共同产生，则
rn n
n n r r e
r
q E e r q E e r q E ?4,?4,?4202
22
02
21
21
01
1πεπεπε=
=
=
?
Λ
Λ?
? 按场强迭加原理有：
∑
==+++=n i ri i i n e
r q E E E E 1
2
021?4πε?
ΛΛ??? （1.8） 3、任意带电体电场中的场强
任何带电体可以分成许多极小的电荷元dq 的集合，每一个电荷元dq （看成点电荷）产生的场强为：
r
e r
dq
E d ?4120πε=
?
（r e ?是从dq 所在点到P 点的矢径单位矢） 由迭加原理得总场强： r e r dq
E ?412
0?
=πε? （矢量积分） （1.9） 对于电荷连续分布的情况，引入电荷密度来描述电荷的分布。
（1）电荷线密度η： （电荷分布在某一细棒上）当场点与棒的距离远大于棒的粗细时，忽略棒的粗细，认为电荷分布于一条几何曲线上（线模型）。
dl
dq
l q l =
??=→?0
lim η 线元dl 上电荷量 dq =dl η，代入（1.9）式得：
r e
r
dl
E ?412
?
=
ηπε? （1.10） （2）电荷面密度σ： （电荷连续分布在一个平面或曲面上）当场点与薄层的距离远大于薄层的厚度时，忽略薄层的厚度，认为电荷分布在一个几何曲面上（面模型）。
ds
dq
s q s =
??=→?0
lim σ 面积元ds 表面上的电荷量 dq =σds ，代入（1.9）式得
r e
r ds
E ?412
??
=
σπε? （1.11） （3）电荷体密度ρ： （电荷连续分布在一个体积内）在带电体内取一小体积元τ?
=ρτ
ττd dq
q =
??→?0
lim 体积元τd 内的电荷量 dq =ρτd ，代入（1.9）式得：
r e
r d E ?412
???
=
τ
ρπε? （1.12） 例1： 书P9—10 例题1 自学
例2（补充）：一对等量异号点电荷±q ，其间距离为l （称为电偶极子），求两电荷延长线上一
点P 1和中垂面上一点P 2的场强。P 1和P 2到两电荷联线中点O 的距离都是r 。
解：（1） 求P 1点场强
P 1点到±q 电荷的距离分别为r ±
2
l
，所以±q 在P 1点产生的场强分别为： r
e l r q
E ?24120???
?
?-+=+πε?
r
e l r q
E ?24120?
??
?
?+-=-πε? 由迭加原理得：r P e l r l r q E E E ?212142
201??????
????????? ??
+-??? ?
?-=+=-+πε??? （2） 求P 2点的场强
由对称性分析可知，±q 在P 2点的场强大小一样，但方向不同，由迭加原理可得P 2点的场强为：
2
20
241
?
?
? ??+=
=-+l r q E E πε??
∴ ()
i
l r q E P ?cos 24122
20
2-??
?
? ??+?
=θπε? （y 方向的效应互相抵消）
而 2
222cos ?
?
? ??+=
l r l θ
故 i
l r ql
E P ?2412
322
02??
?
?????
??? ??+-
=πε?
例3（补充） （习题1、3、7）：
一均匀带电直线，长度为L ，总电荷为q ，线外一点P 离开直线的垂直距离为a ，P 点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为θ1和θ2（如图），求P 点的电场强度。
解：此题中，产生电场的电荷是连续分布的。所以首先把整个电荷分布划分为许多极小的电荷
元dq ，先求出每一电荷元dq 在P 点产生的场强E d ?，然后由迭加原理得总场强?=E d E ?
?。由于E
d ?是矢量，所以需选择适当的坐标系对E d ?
进行分解，然后分别求出其分量Ex 、Ey 、Ez 的值。
取P 点到直线的垂足O 为坐标原点，取坐标轴如图。在带电直线上离原点O 为l 处，取长度元dl ，dl 上的电量为：dl dl L
q
dq η==
。 设P 点离dl 线元的距离为r ，可知dq 在P 点处产生的场强E d ?
的大小为：
2
04r dl
dE πεη=
将E d ?
沿x 轴和y 轴分解得：
??
?
??===0sin cos dEz dE dEy dE dEx θθ 由图可知：θθθπθd a dl actg atg l 2
csc ,2=-=??
?
?
?-
= θ22222csc a l a r =+=
∴ ???
????
==θθπεηθθπεηd a dEy d a dEx sin 4cos 400
将上两式积分得：
()???
????
-===-===????)cos (cos 4sin 4sin sin 4cos 42100120
02121θθπεηθθπεηθθπεηθθπεηθθθθa d a dEy Ey a d a dEx Ex 将场强写成矢量形式： k Ez j Ey i
Ex E ???++=?
j Ey i Ex ??+= 讨论：① P 点位于带电直线的中垂线上，,12θπθ-=则
??
?
??==1
0cos 20
θπεηa Ey Ex （4
2cos 2
21L a L +=θ） （j Ey E ?=?） ② 带电直线无限长，θ1=0，θ2=π，则
??
?
?
?==a Ey Ex 020
πεη （j Ey E ?=? ） ③ 带电直线半无限长，or π
θπ
θ==
21,2
θ1=0，θ2=
2
π
，则 or a Ey a Ex ??????
?
=-=0044πεηπεη ???
???
?
==a Ey a Ex 0044πεηπεη （j Ey i Ex E ??+=?） 在此两种情形下，总场强大小相等，方向不同。
例4（补充）： 计算均匀带电圆环轴线上任一给定点P 处的场强。圆环半径为a ，周长为L ，圆
环所带电荷为q ，P 点与环心的距离为x 。
解：在圆环上任取长度元dl ，dl 上所带的电荷为：
dl L
q dl a q dq ==
π2 设P 点与dq 的距离为r ，dq 在P 点处产生的场强为E d ?
，其大小为：
2
02024141r dl
a q r dq dE ??==
ππεπε
各电荷元在P 点产生的场强方向不同，但据对称性，各电荷元产生的场强在垂直于x 轴方向上
的分矢量y E d ?互相抵消，所以P 点的合场强是平行于x 轴的那些分矢量x E d ?
的总和，所以总场强的
大小为：
??==L
L
dE dEx E θcos
由于给定点P 与所有各电荷元的距离r 及角θ有相同的值， ∴ 2
020cos 412cos 41r q dl ar q E L θ
πεπθπε==
?
而 r
x =
θcos 2
22x a r += ∴ ()
2
322041a x qx
E +=πε ，E ?的方向垂直于带电圆环所组成的平面，背离圆环。
当x >>a 时，(
)
32
3
2
2x a
x ≈+，则有 2
041
x q E πε=
这个结果与点电荷的场强关系式完全一致。
这说明：带电体是否被看成电荷，取决于场点的距离及带电体本来的线度。
例5：书上P12—14例题2： 自学。记住两点结果非常重要。
记住：P14：同一带电圆盘，当场点很远时可被看作点电荷（这时场强 2
041
z q E πε=
）；当场点
在盘心附近时则可被看作无限大平面（这时场强0
2εσ
=E ）。场强E ?方向均垂直于带电圆盘所组成的平面背离圆盘。
例6（补充）： “无限大”均匀带电的两平行板，A 板均匀带正电，面密度+σ，B 板均匀带负
电，面密度－σ，求均匀带电的两平行板之间的电场中各点的场强。
解：由场强迭加原理，任一点的场强E ?是两个平板各自产生的场强A E ?和B E ?
的矢量和，即：
E ?=A E ?+B E ?
由对称性，除两板边缘附近外，由书上例2知，A E ?=B E ?(板间)，其值为0
2εσ
==B A E E ，所
以两板之间 0
εσ
=
==B A E E E ；E ?方向由正板指向负板，如图。
这说明：两块平行平板均匀地分别带有等值正负电荷时，老板面的线度远大于两板之间的距离，则除边缘外，电场全部集中在两板之间而且是匀强的。在实验中，常利用均匀带电平行板产生匀强电场。
§1.4 高斯定理
高期定理是静电学中的一个重要定理，反映了静电场的基本性质，即静电场是有源场（激发电场的电荷就是源），在介绍高斯定理之前，首先引入一个基本概念，叫“通量”。
通量是矢量场的共性，并且它总是和一个假想的面联系在一起的，首先介绍任意矢量场的通量。 一、任意矢量场的通量
在任意矢量场A ?
中，取任意形状的封闭面S ，将它分成许多无限小面元ds ，ds 很小，以致每个面元上的场矢量A ?可视为常量。通常把ds 写成面元矢量s d ?，且s d ?
=n
ds ?，n ?为该面元法线方向上的单位矢量。
若s d ?
面上的A ?和n
?的夹角为α，则矢量A ?
通过面元s d ?
的通量定义为： ds A ds n
A s d A d A αφcos ?=?=?=?
?? A ?
对整个闭合面的通量：
()
()
????=?=S S A ds A s d A αφcos ?
?
对有限开曲面： ???=)
(S A s d A ?
?φ
二、E ?
（电）通量
电场中的场矢量是电场强度矢量E ?，E ?对某个面的通量叫E ?（电）通量，将A ?换成E ?
即可：
ds E ds n
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电磁学试题(含答案)
一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 没有电荷 B 、面S 没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ- P 3 I
电磁学第一章思考题
第一章思考题 1． 1一个点电荷受到另一个点电荷的静电力是否会因其它电荷的移近而改变？当“另一个点电荷”被一个带电导体代替时，情况又如何？ 答：根据静电力的叠加原理，一个点电荷受到另一个点电荷的作用力，不论周围是否存在其它电荷，总是符合库仑定律的，如果这两个点电荷都是静止的固定的，则它们间距不发生变化，其相互作用力不会因其它电荷的移近而改变（反之若这两个点电荷是可动的，则当其它电荷移近，此二点电荷因受其它电荷作用而发生移动，其间距离变化，则相互作用力也变） 1． 2有一带电的导体，为测得其附近P 点的场强，在P 点放一试探电荷0q （0q >0），测得它所受的电场力为F 。如果0q 很大，F/0q 是 否等于P 点的场强E ？比E 大还是比E 小？ 答：若0q 很大，受它影响，带正电的导体的电荷分布，由于静电感应，导体上的正电荷受到排斥要远离P 点，因此在P 点放上0q 后，场强要比原来小，而测得的F/0q 是导体上电荷重新分布后测得的P 点的场强，故F/0q 要比P 点原来的场强E 小 1、 3场强的定义式为E=F/0q ，可否认为场强E 与F 成正比，与0q 成反比？当0 q →0时，场强是无限大还是为零？还是与0q 无关？ 答：不能，电场中某点的场强，它是由产生电场的电荷决定的，电场中某点的电场强度是客观存在的，是具有确定的值，当某点放上0q 后，所受的力F 与0q 成正比，比值F/0q 是个确定的值，其大小与F ，0q 均无关系，成以当0q →0时，其所受的力F →0，其比值→确定 值，与0q 无关 1． 4判断对错。（1）闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷；（2）闭合曲面内电量为零时，面上各点场强必为零；（3）闭合曲面 的电通量为零时，面上各点的场强必为零；（4）通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷；（5）闭合曲面上各点的场强是仅由面内电荷产生的；（6）应用高斯定理求场强的条件是电荷分布具有一定的对称性；（7）如果库仑定律中r 的幂不是-2，则高斯定理不成立 答：（1）（2）（3）（5）（6）不对；（4）（7）对‘ 1． 5一个点电荷放在球形高斯面的球心，试问下列情况下电通量是否改变（1）如果这球面被任意体积的立方体表面所代替，而点电荷仍 位于立方体中心；（2）如果此点电荷被移离原来的球心，但仍在球内；（3）如果此点电荷被放到高斯球面之外；（4）如果把第二个点电荷放到高斯球面外的某个地方；（5）如果把第二个电荷放在高斯球面内 答：（1）与曲面形状无关，所以电通量不改变；（2）与面内电荷所在位置无关，所以电通量不改变；（3）面内电荷改变（减少）所以电通量改变→0；（4）面内电荷不变，所以电通量不改变；（5）面内电荷改变（增加），所以电通量改变→增加 1． 6图中已知S 1面上的电通量为1 S Φ，问S 2面，S 3面及S 4面上的电通量2 S Φ，3 S Φ，4 S Φ各等于多少？ 答：S 1面与S 3面组成闭合曲面1 S Φ+3 S Φ= 1 εq ，3 S Φ= 1 εq -1 S Φ； S 4与S 3组成闭合曲面3 S Φ+4 S Φ=0，4 S Φ=-3 S Φ=1 S Φ-0 1 εq ； S 2与S 3组成闭合曲面2 S Φ+3 S Φ= 2 1εq q +；2 S Φ=-3 S Φ+ 2 1εq q +=1 S Φ-0 1 εq + 2 1εq q +=1 S Φ+ 2 εq 1． 7（1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电位高处运动，还是向电位低处运动？为什么？（2）说明 无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高的地方移向电位能低的地方。 答：（1）总是向高电位处运动，受力方向逆着电力线，在初速为零，逆着电力线方向运动，电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。（2）仅在电场力作用下移动时，电场力方向与正负电荷位移方向一致，电场力作正功，使电荷的电位能减小,所以电荷总是从电位能高处向低处移动 1． 8可否任意将地球的电位规定为100伏，而不规定为零？这样规定后，对测量电位，电位差的数值有什么影响？ 答：可以，对电位差的数值无影响，对电位的数值有影响，提高了 1． 9判断对错（1）场强大的地方，电位一定高。（2）电位高的地方，场强一定大。（3）带正电的物体的电位一定是正的。（4 ）电位等于
电磁学第七章
第七章 电磁感应和暂态过程 一、选择题 1、一导体圆线在均匀磁场中运动，能使其中产生感应电流的一种情况是（） A 、线圈绕自身直径轴转动，轴与磁场方向平行。 B 、线圈绕自身直径轴转动，轴与磁场方向垂直 C 、线圈平面垂直于磁场并沿垂直于磁场方向平移。 D 、线圈平面平行于磁场并沿垂直磁场方向平移。 答案：B 2、一闭合正方形线圈放在均匀场中，绕通过其中心且与一边平行的转轴OO`转动，转轴与磁场方向垂直， 转动角速度为ω，如图所示，用下述哪一种办法可以使线圈中感应电流的幅值增加到原来的两倍（导线 的电阻不能忽略）？（） A 、把线圈的匝数增加到原来的两倍。 B 、把线圈的面积增加到原来的两倍，而形状不变 C 、把线圈切割磁力线的两条边增长到原来的两倍 D 、把线圈的角速度ω增大到原来的两倍 答案：D 3、两根无限长平行直导线载有大小相等方向相反的电流I,I 以dI/dt 的变化率增长,一矩形线圈位于导线平面内(如图)则() A 、线圈中无感应电流 B 、线圈中感应电流为顺时针方向 C 、线圈中感应电流为逆时针方向 D 、线圈感应电流方向不确定 答案：B 4、一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中，铜板中出现涡流（感应电流），则涡流将（） A 、加速铜板中磁场的增加 B 、减缓铜板中磁场的增加 C 、对磁场不起作用 D 、使铜板中磁场反向 答案：B 5、一无限长直导体薄板宽为l ，板面与Z 轴垂直，板的长度方向沿Y 轴，板的两侧与一个伏特计相接，如图，整个系统放在磁感应强度 为B 的均匀磁场中，B 的方向沿Z 轴正方向，如果伏特计与导体平板均以速度v 向 Y 轴正方向移动，则伏特计指示的电压值为（） A 、0 B 、 vBl 2 1 C 、vBl D 、vBl 2 答案：A 6、半径为a 的圆线圈置于磁场强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ；当把线圈转动使其法向与B 的夹角 060=α时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动的时间的关系是（） A 、与线圈面积成正比，与时间无关 B 、与线圈面积成正比，与时间成正比 C 、与线圈面积成反比，与时间成正比 D 、与线圈面积成反比，与时间无关 答案：A 7、将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量时间的变化率相等，则（） A 、铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势 B 、铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 C 、铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 D 、两环中感应电动势相等 答案：D 8、在无限大长的载流直导线附近 放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的 速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流（） A 、以情况Ⅰ中为最大 B 、以情况Ⅱ中为最大 C 、以情况Ⅲ中为最大 D 、在情况Ⅰ和Ⅱ中相同 答案：B 9、在两个永久磁极中间放置一圆形线圈，线圈的大小和磁极大小约相等，线圈平面和磁场方向垂直，今欲使线圈中产生逆时针方向（俯 视）的瞬时感应电流I （如图），可选择下列哪一个方法？（） A 、把线圈在自身平面内绕圆心旋转一个小角度 B 、把线圈绕通过其直径的OO`轴转一个小角度 C 、把线圈向上平移 D 、把线圈向右平移 答案：C 10、 一个圆形线环，它的一半放在一分布在方形区域的匀强磁场B 欲使圆线环中产生逆时针方向的感应电流，应使（） A 、线环向右平移 B 、线环向上平移 C 、线环向左平移 D 、磁场强度减弱 答案：C 11、 如图所示，一载流螺线管的旁边有一圆形线圈，欲使线圈产生图示方向的感应电流I ，下列哪一种情况可以做到？（） A 、载流螺线管向线圈靠近 B 、载流螺线管离开线圈 C 、载流螺线管中电流增大 D 、载流螺线管中插入铁芯 答案：B 12、 在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半径为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且a 》r,当直导线
电磁学答案第1章
第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-?米时，相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少 解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ： （1） 根据库仑定律：r r q q K F ?22 1 =? 得：21 2221r r F F = （牛顿）） （） （4.01010560.12 12 2222112=??==--r r F F (2) 21 2 24r q K F = ∴ 21 9 4221 211109410560.14）（）（????±=± =-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑） 1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大 解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为 Q-q 。 根据库仑定律知，相互作用力的大小： 2 ) (r q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F 即：0)2(=-q Q r K ∴ Q q 2 1 =。 1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零 解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。 图 1．2．3
即： 41πε 2 0x q q = 041 πε )(220x L q q - =2 1x 2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得： )()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。时，0)12(<--=x L x 1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米） 解：根据库仑定律知： 121 1?r r Q q K F =? )?sin ?(cos 1121 1j i r Q q K αα-= 2 28 1092.01.010 10109+???= --???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i =j i ?100.8?1061.187--?-? 如图所示，其中 2 1 21211 1) (cos y x x += α 2121 211 1) (sin y x y += α 同理：)?sin ?(cos 2222 12j i r Q q K F αα+?= ? 2281092.01.01010109+???=--×???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i
程稼夫电磁学第二版第一章习题解析
程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题 1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律： 由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有： 算得 1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ： 这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T： 解得 1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消： 解得： （2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消： 解得：
1-4 设向上位移为x，则有： 结合牛顿第二定律以及略去高次项有： 1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间： 先由库仑定律写出静电力标量式： 有几何关系： 联立解得 由库仑定律矢量式得： 解得 1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：
解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力： 解得 1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势 能： 对势能求导得到受力： 小量近似，略去高阶量： 当q＞0时，；当q＜0时， （2）由上知 1-8设q位移x，势能： 对势能求导得到受力： 小量展开有：，知
1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得 设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 小量展开化简有： 受力指向平衡位置，微小谐振周期 （2） 1-10 1-11 先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ. 有： 显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等. 利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0. 1-12（1）
电磁场与电磁波课后习题及答案七章习题解答
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质内沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j() e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 cos cos cos n x y z x y z x y z αβγ=++=++e e e e r e e e 故 (cos cos cos )() cos cos cos n x y z x y z x y z x y z αβγαβγ ?=++?++=++e r e e e e e e 则 j()[(cos cos cos )]22222[(cos cos cos )]2e ()()n r t j x y z t m m x x y y z z j x y z t m e j e j βωβαβγωβαβγωββ?-++-++-==?=?+?+?==e E E E E e E e E e E E E 而 22 j[(cos cos cos )]22 2{e }x y z t m t t βαβγωω++-??==-??E E E 故 22 2222()(0 j j t μεβμεωμεω??-=+=+=?E E E E E E 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 22 20 t με??-=?E E 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 12 ()j z x x y y E jE e β-=+=+E e e E E 式中取 121 [()()]21 [()()]2j z x x y y x y j z x x y y x y E E j E E e E E j E E e ββ--=+++=---E e e E e e 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,)z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 3(,)10cos()V/m 2y z t t z π ωβ=--E e 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为
(完整版)电磁学练习题及答案
P r λ2 λ1 R 1 R 2 1．坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x =+1,y =0)产生的电场强 度为E ρ 。现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么 位置才能使P 点的电场强度等于零？ (A) x 轴上x >1。 (B) x 轴上0
电磁学(赵凯华_陈熙谋_)__第二版_课后答案1.
第一章 静 电 场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 计 算 题 ： 1、 真空中两个点电荷q 1=1.0×10-10C ，q 2=1.0×10-11C ，相距100mm ，求q 1受的力。 解：)(100.941 10 2 210排斥力N r q q F -?== πε 2、 真空中两个点电荷q 与Q ，相距5.0mm,吸引力为40达因。已知q=1.2×10-6C,求Q 。 解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿 C q F r Q r qQ F 13202 01093441 -?-==?=πεπε 3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时 的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。 解：? ??=?=?==物体的重量相当于当万吨物体的重量 相当于当kg m r N m r N r q q F 900)1000(100.990)1(100.941 3 92210πε 4、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电 子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m 。已知质子质量M=1.67×10-27kg ，电子质量m=9.11×10-31kg 。电荷分别为e=±1.6×10-19 C,万有引力常数G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解： 不计 万有引力完全可以略去与库仑力相比在原子范围内由此可知吸引力吸引力,,,/1019.241 41)3(1026.2/)(1063.3)2() (1022.841 )1(62 02 2 02394722 18 2 20s m mr e v r e r v m F F N r m m G F N r e F g e g e ?==?=?=??==?==--πεπεπε 5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10-15米时，它们之间的排斥力仍遵守 库仑定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核（即α粒子）中有2个质子。已知每个质子带电e=1.6×10-19 C ，α粒子的质量为6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为6.9×10-15m 时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速度。
电磁场与电磁波课后答案第1章
第一章习题解答 给定三个矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解（1） （2） （3）－11 （4）由，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为 ，， 则，， 由此可见 故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 求点到点的距离矢量及的方向。 解，， 则 且与、、轴的夹角分别为 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。 解与之间的夹角为 在上的分量为 给定两矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量为 证明：如果和，则； 解由，则有，即 由于，于是得到 故 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。
解由，有 故得 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解（1）在直角坐标系中、、 故该点的直角坐标为。 （2）在球坐标系中、、 故该点的球坐标为 用球坐标表示的场， （1）求在直角坐标中点处的和； （2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。 解（1）在直角坐标中点处，，故 （2）在直角坐标中点处，，所以 故与构成的夹角为 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 解由 得到 一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。 解 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 解在圆柱坐标系中 所以 又 故有 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解（1） （2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）对此立方体表面的积分 故有 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。 解 又在球坐标系中，，所以 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 又
电磁学第二版答案(DOC)
第一章静电场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 思考题： 1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小相等？ 答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。本方法不要求两球大小相等。因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。 2、带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。试解释之。答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。 3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。为什么两种情况有不同结果？ 答：人体是导体。当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。 7、两个点电荷带电2q 和q，相距l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？ 解：设所放的点电荷电量为Q。若Q与q同号，则三者互相排斥，不可能达到平衡；故Q 只能与q异号。当Q在2q和q联线之外的任何地方，也不可能达到平衡。由此可知，只有Q与q异号，且处于两点荷之间的联线上，才有可能达到平衡。设Q到q的距离为x. 8、三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？ 解：设所放电荷为Q，Q应与顶点上电荷q异号。中心Q所受合力总是为零，只需考虑q 受力平衡。 平衡与三角形边长无关，是不稳定平衡。 9、电量都是Q的两个点电荷相距为l，联线中点为O；有另一点电荷q，在联线的中垂面上距O为r处。（1）求q所受的力；（2）若q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就q与Q同号和异号两种情况加以讨论。 解： (1) (2)q与Q同号时，F背离O点，q将沿两Q的中垂线加速地趋向无穷远处。 q与Q异号时，F指向O点，q将以O为中心作周期性振动，振幅为r . <讨论>：设q 是质量为m的粒子，粒子的加速度为 因此，在r< 第五章静电场 5 －9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 2 2 4 π 1 L r Q ε E - = (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 2 2 04 π2 1 L r r Q ε E + = 若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x，其电荷为d q＝Q d x/L，它在点P 的电场强度为 r r q ε e E 2 d π4 1 d ' = 整个带电体在点P的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是 ??= = L y E α E j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202 ，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变 量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 第二篇 电磁学 第一章 静电场 1-1 解：设正方形的边长为a ，则点电荷Q 所受的电场力分别为 2 12 01 42Q F a πε= ； 232 01 4Qq F F a πε== ； 由于作用在Q 上的力为零，故 2 122 00012cos 4542Q F F a πε==== 从上式可知Q 与q 的关系为 Q =- （带异种电荷） 1-2 解：沿细棒方向建立坐标系，中点为坐标原点O ，距离坐标原点x 处取一线元d x ，带 电量为d d q q x L = 可看做点电荷，它到点电荷0q 的距离为r ，故两点电荷之间的作用力为 0022200d 1 d d 44q q q q x F L r x a πεπε= = + 整个细棒与点电荷0q 的作用力为 ? -+=22 2 2004L L a x dx L q q F πε 根据对称性可知沿x 轴库仑力的分量0=x F 。 沿y 轴库仑力的分量为 L y F == ? 1-3 解：将正的试探电荷0q 放在点)1P -处，根据库仑定律可得试探电荷受到的库仑力为 r e q Q F 4410101πε-= j q Q F y 1 410202πε= 将1F 分解在,x y 方向上有?=30cos 11F F x ，?-=30cos 11F F y 故点)1P -处的场强为 12100 y y x F F F E i j q q += + ，即 j i j Q Q i Q E 6.90149.381645.023160 2101+-=+-=πεπε 大小为E == C N /7.9014 方向为与x 轴正向夹角为?且0043.06 .80146 .38tan -=- =? 1-4 解：（1）沿棒长方向建立坐标，A 为坐标原点。设棒的带电量为q ，在棒上距坐 标原点x 处取线元d x ，带电量为d d q q x L =，则其在距棒B 端为a 处激发的电 1 第一章基本概念 一.Maxwell 场方程组的表示形式及各方程的物理意义： Maxwell 的贡献在于以静电场与稳恒电磁场为基础，考虑了随时间变化的因素，提出科学的分析与假设，并引入了位移电流概念，从数学上进行高度概括和总结，最终获得时变电磁场的基本方程。揭示了电场与磁场之间以及场与流之间相互联系的规律。它预言了电磁波的存在，是一切 宏观电磁理论的基础。 本章要求：掌握研究电磁场的基本方程、表示形式、物理意义等。 其中，前二个方程为其核心，它显示了场量之间相互制约和相互联系。 2.微分形式和积分形式： 对连续媒质，各场量为连续并有连续导数（即为良态），一般采用微分形式的场方程，求解场分布较容易；积分形式的场方程更具一般性，它对媒质无任何要求，故在出现介质不连续（有介质分界面）时，必须采用积分形式，并用以确定边界条件。 3 4 3.场方程是在已有的电磁定律和大量实验结果的基础上，从数学上对电磁场规律所作的高度概括和总结，并由此断言：任何电磁扰动都将以有限速度向空间传播——即有电磁波存在。这一预言后来为实验所验证，并成功地应用于无线电通信，奠定了无线电技术的基础。 方程是电磁理论的基本规律，具有普遍性，不仅适用于高频（微波与光波）；也适用于低频和直流，从中可推出低频电路中的克希霍夫定律。 Maxwell Maxwell 4.时变场：随时间变化的场，即场既为空间坐 标的函数亦为时间的函数。 对于时变场，有： 1）电、磁场是统一的、不可分割的； 2）变化的磁场产生电场；变化的电场产生磁场，相互交连，从而产生电磁波的传播。 5.电磁场特性：电磁场是一种特殊形式的物质，具有电磁能，并遵循能量守恒的普遍规律。这包括电场能与磁场能的相互转换及电磁能与其它形式能量（如热能、机械能等）之间的相互转换。 5 第七章 平面电磁波的反射和透射 习题解答 7-1．空气中的平面电磁波电场幅值为10V/m ，垂直入射到εr =25的无耗非磁性介质的表面，试确定：（1）反射系数和透射系数；（2）在空气中的驻波比；（3）入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。 解 （1）由于空气和无耗非磁性介质的磁导率为 所以，空气和无耗非磁性介质中的波阻抗分别为 由此得到垂直入射情况下，两理想介质分界面的反射系数和透射系数为 （2）驻波比定义为 由此得到空气中的驻波比为 （3）假定电场矢量沿x e 方向，入射波沿+Z 方向传播，则可写出垂直入射情况下，入射波、反射波和透射波的电场和磁场复振幅矢量表达式为 根据平均功率流密度的定义式 有 而 数值代入得到 7-4．一均匀平面电磁波沿+Z 方向传播，其电场强度矢量为 （1）应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H ；（2）若在传播方向上z =0处放置一无限大的理想导体板，求z ＜0区域中的合成波的电场E 1和磁场H 1；（3）求理想导体板表面的电流密度。 解 （1）根据给定的电场强度矢量的表达式，有 由此可写出电场强度矢量的复振幅表达式为 由复数形式的麦克斯韦方程 得到 则有 （2）如果在z =0处放置一无限大平面导体板，可看成是理想介质与理想导体分界面的垂直入射，有 001r i E r E ==-，00 0t i E t E == 根据入射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式，可写出反射波电场矢量和磁场矢量的复振幅表达式为 把 代入，得到 入射介质一方（z <0）的合成波电场和磁场的复振幅为 合成波的电场E 1和磁场H 1的瞬时表达式为 （3）根据边界条件 由于理想导体板中的磁场为零，有 7-7．一圆极化平面电磁波的电场为 平面电磁波沿+X 方向从空气垂直入射到εr =4、μr =1的理想介质表面上。求：（1）反射波和透射波的电场；（2）它们分别属于什么极化？ 解 （1）两种介质均为无耗理想介质，其参数如下： 垂直入射情况下的反射系数和透射系数为 即 第七章磁介质 一、教学内容 （1）磁介质存在时静磁场的基本规律 （2）顺磁性与抗磁性 （3）位移电流与麦克斯韦方程组 （4）平面电磁波 二、教学方式 讲授 三、讲课提纲 这章内容主要与电介质理论对比学习。 7-1 磁介质存在时静磁场的基本规律 采用研究电介质相同的思路来研究磁介质。 电介质存在时的静电场：束缚(极化)电荷；电极化强度→电位移矢量 →有电介质的高斯定理 磁介质存在时静磁场：磁化电流；磁化强度→磁场强度→有磁介质的 安培环路定理 关于磁介质存在着两套等价的观点：分子电流观点和磁荷观点。这两套理论的微观模型不同，但宏观结果完全一样。本章主要讨论分子电流理论。 主要内容：研究磁场与磁介质的相互作用。涉及到以下概念和定理：磁介质、磁化强度、磁场强度、磁场中的安培环路定理、铁磁质。 一、磁介质的磁化磁化强度 磁介质的磁化可以用安培的分子电流假说来解释。 1、分子电流观点： 安培认为，由于电子的运动，每个磁介质分子（或原子）相当于 一个环形电流，叫做分子电流。其磁矩叫做分子磁矩。 （1）无外磁场时 一般由于分子的热运动,各分子环流的取向完全是混乱的，各分子磁矩方向杂乱，大量分子的磁矩相互抵消，宏观不显磁性。 （2）有外磁场时 在外磁场的力矩作用下，分子环流的取向会发生转向, 在一定程度上沿着场的方向排列。 外磁场越强,转向排列越整齐。 （3）结果： 当介质均匀时由于分环流的回绕方向一致，在内部任何两个分子环流中相邻的那一对电流元回绕方向总是彼此相反，相互抵消。即在宏观上，这横截面内所有分子环流的总体与沿截面边缘的一个大环形电流等效，就象是一个由磁化电流组成的“螺线管”，它在棒内的方向与外磁化场一致，则增加了原磁场。 2、磁化电流和传导电流的定义 （1）磁化电流定义：是分子电流因磁化而呈现的宏观 电流，它不相应于带电粒子的宏观位移。 （2）磁化电流特点：是介质磁化的宏观表现；是分子 电流规则排列的宏观结果；不伴随真实的电荷的宏观运动。 可以和传导电流一样，激发磁场。 （3）传导电流（非磁化电流）：除磁化电流之外的电流。 也叫自由电流，如金属中自由电子宏观移动造成的电流、 电解液中正、负离子、气体中的离子和电子宏观迁移造成 的电流以及各真空管中的电子流等。 （4）传导电流的特点：必然相应于带电粒子的宏观移动。 3、有磁介质存在时的总磁场 有电介质存在时的总场强：E E E '+=???0，其中0E ?为自由电荷产生的场强，E ' ?为极化电荷产生的场强。 有磁介质存在时的总磁场：B B B '+=???0,其中0B 为没有磁介质(即真空)存在时的磁场，由传导电流产生的。B '?为磁介质放入磁场中被磁化后产生的磁场，是由磁化电流产生的附加场。注：磁介质在均匀磁场中被磁化产生的附加场也是均匀场。 为了描写磁介质磁化程度，可以仿照极化强度P ?（V p P i ?=∑??，其中i p ?代表V ?内第i 个分子的偶极矩）定义一个磁化强度。电磁学课后习题答案
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