测量平差练习题及答案
计算题
1、如图，图中已知A 、B 两点坐标，C 、D 、E 为待定点，观测了所有内角，试用条件平差的方法列出全部条件方程并线性化。
~
解：观测值个数 n =12，待定点个数t =3，多余观测个数r =n -2t =6
① 图形条件4个：
)180(0
)180(0
)180(0
)180(0
121110121110987987654654321321-++-==-++-++-==-++-++-==-++-++-==-++L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v d d c c b b a a ② 圆周条件1个：
)360(0963963-++-==-++L L L w w v v v e e ③ 极条件1个：
ρ''--==----++)sin sin sin sin sin sin 1(0
cot cot cot cot cot cot 8
52741774411885522L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L f f
3、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。
)
用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；
C
3、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；
选D 、E 平差值高程为未知参数2
1??X X 、 则平差值方程为：
1
615142322211?????????????X H h H X h H X h H X h H X h X X h A A
B A B -=-=-=-=-=-=
则改正数方程式为：
6165154143232221211???????l x v l x
v l x
v l x
v l x
v l x x
v --=-=-=-=-=--=
取参数近似值 255.24907.2220221011=+==++=h H X h h H X B B 、
、
令C=1，则观测值的权阵：
?????????
? ??=10111101P ?????????? ??--=010*********B ?????????? ??-=?????????? ??------------=+-=?????????? ??=7551000)()()()()()()(016
015014023022020110654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B
组法方程0?=-W x
N ，并解法方程： ???? ??--==3114PB B N T ???
? ??-==107Pl B W T ???
? ??-=???? ??-???? ??==-311074113111?1W N x 求D 、E 平差值：
m
x X X H m x X X H D C 258.24???906.22???20221011=+===+== 。
2）求改正数：
?????????
? ??----=-=664734?l x B v 则单位权中误差为：
mm r pv v T 36.64162
?0±=±=±=σ 则平差后D 、E 高程的协因数阵为：
???
? ??==-41131111??N Q X X 根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为： mm mm Q mm mm Q E D 84.311229??32.322669??220110±=±==±=±==σσ
σσ
4、如图，在三角形ABC 中，同精度观测了三个内角：4000601'''?=L ，5000702'''?=L ，7000503''''?=L ，按间接平差法列出误差方程式。
￥
解：必要观测数t =2，选取1L 、2L 的平差值为未知数1?X 、2?X ，并令101L X =、20
2L X =，则
2
22022111011??x L x X X x L x X X δδδδ+=+=+=+= -
16??180????180??213213222211112133222111---=+--==-==-=--=+=+=+x x L X X v x L X v x L X v X X v L X v L X v L δδδδ
5、如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。
;
解：观测值个数n =8，待定点个数t =2，多余观测个数42=-=t n r
3个图形条件，1个极条件。
ρ''--==--+-+-+--+++-==-+++-+++-==-+++-+++-==-+++)sin sin sin sin sin sin sin sin 1(0cot cot cot cot cot cot cot cot )180(0
)180(0
)180(0
7
53186428877665544332211876587656543654343214321L L L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L v L v L L L L L w w v v v v L L L L w w v v v v L L L L w w v v v v d d c c b b a a
6、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。
1）试在误差曲线上作出平差后PA 边的中误差，并说明；
2）试在误差椭圆上作出平差后PA 方位角的中误差，并说明；
3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且?=52F ?,试计算方位角为102o的PB 边的中误差。
）
解：1）在误差曲线上作出平差后PA 边的中误差；
连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后PA 边的中误差
Pa PA =σ
? 《
2）在误差椭圆上作出平差后PA 方位角的中误差；
作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，
垂足为c 点，则Pc 长度为平差后PA 边的横向误差PA u σ
? 则平差后PA 方位角的中误差：
ρρσσα''=''≈PA
PA u S Pc S PA PA ?? 3）因为?=52F ?
则：?=142E ?
则：?-=?-?=-=ψ40142102E ?α
所以：
323
.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ??22222222=?-+?-=ψ
+ψ==ψF E σσ?
方位角为102o的PB 边的中误差：mm 04.4??±==ψσσ
? ·
证明题
如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。
A
证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ； 设每公里中误差为单位权中误差，则
h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：
???
? ??-=)/(100/1T S T P ;
平差值条件方程式为：
HA+0??2
1=-+HB h h 则 A=( 1 1 )
S A AP N T ==-1
由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1??--=
则高差平差值的协因数阵为：
???
? ??---=-=-1111)(1??S T S T AQ N
A Q Q Q LL T LL LL L L
则平差后P 点的高程为： ()???
? ??+=+=211??01?h h H h H H A A P 则平差后P 点的权倒数（协因数）为
~
S T S T f
AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )(1-=-=- 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则
02=-S
T S T=S/2 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。
·已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。（10分）
???
? ??--=25.015.015.036.0XX Q 5
.025
.0*36.015.0)*(*)*(*0020-=-==
=
=yy xx xy yy xx xy y
x xy Q Q Q Q Q Q σσσσσσρ
>
2017复试真题（例题典型图形突破）
测量平差（书上例题）
1.设在三角形ABC中，观测三个内角L1、L2、L3，将闭合差平均分配后得到各角之值为：P35
L1=40°10′30″、L2=50°05′20″、L3=89°44′10″求它们的协方差阵为2.如图，测的三个边长，若用条件平差，求解若用间接平差。求解P126
GPS真题
1. 7个点，2个已知，5个未知，利用GPS测量，设计边连接观测方案---n个同步环，n个异步环，n个共线
2.给一个GPS网，列条件方程，间接平差，列观测方程
工程测量真题
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2.工程控制坐标转换，推导过程---施工坐标与测量坐标：