北师大版数学高二-2.4 用向量讨论垂直与平行导学案 北师大版选修2-1
【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1
课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．
1．空间中平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m?___________?__________?______________．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?____________?________________________．
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?____________?______________?________________．
2．空间中垂直关系的向量表示
(1)线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?____________?__________?________________________________．
(2)线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________?__________?__________________．
(3)面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?__________?____________?________________________．
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α
C．lα D．l与α斜交
2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )
A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
4.
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
5．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 6.
如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交
C ．相交且垂直
D ．以上都不是
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为? ??
??1，12，2，且l ∥α，则m ＝________.
8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9.
如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( ) ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；
③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.
以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?
能力提升
12．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
13.
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
1．平行关系的常用证法
证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证AB→＝λCD→.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直
线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．
2．垂直关系的常用证法
要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§4 用向量讨论垂直与平行 知识梳理
1．(1)a∥b a ＝λb
a 1a 2＝
b 1b 2＝
c 1
c 2
(2)a⊥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 (3)u∥v u ＝k v
a 1a 2＝
b 1b 2＝
c 1
c 2
(a 2b 2c 2≠0) 2．(1)a⊥b a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 (2)u ∥v u ＝λv
a 1a 2＝
b 1b 2＝
c 1
c 2
(a 2b 2c 2≠0) (3)u⊥v u·v ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 作业设计
1．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]
2．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 3．B [设B (x ，y ，z )，AB →
＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，
又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342
，
得(17λ)2＝342
，∵λ>0，∴λ＝2.
∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]
4．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →
的关系判断．]
5．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →
＝0， ∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →
|， ∴△ABC 为直角三角形．]
6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →
的关系判断．] 7．－8
解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·? ??
??1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 8．0
解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直． 9．①③④
解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →
， ∴A 1M ∥D 1P . ∵D 1P
面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1.
又D 1P 面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1.
∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，
∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →
，B 1?A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D 平面ODC 1，
∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →
＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →
共面．
又B 1C ?平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三
建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ? ??
??12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →
＝(－1,0，－1)，
OD →
＝?
??
??－12，－1
2
，－1， OC 1→＝? ??
??－12，12
，0.
设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则???
??
n ·OD →＝0
n ·OC 1→＝0
得?????
－12x 0
－1
2y 0－z 0
＝0 ①－12x 0
＋1
2y 0
＝0 ②
令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →
·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →
⊥n ，且B 1C ?平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1. 11．解
如图所示，分别以DA →，DC →，DD 1→
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，E ?
??
??1，12
，0，F ? ??
??12
，1，0，设M (1,1，m )，∴EF →＝? ??
??－12，12
，0，
B 1E →＝? ??
??0，－1
2
，－1，D 1M →
＝(1,1，m －1)．
若D 1M ⊥平面EFB 1， 则D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，D 1M →·B 1E →
＝0，
∴????
?
－12＋12
＋m －1×0＝0
0－1
2＋1－m ＝0
，∴m ＝1
2
，
即存在点M 且为B 1B 的中点，使D 1M ⊥平面EFB 1. 12.
证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设D (0，a,0)，
则B (2，0,0)，C (2，a,0)，
P (0,0，2)，E (
22，0，2
2
)．
于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC
→
＝0.
所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC . 又因为BC ∩PC ＝C ， 所以AE ⊥平面PBC . 13.
证明 (1)以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．
连结AC ，BD ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，
依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ? ??
??0，a 2，a
2， ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，
故点G 的坐标为? ??
??a 2，a
2，0， ∴PA →＝(a,0，－a )，EG →＝? ????a
2
，0，－a 2.
∴PA →＝2EG →
.即PA ∥EG .
而EG ?平面EDB 且PA ?平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .
(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →
＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝? ??
??0，a 2，a 2，
故PB →·DE →
＝0＋a 22－a 2
2
＝0，
∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .