中心对称图形-平行四边形复习讲义
图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定角度，这样的图形运动叫旋转，这个定点称为旋转中心，旋转角度称为旋转角
图形旋转的性质：
1、旋转前、后图形全等
2、对应点到旋转中心的距离相等
3、每对对应点与旋转中心的连所成的叫彼此相等
中心对称：把一个图形绕某点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关
于这一点城中心对称
中心对称的性质：
1.、具有旋转图形的所有性质
2、对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
中心对称图形
把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形完全重合，那么这个图形
式中心对称图形，这个点是对称中心
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
平行四边形的性质：
1、平行四边形对边相等
2、平行四边形对角相等
3、平行四边形对角线互相平分
平行四边形的判定：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
4、两组对边分别别相等的四边形是平行四边形
矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的性质：
1、所有平行四边形的性质
2、对角线相等
1、四个角都是直角
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、有3个角是直角的四边形正是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的性质：
1、所有平行四边形的性质
2、四边相等
3、对角线相互垂直，且每条对角线平分一组对角
菱形的判定：
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边都相等的四边形是菱形
3、对角线相互垂直的平行四边形是菱形
正方形：有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形
三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形中位线的性质：
三角形中位线平行于第三边且等于它的一半
例1.如图，BD是?ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF 为平行四边形。
例2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
变式：如图，点E、F在?ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加
一个条件．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．
例3：如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为()
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
例4、如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.
求证：四边形BECD是矩形。
例5：菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（）
A.10
B.8
C.6
D.5
变形：如图,在菱形ABCD中,M、N分别在AB、CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO,若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为___.
例6、如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，试说明△EFG的形状．
经典特殊的平行四边形讲义
特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D
2014下苏教版8年级数学第九章(中心对称图形)讲义及答案
8年级下学期数学讲义05 ( 第九章中心对称图形) 知识点： 9.1 图形的旋转 1.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相 等。 9.2 中心对称和中心对称图形 2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 9.3 平行四边形 3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形 是平行四边形。 9.4 矩形、菱形、正方形 5.矩形的四个角都是直角，对角线相等。三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。 6.菱形的四条边相等，对角线互相垂直。四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 7.有一组领边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。 9.5 三角形的中位线 8.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 9.1 图形的旋转 试题 1．（2013?南昌）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且 AD⊥BC，∠BAC的度数为（） 2．（2013?河池）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（） 3．（2011?哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对
平行四边形总复习讲义
平行四边形 【知识梳理】 平行四边形是由三角形绕其一边的中点旋转180°而成的中心对称图形。 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。 记作：□ABCD，读作平行四边形ABCD。如图： （2）平行四边形的性质：（证明） ①平行四边形的对边；②平行四边形的对边； ③平行四边形的对角；④平行四边形的对角 题型一、填空题： 【例题精讲】 1、如图1，平行四边形ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于. 2、如图2，过平行四边形ABCD的顶点A分别引高AE、AF，如果AE=3.5，AF=2.8，∠EAF=30°，则AB=，AD=． 3、如图3，平行四边形ABCD的周长是36，且AB：BC=5：4，对角线AC、BD相交于点O，且BD⊥AD，则BD=，AC=． 4、已知平行四边形的面积为4，O为两条对角线的交点，那么△AOB的面积为. 5、在平面直角坐标系内，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D坐标为. 6、如图6，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为．
7、如图7，平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠BNE=. 8、如图8，□ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到□AB′C′D′（点B′与点B 是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=. 9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．
中心对称及中心对称图形专题讲义
中心对称及中心对称图形专题讲义 一、基本概念： 1.图形的旋转： ⑴.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形变换称为图形的旋转。 这个定点称为旋转中心。 旋转的角度称为旋转角。 如果图形上的点P经过旋转变为P＇，那么这两点叫做这个旋转的对应点。 2.性质： 由实验还可得出如下结论： ①.旋转前、后的图形全等。 ②.对应点到旋转中心的距离相等。 ③.每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。 例1.已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形。 3. 中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 关于中心对称的两个图形是全等形。 4.中心对称的性质: 有一个对称中心点；成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；中心对称的两个图形具有（一般地）旋转的一切性质。5.中心对称图形： 平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。． 6.中心对称图形： 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 7.中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别： （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。 联系： 若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形。 8.轴对称图形与中心对称图形：
平行四边形(讲义及答案)及解析
平行四边形(讲义及答案)及解析 一、选择题 1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是 ,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（ ） ①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形． A ．③⑤ B ．①②④ C ．①②③④ D ．①②③④⑤ 3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ） ①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ??=；⑥AF CE =． A ．①⑥ B ．①②④⑥ C ．①②③④ D ．①②④⑤⑥ 4．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为
N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（） A．3 2 B．2 C． 5 2 D．3 5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（） A．（2）n﹣1B．2n﹣1C．（2）n D．2n 6．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为 （） A．3 B．6 C．37 D． 17 7．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC 的长为（） A2B．2 C．1.5 D3 8．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；
中心对称及中心对称图形专题讲义
中心对称及中心对称图 形专题讲义 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
中心对称及中心对称图形专题讲义 一、基本概念： 1.图形的旋转： ⑴.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图 形变换称为图形的旋转。 这个定点称为旋转中心。 旋转的角度称为旋转角。 如果图形上的点P经过旋转变为P＇，那么这两点叫做这个旋转的对应 点。 2.性质： 由实验还可得出如下结论： ①.旋转前、后的图形全等。 ②.对应点到旋转中心的距离相等。 ③.每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。 例1.已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形。 3. 中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那 么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 关于中心对称的两个图形是全等形。 4.中心对称的性质: 有一个对称中心点；成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；中心对称的两个图形具有（一般地）旋转的一切性质。 5.中心对称图形： 平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 6.中心对称图形： 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 7.中心对称与中心对称图形之间的关系： 区别： （1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称 点在一个图形上。 联系：
最新特殊的平行四边形复习讲义学习资料
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义 学生姓名：年级：老师： 上课日期：上课时间：上课次数： ______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ] 课前检查： 作业完成情况：优（）良（）中（）差（） 复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ] 特殊的平行四边形讲义 考试考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形 是矩形、菱形、正方形的条件。 知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学， 使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。 重难点： 1.矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用 教学过程 知识点归纳
对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 一．矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角． 矩形的性质 性质1矩形的四个角都是直角； 性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。 矩形的判定 矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
中考数学平行四边形(讲义及答案)附解析
中考数学平行四边形(讲义及答案)附解析 一、选择题 1．如图，在正方形ABCD 中，CE =MN ，∠MCE =35°，那么∠ANM 等于（ ） A ．45° B ．50° C ．55° D ．60° 2．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF ⊥BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E 。若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．如图，在?ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝60°，点P 为?ABCD 内一点，点Q 在BC 边上，则PA +PD +PQ 的最小值为( ) A ．3719++ B ．6+23 C ．53 D ．10 4．如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE AB =，F 为BE 上 任意一点，FG AC 于点G ，FH AB ⊥于点H ，则FG FH +的值是（ ） A ． 22 B 2 C ．2 D ．1 5．如图，P 为ABCD 内一点，过点P 分别作AB ，AD 的平行线，交 ABCD 的四边
于E 、F 、G 、H 四点，若BHPE 面积为6，GPFD 面积为4，则APC △的面积为( ) A ． 23 B ． 32 C ．1 D ．2 6．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②BE:BC=5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（ ） A ．10cm B ．11cm C ．11.5cm D ．12cm 8．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=?，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②1 2 EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD ，下面四个结论中：
平行四边形专题讲义
平行四边形专题讲义 一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。 三、本章知识结构图 1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。 2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。 3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。 4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。 四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质： （1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。 2、平行四边形的判定： （1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（定义） （2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。 （3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。 （4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。 （5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。 【基础练习】 1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____． 2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __. 3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜4 4.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.AB CD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC 5. 在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24 【典型例题】 例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F E D C B A O A B C D O A D
八年级数学中心对称图形知识点讲义
八年级数学《中心对称图形一》复习学案 班级 姓名 一、知识点回顾： （一）图形的旋转 （二）中心对称与中心对称图形 （三）中心对称的性质：1、成中心对称的两个图形 。 2、成中心对称的两个图形，对称点连线都经过 ，并且 被 。 （四）轴对称与中心对称的区别： 1、轴对称是指一个图形沿某 对折，如果它能和另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。 中心对称是指一个图形绕某 旋转 ，如果它能和另一个图形重合，那么称这两个 图形成中心对称图形。 2、轴对称图形有对称 ，中心对称图形有对称 。 （五）轴对称与中心对称作图题： 二、例题：请在下图中作出△关于x 轴的对称图形△A1B1C1，再作出△关于原点的对称图形△A2B2C2，问△A1B1C1与△A2B2C2有怎样的位置关系？ y C A B
三、常见中心对称图形的定义、性质及判定： （一）平行四边形 1、平行四边形的定义：叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：①平行四边形的边之间的关系：对边位置关系：对边数量关系： ②平行四边形的角之间的关系：对角，邻角。 ③平行四边形的对角线之间的关系：。④平行四边形的对称性：平行四边形是对称图形，不是对称图形，对称中心是。⑤平行四边形的面积计算方法：（1）底×高（2）一条对角线分平行四边形所得的两三角形的面积之和，分得的两三角形关系是。（3）两条对角线分平行四边形所得的四个三角形的面积之和，分得的这四个三角形的面积关系是。 3、平行四边形的判定： （1）从边之间的关系考虑：①从两组对边之间位置关系考虑： 的四边形是平行四边形。②从两组对边之间数量关系考虑： 的四边形是平行四边形。
平行四边形培优讲义新打印版
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
平行四边形的性质与判定讲义精品
平行四边形的性质与判 定讲义精品 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
C F B E D A 平行四边形 一、知识梳理 1．平行四边形： (1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平 行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． 2．平行四边形的性质： (1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分． (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段， 则ABCD 的周长为 ． 例2．在ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ． （1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7， 则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4..中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________． 变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少 例5.如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角 形共有 （ ） A ．2对 B ．3对 C ．6对 D ．8对 3．两条平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等． 例6、有以下四个说法： ①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长． ②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值． ③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值． ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．平行四边形的面积： (1)如图①， ． O F E D C B A
(精品)数学讲义七年级秋季班-第18讲：中心对称与轴对称-教师版
中心对称与轴对称 内容分析 理解两个图形关于某一点中心对称的意义．能够区分中心对称与中心对称图形．掌握轴对称、轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形区别，会利用有关性质画出已知图形关于某一条直线对称的图形．重点理解相关概念，能够判断出图形特点． 知识结构 模块一：中心对称 知识精讲 1、中心对称的概念 把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2、中心对称图形的特征 中心对称是旋转对称的特例，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，关于对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．
2/ 23 3、中心对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称是两个图形而言的，指两个图形间的关系；而中心对称图形是对一个图形而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形． 【例1】下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的．其中不是中心对称图形的是（）． A B C D 【难度】★ 【答案】B 【解析】根据中心对称图形的概念可知，D C A、 、均是中心对称图形． 【总结】本题考查了中心对称图形的定义． 【例2】在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（） A B C D 【难度】★ 【答案】B 【解析】根据中心对称图形的概念可知，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180后与原图重合，故选B． 【总结】本题考查了中心对称图形的定义． 例题解析
平行四边形全部讲义
平行四边形 1、平行四边形的性质 考点一、平行四边形的概念 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）表示：平行四边形用符号”表示，平行四边形ABCD记作ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”。平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质。 ①由定义知平行四边形两组对边分别平行； ②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。 （4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。 例1、在ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH相交于点P，写出图中的 平行四边形。 A E D G P H B F C 考点二、平行四边形的性质 （1）边的性质：平行四边形的对边平行且相等。 （2）角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。 （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 例2、在ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数。 A B C D
考点三、平行四边形的对角线的性质 （1）平行四边形的对角线互相平分。 例3、在 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为_______。 练习题 一、感受理解 1．已知O 是 ABCD 的对角线交点，AC=10cm ，BD=18cm ，AD=?12cm ，?则△BOC?的周长是_______． 2．已知 ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，△AOB 的面积为2，那么平行四边形ABCD 的面积为_____． 3．已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm ，?则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________． 4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线 6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 A O D C B
平行四边形讲义
平行四边形（讲义） 课前预习 1.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC． （1）求证：AB=CD且AD=BC． （2）连接AC，BD，设AC，BD的交点为O．求证：OA=OC 1.平行四边形的定义：__________________________________． 2.平行四边形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________．3.平行四边形的判定 ???①_____________________________________________； 边 ②_____________________________________________． 角：________________________________________________． 对角线：____________________________________________． 4.夹在平行线之间的________________相等．
精讲精练 1. 已知□ABCD 的周长是100，且AB :BC =4:1，则AB 的长为______________． 2. 如图，在□ABCD 中，∠DAB 的平分线AE 交CD 于点E ，若AB =5，BC =3， 则EC 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．3 3. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ） A ．1:2:3:4 B ．1:2:2:1 C ．1:1:2:2 D ．2:1:2:1 4. 在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若△ABO 的周长为15，AB =6， 则AC +BD =____________． 5. 在周长为20cm 的□ABCD 中，AB 平行四边形 重点： 1、以中心对称为主线，研究平行四边形的性质； 2、能运用平行四边形的性质解决实际问题 3、在探索问题、解决问题的过程中，发展探究意识和有条理的表达问题的能力。 1、已知□ABCD ，分别以BC 、CD 为边向外等边△BCE 和△DCF ，则△AEF 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、不等边三角形 2、已知A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，则图中共有全等三角形（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 4、如图，已知点E 为□ABCD 的BC 边上的任意一点，则S △ADE ：S □ABCD 的值为（ ） A 、 21 B 、31 C 、 4 1 D 、51 5、在□ABCD 中，若∠A=3∠B ，则∠A= ；∠D= 。 若∠A=∠B+∠D ，则∠A= ，∠B= 。 6、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别是E 、F ，∠ABE=60°，BE=2cm ，DF=3cm ，则各内角的度数为 ，各边的长为 。 7、如图，点P 是四边形ABCD 边DC 上的一个动点。当四边形满足 时，△PBA 的面积始终不变 8、如图，在□ABCD 中，两邻边AB 、BC 的长度之比是1：2，M 点是大边AD 的中点，则∠ BMC= 。 （第6题） （第7题） （第8题） P D C B A F E D C B A M D C B A E D C B A 八年级下册章末复习---平行四边形 一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。 三、本章知识结构图 1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。 2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。 3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。 4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。 四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质： （1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。 2、平行四边形的判定： （1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（定义） （2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。 （3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。 （4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。 （5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。 【基础练习】 1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____． 2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __. 3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜4 4.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.AB CD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC 5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24 【典型例题】 例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F D A O A B C D O A B C D 平移、旋转、对称复习与练习 知识点1：平移：指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移可以不是水平的。 特征：经过平移,对应线段,对应角分别相等, 对应点所连的线段平行且相等(或共线且相等)。 关键：平移变换不改变图形的形状、大小和方向 ．．，平移前后的两个图形是全等形。 平移二要素：平移的方向、距离。 例题： 1.在下列现象中，是平移现象的是（） ①方向盘的转动②电梯的上下移动③保持一定姿势滑行④钟摆的运动 A、①② B、②③ C、③④ D、①④ 2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（） A、△OCD B、△OAB C、△OAF D、△OEF 知识点2：旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角。 性质：性质:①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。③旋转前、后的图形全等。 旋转三要素：旋转的中心、方向、角度。（注意：三要素中只要任意改变一个 ．．．．．．，图形就会不一样。） 例题： 1. 将等腰直角△ABC绕直角顶点A按逆时针方向旋转60°后，使点C到点E，点B到点D， 得到△ADE，且AB＝1。则EC的长是。 2. 边长为4㎝的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为 ㎝。 3.如图，已知点O是正三角形ABC三条高的交点，现将△AOB绕点O旋转，使其和△BOC重 合，则至少应旋转（） A、60° B、120° C、240° D、360° 知识点3.轴对称、中心对称、中心对称图形及图案的设计 定义：（1）轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。 （2）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。 （3）中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 ●中心对称 ．．．．．．之间的关系： ．．．．与中心对称图形 区别：（1）中心对称是指两个图形 ．．．．的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形 . 特征：（1）轴对称：连结对应点的线段被对称轴垂直平分；（2）中心对称图形（针对一个图形）的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分；（3）中心对称的两个图形的对称点连 特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 四边形分类专题汇总 专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： 矩形菱形正方形 性 质 边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角四个角都是直角对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对 角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有 一个角是直角; ·是平行四边形且两 条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形 （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC 9.在下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（） A一组对边平行的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形苏教版八上中心对称图形全章节讲义
(完整版)平行四边形复习一对一讲义
平移、旋转与中心对称讲义
特殊的平行四边形专题(题型详细分类)