数学分析§5.1导数的概念
第五章 导数与微分
§1 导数的概念
【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定
义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。
【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。
一、导数的定义
1．引入（背景）
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时
刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。
取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)
()(t t t s t s v --=
，
当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0
0)
()(lim
t t t s t s v t t --=→。
问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0
0)
()(tan x x x f x f k --=
=α，
当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0
0)
()(lim
x x x f x f k x x --=→.
2．导数的定义
以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。
定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0
0()(lim
x x x f x f x x --→）
存在，则称函数f 在点0x
处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或
.0
x x dx
dy =
定义1' 令0x x x -=?，)()(00x f x x f y -?+=?，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝
.)()(lim lim
00000
x
x f x x f x y
dx
dy x x x x ?-?+=??=→?→?=
即函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。
例1 已知函数2
)(x x f =，求).1('
f
解 2)1(lim 11
lim 1
)1()(lim
)1(1211'
=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1
)1(lim )1()1(lim
)1(0200'
=+?=?-?+=?-?+=→?→?→?x x
x x f x f f x x x 。 例2 已知函数?????=≠=0
01sin
)(2
x x x
x x f ，求).0('
f
解 .01
sin lim 0)0()(lim
)0(00
'
==--=→→x
x x f x f f x x 例3 已知函数x x f =)(，求).0('
f
解 ??
?<->==--0
10
10)0()(x x x x x f x f
，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数x x f =)(在点0=x 处不可导。
例4 已知函数3)(x x f =，求).0('
f
解 +∞===--→→→32
03
001
lim lim 0)0()(lim
x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。 二、导数的几何意义
通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)(x f y =在
点())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'
x f 。
注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗（不一定，如3x y =在0点）。
y=f(x)
0'
切线方程（点斜式）：))((00'0x x x f y y -=-；
法线方程（点斜式）：)()
(1
00'
0x x x f y y --
=-。 例5 求曲线3
x y =在点)1,1(P 处切线与法线方程。
解
3)1(lim 11lim 1
)1(lim 213111
=++=--=--=→→→=x x x x x y y dx
dy x x x x ， ∴ 切线方程：)1(31-=-x y ，即：023=--y x ；
法线方程：)1(3
1
1--=-x y ，即：.043=-+y x
三、可导与连续的关系
1．定理 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续。 证明 函数f 在点0x 可导，由导数定义知00)(lim lim lim
lim 0'0
000
=?=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x ，
所以f 在点0x 连续（P69最下式）。 2．若函数f 在点0x 连续，则f 在0x 不一定可导。
如例3中，函数x x f =)(在点00=x 连续，但是不可导。 y
x x f =)(
0 x
例6 证明函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导。
其中)(x D 为狄利克雷函数：?
?
?=为无理数当为有理数
当x x x D 01)(。
证明 当00≠x 时，由归结原则可得函数)()(2
x D x x f =在点0x x =不连续，所以由定理便知它在0x x =处
不可导；
当00=x 时，0)(lim 0
)
0()(lim
)0(00
'
==--=→→x xD x f x f f x x ，说明它在00=x 处可导； 综上便知函数)()(2
x D x x f =仅在点00=x 处可导。
四、单则导数
若只研究函数在某一点0x 右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。 1．定义
定义2 若函数)(x f 在)(0x U +有定义，定义右导数为： x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=++
→?→+)
()(lim )()(lim )(000000'
； 若函数)(x f 在)(0x U -有定义，定义左导数为： .)()(lim )()(lim )(000000'
x
x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--=--
→?→- 右导数和左导数统称为单则导数。
2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系：
定理 函数)(x f 在点0x 可导，且a x f =)(0'
?函数)(x f 在点0x 即左可导又右可导，且 .)()(0'
0'a x f x f ==-+
例7 设函数??
?<≥-=00
cos 1)(x x
x x x f ，讨论函数)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数。 解 由于
??
?
?????-=?-?+0
10cos 1)0()0(x x x x
x f x f ，
所以022sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim )0(2
0200'=????
???
? ?????=??=??-=+++
→?→?→?+x x x x x x x f x x x ， 11lim )0(0
'
==-→?-x f .
由定理可知函数在点0=x 处不可导。
五、导函数
1．可导函数
若函数f 在区间I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f 为I 上的可导函数。 2．导函数
区间I 上的可导函数f ，对每一I x ∈，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在I 上的函数，称之为函数f 在区间I 上的导函数，简称为导数，记作 ,,,),('
'
dx
dy
dx df y x f 即：I x x
x f x x f x f x ∈?-?+=→?,)
()(lim
)(0
'
（求解时只需将x 看作固定常量即可）
。 例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）： （1）常函数C x f =)(，（其中C 为常数）； （2）三角函数x x f x x f cos )(,sin )(==； （3）对数函数)0,1,0(log )(>≠>=x a a x x f a . 解 （1）()000lim )(lim
00
'
=?-=??+=→?→?x x
x x f C x x ，即：()0'
=C ； （2）()x
x x x x
x
x x x x f x x f x x x x ???+
=?-?+=?-?+=→?→?→?2sin )2cos(2lim
sin )sin(lim )()(lim
sin 000'
x x x x x x cos )2
cos(2
2sin
lim
0=?+???=→?， 即：()x x cos sin '
=；类似可求出：()x x sin cos '
-=.
（3）())1(log 1lim log )(log lim )(lim
log 000
'
x
x x x x x x x x x f x a x a a x x a ?+??=?-?+=??+=→?→?→?
e x
x
x
x a x
x
a x log 1
)1(log 1lim 0=
?+
=?→?， 即：().1ln ,log 1log '
x
x e x x a a ==
六、函数极值
1．极值定义
定义3 若函数f 在点0x 的某邻域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈有)()(0x f x f ≥（)()(0x f x f ≤），则称
函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点，称)(0x f 为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。
y
a 1x 2x 0 3x 4x
b x
说明：①极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一； ②极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；
③若f 在点0x 取得最值，当0x 为区间端点时，则此最值不是极值，但当0x 为区间内部的点时，则此最值一定是极值。 2．费马（Fermat ）定理
从图象上可以看到，若点0x 为函数f 的极值点，且点())(,00x f x 处曲线的切线存在（f 在0x 点可导），
那么此切线应平行于x 轴（0)(0'
=x f ）。从而有：
定理 (费马定理) 若点0x 为函数f 的极值点，且f 在0x 点可导，则必有0)(0'
=x f .
证明 这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。
设0x 为函数f 的极大值点，则对一切)(0x U x ∈都有)()(0x f x f ≥，于是， 当0x x >时：
0)()(00≤--x x x f x f ；当0x x <时：.0)
()(0
0≥--x x x f x f
由函数极限的保不等式性有：
0)()(lim )(000'
≤--=+
→+x x x f x f x f x x 且0)
()(lim )(0
00'0≥--=-→-x x x f x f x f x x ，
又知)(0'x f 存在，故由定理便知0)(0'
=x f 。
说明：①稳定点：称满足0)(0'
=x f 的点0x 为函数f 的稳定点（求法：解方程0)(=x f ）；
②稳定点不一定是极值点（如函数3
x y =，点0=x 为稳定点但不是极值点）；
③极值点不一定是稳定点，只有加上可导条件极值点才是稳定点（如函数x x f =)(，点0=x 为极值点但不是稳定点）。
y y
3
x y = x y = 0 x 0 x
3．达布（Darboux ）定理
定理 (达布定理，导函数的介值定理) 若函数f 在[]b a ,上可导，且)()('
'
b f a f -+≠，k 为介于)('
a f +与
)('b f -之间的任一实数，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使得.)('k f =ξ
y
)('
a f + )('
b f -
a 0
b x
证明 不妨设)()('
'
b f a f -+>，则)()('
'
a f k
b f +-<<（此处介于指不等式严格成立）
引入函数[]b a x kx x f x F ,,)()(∈-=
)(x f 在[]b a ,上可导，由定理知)(x f 在[]b a ,上连续，)(x F ∴在[]b a ,上连续，
由闭区间上连续函数的最值定理则：存在一点[]b a ,∈ξ，使得)(ξF 为)(x F 在[]b a ,上的最大值， 欲利用费马定理来证0)('
=ξF ，需证以下两个方面： （ⅰ）ξ为)(x F 在[]b a ,上的极大值，只需证a ≠ξ且b ≠ξ； （ⅱ）)(x F 在点ξ=x 可导； 为此：[][]a
x ka a f kx x f a x a F x F a F a x a
x ----=--=+
+
→→+)()(lim )
()(lim )('
v1.0 可编辑可修改
[][])1(0)(lim lim
lim '
>-=--=-=+→→→+
++
k a f k a
x a x a x a x a x 同理：[][]b
x kb b f kx x f b x b F x F b F b x b x ----=--=-
-→→-)()(lim )()(lim )('
[][])2(0)(lim )()(lim )()()(lim ' <-=---=----=-
→→→---
k b f k b
x b f x f b x b x k b f x f b x b x b x
[][]x kx x f x x k x x f x x F x x F x F x x ?--?+-?+=?-?+=→?→?)()()(lim
)()(lim )(00'
[])3()()()(lim
'0 k x f x
x k x f x x f x -=??--?+=→?
（1）式说明：[]b a a U ,)(??+，对一切)(a U x +∈都有0)
()(>--a
x a F x F ，所以)()(a F x F >，于
是a 不是)(x F 在[]b a ,上的最大值点，即a ≠ξ； （2）式说明：[]b a b U ,)(??-，对一切)(b U x -∈都有
0)
()(<--b
x b F x F ，所以)()(b F x F >，于
是b 不是)(x F 在[]b a ,上的最大值点，即b ≠ξ；
（3）式说明：对一切()b a x ,∈，)('
x F 都存在，则对()b a ,∈ξ，)('
ξF 当然存在，且有
k f F -=)()(''ξξ。
从而，由费马定理便知0)()('
'
=-=k f F ξξ，即有)).,(()('
b a k f ∈=ξξ
高中数学论文： 导数教学反思
高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思 新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。本学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。 问题⑴：若0x 为函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0吗？ 答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数x y =在0=x 处有极小值，而)(0x f '不存在。 正确的命题是：若0x 为可导函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0 问题⑵：若)(0x f '= 0, 则函数f(x)在0x 处一定有极值吗？ 答：不一定。反例：函数3x y =有)0(f '= 0，而f(x) 在0=x 处没有极值。 正确的命题是：若)(0x f '= 0,且函数f(x)在0x 处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在0x 处有极值. 问题⑶：在区间),(b a 上的可导函数f(x)，)(x f '>0是函数f(x)在该区间上为增 函数的充要条件吗？ 答：不一定。反例：函数3x y = 在),(∞+-∞上为增函数，而)0(f '= 0。 正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间),(b a 上，)(x f '>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件. （函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内)(x f '≥0。 另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷：单调区间),(b a 应写成开区间还是写成闭区间？ 答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。 问题⑸：“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”有区别吗？ 例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线33 1)(x x f =上一点P
高等数学-导数的概念-教案
例4求 f (x ) = sin x 的导函数 (),(+∞-∞∈x ). 解：x x f x x f x y x f x x ?????)()(lim lim )(00-+=='→?→ x x x x x ?-?+=→?sin )sin(lim 0x x x x x ????? ?? ?+=→?2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2 2sin 2cos lim 0=???? ? ???+=→?， 即： x.cos (sin x)'= 类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ???) ()(lim 000-+-→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’ (x 0)；同样，如果x x f x x f x ???) ()(lim 000 -++→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’ +(x 0) . 显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 . 六、可导与连续的关系 定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。 D.课堂小结 一、导数的定义 二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系 E.布置作业
导数概念及意义
导数概念及意义 1．已知函数()y f x =的图象在点()() 1,1f 处的切线方程210x y -+=，则()()121f f +'的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 2 2．设函数在x ＝1处存在导数，则＝( ) A. B. 3f ′(1) C. ′(1) D. f ′(3) 3．设函数()2 f x x x =+，则=（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 4．设 是可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 0 5．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6．设函数()f x 可导，则 ） A. ()1f ' B. C. D. ()31f -' 7．函数()x f x xe =在点()() 0,0A f 处的切线斜率为（ ） A. 0 B. D. e 8在点()1,4P 处的切线与直线l 平行且距离为，则直线l 的方程为( ) A. 490x y -+= B. 490x y -+=或4250x y -+= C. 490x y ++=或4250x y +-= D. 以上均不对 9．设()1 f x x =，则()()lim f x f a x a x a -→-等于（ ） A. 1a - B. 2a C. 21a - D. 21a ()() 011lim 3x f x f x ?→+?-?
10．已知()y f x =的图象如图所示，则()'A f x 与()'B f x 的大小关系是( ) A. ()()''A B f x f x > B. ()()''A B f x f x = C. ()()''A B f x f x < D. ()'A f x 与()'B f x 大小不能确定 11．若曲线()y h x =在点()() ,P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么( ) A. ()'0h a = B. ()'0h a < C. ()'0h a > D. ()'h a 不确定 12( ) A. 30? B. 45? C. 135? D. 60? 13．如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =4处的切线，则f ′(4)=( ) A. 1 2 B. 3 C. 4 D. 5 14．已知函数()3 1f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围 成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 2 15．曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 16．设曲线2 y x =在其上一点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________． 17．设函数()y f x =的0x x =处可导，则()0f x '等 于__________．
高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
数学分析
数学分析 有理数 无理数 集合 函数 绝对值 不等式 三角形 区域 邻域确界原理 确界 上确界 下确界 开区间 闭区间 有界集 自变量 因变量 符号函数 定义域 值域复合函数 反函数 初等函数 常量函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数反三角函数有界函数 单调函数 奇函数 偶函数 周期函数 数列极限 收敛数列 发散数列 唯一性 有界性 保号性保不等式性Mathematical analysis Rational number irrational A collection of function The absolute value inequality triangle area neighborhood World indeed principle World indeed supremum infimum Open interval Closed interval Bounded set The independent variables The dependent variable Symbolic function domain domain Composite function Inverse function Elementary function Constant function Power function Exponential function Logarithmic function Trigonometric functions Inverse trigonometric function Bounded function Monotonic function Odd function Even functions Periodic function Sequence limit Convergent sequence Divergent series uniqueness boundedness Protecting, Protecting the inequality 保不等式性 迫敛性 四则运算法则 子列 单调数列 单调有界定理 自然对数 致密性定理 柯西收敛准则 函数极限 单侧极限 局部有界性 海涅定理 无穷小量 有界量 高阶无穷小量 等价无穷小量 无穷大量 渐近线 连续性 可去间断点 跳跃间断点 分段函数 介值性定理 一致连续性 导数和微分 单侧导数 导函数 极大值 极小值 费马定理 稳定点 链式法则 光滑曲线 高阶导数 莱布尼茨公式 微分 可微函数 高阶微分 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 Protecting the inequality Forced convergence property Four algorithms The child columns Monotone sequence Monotony is defined Natural logarithm Compactness theorem Cauchy convergence criteria Function limit Unilateral limit Local boundedness Heine theorem dimensionless A bounded amount High order dimensionless Equivalent infinite small infinity asymptote continuity To go discontinuities Jump discontinuity point Piecewise function Intermediate value theorem Uniform continuity Derivative and differential Unilateral derivative Derived function The maximum minimum Fermat's theorem The stable point The chain rule Smooth curve Higher derivative Leibniz formula differential Differential function High order differential Differential mean value theorem Roller's theorem Lagrange mean value theorem
《定积分的概念》教学反思
《定积分的概念》教学反思 渭南市吝店中学曹茹军 本节课是高二新授课，是选修2-2第四章第一节的内容：《定积分的概念》课程内容安排为一课时。 此内容要求学生在充分认识导数的基础上，通过运用积分手段解决曲边梯形的面积问题，从而借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．理解掌握定积分的几何意义和性质；认识到数学知识的实用价值。 新课标要求我们在教学过程中要着重培养学生的探究、发现、创新等方面的能力。学习的全过程需要学生的参与，学生是学习的主体和中心。围绕这个宗旨，我在课堂内容的编排上作了一定的思考。在内容编排上，我基本遵循由易到难的过程，从最基本的，学生所熟知的前课知识开始引入，由浅入深的引导学生加以足够地探究，使学生的发现变得自然而水到渠成。同时对于学生可能的探究结果留有足够的空间，充分肯定学生的创新发现，对于学生考虑不到的地方加以补充、引导、完善，并留出一定课后思考得余地。在问题设置上，尽量让学生能通过自己的努力探索独立完成，通过独立思考展示与合作探究展示相结合，让其承担起引导思考与解释的重任。 我想，一堂好的示范课，不应该只是一次简单的表演与展示，如果在上课之前反复编排到一词一句，会让学生疲惫，听课老师觉得虚假而没有了讨论与交流的兴致，这其实也是对听课老师的一种不尊重的表现。因此我按照正常的教学进度，以便学生在课堂上有充分的暴露与发现的机会，当然这样一来对于老师的临场应变要求会更高，我想这也应该是一个合格教师的基本素养吧。 当然这节课还有一些不足之处，由于没有在课前提前向学生透漏问题，想要在课堂上反应学生的真实水平，因此学生回答问题时不够全面，导致学生回答的次数较多且有些同学比较拖沓，出现了上课前松后紧的遗憾。我觉得这样的课堂模式导学案的设置是很重要的，在今后的教学中我会不断的完善自己的教学技能，提高自己的业务水平。 最后为了上好这堂课，背后凝聚了我们全组老师集体的智慧与力量，大家在一起共同研究与探讨，出了许多好的主意，在此一并表示感谢。
高中数学导数概念的引入
一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题
数学分析的基本内容和方法
渤海大学数理学院 毕业论文 论文题目：简述数学分析中的基本内容和方法 系别：数学系 专业年级：数学与应用数学专业07级 姓名：王迪 学号：07020176 指导教师：王长忠 日期：2011年5月20日
目录 一、数学分析中的研究对象 (3) 二、数学分析的基本内容 (3) 三、数学分析中的基本概念和相互关系 (3) 1.极限概念 (4) 2.连续和一致连续的概念 (5) 3.收敛和一致收敛概念 (6) 4.导数概念 (6) 5.微分概念 (7) 6.原函数和不定积分 (7) 7.定积分 (8) 8.一元函数中极限、连续、导数、微分之间的关系 (8) 9.多元函数中，极限、连续、偏导数、方向导数和全微分之间的关系 (9) 10.连续与一致连续的关系 (9) 11.收敛和一致收敛的关系 (9) 12.连续、不定积分和定积分的关系 (10) 13.微分和积分的关系 (10) 四、数学分析的主要计算 (11) 1.极限的求法 (12) 2.微分学中的计算 (13) 3.积分学中的计算 (14) 4.无穷级数中的计算 (14) 五、数学分析的主要理论 (15) 1.实数的连续性和极限的存在性 (16) 2.连续函数的基本性质 (17) 3.微分学的基本定理和泰勒公式 (18) 4.积分中的理论 (19) 5.无穷级数和广义积分的敛散性 (20) 6.函数级数和广义参变量积分的一致收敛性 (21) 六、数学分析的基本方法 (21) 七、数学分析教学内容的初步实践与思考 (22)
简述数学分析中的基本内容和方法 王迪 （渤海大学数学系辽宁锦州121000中国） 摘要：数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。应全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 关键词：极限，微分，积分，近似。 Contents and methods of mathematical analysis Wang di (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematical analysis is based on the theory of real numbers. The real number system is the continuity of the most important feature, with the continuity of real numbers to discuss the limit, continuity, differentiation and integration. It is in discussing the function of the various limits of the legitimacy of the process of operation, it gradually established system of rigorous mathematical theory. Mathematical analysis should be fully grasp the basic theory of knowledge; develop logical thinking and rigorous reasoning ability; people with good computing power and skills; improve the mathematical model, and apply the tools of calculus to solve practical problems. Key word: Limits, differentiation, integration, and similar.
东南大学数学分析
东南大学2007年数学分析 一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题6分，共24分） 1、若数列{}n a 收敛于0，则必定存在正数α，使对一切充分大的n ，有1n a n α≤ . 2、若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛，则级数1n n n a b ∞=∑必收敛. 3、函数2 ()f x 在[],a b 上Riemann 可积当且仅当()f x 在[],a b 上Riemann 可积. 4、若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续. 二、计算题（每小题7分，共56分） 5 ~n ax （0x →），求a 和n . 6、求函数122(6)()(4)arctan x x x e f x x x +-= -的所有渐近线. 7 、求积分1 1[ln(()]x f x dx -++?，其中，()f x 满足2()arcsin f x x '=，(0)0f =. 8、求幂级数21 1(1)2n n n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9、数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值. 10、设()z f u =可微，而(,)u u x y =是由方程()()x y u u p t dt ?=+?确定的函数， 其中()p t ，()u ?'连续且()1u ?'≠，求()()z z p y p y x y ??+??. 11、设函数()f t 满 足()1D f t f dxdy =+??，其中由D 为圆环222244a x y t ≤+≤，0a >为常数，求()f t . 12、计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++??，其中S 为曲面22z x y =+（01z ≤≤），其法 向量与z 轴正向的夹角为锐角. 三、证明题（6小题，共70分） 13、（10 分）证明()f x =[)0,+∞上一致连续. 14、（12分）设()f x 在[]0,1上二次可微，且(0)(1)0f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使
高中数学导数知识点归纳
导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=
《导数与函数的单调性》教学反思
《导数与函数的单调性》教学反思 一、本节课的成功之处： 1.注重教学设计 本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。 2. 注重探究方法和数学思想的渗透 教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，从图像上发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探索精神，积累了探究经验。 3. 突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者 教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。并体验发现规律的喜悦感，激发热爱数学的积极情绪。 4. 现代信息技术的合理使用 多媒体的使用，第一，在教学上节省了时间，让学生有更多时间去探究。第二，利用几何画板的优势，使原本不能画出的图像都通过几何画板画出，直观的验证了函数的导数的正负与单调性的关系。帮助学生发现规律。使探究落到实处。 二、本节课存在的不足之处是： （1）课件中有些漏掉的部分。 （2）作业部分未展示。 （3）复习导数概念时，由于学生说不清楚，教师没及时中断，导致引入时间有点长。 三、改进思路： （1）加强学习现代信息技术，提高制作多媒体技术的水平。 （2）在设计教学时，在考虑全面一些，是教学过程更符合学生实际水平。 《导数与函数的单调性》教学反思 一、本节课的成功之处： 1.注重教学设计
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评
“导数的概念(起始课)”的教学设计、反思与点评 1教学预设 1.1教学标准 （1）通过情境的介绍，让学生知道导数的实际背景，体验学习导数的必要性； （2）通过大量的实例的分析，让学生知道平均变化率的意义，体会平均变化率的思想及内涵，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景； （3）通过实例的分析，让学生感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活，感悟数学的价值； （4）通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，进而抽象概括出函数的平均变化率，会求函数的平均变化率. 1.2标准解析 1.21内容解析 本节是导数的起始课，主要包括三方面的内容：变化率、导数的概念、导数的几何意义.实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度.首先，从平均变化率开始，利用平均变
化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上精确描述，即导数；然后，从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义.根据教材的安排，本节内容分4课时完成.第一课时介绍平均变化率问题，在“气球膨胀率”、“高台跳水”两个问题的基础上，归纳出它们的共同特征，用f（x）表示其中的函数关系，定义了一般的平均变化率，并给出符号表示.本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤.平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透. 教学重点在实际背景下直观地解释函数的变化率、平均变化率. 1.22学情诊断 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单.从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的 本质是本节课教学的关键.而对本节课（导数的概念），学生
数学分析报告总结(20200511214957)
总结报告 数统学院2011212佃3张艳 这是数学分析的最后一学期，我们学习了十六章到十九章的内容，十六章讲的是多元函数的极限与连续，在这章学习中 1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函 数极限的讨论。首先我们要知道其中含有的一些基本知识第一节须了解平面点集，领域，点集E的内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集,区域，闭区域,有界集,无界集等概念，多元函数的概念， 二元函数的定义、记法、图象，点列的极限的定义。十六章第一节主要内容需熟悉I中的四个完备性定理：Cauchy收敛准则，闭集套定理，聚点原理，有限复盖定理，二元函数的定义域和求值；第二节必须了解累次极限和重极限，并且知道二者的关系，掌握重极限的常用性质 （局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性）。第三节是体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性），有界闭集上连续函数的整体性质 （有界性和最值性，一致连续性），连通集上连续函数的介值性。 十七章讲的是多元函数微分学，在这章学习中 1.理解多元函数
微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导 连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。第一节中了解可微性与全微分，偏导数，知道可微的条件；连续、偏导数存在及可微之间的关系；掌握多元函数微分中值公式；可微性的几何意义与应用。第二节复合函数微分法，要学会求复合函数的偏导数或导数，运用链式发则。第三节方向导数和梯度，知道其的定义，主要是学会方向导数和梯度。第四节Taylor公式和极值问题，了解高级偏导数的定义并且要学会求，中值定理和泰勒公式的灵活运用，最后就是极值问题，掌握求函数最值的方法。 十八章讲的是隐函数定理及其应用。在这章学习中1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2. 了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。首先了解隐函数和隐函数组的概念，隐 函数定理和隐函数组定理。仔细体会并熟练掌握隐函数求导法和隐函数的微分法。灵活运用隐函数定理和隐函数组定理。仔细体会平面曲 线、空间曲线和空间曲面中的有关几何量的计算公式。运用拉格朗日乘法求条件极值。
导数的概念说课稿
《导数的概念》教学设计 【课题】导数的概念（第十五章第一节） ——滁州三中：王瑞一、教材分析： 导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 二、学情分析： 1、现有知识储备：（1）物体运动的速度；（2）电流强度；（3）函数的极限等。 2、现有能力特征：具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力。 3、现有情感态度：对导数这一新鲜的概念具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感。 三、本节课教学内容： 共三部分。 一是物理学中的两个实例：非匀速直线运动物体的瞬时速度和非恒定电流的电流强度；二是导数的定义；三是根据导数的定义，求已知函数的导数。 用两个引例是为了引出导数的概念，加深对导数概念的理解。 四、教学目标 1、知识与技能目标 （1）通过实例的分析，理解变化率的概念，与已有概念建立联系； （2）通过导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及内涵； （3）通过观察和动手实践培养学生的分析、比较和归纳的能力，并感悟到极限思想. 2、过程与方法目标 （1）通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知求未知、从特殊到一般的数学思想方法； （2）通过问题的探究，培养学生的探究意识和探究方法. 3、情感、态度与价值观目标
（1）通过导数概念的学习，体验“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的方法； （2）通过了解导数产生的实际背景及现实意义，认识学习导数的必要性，从而激发学生学习导数的兴趣. 五、教学重点：导数的概念及计算；. 教学难点：导数概念的形成过程及导数概念的内涵理解。 重难点突破措施： 1、创设情境：“二例”开题，丝丝入扣，层层探究，形成概念。 2、数形结合：通过直观、形象展示，突破重、难点。 3、分层提高：利用分层训练和分层作业达到因材施教的效果。 【依据】高职教育的培养目标，学生未来的发展要求。 六、教学准备：多媒体课件等（略）. 七、教学方法：引导探究法：设疑——点拨——引导——探究。 八、设计理念： 以学生为本，以问题为主线，遵循从特殊到一般，从具体到抽象的原则，让学生亲历知识的形成过程了，经历了“质疑—探究—建模—形成概念”的过程学习，使得教学思路一脉相承、水到渠成。 九、教学构想： 提高学习动 t→0时，平均变化 并由此 熟悉求导的 在应用中巩固提高并
(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结
§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
导数部分教学反思
第 1 页 共 1 页 《导数及其应用》教学反思 高考对“导数及其应用”这部分的要求是：了解其背景，掌握其定义和几何意义，熟记求导公式和求导法则，利用导数知识解决函数中的有关问题：如有关曲线的切线问题，高次函数的单调性问题，极值或最值问题，恒成立或存在性问题等等。在高考中相应的试题频频出现，因此我们要十分重视本章的教学，在“导数及其应用”的教学中，我体会到应注意以下几个问题： 一、函数()y f x =在0x 处的导数()'0000()()lim x f x x f x f x x ?→+?-=?中，x ?可正可负，但不能为零。学生不好理解，第一次学习，老师应结合图像或动画给出解释，帮助学生透彻理解。 二、函数()y f x =在0x 处的导数()'0f x 与其在开区间(),a b 内的导函数（简称导数） () 'f x 不同， () 'f x 是一个与 () f x 有关的新函数，可用极限或求导公式求得，而 () '0f x 是一个与0 x 对应的唯一确定的值，而且，当() 'f x 中的x =0x 时，则 () 'f x = () 0'f x ，所 以要求 () '0f x ，可先求 () 'f x 再代人0x 即可。 在变速运动中，若位移函数() s s t =，则瞬时速度 ()'() v t s t = 关于求曲线()y f x =过某点的切线问题，我认为教材的处理不是很好，两个例题都是求曲线过某点 00(,) p x y 的切线，第一个是点 00(,) p x y 在曲线上，直接求此点的斜率 '0() k f x =，再由点斜式得切线方程，这种情况下只有一条切线。第二个是点00(,) p x y 不 在曲线上. 三、在利用导数求函数的单调区间，极值，最值时，一定先考虑函数的定义域。 虽然本章的重点是导数的应用：求函数的切线方程，单调区间、极值、最值。难点是导数概念的产生。教学中我打算使学生体会导数的演变过程，感受导数的思想和内涵，所以我在第一节课没有赶进度，而是慢慢地让学生理解函数的平均变化率，平均速度，为下一节的瞬时速度和函数的瞬时变化率即导数打下基础。我想只要学生理解了思想，掌握了方法，再加快训练的步伐应该不成问题。而且后面的重点并不难。
高中数学选修2-2导数的概念
导数的概念 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3.x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。 6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0 0000/)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→?。