考研数学强化线性代数讲义(至讲)
第一讲基本概念
一. 关于矩阵和向量的几个问题。
1．行向量和列向量
3
问题:(3,-2,1)和-2 是不是一样?
1
2. 下列矩阵都是什么矩阵?
① 1 0 0 ②c 0 0 ③ 2 -1 1 ④0 0 1 ⑤0 0 0
0 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 0
0 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0
⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 1
2 2 0 0 1 2 7
2 0 0 0 0 2 0
对角矩阵: ①②⑤ .
上三角矩阵: ①②③⑤ .
下三角矩阵: ①②⑤ .
对称矩阵: ①②⑤④⑥ .
3. 3 -1 4
例:求矩阵A= 50 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合.
0 8 -6
3 -1
4 6 1 12 17
解:2 5- 0 +3 7 10 - 0 + 21= 31 .
0 8 -6 0 8 -18 -26
二．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:
a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,
a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,
…………
a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=
b m,
对线性方程组讨论的主要问题两个:
(1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解.
(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.
齐次线性方程组:b1=b2=…=b m=0的线性方程组.
n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解.
因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
称矩阵
a11 a12…a1n a11 a12…a1n b1
A= a21 a22…a2n 和(A|)= a21 a22…a2n b2
…………………
a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mn
b m
为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中.
三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
1.初等变换
矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.
初等行变换:
①交换两行的位置.
②用一个非0的常数乘某一行的各元素.
③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换)
2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
①如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上.
②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.
1 -3
2 6 5 1
0 0 2 4 -6 3
0 0 0 -3 9 4
0 0 0 0 0
0 -3 2 6 5 2
0 0 2 4 -6 3
0 0 0 -3 9 4
0 0 0 0 0
1 -3
2 6 5 1
0 0 0 4 -6 4
0 0 0 -3 9 4
0 0 0 0 0
问题1.设A是n阶矩阵, 下列命题中哪个正确?
(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵.
(2) 如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵.
(3) 如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量.
(4) 如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0.
问题2.设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确?
(1) A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵.
(2) A去掉任意一列仍然是阶梯形矩阵.
(3) A去掉右边的若干列仍然是阶梯形矩阵.
3.简单阶梯形矩阵
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.
简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:
③台角位置的元素为1.
④并且其正上方的元素都为0.
4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.
每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.
用初等行变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.
(1) 2 -1 0 1 1 (2) 1 1 1 1
1 1 1 0
2 0 1 -1 2
2 5 4 -2 9 2
3 1 6
3 3 3 -1 8 , 3 a 1 7 .
解：
1 1 1 0
2 1 1 1 0 2 1 1 1 0 2
(1) → 2 -1 0 1 1 →0 -3 -2 1 -3 →0 -3 -2 1 -3 →
2 5 4 -2 9 0 6 4 -
3 8 0 0 0 -1 2
3 3 3 -1 8 0 0 0 -1 2 0 0 0 -1 2
1 1 1 0
2 1 1 1 0 2 1 0 1/
3 0 5/3
0 -3 -2 1 -3 0 -3 -2 0 -3 0 1 2/3 0 1/3
0 0 0 -1 2 →0 0 0 -1 2 →0 0 0 1 -2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(2) 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 1 -1 2
2 3 1 6 →0 1 -1 4 →0 0 0 2
3 a 1 7 0 a-3 -2
4 0 0 a-
5 10-2a
1 1 1 1 1 1 1 1
若a≠5 0 1 -1 2 0 1 -1 2
→0 0 a-5 10-2a →0 0 1 -2
0 0 0 2 0 0 0 2
1 1 1 1 1 0
2 0
若a=5 0 1 -1 2 0 1 -1 0
→0 0 0 2 →0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
请注意:
①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.
②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.
③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.
四. 线性方程组的矩阵消元法
消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.
线性方程组的同解变换有三种:
①交换两个方程的上下位置.
②用一个非0的常数乘某个方程.
③把某个方程的倍数加到另一个方程上.
反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.
矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.
例:
1 5 1 1 1
0 3 -2 -1 -2
(A|β)→ 0 0 3 1 4
0 0 0 -2 4
0 0 0 0 0
x1+5x2+x3+x4=1,
3x2-2x3-x4=-2,
3x3+x4=4,
-2x4=4,
1 5 1 1 1
(A|β)→0 0 3 1 4
0 0 0 -2 4
0 0 0 0 0
x1+5x2+x3+x4=1,
3x3+x4=4,
-2x4=4,
1 5 1 1 1
0 3 -2 -1 -2
(A|β)→0 0 3 1 4
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
x1+5x2+x3+x4=1,
3x2-2x3+x4=-2,
3x3+x4=4,
0=4,
矩阵消元法步骤如下:
(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B |γ).
(2)用(B |γ)判别解的情况:
如果最下面的非零行为(0,0, ?,0 | d),则无解,否则有解.
有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r (3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B |γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0 |γ0 ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E |η),则η就是解. b11* * …* 1 0 0 …0 c1x1=c1 (B0|γ0)= 0 b22* …* γ0 →0 1 0 …0 c2x2=c2 ………………………, 0 0 0 …b nn 0 0 0 …1 c n x n=c n (c1, c2, …,c n)T就是解. (A|β)→ (B |γ) ↓ (B0 |γ0 ) →(E |η),η就是解. 1 5 1 1 1 1 5 1 0 3 1 0 0 0 1 0 3 -2 -1 -2 0 3 -2 0 -4 0 3 0 0 0 (B0 |γ0 )→0 0 3 1 4 →0 0 3 0 6 →0 0 1 0 2 0 0 -2 4 0 0 0 1 -2 0 0 0 1 -2 解为(1,0,2,-2)T. 对齐次线性方程组: (1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B. (2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r 推论:当齐次方程组方程的个数m 问题η1=(1,1,1)T,η2=(1,2,4)T,η3=(1,3,9)T,α=(1,1,3)T,将α写为η1，η2，η3的线性组合. 解：假设x1η1+x2η2+x3η3=α, x1+x2+x3=1, x1+2x2+3x3=1, x1+4x2+9x3=3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (A|β) = 1 2 3 1 →0 1 2 0 →0 1 2 0 1 4 9 3 0 3 8 2 0 0 2 2 1 0 0 2 →0 1 0 -2 . 0 0 1 1 2η1-2η2+η3=α. 第二讲 行列式 a 11 a 12 … a 1n a 21 a 22 … a 2n … … … (简记为|a ij |) a n1 a n2 … a nn 每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |. 意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 一. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 一般地,一个n 阶行列式 |a ij |= .)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ ① 是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.) ② 每一项n nj j j a a a 2121,都是n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列. 即列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项. ∑ n j j j 21表示对所有n 元排列求和. ③ 规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数. 称1,2…n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象, 就说它们构成一个逆序. 全排列j1j2…jn 的逆序数就是其中出现的逆序的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求8元排列62874513的逆序数: 022451531547826,(62874513)=5+1+5+4+2+2+0+0=19. 对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积. 求下三角行列式 a 11 0 0 … 0 0 a 21 a 22 0 … 0 0 … … … … a n-11 a n-12 … a n-1n-1 0 a n1 a n2 … a nn-1 a nn =) 12() 1(n τ-a 11a 11…a nn =a 11a 11…a nn 例1 求 x-3 a -1 4 f(x)= 5 x-8 0 2 的x 4和x 3的系数. 0 b x+1 1 2 2 1 x 解：多项式f(x)的最高次项是4次项. 由于从完全展开式看出,24项中除了对角线乘积这一项,其余项的次数不超过2.于是, x 4, x 3的系数可从(x-3) (x-8) (x+1)x 这一项中求得： (x-3) (x-8) (x+1)x= x 4+(-3-8+1) x 3+… =x 4-10 x 3+… 所以,系数分别为1和-10. 例2 设3阶矩阵 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 , 设|x E -A |的3个根为x 1,x 2.x 3.证明x 1+x 2+x 3= a 11+a 22+a 33 . a 31 a 32 a 33 证: x-a11 -a12 -a13 |x E-A|= -a21x-a22 -a23 =(x- x1) (x- x2) (x- x3) -a31-a32x-a33 看两边x2项的系数： 右边=-(x1+x2+x3), 左边看(x- a11) (x- a22) (x- a33)这一项,系数为-( a11+ a22+ a33), 右边=左边, 得结论. 二. 化零降阶法 1.余子式和代数余子式 元素a ij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作M ij. a ij的代数余子式为A ij=(-1)i+j M ij. 2.定理 (对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. n=4, |a ij|=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24 例3 1 a10 0 0 1 a2 0 求0 0 1 a3…0 的值等于0的条件 . …………a n-1 a n 0 0 …0 1 解:对第一列展开,得 值= A11+a n A n1=1+(-1)n+1M n1. a10 0 M n1= 1 a2……0 = a1 a2…a n-1, ………… 0 0 …1 a n-1 代入得到值=1+(-1)n+1 a1 a2…a n, 则，当a1 a2…a n=(-1)n时，值为0. 3.命题第三类初等变换不改变行列式的值. 4. 化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式. 例4 求行列式 3 0 4 0 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 的第四行各元素的余子式的和.(01) 解：所求为M41+ M42+ M43+ M44=-A41+A42-A43+A44 3 0 4 0 3 4 0 3 4 0 = 2 2 2 2 = -7 A32=7 2 2 2 =7 0 0 4 0 -7 0 0 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 3 4 =-28 -1 -1 =-28 例5 4阶行列式 2 4 5 -2 -3 7 8 4 的第3列元素的代数余子式记作A13，A23，A33，A43， 5 –9 -5 7 2 –5 2 2 求①-A13-A23+2A33+A43. ②2A13-3A23+5A33+2A43. 解：① 2 4 -1 -2 -A13-A23+2A33+A43 = -3 7 -1 4 5 –9 2 7 2 –5 1 2 2 4 -1 -2 -5 3 6 = -5 3 0 6 = (-1) A13= - 9 -1 3 9 -1 0 3 4 -1 0 4 -1 0 0 7 3 6 7 6 = - 5 -1 3 = - 5 3 = 9. 0 -1 0 ② 2 4 2 -2 2A13-3A23+5A33+2A43= -3 7 -3 4 = 0 5 9 5 7 2 5 2 2 5. 性质 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0. 例6 a b c d 已知行列式x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3 解：理由上述性质，A11,A12,A13,A14与第2，3，4各行元素乘积之和等于0，得方程组： -9x-3+y+3z+3=0 -9x+y+3z=0 -9-3z-x-3+3y=0 -x+3y-3z=12 -9y+18+3x+3z+9=0 3x-9y+3z=-27 -9 1 3 0 -1 3 -3 12 3 -9 3 -27 -1 3 -3 12 0 0 -6 6 0 -26 12 -9 -1 -3 0 -9 0 -26 0 -78 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 1 -1 解得x=0,y=3,z=-1. 三.其它性质 3．把行列式转置值不变,即|A T|=|A| . 4．作第一类初等变换, 行列式的值变号. 5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c. 问题：|c A|=? c|A|;|c||A|; c n|A|;|c|n|A|; 6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ所得到的行列式.例如|α，β1+β2，γ|=|α，β1，γ|+|α，β2，γ|. 问题：|A+B |=|A|+|B |? 解：设A，B都是4阶矩阵， A=(α1，α2，α3，α4)，B =(β1，β2，β3，β4)， 则A+B =(α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4) |A+B|=|α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4| =|α1，α2+β2，α3+β3，α4+β4| +|β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4| =…=… |A+B|可分解为16个行列式之和，它们的各列都有两个可能：αi 或βi . 例7 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 , γ3),B =(β,γ1, γ2 , γ3),|A| =2, |B |=3 ,求|A+B | . 解：A+B=(α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3), |A+B |=|α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3|=8|α+β, γ1, γ2 , γ3| =8|α, γ1, γ2 , γ3|+8|β, γ1,γ2 ,γ3|=40. 7．如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. 拉普拉斯公式的一个特殊情形： 如果A与B都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A||B|. O B* B 范德蒙行列式： 形如 1 1 1 (1) a1a2 a3 …a n a 12 a 22 a 32 … a n 2 … … … … a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i 的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j j i a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同. 四.克莱姆法则 克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A 为n 阶矩阵)时. |A |≠0?方程组有唯一解. 此解为 (D 1/|A |, D 2/|A |,?,D n /|A |)T , D i 是把|A |的第i 个列向量换成常数列向量β所得到的行列式. 1. |A |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件. (A |β)→(B |γ ) 问题:|A |=|B |？ |A |≠0?|B |≠0. 于是只用说明|B |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件. b 11 * * … * (B |γ )= 0 b 22 * … * γ … … … … 0 0 0 …b nn 2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使A 变为单位矩阵: (A |β)→(E |η ), η就是解. 用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0. 例 7 设有方程组 x 1+x 2+x 3=a+b+c, ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2, bcx 1+acx 2+abx 3=3abc. (1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 1 1 1 a+b+c 1 1 1 a+b+c (A|β)= a b c a2+b2+c20 b-a c-a b(b-a)+c(c-a) bc ac ab 3abc 0 c(a-b) b(a-c) 2abc-b2c-b2c 1 1 1 a+b+c 1 1 0 a+b →0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a) →0 b-a 0 b(b-a) 0 0 (c-a)(c-b) c(c-a)(c-b) 0 0 1 c 1 0 0 a →0 1 0 b 0 0 1 c 例8O A =( ).其中A是k阶矩阵, B是h阶矩阵。 B* (A)|A||B|. (B)-|A||B|. (C)(-1)kh|A||B|. (D) (-1)k+h|A||B|. 例9 求 ① 2 a a a a ②1+x 1 1 1 ③1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2 a a 2 a a 1 1 1+x 1 3 3 3+a 3 a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a a a a a 2 ④对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式. 解：① 4a+2 a a a a 4a+2 2 a a a D = 4a+2 a 2 a a 4a+2 a a 2 a 4a+2 a a a 2 4a+2 a a a a 0 2-a a a a = 0 0 2-a a a = (4a+2)( 2-a)4 0 0 0 2-a a 0 0 0 0 2-a 当a=2或 1 2 时，D=0. 例10 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 . 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 解： 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 = 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 15 2 3 4 5 15 3 4 5 1 15 4 5 1 2 = 15 5 1 2 3 15 1 2 3 4 15 2 3 4 5 0 1 1 1 -4 0 1 1 -4 1 = 0 1 -4 1 1 0 -4 1 1 1 1 1 1 -4 15 1 1 -4 1 = 1 -4 1 1 -4 1 1 1 -1 1 1 -4 15 -1 1 -4 1 = -1 -4 1 1 -1 1 1 1 -1 0 0 -5 15 -1 0 -5 0 =15x53 x（-1）τ（4321）=15x53=1875. -1 -5 0 0 -1 0 0 0 例11 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 . 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a 解：方法一：对第一列展开得 a 0 0 0 -1 1-a a 0 D5=(1-a)D4+ 0 -1 1-a a = (1-a)D4+aD3 0 0 -1 1-a D4=(1-a)D3+aD2 , D3=(1-a)D2+aD1 , D2= 1-a a =1-a+a2 D1=1-a, -1 1-a D3=(1-a) (1-a+a2)+a(1-a)= (1-a) (1 +a2)= 1-a+a2- a3 D4=(1-a) (1-a+a2- a3) +a(1-a+a2)= 1-a+a2- a3+a4 D5=(1-a) (1-a+a2- a3+a4) +a(1-a+a2- a3)= 1-a+a2- a3+a4- a5 方法二：把第一行拆成（1 a 0 0 0）+（-a 0 0 0 0） 1 a 0 0 0 -1 1-a a 0 0 则D5= 0 -1 1-a a 0 + 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a -a 0 0 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 =1-aD 4 0 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a D 4=1-aD 3 , D 3=1-aD 2 , D 2=1-a+a 2 D 3=1-a+a 2-a 3 , D 4= 1-a+a 2- a 3+a 4 D 5=1-a+a 2- a 3+a 4- a 5 方法三： 1 a 0 0 0 0 1-a a 0 0 则D 5= 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-a a -a 0 0 0 0 = A 11+(-a) A 51= D 4+(-a) (-1)6 M 51= D 4- a 5 D 4=D 3+a 4, D 3= D 2-a 3, D 2=1-a+a 2 D 5=1-a+a 2- a 3+a 4- a 5 例11求 1+x 1 1 1 1 1 1+ x 2 1 1 . 1 1 1+x 3 1 1 1 1 1+x 4 解： 方法一：如果x 1x 2x 3x 4≠0，则 1+x 1 1 1 1 1 1+ x 2 1 1 = 1 1 1+x 3 1 1 1 1 1+x 4 11x +1 11x 11x 1 1x x 1x 2x 3x 4 21x 21x + 1 21x 21 x = 31x 31x 31x +1 31x 41x 41x 41x 4 1 x +1 4 11 i i x =∑+1 4 11 i i x =∑+1 4 11 i i x =∑+1 4 11 i i x =∑+1 x 1x 2x 3x 4 21x 21x + 1 21x 21 x = 31x 31x 31x +1 31x 41x 41x 41x 4 1 x +1 1 1 1 1 x 1x 2x 3x 4（ 11x +21x +31x +4 1 x +1） 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1 x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3+x 1x 2x 3x 4 如果有一个x i =0,例如x 2=0,则各列减第2列，得 x 1 1 0 0 0 1 0 0 = x 1x 3x 4 0 1 x 3 0 0 1 0 x 4 方法二：对各行作分解: （1+x 1 1 1 1）=（1 1 1 1）+（x 1 0 0 0） （1 1+x 2 1 1）=（1 1 1 1）+（0 x 2 0 0） ? 于是，原行列式可分为16个行列式之和，这16个行列式的各行或为 （1 1 1 1）或为另一向量.如果有两行为（1 1 1 1），则值为0，因此，要计算的只有5个： 各行都不为（1 1 1 1）的一个 x10 0 0 0 x2 0 0 = x1x2x3x4 0 0 x30 0 0 0 x4 各行中只有一行为（1 1 1 1）的共4个， 1 1 1 1 0 x2 0 0 0 0 x30 0 0 0 x4 ， x10 0 0 1 1 1 1 0 0 x30 0 0 0 x4 ， x10 0 0 0 x2 0 0 1 1 1 1 0 0 0 x4 ， x10 0 0 0 x2 0 0 0 0 x30 1 1 1 1， 计算出它们的值依次为x2x3x4，x1x3x4，x1x2x4，x1x2x3 . 例13 证明 a+b b 0 ?0 a a+b b ?0 D n = ????= 11 n n n n i i i a b a b a b ++ - = - = - ∑(当a≠b时). 0 0 ?a+b b 0 0 ? a a+b 证:一般做法：对第一行展开，得 D n=(a+b)A11+ bA12=(a+b)M11-bM12 M11=D n-1, a b 0 ?0 0 a+b b ?0 M12 = ????= aD n-2 0 0 ?a+b b 0 0 ? a a+b 得递推公式 D n=(a+b)D n-1-abD n-2 再D1= a+b , a+b b D2= a a+b =a2+ab+b2,都适合公式, 用数学归纳法证明结果. 一个较简单的递推公式: 把第一行分为(a 0 0 ?0)+ (b b 0 ?0) 则 a 0 0 ?0 a a+ b b ?0 D n = 0 a a+b ?0 + ??? 0 0 ? a a+b b b 0 ?0 a a+ b b ?0 收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ?行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D ）（，t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。 3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。 1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按 行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲：尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β 考研线性代数核心知识点和易错点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ２018考研线性代数核心知识点和易错 点总结 通过7－9月这三个月时间的复习，大家应该做到把所学的知识系统化综合化,尤其是考研数学中的线性代数。在考研数学中线性代数只占分值的２２%，所占比例虽然不高,但是对每位考研学子来说同样重要。线性代数部分的内容相对容易,从历年真题分析可知考试的时候出题的套路也比较固定。但是线性代数的知识点比较琐碎,记忆量大而且容易混淆的地方较多;另外这门学科的知识点之间的联系性也比较强，这种联系不仅指各个章节之间的相互联系,更重要的是不同章节中的各种性质、定理、判定法则之间也有着相互推导和前后印证的关系。因此，在复习线性代数的时候，要求考生做到“融会贯通”,即不仅要找到不同知识点之间的内在联系，还要掌握不同知识点之间的顺承关系。为了使广大考生在暑期强化阶段更好地复习线性代数这门学科,下面为大家总结了本门课程的核心考点和易错考点，希望对大家的复习能有所帮助! 一、核心考点 1、行列式 本章的核心考点是行列式的计算,包括数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算,其中数值型行列式的计算又分为低阶行列式和高阶行列式两种类型。对于低阶的数值型行列式来说，主要的处理方法是:找1,化０,展开，即首先找行列式中最简单的元素,利用行列式的性质将最简单元素所在的行或者列的其他元素均化为0,然后再利用行列式的展开定理对目标行列式进行降阶，最后利用已知公式求得目标行列式的值。对于高阶的数值型行列式来说，它的处理方法有两种：一是三角化;二是展开。所谓的三角化就是利用行列式的性质将目标行列式化成上三角行列式或者下三角行列式，三角化的主要思想就是化零,即利用行列式中各元素之间的关系通过行列式的性质化出较多的零，它是解决“爪型”行列式和“对角线型”行列式的主要方法。而所谓的展开就是利用行列式的展开定理对目标行列式进行降阶,一般解决的是递推形式的行列式,而它的关键点则是找出与的结构。对于数值型行列式来说,考试直接考查的题目相对较少,它总是伴随着线性方程组或者特征值与特征向量等的相关知识出题的。对行列式的考查多以抽象型行列式的形式出现,这一部分的考题综合性很强,与后续章节的联系比较紧密,除了要用到行列式常见的性质以外，更需要结合矩阵的运算,综合特征值特征向量等相关考点,对考生能力要求较高，需要考生有扎实的基础，对线性代数整个学科进行过细致而全面的复习。抽象行列式的计算常见的方法有三种：一是利用行列式的性质;二是使用矩阵运算;三是结合特征值与特征向量。 ２、矩阵 矩阵是线性代数的核心内容，它是后续章节知识的基础，矩阵的概念、运算及其相关理论贯穿着整个线性代数这门学科。这部分的考点较多,重点是矩阵的运算,尤其是逆矩阵、矩阵的初等变换和矩阵的秩是重中之重的核心考点。考试题目中经常涉及到伴随矩阵的定义、性质、行列式、可逆阵的逆矩阵、矩阵的秩及包含伴随矩阵的矩阵方程等。另外，这几年还经常出现与初等变换与初等矩阵相关的命题。本章常见题型有:计算方阵的幂、与伴随矩阵相关的命题、与初等变换相关的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程等。 3、向量 本章的核心考点是向量组的线性相关性的判断,它也是线性代数的重点,同时也是考研的重点。2014年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，在做此处题目的时候要学会与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相关知识联 考研数学高等数学强化习题-不定积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=? （7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）()() 2 2 1 21---? dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++? x dx x x （2）3 sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）21 1cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）2222 1 sin cos +?dx a x b x （7）() ()2 1 0sin cos ≠+? dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +? 四．根式的处理 2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也 相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，必须注重计算能力。线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的，下面就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对大家学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容， 不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、 逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等 问题中都会涉及到行列式。如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试 题中得以体现。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶 法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进 行恒等变形，化简之后再展开。另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对 角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握。常见题型有：数字型行列式的计算、抽 象行列式的计算、含参数的行列式的计算。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的 始终。这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。涉及伴随矩阵的定义、 性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。这几 年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容。本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。 由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念; 了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。 2020考研数学备考复习计划 一、学习阶梯划分： 一阶基础全面复习(3月～6月) 二阶强化熟悉题型(7月～10月) 三阶模考查缺补漏(月～月日) 四阶点睛保持状态(月日～考试前) 二、参考书目： 必备参考资料： 数学考试大纲 《高等数学》同济版：讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。 《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的学生。《线性代数》清华版：适合基础比较的学生 《概率论与数理统计初步》浙大版：基本的题型课后习题都有覆盖。 历年真题 三、复习规划 1、一阶基础，全面复习(3月～6月) 学习目标：根据去年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统复习，打好基础，特别是对大纲中要求的三基——基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握。完成从大学学习到考研备战的基础准备。 复习建议：这一阶段主要的焦点要集中精力把教材好好地梳理，要至始至终不留死角和空白，按大纲要求结合教材对应章节全 面复习，另外按章节顺序完成教材及相应的配套练习题，通过练习检验你是否真正地把教材的内容掌握了。由于教材的编写是环环相扣，易难递进的，所以建议每天学习新内容前要复习前面的内容，按照规律来复习，经过必要的重复会起到事半功倍的效果。也就是重视基础，长期积累;基础阶段重视纵向学习，夯实知识点。 2、二阶强化熟悉题型(7月～10月) 本阶段是考研复习的重点，对成败起决定性作用。大体可以分两轮学习。 第一轮暑期强化：7 ～ 8月 学习目标：熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧 复习建议：参加考研强化班学习，根据老师辅导讲义认真研读，做到举一反三。这一时期大课老师所教学的例题都是经过严格筛选、归纳，可以说会更准确、更有针对性。在学习过程中对重点、难点一定做笔记，便于下一轮复习。 第二轮秋季强化：9～10月 学习目标：通过真题讲解和训练，进一步提高解题能力和技巧，达到实际考试的要求 复习建议：根据老师课堂所讲真题课后进行专项复习，对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习，达到全面掌握，不留空白和软肋，让训练达到或稍微超过真题难度。 3、三阶模考查缺补漏(月～月日) 2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华 2011导航领航考研冲刺班数学讲义 线性代数 邓泽华编 第二篇线性代数 一、填空题分析 填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。 1.（06-1-2-3）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，2】 2.（06-4）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵方程，?Skip Record If...?】 3.（04-1-2）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 4.（03-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?均为三阶矩阵，已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...? .【矩阵方程，?Skip Record If...?】 5.（04-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为 三阶可逆矩阵，则 ?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 6.（06-4）已知?Skip Record If...?为二维列向量，矩阵?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 7.（03-2）设?Skip Record If...?为三维列向量，若?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...? . 【向量乘积，?Skip Record If...?】 8.（05-1-2-4）设?Skip Record If...?均为三维列向量，记矩阵 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 9.（03-3-4）设?Skip Record If...?维向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?的逆矩阵为 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 绝对强的考研数学强化资料(提高总分) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ? 本人花万元报名参加北京一内部考研辅导班,该辅导班考前会发布押题,押题命中率百分之90左右，去年该培训班考生全部高分过线。如果需要发布的押题可以联系我QQ6７3351717免费索取 来者不拒 一一发布 希望大家都能顺利高分通过研考 高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限 一、数列极限大小的判断 例1:判断命题是否正确. 若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在,lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞ →∞ ==<则 解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤,不能保证A B <．例如:11 ,1 n n x y n n == +,,n n x y n ，那么函数()f x 在X 上无界． 无穷大：设函数 ()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义） ．如果对于任意给 文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。 定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元 素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。 三、线性方程组与向量常考的题型有：1.向量组的线性表出，2.向量组的线性相关性，3.向量组的秩与极大线性无关组，4.向量空间的基与过渡矩阵，5.线性方程组解的判定，6.齐次线性方程组的基础解系，7.线性方程组的求解，8.同解与公共解。 四、特征值与特征向量常考的题型有：1.特征值与特征向量的定义与性质，2.矩阵的相似对角化，3.实对称矩阵的相关问题，4.综合应用。 五、二次型常考的题型有：1.二次型及其矩阵，2.化二次型为标准型，3.二次型的惯性系数与合同规范型，4.正定二次型。 2019考研数学线性代数知识点总结 【行列式】 1、行列式本质——就是一个数 2、行列式概念、逆序数 考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。 3、二阶、三阶行列式具体性计算 考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。 4、余子式和代数余子式 考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。 5、行列式展开定理 考研：核心知识点，必考! 6、行列式性质 考研：核心知识点，必考!小题为主。 7、行列式计算的几个题型 ①、划三角(正三角、倒三角) ②、各项均加到第一列(行) ③、逐项相加 ④、分块矩阵 ⑤、找公因 这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。 考研：经常运用在找特征值中。 ⑥数学归纳法 ⑦范德蒙行列式 ⑧代数余子式求和 ⑨构造新的代数余子式 8、抽象型行列式(矩阵行列式) ①转置 ②K倍 ③可逆 ③伴随 ④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型 (这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容) 考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。 【矩阵】 1、矩阵性质 考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。 2、数字型n阶矩阵运算 考研数学强化阶段的复习技巧 考研数学强化阶段的复习技巧 数学复习大概分六个阶段。 第二阶段：在第一轮数学复习过后(复习全书看过一遍后)，此时你已经掌握了许多解题的方法，但这时，你喜欢的仍是高数题目， 害怕线代和概率，因为你看是看懂了，却没有思路自己做，或许多 的定理知道，但做题时想不起来，最坏的情况是看到线代和概率头 范涨，很想不看了去打游戏。这时后，你就不可以在做题目了，因 为线代概率是很有规律的，可以说是比较死的几类题型。你当前的 任务是把线代和概率的课本上的定理熟记，然后还要知道原理的推导。把线代和概率的书看透了(书上的例题和定理和定理的证明)， 那么你第二阶段也快过去了，恭喜你，你数学复习到了第三阶段。 第四阶段：随着复习的继续，你对线代和概率的手感越来越好(就是多练习)，最后已经感觉到线代和概率的题目很死了，没有什 么技术含量，看到题目马上就有了大概的解题思路，而高数有证明题，不等式的证明，应用题却有时不好把握，现在对概率和线代十 分的喜欢，对高数却有点害怕，害怕有你不会的题型，这个阶段是 在第二轮复习结束的情况下会有的，此时你对考研数学有底了，不 是十分的害怕，此时你要去考试能考110——130之间，此时你也要 努力进入第五阶段。 天道酬勤，虽然很多辅导老师都会指出拒绝题海战术，对于数学，我们不得不承认，只用通过大量做题、反复总结才能找对做题的 “感觉”。希望同学们在强化阶段戒骄戒躁，不要急于求成，只要 坚持不懈，会有成功的那天! 大家需要把握知识点，需要从一定的深度去把握和理解知识点，同时又能够从不同角度去理解知识点，去掌握知识点之间的联系， 熟悉常见的变通形式，能够透过现象抓住本质。认识是不断丰富和 跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。 一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法 在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路 线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371 考研数学强化阶段的复习方法 考研数学强化阶段的复习方法 数学复习大概分六个阶段。 第二阶段：在第一轮数学复习过后(复习全书看过一遍后)，此时你已经掌握了许多解题的方法，但这时，你喜欢的仍是高数题目， 害怕线代和概率，因为你看是看懂了，却没有思路自己做，或许多 的定理知道，但做题时想不起来，最坏的情况是看到线代和概率头 范涨，很想不看了去打游戏。这时后，你就不可以在做题目了，因 为线代概率是很有规律的，可以说是比较死的几类题型。你当前的 任务是把线代和概率的课本上的定理熟记，然后还要知道原理的推导。把线代和概率的书看透了(书上的例题和定理和定理的证明)， 那么你第二阶段也快过去了，恭喜你，你数学复习到了第三阶段。 第四阶段：随着复习的继续，你对线代和概率的手感越来越好(就是多练习)，最后已经感觉到线代和概率的题目很死了，没有什 么技术含量，看到题目马上就有了大概的解题思路，而高数有证明题，不等式的证明，应用题却有时不好把握，现在对概率和线代十 分的喜欢，对高数却有点害怕，害怕有你不会的题型，这个阶段是 在第二轮复习结束的情况下会有的，此时你对考研数学有底了，不 是十分的害怕，此时你要去考试能考110——130之间，此时你也要 努力进入第五阶段。 天道酬勤，虽然很多辅导老师都会指出拒绝题海战术，对于数学，我们不得不承认，只用通过大量做题、反复总结才能找对做题的 “感觉”。希望同学们在强化阶段戒骄戒躁，不要急于求成，只要 坚持不懈，会有成功的那天! 保证"质量" 在考研复习期间，每个人都会做大量的数学题，但题目的.数量并不是决定胜负的关键，关键在于做题的质量。所谓"质量"，是指你从一道题中学到了多少知识和解题方法，发现了多少自身存在的问题，体会到了多少命题的思路和考点。考研数学复习必须做题，但是不能把做题和基础知识的复习对立起来。有人认为数学基本题太简单，不愿意做，都去做更多更难的题目。但是，如果对理论知识领会不深，基本概念都没搞清楚，恐怕基本题也做不好，又怎么谈得上做更多更难的题目呢?考研辅导专家认为，缺乏基本功，盲目追求题目的深度、难度和做题数量，结果只能是深的不会做，浅的也难免错误百出。其实解题的过程也是加深对数学定理、公式和基本概念的理解和认识的过程。 多问为什么 如何选择练习的题目呢?用一句话概括就是："先阶段，后综合;勤总结，多温故"。这个非常好理解，重点是在实施的时候要注意什么方面，如在进行阶段时的复习当中，大家可以先将基础知识通看一遍，然后拿来自己选用的参考书进行练习。考研辅导专家提醒考生，在复习过程中，大家一定要多问几个为什么。在理解概念时，多问问自己为什么，它的潜在意义在哪，应用的题型是什么样的，适用的范围有哪几个，应该套用的公式是哪些。在做题方面，唯一需要我们注意的就是要经常性地总结，把自己做得题常常找出来好好地总结归纳，同一题型经常用什么样的解题通式，这样在拿到题的时候心中才不会发慌。 基础知识的理解 你需要把握知识点，需要从一定的深度去把握和理解知识点，同时又能够从不同的角度去理解知识点，去掌握知识点之间的联系，熟悉常见的变通形式，能够透过现象抓住本质。认识是不断丰富和发展的，这就要求你与时俱进，随着复习的深入，随着知识点与题目的结合，对知识点的认识和理解，都是要不断加深的，这就是为什么你要不断的重复着回归课本，回归最基本的概念，方法。数学题实际上就是基础知识的具体运用，就是知识的实践!那么你就需要 2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习 来源：智阅网 高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广，并且出题的角度和方向也比较琐屑，但是也并非无迹可寻。只要我们认真的剖析和剖析考研真题，还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。下面具体为大家剖析高等数学中极限这个大的内容，有哪些考点。 极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 而线性代数的复习，首先要做到基础过关。 线代概念很多，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。 而运算法则也有很多必须掌握：行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 其次，加强抽象及推理能力。考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
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