高中数学三角函数经典例题及详解

高中数学三角函数专题复习

考试要求

三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。

内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。

（1）角与弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。

（2）三角函数概念和性质

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α ±，α ±π的正弦、余弦、正切）。 ②借助图象理解正弦函数在、余弦函数上、正切函数在上的性质。 ③结合具体实例，了解的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

（3）同角三角函数的基本关系式

理解同角三角函数的基本关系式。（4）三角恒等变换

①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）。

（5）三角函数应用

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模

π[0,2]π(,)22ππ-

sin()y A x ω?=+22sin sin cos 1,

tan cos x x x x x

+==

型

经典题型

一、求值化简型

这类问题常常用到的公式包括三角函数定义、同角三角函数关系式、诱导公式、和差倍公式、降幂公式、辅助角公式

1、公式运用

【例】（1）已知tan α=3,求：

αα22cos 4

1sin 32+的值。（2）已知tan α+sin α=m, tan α-sin α=n (),2

Z k k ∈≠πα, 求证：n m n m +-=αcos . （1）解：24

112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222++-=+-++--=+αααααα 24

112cos 812cos 3181)12cos 2(8131)sin 22++-=+-++αααα=++--=2411sin cos sin cos 2452222αααα=++--=2411sin cos sin cos 2452222αααα2411tan 1tan 122++-αα85= （2）证明：两式相加，得α

ααcos sin 2tan =+=n m 两式相减，得2sin n m -=

α 所以 n m n m n m +-=+=

ααsin 2cos 【举一反三】

【练】已知1cot tan sin 2),2,4(,41)24sin()24sin(

2--+∈=-?+αααππααπαπ求的值. 解：由)24

cos()24sin()24sin()24sin(απ

απαπαπ+?+=-?+ ,4

14cos 21)42sin(21==+=ααπ 得 .214cos =α 又.12

5),2,4(παππα=∈所以于是 α

αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+ .325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 【练】如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ

∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3

π，交单位圆于点B ．记

),(),,(2211y x B y x A ．

（Ⅰ）若3

11=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．

因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=

α，

所以 sin ==

α．

所以 211cos()cos 3226

x π-=+==αα-α．（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+

α．所以 111111cos sin sin 2224

S x y ==?=ααα， 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343

S x y πππ==-+?+=-+ααα．依题意得 2sin 22sin(2)3

π=-+αα，整理得 cos20=α．

因为

62ππ<<α，所以 23

π<<πα，所以 22π=α，即 4π=α． 2、三角形中求值

【例】在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .

(I)求cosA 的值;

(II)求c 的值.

解:(I)因为a =3,b ,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以

2sin cos sin 3A A A =.故cos 3

A =.

(II)由(I)

知cos 3A =,所

以sin 3

A ==.又因为∠B=2∠A,所以21cos 2cos 13

B A =-=.

所以sin 3B ==. 在△ABC 中

,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=

. 所以sin 5sin a C c A

==. 【举一反三】

【练】设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B

(II)

若1sin sin 4

A C =,求C . 解：(I)因为()()a b c a b c ac ++-+=

所以222

a c

b a

c +-=- 由余弦定理得2221cos 22

a c

b B a

c +-==- 因此0

120B =

(II)由(I)知，060A C +=

所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+

cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 122A C A C A C

A C A C

=-+=++=

+= 所以030A C -=±

所以015C =或045C =

③三角不等式

【例】已知函数2()sin()cos(),()2sin 632

x f x x x g x ππ=-+-=.