矩形脉冲信号频谱分析

矩形脉冲信号频谱分析

小组成员： 刘鑫 龙宇 秦元成 王帅 薛冬寒 梁琼健 一、傅里叶分析方法与过程 周期信号的分解 1、三角形式

周期为T 的周期信号，满足狄里赫利（Dirichlet ）条件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可以展开为傅里叶级数的三角形式，即:

∑∑∞

=∞

=Ω+Ω+=110sin cos 21

)(n n n n t

n b t n a a t f （1）

?-=Ω=2

2

,2,1cos )(2T T n dt

t n t f T a n Λ

（2）

?-=Ω=2

2

,2,1sin )(2T T n dt

t n t f T b n Λ

（3）

式中：

T

π2=

Ω 为基波频率，n a 与 n b 为傅

里叶系数。

其中 n a 为n 的偶函数， n b 为n 的奇函数。

将上式中同频率项合并可写成：

∑∞

=+Ω+=++Ω++Ω+=1022110)cos 21

...

)2cos()cos(21

)(n n n t n A A t A t A A t f ???（

式中：

)

arctan(...

3,2,1,2

2

0n

n n n a b

n b a A a A n n -==+==?

(5)

n

n n n n n A b A a A a ??sin cos 0

0-===

(6) 2.指数形式 由于

2

cos jx

jx e e x -+=

(7)

三角函数形式可以写为

t jn j n n t

jn j n n t n j n t n j n e e A e e A A e e A A t f n n n n Ω--∞=Ω∞=+Ω-∞

=+Ω∑∑∑++=++=????1

10)(1)(0212121]

[2

1

21)(

(8)

将上式第三项中的n 用-n 代换，并考虑到 为n 的偶函数， 为n 的奇函数 则上式可写为：

t jn j n n t jn j n n t

jn j n n t jn j n n e e A e e A A e e A e e A A t f n n n n Ω∞

--=Ω∞=Ω--∞-=-Ω∞=∑∑∑∑++=++=-????1

101

1021

2121212121)(

(9)

将上式中的0A 写成 t

j j e e A Ω000?(其中 00=?），则上

式可写为

t

jn j n n e

e A t

f n Ω∞-∞

=∑=?21)(

(10)

令复数量 n

j n j n F e F e A n n ==??||21

，称其为复傅里叶系

数，简称傅里

叶系数，其模为 ||n F ，相角为 n ?，则得傅里叶

级数的指数形式为

()t

jn n n e

F t f Ω∞

-∞

=∑

=

(11)

将（2）（3）代入上式得

dt

e t

f T

dt t n j dt t n t f T dt

t n t f T

j

dt t n t f T F t jn T T T T T T T T n Ω-----?

??

?

=Ω-Ω=Ω-Ω=

22

2222

22

)(1)]sin()cos()[(1)cos()(1

)cos()(1

(12)

二、

2

)

2sin()2sin(

21)(12

2

22

22

ττ

τττ

τΩΩ=

ΩΩ==

==

-

Ω-Ω--Ω--Ω-?

?

n n t

A n n T

A e T A dt e T

A

dt e t f T

F t

jn t jn T T t jn T T t jn n

考虑到

T π2=

Ω，上式也可写成

...

2,1,0,)sin(±±==n T n T n T

F n πτπττ

令

x x

x Sa sin )(=

原式可写成

)2()(τ

τπττ

Ω==n Sa T T n Sa

T F n

则该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为

∑∑∞-∞=Ω∞

-∞=Ω==n t jn n t

jn n n e

T

n Sa T A e F f )(πττ

三、频谱图形

利用MATLAB 画出频谱图为

四、

将周期T变为2T

利用MATLAB新的频谱图为

带宽变化：

因为一般脉冲宽度必须小于脉冲周期，所以周期增大时，不影响两者关系，脉宽不变，带宽不变。

五、

将周期T变为T/2

利用MATLAB新的频谱图为

带宽变化：

当周期减小时，若没小到比脉宽小，则不影响，脉宽不变，带宽不变，但是当小到小于脉宽时，带宽就会增大