勾股定理在实际问题中的应用举例

一、利用勾股定理解决立体图形问题

勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题

例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）

A 、41cm

B 、34cm

C 、50cm

D 、75cm

分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，

得BC=22AC AB +=41，

在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，

BD=22CD BC +=50。所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题

例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？

分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB

SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

说明：将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法，这也是一种重要的数学思想----转化思想。

二、利用勾股定理确定最短问题

我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.

例1（恩施自治州）如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）

A.521

B.25

C.105+5

D.35

图2 5 20 15 10 C B 图1

③ ② ④ ①

分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条.

解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，有如图2所示的4种粗线情形，其中图①中粗线的长度为的22

+＝537，图②中粗线的长度为

530

的22

1020

++5＝105+5，图④中粗线+＝25，图③中粗线的长度为的22

1520

的长度为的5+20+10＝35，显然35＞537＞105+5＞25.故应选B.

说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.

例2（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.

分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.

解如图2，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝22

+＝10，即所用细线最短为10cm.

若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一

边长由3+1+3+1变成n (3+1+3+1)，即8n ，由勾股定理，得()2268n +＝23664n +，即所用细线最短为23664n +cm ，或22916n +cm.

说明对于从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B 的最短细线不能理解为就是n 个底面周长.

例3（泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时 (即3

50米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A .在如图所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段.

（1）求点B 和点C 的坐标；

（2）一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据：3≈1.7）

（3）若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?

分析（1）要求点B 和点C 的坐标，只要分别求出OB 和OC 即得.（2）由

（1）可知BC 的长度，进而利用速度公式求得并与3

50比较即可.（3）为了求解，可设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，于是利用勾股定理可求出x 的表达式进而求得.

解（1）在Rt △AOB 中，因为∠BAO ＝60°，所以∠ABO ＝30°，所以OA ＝

12AB ，而OA ＝100，所以AB ＝200，由勾股定理，得OB ＝22AB OA -＝22200100-＝1003.

Rt △AOC 中，∠CAO ＝45°，所以OC ＝OA ＝100，所以B (－1003，0)，C (100，0).

（2）因为BC ＝BO +CO ＝

，所以

10015≈18＞503

，所以这辆车超速了. （3）设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，且两车的距离为y ＝

，显然，当x ＝

60时，y

说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到(x －60)2的最小值是0.

例4（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A +PB .

（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小；

（2）请你说明S 2＝P A +PB 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对图1 图3 B 图2

称等几何知识即可求解.

解（1）如图1中，过B作BC⊥AP，垂足为C，则由勾股定理，得PC＝

＝40.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP＝＝

＝.

所以S1＝+10（km）.

如图2中，过B作BC⊥AA′垂足为C，由轴对称知P A＝P A′，则A′C＝50，又BC＝40，

所以由勾股定理，得BA′

所以S2＝BA′＝（km）.显然，S1＞S2.

（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA ＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′＞A′B，所以S2＝BA′为最小.

（3）过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.

过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G.

由勾股定理，得A′B′＝＝50，所以所求四边形的周长为

(50+50)km.

说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.

三、与勾股定理有关的探索性问题例析

新课程要求通过学习培养同学们的自主探究能力。探索性问题，正是新课程理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点。围绕着勾股定理，出现了许多形式新颖，视点独特，内容丰富的新型试题，本文以直角三角形勾股定理为背景中考试题为例，加以评析，供同学们学习时参考。

例1．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三

角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________．

解析：本题是以一系列等腰直角三角形组成的图案为背景的规律探索型试题。要探求第n 个等腰直角三角形的面积，根据图形提供的数据和等腰直角三角形的变化规律，我们可以看到：下一个等腰直角三角形的直角边是前一个等腰直角三角形的斜边，因此在解题时，先考虑特殊情形，根据勾股定理得一系列等腰直角三角形面积和下一个直角三角形的斜边长为：

S 1＝111122??= AB ＝2211122+== S 2＝11222122

??=?= A 1B ＝()()2222242+== S 3＝22211222222

??=?= A 1B 1＝()()2234482+== S 4＝333211222222

??=?= B 1B 2＝()()22

488162+== S 5＝444311222222??=?= ……

所以：第n 个等腰直角三角形的面积为22n -。规律探索性问题，正是新课程理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点，本题考查了同学们从特殊到一般的思考问题的方法。

例2．已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图

（3）中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．

答：对图（2）的探究结论为____________________________________．对图（3）的探究结论为_____________________________________．证明：如图（2）

解：结论均是P A2＋PC2＝PB2＋PD2

证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，

因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC

在Rt△AMP中，P A2＝PM2＋MA2

在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2

在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2

在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2

所以P A2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2

PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2

因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形

所以MD＝NC，同理AM＝BN，

所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2

即P A2＋PC2＝PB2＋PD2

点评：本题是一道和勾股定理有关的阅读理解探索型试题，特殊情形下的结论为探究一般情形下的规律设计了可借鉴的过程。考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究一般规律的能力，体现了转化的数学思想和类比方法的运用。