【推荐】2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练
2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练
【题型归纳】题型一求曲线的方程
例1已知1(2,0)F ，2(2,0)F ，点P 满足12||||2PF PF ，记点P 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程．【答案】1
3
2
2
y
x
【解析】由1212||||24||PF PF F F 可知：点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的双曲线的右支，
由2,22c a ，∴2
2
2
2
1
3b
，故轨迹E 的方程为）（013
2
2
x
y
x
.
【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点P 满足
）（212
1
22F F a
a PF PF ，
则点P 的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是
“12||||2PF PF ”只能表示点
P 的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。
【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。题型二定值、定点问题
例2已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆
C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与
x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【答案】(1)x 2
4＋y 2
＝1，e ＝32
(2)2.
【解析】(1)由题意得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为x2
4
＋y2＝1.
又c＝a2－b2＝3，所以离心率e＝c
a
＝
3
2.
(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4. 又A(2,0)，B(0,1)，
所以直线P A的方程为y＝
y0
x0－2
(x－2).
令x＝0，得y M＝－
2y0
x0－2
，从而|BM|＝1－y M＝1＋
2y0
x0－2
.
直线PB的方程为y＝y0－1
x0x＋1.
令y＝0，得x N＝－
x0
y0－1
，从而|AN|＝2－x N＝2＋
x0
y0－1
.
所以四边形ABNM的面积S＝1
2|AN|·|BM|
＝1
2
2＋
x0
y0－1
1＋
2y0
x0－2
＝
x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4
2x0y0－x0－2y0＋2
＝
2x0y0－2x0－4y0＋4
x0y0－x0－2y0＋2
＝2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
【易错点】(1)．想不到设出P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线P A，PB的方程．不会由直线P A，PB的方程求解|BM|，|AN|；
(2)．不知道四边形的面积可用S＝1
2| AN|·|BM|表示；
(3)．四边形ABNM的面积用x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值．
【思维点拨】第(1)问由a＝2，b＝1，c＝3，解第一问；
第(2)问画草图可知AN ⊥BM ，四边形ABNM 的面积为1
2|AN|·|BM|，设点P(x 0，
y 0)，得出P A ，PB 的方程，进而得出M ，N 的坐标，得出|AN|，|BM|，只需证明1
2|AN|·|BM|
是一个与点P 的坐标无关的量即可．
例3已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3
2
31，
，P 42
3
,1，中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【答案】(1)x 2
4＋y 2
＝1(2)(2，－1)
【解析】(1)因为P 3
2
31，
，P 42
3,1，，所以P 3，P 4两点关于y 轴对称，
故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3
4b 2知，椭圆C 不经过点P 1，
所以点P 2在椭圆C 上.
因此1
b
2＝1，1a 2＋34b
2＝1，解得
a 2
＝4，b 2
＝1.
故椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，
由题设知t ≠０，且|t|<2，可得A ，B 的坐标分别为
2
42
t t ，
，2
42
t t ，
.
则k 1＋k 2＝4－t 2
－22t －4－t 2
＋22t ＝－1，
得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)．
将y ＝kx ＋m 代入x 2
4＋y 2
＝1得
(4k 2
＋1)x 2
＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2
－m 2
＋1)>0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2
－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋
y 2－1
x 2＝kx 1＋m －1x 1＋
kx 2＋m －1
x 2＝
12
12
12
21kx x m x x x x .
由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2
－4
4k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.
解得k ＝－m ＋1
2
.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12
x ＋m ，
即y ＋1＝－m ＋1
2(x －2)，
所以l 过定点(2，－1).
【易错点】(1)观察不出P 3，P 4对称，忽视对称性导致判断失误;
(2)不会用点的坐标代入方程判断
P 1，P 2是否在椭圆上而滞做;
(3)联立直线l 与椭圆C 的方程，计算化简失误而滞做; (4)利用k 1＋k 2＝－1运算变形不明确变形目标，导致化简不出
k ，m 的关系．
【思维点拨】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点P 1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程；
第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设l ：y ＝kx ＋m ，利用条件建立k ，m
的等量关系，消参后再表示出直线l 的方程可证明．
题型三最值（范围）问题
例4已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
＝1(a ＞0)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以
F 1F 2为直径
的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线
l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平
分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是－1
4
，0，求线段AB 长的取值范围．
【答案】(1)x 2
2＋y 2
＝1(2)322
，22【解析】(1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点，所以b ＝c ＝1，a ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1．
(2)根据题意，直线A ，B 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋1)，与x 2
2
＋y 2
＝1联立，消去y 并整理得(1＋2k 2
)x 2
＋4k 2
x ＋2k 2
－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k
2
1＋2k 2，x 1·x 2＝2k 2
－21＋2k
2，
y 1＋y 2＝k(x 1＋1)＋k(x 2＋1)＝k(x 1＋x 2＋2)＝2k
1＋2k 2，即M －2k 2
1＋2k 2，k 1＋2k 2. 则直线AB 的垂直平分线为y －k 1＋2k 2＝－1
k x ＋2k 2
1＋2k 2，令y ＝0，得x P ＝－k 2
1＋2k
2，因为x P ∈－14，0，即－1
4＜－k 2
1＋2k
2＜0，所以0＜k 2
＜12
，
2
2
1
2
12
14AB k
x x x x ＝
2
2
22
22
42214
21
21
k k k
k
k
＝2
2
122
21
k k
＝21＋1
1＋2k 2.
∵12＜1
2k 2＋1＜1，∴|AB|∈32
2
，22．
【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差，都是出错原因。
【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法：
（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
（2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式
求解．
（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．题型四存在性问题
例5.如图，椭圆E ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率是2
2
，点P(0，1)在短轴CD 上，
且PC ·
PD ＝－1. (1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于
A ，
B 两点．是否
存在常数λ，使得OA ·OB ＋λ
PA ·PB 为定值？若存在，求λ的值；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)x 2
4＋y
2
2
＝1(2)－3，理由见解析
【解析】(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
又点P 的坐标为(0,1)，且PC ·
PD ＝－1，于是
1－b 2
＝－1，
c a ＝2
2，a 2
－b 2
＝c 2
.
解得a ＝2，b ＝ 2.
所以椭圆E 的方程为x 2
4＋y
2
2
＝1.
(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立x 2
4＋y
2
2
＝1，
y ＝kx ＋1
得(2k 2＋1)x 2
＋4kx －2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2
＋8(2k 2
＋1)>0，
所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－2
2k 2＋1.
从而，OA ·OB ＋λPA ·PB
＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1 ＝
22
2
421
21
k k
＝－λ－1
2k 2＋1
－λ－2.
所以，当λ＝1时，－λ－1
2k 2＋1－λ－2＝－3.
此时，OA ·OB ＋λ
PA ·PB ＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD. 此时，OA ·OB ＋λPA ·PB ＝OC ·OD ＋λPC ·PD ＝－2－λ. 当λ＝1时，OA ·OB ＋PA ·PB ＝－3，为定值．综上，存在常数λ＝1，使得
OA ·OB ＋λ
PA ·PB 为定值－3.
【思维点拨】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在。
例6已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 1，－153在椭圆C
上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M|＝|F 1N|(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的
方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)x 2
6＋y
22
＝1(2)不存在满足条件的直线
l
【解析】(1)法一：∵椭圆C 的右焦点为F 2(2,0)，∴c ＝2，椭圆C 的左焦点为F 1(－2,0)．
由椭圆的定义可得2a＝
22
22
1515
1212
33
＝
96
9
＋
24
9
＝
26，解得a＝6，
∴b2＝a2－c2＝6－4＝2.
∴椭圆C的标准方程为x2
6
＋
y2
2
＝1.
法二：∵椭圆C的右焦点为F2(2,0)，∴c＝2，故a2－b2＝4，
又点P1，－15
3
在椭圆C上，则
1
a2
＋
15
9b2
＝1，
故
1
b2＋4
＋
15
9b2＝1，
化简得3b4＋4b2－20＝0，得b2＝2，a2＝6.
∴椭圆C的标准方程为x2
6＋
y2
2＝1.
(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y＝－x＋t，
由x2
6＋
y2
2＝1，
y＝－x＋t
得x2＋3(－x＋t)2－6＝0，
即4x2－6tx＋(3t2－6)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×4×(3t2－6)＝96－12t2>0，解得－22 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3t 2 ，x1x2＝ 3t2－6 4 ， 由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E， 则F1E⊥MN，故kF1E＝－ 1 k MN ＝1， 又F1(－2,0)，E x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 ， 即E 3t 4 ， t 4 ， ∴kF1E＝ t 4 3t 4 ＋2 ＝1，解得t＝－4. 当t＝－4时，不满足－22 ∴不存在满足条件的直线l. 【思维点拨】解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解 【巩固训练】 题型一求曲线的方程 1.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为() A.x2 12 ＋ y2 11 ＝1 B. x2 36 － y2 35 ＝1 C.x2 3 － y2 2 ＝1 D. x2 3 ＋ y2 2 ＝1 【答案】D 【解析】由题意得|P A|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹 方程为x2 3 ＋ y2 2 ＝1，故选D. 2.已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是_______________． 【答案】y＝4x2 【解析】设M(x ，y)，B(x 0，y 0)，则y 0＝2x 20 ＋1. 又因为M 为AB 的中点， 所以x ＝0＋x 0 2，y ＝y 0－1 2 ，即 x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1， 将其代入y 0＝2x 20 ＋1得，2y ＋1＝2(2x)2 ＋1，即y ＝4x 2 . 3.已知圆C 的方程为x 2 ＋y 2 ＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→ ，求动点Q 的轨迹．【答案】x 2 4＋y 2 16 ＝1(y ≠0)． 【解析】设点Q 的坐标为(x ，y)，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ―→＝OM ―→＋ON ―→，即(x ，y)＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y 2. 又因为点M 在圆C 上，所以x 20 ＋y 20＝4，即x 2 ＋y 24 ＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 2 16＝1(y ≠0)． 题型二定值、定点问题 1.已知椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的离心率为 2 2，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程； (2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 【答案】(1)x 28＋y 2 4＝1(2)略 【解析】(1)由题意有a 2－b 2 a ＝22，4a 2＋2 b 2＝1，解得a 2 ＝8，b 2 ＝4. 所以C 的方程为x 2 8＋y 2 4 ＝1． (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b(k ≠０，b ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 2 8＋y 2 4＝1，得 (2k 2 ＋1)x 2 ＋4kbx ＋2b 2－8＝0． 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1． 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1 2k ， 即k OM ·k ＝－1 2 . 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．2.已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切．(1)求圆心M 的轨迹方程； (2)动直线l 过点P(0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点. 【答案】(1)x 2＝4y(2)略 【解析】(1)由题意，得点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2 ＝1，p ＝2. ∴圆心M 的轨迹方程为x 2 ＝4y ． (2)证明：由题知，直线l的斜率存在， ∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)， 联立x2＝4y， y＝kx－2， 得x2－4kx＋8＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8. k AC＝y1－y2 x1＋x2 ＝ x21 4 － x22 4 x1＋x2 ＝ x1－x2 4 ， 则直线AC的方程为y－y1＝x1－x2 4 (x－x1)， 即y＝y1＋x1－x2 4(x－x1) ＝x1－x2 4x－ 112 4 x x x ＋ x21 4 ＝x1－x2 4x＋ x1x2 4． ∵x1x2＝8，∴y＝x1－x2 4x＋ x1x2 4 ＝ x1－x2 4x＋2， 故直线AC恒过定点(0,2)． 3.已知椭圆C：x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)上一点P1， 3 2 与椭圆右焦点的连线垂直于x 轴，直线l： y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为3，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？ 【答案】(1)x 24＋y 2 3＝1(2)－3 4 ． 【解析】(1)由题意知1a 2＋9 4b 2＝1，a 2 ＝b 2 ＋1， 解得 a 2 ＝4，b 2 ＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 2 4＋y 2 3＝1． (2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x 2 4＋y 2 3 ＝1，y ＝kx ＋m ， 得(4k 2 ＋3)x 2 ＋8kmx ＋4m 2 －12＝0， 由Δ＝(8km)2 －16(4k 2 ＋3)(m 2 －3)＞0，得m 2 ＜4k 2 ＋3．∵x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2 －124k 2 ＋3 ，∴S △OAB ＝12|m||x 1－x 2|＝1 2|m|·434k 2 ＋3－m 2 4k 2 ＋3 ＝3，化简得4k 2 ＋3－2m 2 ＝0，满足Δ＞0，从而有4k 2 －m 2 ＝m 2 －3(*)，∴k OA ·k OB ＝ y 1y 2 x 1x 2 ＝kx 1＋m kx 2＋m x 1x 2 ＝ k 2 x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2 x 1x 2 ＝－12k 2 ＋3m 24m 2 －12＝－34·4k 2 －m 2 m 2－3，由(*)式，得4k 2 －m 2 m 2－3＝1，∴k OA ·k OB ＝－34，即直线OA 与OB 的斜率之积为定值－3 4． 题型三最值（范围）问题 1.已知平面内一动点M 与两定点B 1(0，－1)和B 2(0,1)连线的斜率之积等于－1 2. (1)求动点M 的轨迹E 的方程； (2)设直线l ：y ＝x ＋m(m ≠0)与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，当m 变化时，求△P AB 面积的最大值. 【答案】(1)x 2 2＋y 2 ＝1(x ≠0)(2) 23【解析】(1)设M 的坐标为(x ，y)，1分依题意得y ＋1x ·y －1x ＝－1 2 ， 化简得动点M 的轨迹E 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1(x ≠0)． (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立x 2 2 ＋y 2 ＝1x ≠０， y ＝x ＋m ， 化简得3x 2 ＋4mx ＋2m 2 －2＝0(x ≠0)，∵有两个不同的交点， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2 －23， ∴Δ＝(4m)2 －12(2m 2 －2)＞0，即－3＜m ＜3且m ≠－1,0,1. 设A ，B 的中点为C(x C ，y C )，则x C ＝x 1＋x 22＝－2m 3， y C ＝x C ＋m ＝m 3， ∴C －2m 3，m 3 ， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y －m 3 ＝－x ＋2m 3，令y ＝0，得P 点坐标为 －m 3，0则点P 到AB 的距离d ＝2m 32 ， 由弦长公式得|AB|＝2·x 1＋x 2 2 －4x 1x 2＝23 24－8m 2 ，∴S △P AB ＝12·2m 32·23·24－8m 2 ＝229 m 2 3－m 2 ≤229· m 2＋3－m 2 2＝2 3 ，当且仅当m 2 ＝32，即m ＝±6 2∈(－3，3)时，等号成立， ∴△P AB 面积的最大值为2 3 ． 2.已知椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)离心率为1 2，过点E(－7，0)的椭圆的两条切线相 互垂直. (1)求此椭圆的方程； (2)若存在过点(t,0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB(F 为右焦点)，求t 的取值范围. 【答案】(1)x 2 4＋y 2 3 ＝1(2) ， ， 7 6247 624【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝c a ＝1 2， 得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2. 不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ，由椭圆的对称性知k ME ＝1，直线ME 的方程为y ＝x ＋7， 联立 y ＝x ＋7，x 2 4c 2＋y 2 3c 2＝1消去y ， 整理得7x 2＋87x ＋28－12c 2 ＝0， 由Δ＝(87)2 －4×7×(28－12c 2 )＝0，得c ＝1， ∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆方程为x 2 4＋y 2 3 ＝1. (2)设l 的方程为x ＝my ＋t ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立my ＋t ＝x ，x 24＋y 2 3 ＝1消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0，则y 1＋y 2＝－6mt 3m 2＋4，y 1y 2＝3t 2 －12 3m 2＋4. 又F A ―→＝(x 1－1，y 1)，FB ―→＝(x 2－1，y 2)，∴F A ―→·FB ―→＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝(m 2 ＋1)y 1y 2＋(mt －m)(y 1＋y 2)＋t 2 －2t ＋1＝0， ∴(m 2 ＋1)(3t 2 －12)＋(mt －m)(－6mt)＋(t 2 －2t ＋1)·(3m 2 ＋4)＝0，化简得7t 2 －8t －8＝9m 2 . 要满足题意，则7t 2－8t －8＝9m 2有解，∴7t 2 －8t －8≥０，解得t ≥4＋627或t ≤4－62 7 . ∴t 的取值范围为 ， ， 7 6247 624 . 3.已知椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线PQ 过F 交椭圆于P ，Q 两点， 且|PF|max ·|QF|min ＝a 2 4 . (1)求椭圆的长轴与短轴的比值； (2)如图，线段PQ 的垂直平分线与PQ 交于点M ，与x 轴，y 轴分别交于D ，E 两点，求 DOE DFM S S 的取值范围． 【答案】(1)2(2) ， 9 1【解析】(1)设F(c,0)， 则|PF|max ＝a ＋c ，|QF|min ＝a －c ，∴a 2 －c 2 ＝a 2 4 . ∵b 2＋c 2＝a 2，∴a 2＝4b 2 ，∴长轴与短轴的比值为 2a ∶2b ＝2. (2)由(1)知a ＝2b ，可设椭圆方程为x 2 4b 2＋y 2 b 2＝1. 依题意，直线PQ 的斜率存在且不为0， 设直线PQ 的方程为y ＝k(x －c)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 联立 y ＝k x －c ， x 2 4b 2＋y 2 b 2＝1消去y ， 得(4k 2 ＋1)x 2 －8k 2 cx ＋4k 2c 2 －4b 2 ＝0，则x 1＋x 2＝8k 2 c 4k 2＋1 ， ∴y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2c)＝－2kc 4k 2＋1， ∴M 4k 2 c 4k 2＋1，－kc 4k 2＋1. ∵MD ⊥PQ ，设D(x 3,0)，∴kc 4k 2 ＋1x 3－4k 2c 4k 2 ＋1 ·k ＝－1， 解得x 3＝3k 2 c 4k 2＋1，∴D 3k 2 c 4k 2 ＋1，0. ∵△DMF ∽△DOE ， ∴ DOE DFM S S ＝DM 2 OD 2＝4k 2 c 4k 2＋1－3k 2 c 4k 2＋12＋－kc 4k 2＋123k 2c 4k 2 ＋12＝191＋1k 2>1 9 ，∴ DOE DFM S S 的取值范围为 ， 91. 题型四存在性问题 1.如图，椭圆C ：x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)经过点P 1，32，离心率e ＝1 2，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆C 的方程； (2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P)，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λｋ3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 2 4＋y 23 ＝1(2)λ＝2 【解析】(1)由P 1，32在椭圆上得，1a 2＋9 4b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2 ＝3c 2 .②②代入①解得c 2 ＝1，a 2 ＝4，b 2 ＝3. 故椭圆C 的方程为x 2 4＋y 2 3＝1. (2)由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x －1)．③ 代入椭圆方程并整理，得(4k 2 ＋3)x 2 －8k 2 x ＋4(k 2 －3)＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2 －34k 2 ＋3 .④ 在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k)．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k － 324－1 ＝k －1 2. 由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2 x 2－1 ＝k. 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－ 32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－321x 1－1＋1 x 2－1＝2k － 3 2·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1 .⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －3 2·8k 2 4k 2 ＋3－24k 2－34k 2 ＋3－8k 24k 2＋3＝2k －1，又k 3＝k －1 2 ，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意． 2.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B(2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx(k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N. (1)求椭圆C 的方程； (2)在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 2 8＋y 2 4 ＝1(2)P(2,0)或P(－2,0) 高三下学期数学教学工作总结范文（精选5篇） 本学期，我适应新时期教学工作的要求，认真学习,从各方面严格要求自己，积极向老教师请教，结合本校的实际条件和学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。立足现在，放眼未来，为使今后的工作取得更大的进步，现对本学期教学工作作出总结，希望能发扬优点，克服不足，总结检验教训，继往开来，以促进教学工作更上一层楼。总结如下: 一、努力提高课的质量，追求复习的最大效益。 1、认真学习新课改的考试说明和考试纲要，严格执行课程计划，确保教学进度的严肃性。高三年级在明确学期教学计划的基础上，本学期以来经常进行备课组集体备课、教学案一体化，将长计划和短安排有机结合，既体现了学期教学的连贯性，又体现了阶段教学的灵活性。 2、准确定位复习难度，提高课堂复习的针对性。我们把临界生这个群体作为高考复习的主要对象，根据临界生的知识结构、能力层次来设计课堂教学，不片面地追求“高、难、尖”，而是在夯实基础的前提下，逐步提高能力要求，从而突出重点，突破难点。 3、不断优化课堂结构，力促课堂质量的有效性。首先，针对复习课特点，明确复习思路，构建了二轮复习“四合一”的课堂模式：能力训练+试卷讲评+整理消化+纠错巩固。能力训练做到在一轮复习的基础上，排查出学生的考点缺陷，有针对性地进行强化训练；试卷讲评做到在错误率统计和错误原因分析的基础上进行讲评，讲评的对象明确定位为中转优学生，评讲效果的衡量标准就是看中转优学生有没有真正搞懂；整理消化首先确保各学科当堂消化的时间；错误率较高的题目在一定的时间长度内，以变形的形式进行纠错巩固训练，同时在周练中予以体现。 二、让学生切实做好题，发挥训练的最大功能。 1、实行“下水上岸”制，提高练习质量。“下水”是为了“上岸”，教师做题是为了选题，为此，本人对给学生做的题目自己先过一遍，加强对选题的工作，练习材料没有照搬现成资料，同时整个年段的题目是备课组集体研讨而成；要先改造，后使用，力求做到选题精当，符合学情。 2、有效监控训练过程，确保训练效度。训练上特别重视训练的计划性，明确每周训练计划。认真统计分析，对于重点学生更是面批到位。指导学生进行自我纠错，并定期进行纠错训练。此外，对考试这一环节，严格考试流程，狠抓考风考纪，重视考试心理的调适、答题规范化的指导和应试技能的培养，努力消除非智力因素失分。及时、认真地做好每次考试的质量分析，并使分析结果迅速、直接地指导后 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 高三数学教师的教学年度工作总结 高三数学教师的教学年度工作总结范文（精选7篇） 高三数学教师的教学年度工作总结1 本学期我担任高三理科班(5)(9)两班的数学教学工作，现对本学期教学工作总如下： 一、加强集体备课，优化课堂教学。 新的高考形势下，高三数学怎么去教，学生怎么去学?无论是教师还是学生都感到压力很大，针对这一问题制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基矗在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课前，每位教师都准备一周的课，集体备课时，每位教师都进行说课，然后对每位教师的教学目标的制定，重点、难点的突破方法及课后作业的布置等逐一评价。集体备课后，我根据自己班级学生的具体情况进行自我调整和重新精心备课，这样，总体上，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。 二.研读考纲，梳理知识 研究《考试说明》中对考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷构各方面的要求，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习不超纲，同时，从精神实质上领悟《考试说明》， 具体说来是： (1)细心推敲对考试内容三个不同层次的要求。准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解和掌握，哪些是灵活和综合运用。这样既明了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容。 (2)仔细剖析对能力的要求和考查的数学思想与教学方法有哪些?有什么要求?明确一般的数学方法，普遍的数学思想及一般的逻辑方法(即通性通法)。 三、重视课本，狠抓基础，构建学生的良好知识构和认知构。 良好的知识构是高效应用知识的保证。以课本为主，重新全面梳理知识、方法，注意知识构的重组与概括，揭示其内在的联系与规律，从中提炼出思想方法。在知识的深化过程中，切忌孤立对待知识、方法，而是自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，融会代数、三角、立几、解析几何于一体，进而形成一个条理化、有序化、网络化的高效的有机认知构。如面对代数中的“四个二次”：二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时，以二次方程为基储二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。 四、狠抓常规，强化落实与检查 精心选题，针对性讲评。我们发扬数学科组的优良传统，落实“以练为主线”的教学特色。认真抓好每周的“一测一练”。“每周一测”、既要注重重点基础知识，出“小，巧，活”的题目;又要注意 1 A B C D S E F N B 高考数学试题（整理三大题） （一） 17.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且?a b m =．求 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 18. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜 甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙； 第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： （1）乙连胜四局的概率； （2）丙连胜三局的概率． 19.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22，SA ＝SB ＝3。 (Ⅰ)证明：SA ⊥BC ； (Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小； （二） 17.在ABC △中，1tan 4A =，3 tan 5 B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △ 18. 每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。 19. 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、SC 的中点。 求证：EF ∥平面SAD ； （三） 17.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ?? =+ ??? π的最大值与最小值． 18. 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19. 在Rt AOB △中，π 6 OAB ∠= ，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角 的大小； （III ）求CD 与平面 AOB 所成角的最大值 （四） 17.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求： （1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； （2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率． 19. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π ∠= , OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。 （Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。 O C A D B E （重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈ 若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法. 数学检测卷（理） 姓名----------班级----------总分------------ 一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （ ） （A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ） （A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下： 那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区 （第6题） 高三数学教学工作总结范文五篇 篇一：高三数学教师个人工作总结 本学期，我担任高三年级数学教学工作，认真学习教育教学理论，从各方面严格要求自己，主动与班主任团结合作，结合本班的实际条件和学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展。为完成教育教学工作出勤出力，现对本学期教学工作作以下总结： 一、认真钻研教材，明确指导思想。 教材以数学课程标准为依据，吸收了教育学和心理学领域的最新研究成果，致力于改变小学生的数学学习方式，在课堂中推进素质教育，力求体现三个面向的指导思想。目的是使学生体会数学与大自然及人类社会的密切联系；体会数学的价值，增强理解数学和运用数学的信心；初步学会应用数学的思维方式去观察，分析，解决日常生活中的问题；形成勇于探索，勇于创新的科学精神；获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实和必要的应用技能。 二、认真备好课，突出知识传授与思想教育相结合。 不但备学生而且备教材备教法，根据教材内容及学生的实际，设计课的类型，拟定教学方法，认真写好教案。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备，课后及时对该课作出总结，写好教学后记。 三、注重课堂教学艺术，提高教学质量。 课堂强调师生之间、学生之间交往互动，共同发展，增强上课技能，提高教学质量。在课堂上我特别注意调动学生的积极性，加强师 生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，学得愉快，培养学生多动口动手动脑的能力。本学期我把课堂教学作为有利于学生主动探索数学学习环境，让学生在获得知识和技能的同时，在情感、态度价值观等方面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想，把数学教学看成是师生之间学生之间交往互动，共同发展的过程。提倡自主性“学生是教学活动的主体，教师成为教学活动的组织者、指导者、与参与者。”这一观念的确立，学生成了学习的主人，学习成了他们的需求，学中有发现，学中有乐趣，学中有收获，这说明：设计学生主动探究的过程是探究性学习的新的空间、载体和途径。 四、创新评价，激励促进学生全面发展。 我把评价作为全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生全面发展的手段，也作为教师反思和改进教学的有力手段。对学生的学习评价，既关注学生知识与技能的理解和掌握，更关注他们情感与态度的形成和发展；既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。更多地关注学 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 北京市高三数学理科测试与参考答案 5 、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 （1 ）设集合I'-'' -' —若，一，则二的范围 是 （ ） （A ） 1二 （B ） ??「： （ C ） J :;: : （ D ） ?:- 为 （ ） （A ） 7V 4 8 （B ） 7 （D ）- J 二:中，设 I- - ■''' .■则认 心+占■门 等于（ (A) ： (B) (C) 1 (D) 3 （4 ） 设i 为虚 数单位： ,U -展开式中的第 三项 为 （ ） （ A ） ( B ） 图象的两条相邻对称轴间的距离 （3 ）在边长为F 的正三角形 （ 5）设匹、町是不同的直线， □、?、，''是不同的平面，有以下四个命题： ①若'■'■ ■ '■ 1' 则:''“ ②若分丄卩，罰U，则強丄0 ③若無丄橫〃0，则氐丄0④若滋“悅丹U化，则战"① 其中真命题的序号是（） （A）①④（B）②③(C) ② ④（D）①③ ￡_乙 （6）已知点亠'■' , B为椭圆」+「=（「?’’-的左准线与T轴的交点，若线段 AB 为 的中点C在椭圆上 （ ，则 ） 该椭圆的离心率 （A ） （B）2 （C ） 迴 3 ￡ （D）4 （7 ）已知函数/⑴二? f E为了⑴的反函数，则函数＞=;「与》_了在同一坐标系中的图象为（） —4i(C) (D) (8)已知函数?|」「是定义在l l 上的增函数，其中_ ' ' '■ ' _ '设函数 ■- - ，且'?)不恒等于〔」，则对于'■ ■有如下说法： ①定义域为②是奇函数 ③最小值为- ④在定义域内单调递增 其中正确说法的个数有 ( ) (A ) 4 个 (B ) 3 个 (C ) 2 个 (D ) 1个 、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 (9) 双曲线」 I 的一个焦点到一条渐近线的距离 是 _________________________________ . (10 )在亠二二中，匸_丁二］三，丄-工且「盯门的面积为」八，则 B — ； AB =■ _________________________________ ? __________________________________________________________ 若匚-，吕为S 内的两个点，贝贝一I 的最大值为 (13) ----------------------- 已知「一： -------------------------------- 是以-为球心的球面上的四个点， --------------- ------------------------------------------ -- 两两垂直，且 三二：■- = = ，则球的半径为 ________________________ ；球心'到平面J - C 的距离 (14) 在100, 101 , 102,…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“ 145”)或严 f<^ = (11)已知函数 -P+1| 高三年级高考考理科数学学科 考试分析总结报告 一、考试结果统计分析 （一）全市学生考试情况分析统计 主要表述参加考试的总人数、考试的全市平均分、难度、区分度、最高分、最低分等内容。统一按下列表格内容进行。 主要表述每一道试题的全市平均分、难度、区分度等内容。统一按下列表格 （一）学科教学情况分析总结 在高三的第一轮复习中取得了比较理想的结果，主要表现如下： 1. 充分的注重基础题的训练，所以选择题的第1，2，3，4、填空题的第9，11题与解答题的第16，17题平均分较高； 2. 复习得比较全面，象本次考试中的第7题涉及到正态分布，第10题涉及到二项式定理，第13题算法中的欧几里得辗转相除法，都不是教材中的主干知识，但是我们应该重视这些学生容易忽略的薄弱环节； 3. 有不少学生在第一轮复习后，就已经可以取得很好的成绩，如120分以上的人数有近500人，这批学生肯定能够在今年的高考中为大连的数学学科争光添彩。 但是除了成绩之外，我们也要看到我们的不足，比如： 1. 我们两极分化很严重，有近2000人的分数低于40分，低分学生拖分很厉害，影响了全市的平均分； 2. 很多学生计算能力较差，遇到计算量大一点的题就很容易算错或放弃，比如第12题，第15题，第19题，第21题。 （二）教学建议 1. 加大选择填空题的训练力度 高考题不管怎么出，什么人出，考查基础知识、基本技能和基本方法是主旋律。大部分学生考分较低的原因也是基础题做得较差。对大部分学生来说，加强 一些基础题的训练仍是第二轮复习的重点，对一些基础题要使学生达到准确和快速的水平，所以第二轮复习中可以增加基础题（70分的选择填空题）的测试次数，每次45分钟，每周可以两次甚至三次。注意到今年广东高考的选做题由三选二改为二选一，在二轮复习中要加强极坐标与参数方程的训练力度。 2. 针对6个解答题，要突出重点，强化训练 对于基础较差的学生，6个解答题的重点在前三个大题，加大三角函数、立体几何、概率题、函数导数题的训练力度，提高他们答题的准确率。对于基础较好的学生，6个解答题的重点在后三个大题，加大对函数与导数、数列与不等式、解析几何的训练力度，提高他们攻克后面难题的能力。在训练时，要加强在知识网络交汇点处的复习；要加强新颖题的专项训练，如探究性问题、开放性问题、新定义问题、归纳猜想问题、新信息的处理问题和新情境问题等，对提高优等生的成绩有一定的帮助。 3. 系统整理高中数学知识网络 在老师指导下把高中数学有关知识点梳理成一个有机的网络。这不是简单地重复初学的过程，而是站在更高的角度上激活记忆，同时要完成适量的练习，使知识网络骨架成为有血有肉有感觉的有机体，完成读书由“薄—厚”到“厚—薄”的过程转变。 重点整理要做到： (1) 针对考试说明中提到的数学内容、公式，看看哪些内容自己还没有掌握，或哪些公式有时会记错，必须整理一下，及时补缺，做到消灭盲区。我们要有意识地做一些考试说明中要求了，但平时我们练的不多的题，比如统计中的计算方差，求线性回归方程及独立性检验，概率中的正态分布与条件概率，立体几何中的斜二测画法，平面向量的基本定理等等。 (2) 整理高三以来做过的练习题或模拟题中自己做错的题目，看看现在再做时，能否顺利解决，能否纠正当时出现的错误？能否体会这种题型的解题方法与解题思路？ (3) 针对当前试题变化的主要特征——能力立意，重点梳理数学学科知识点的交叉及其相关的主要能力、方法及其注意的问题。例如：有关学习能力的考查题中对一些给出的新的定义、法则的理解必须能对题意正确理解；应用能力考 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________ 高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________ 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷 类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.正方形切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值围 高中数学教师工作总结范例3篇 高中数学教师工作总结范例1 时光荏苒，岁月不居，转眼间又是一个学年。送走了老学生，迎来了新_。回忆过去的这一学年，我不得不感叹时间的飞逝和生活的繁忙。正因为这繁忙，才使我感叹教师工作的辛苦，可是，我们的辛苦终将换来硕果累累。那远在海角天涯的问候便是对我们的安慰。回忆这一年的工作，总结下来就是这样几个字愁过，累过，忧过，喜过。是的，在这一年里，我付出了很多，但我不后悔，因为我的付出取得了满意的成绩。回顾这一年，我将自己的工作总结如下： 一、师德方面 严于律己，踏实工作。面对全体学生，一视同仁，不歧视学生，不打骂学生，注意自己的言行，提高自己的思想认识和觉悟程度水平，做到爱岗敬业，学而不厌，诲人不倦，为人师表，治学严谨，还要保持良好的教态。因为我知道，老师的教学语言和教态对学生的学习有直接的影响。老师的教态好，学生就喜欢，他们听课的兴趣就高，接受知识也快。反之，学生就不喜欢，甚至讨厌。所以，注重学生的整体发展，经常的和学生谈心、谈人生。师生关系非常融洽。受到学生的一致认可。他们在背后都叫我安哥。 二、教育教学方面 为了更好的完成高三年级的复课工作，在学期初，我不但制订了严密的工作计划，同时也为自己制定了一学期的奋斗目标。首先，上好一节课的前提是备课，为了备好每节课，我大量的阅读各种复习资料，希望能更加完整并精简的给学生呈现每节课的知识和做题方法。 每天晚上，我都会在网上查阅下节课的相关资料并加以整理。把一节课的内容整理成学生好学易懂的知识，使学生掌握起来很顺手。学生自然也喜欢听课，做起笔记来津津有味。同时，我知道，数学的枯燥乏味是学生听课的的障碍。所以，我在业余时间经常看一些课外书籍，并不断思索着把数学知识和实际结合起来讲，在我的课堂上学生很少走神，因为他们喜欢听这样的数学课。他们喜欢这样知识渊博的数学老师。课外，我给学生布置了适合他们的作业，因为我带了一个文科班和一个理科班，所以，不知作业也有所区别。学生能做但不好做。批作 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 沈阳四校协作体-（上）高三阶段测试 数学试卷（理） 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1、已知集合M={x|}，N={x|}，则M ∩N= （ ） A ．{x|-1≤x ＜1｝ B ．{x |x>1} C ．{x|-1＜x ＜1｝ D ．{x|x ≥-1} 2、若定义在R 上的函数f (x )满足f (π 3 ＋x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )可以是（ ） A ．f (x )＝2sin 1 3x B ．f (x )＝2sin3x C ．f (x )＝2cos 1 3x D ．f (x )＝2cos3x 3、已知 =+-=+ni m i n m ni i m 是虚数单位，则是实数，，，其中11( ) A.1+2i B. 1-2i C.2+i D.2- i 4、设1 (1,)2 OM =，(0,1)ON =，则满足条件01OP OM ≤?≤，01OP ON ≤?≤的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ） A B C D 5、下列判断错误的是（ ） A 、命题“若q 则p ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题 B 、“am 2 7、已知正数a 、b 、c 成等比数列，则下列三数也成等比数列的是 A ．lg a lg b lg c B ．10a 10b 10c C ．lg 5a lg 5b lg 5c D ．a 3a 4a 8、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体， 其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形 的腰长为5，则该几何体的体积是 A.43π B.2π C.83π D.103 π 9、由函数x y 2log =与函数)2(log 2-=x y 的 图象及2-=y 与 3=y 所围成的封闭图形的面积是 A ．15 B ．20 C ．10 D ．以上都不对 10、函数y ＝ax 3 ＋bx 2 取得极大值或极小值时的x 值分别为0和 3 1 , 则 A. b a 2-＝0 B. b a -2＝0 C. b a +2＝0 D. b a 2+＝0 11、已知1是与的等比中项，又是 与的等差中项，则的值是 （ ） A ．1或 B ．1或 C ．1或 D ．1或 12、周期为4的函数21()12 m x f x x ?-?=?--?? (1,1] (1,3]x x ∈-∈其中m>0，若方程3f(x)=x 恰有5个实 数解，则m 的取值范围为 （ ） A ．158 ( ,)3 B ．48(,)33 C ．4(,7)3 D ．15 ( ,7) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222 b c a bc +=-， 4AC AB ?=-且，2a 2 b a 1b 1 2 2b a b a ++2 1 2 1-3 1 31-最新高三下学期数学教学工作总结
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