高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
圆锥曲线第1讲 椭圆
【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义:
平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2(
2
12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两
个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离
2
1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下:
(ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。
注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为
a
MF MF 221=+(c a 22>,
c
F F 221=),即
2
121F F MF MF >+.
注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件:
a
MF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义:
平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 二、椭圆的标准方程 (1)焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x (0>>b a ); (2)焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y (0>>b a ). 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< (9)焦半径:若),(00y x P 为椭圆122 22=+b y a x 在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义, 有 1ex a PF +=, 2ex a PF -=; (10)通径长:a b 22 . 注1:椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点)0,(2c F 和右 准线l :c a x 2=为例,可求得其焦准距为 c b c c a c c a 2222=-=-. 注2:椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最 短的弦。设椭圆的方程为122 22=+b y a x (0>>b a ),过其焦点)0,(2c F 且垂直于x 轴的直线交该双曲线于A 、B 两点(不妨令点A 在x 轴的上方),则),(2a b c A ,) ,(2 a b c B -,于是该椭圆的通径长为 a b a b a b AB 2 222 )(=--=. 四、关于椭圆的标准方程,需要注意的几个问题 (1)关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征,并给出了“特征值”(指a 、b 、c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合2 2 2 b a c -=,我们可以确定出a 、b 、c 的值)时,我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程;其二,当题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能准确地判断出曲线的位置特征,并能得到a 、b 、 c 的值。 (2)椭圆的标准方程中的参数a 、b 、c 是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关;a 、b 、 c 三者之间的关系:222b a c -=必须牢固掌握。 (3)求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、b 。根据题目已知条件,我们列出以a 、b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出a 、b 的值。特别需要注意的是:若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或y 轴上,则以a 、b 为未知参数的方程组只有一个解,即a 、b 只有一个值;若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,则以a 、b 为未 知参数的方程组应有两个解,即a 、b 应有两个值。 (4)有时为方便解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 122=+ny mx ,但此时m 、n 必须满足条件:0>m ,0>n ,且n m ≠. 五、点与椭圆的位置关系 点),(00y x P 与椭圆122 22=+b y a x (0>>b a )的位置关系有以下三种情形: (ⅰ)若122 220=+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆上; (ⅱ)若122 022 0>+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆外; (ⅲ)若122 022 0<+b y a x ,则点),(00y x P 在椭圆内; 【例题选讲】 题型1:椭圆定义的应用 1. 平面内存在一动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2(2 12F F a ≥),则点M 的轨迹是() A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段 解:由题意知,2 1212F F a MF MF ≥=+ (ⅰ)当212F F a >时,点M 的轨迹是椭圆; (ⅱ)当 2 12F F a =时,点M 的轨迹是线段21F F . 故点M 的轨迹是椭圆或线段 2. 已知圆C : 36)1(22=+-y x ,点)0,1(-A ,M 是圆C 上任意一点,线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交于点Q ,则点Q 的轨迹方程为__________. 解:圆C : 36)1(2 2=+-y x 的圆心坐标为)0,1(C ,半径6=r 连接QA ,由l 是直线AM 的中垂线知, QA QM = ∴6===+=+r CM QC QM QC QA 而 2=AC ,∴AC QC QA >+ 于是点Q 的轨迹是以)0,1(-A ,)0,1(C 为左右焦点的椭圆,其中62=a ,22=c 3=?a ,1=c ,819222=-=-=c a b 又该椭圆的中心为坐标原点 故点Q 的轨迹方程为1 892 2=+y x 3. 已知点)0,3(A ,点Q 是圆 42 2=+y x 上的一个动点,线段AQ 的垂直平分线交圆的半径OQ 于点P ,当点Q 在圆周上运动时,点P 的轨迹方程为__________. 解:圆O : 42 2=+y x 的圆心坐标为)0,0(O ,半径2=r 连接PA ,由l 是直线AQ 的垂直平分线知, PA PQ = ∴2===+=+r OQ PQ PO PA PO 而 3 =OA ,∴ OA PA PO >+ 于是点P 的轨迹是以)0,0(O ,)0,3(A 为左右焦点的椭圆,其中22=a ,32=c 1=?a , 23= c ,41 431222=-=-=c a b 又该椭圆的中心为OA 的中点 ) 23 , 0()2 3,0(OA 故点P 的轨迹方程为1 41)2 3(2 2=+-y x 注:本题点P 的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点) 0,23 ( 对 称,其方程可由把椭圆1 41 2 2 =+y x 沿x 轴向右平移了23个单位得到。 4. 方程 2 222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是() A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 解:由222222 2++=+--+y x y x y x ,有() 1,02 2 22)1()1(22∈=++-+-y x y x 这表明,点),(y x P 到定点)1,1(F 的距离与它到定直线l :02=++y x 的距离之比等于常 数22(1 220<<).由椭圆的第二定义知,点),(y x P 的轨迹是椭圆,即方程2 222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是椭圆。 5. 椭圆131222=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上。若线段1PF 的中点在y 轴 上,则 1 PF 是 2 PF 的() A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍 解:在椭圆13122 2=+y x 中, 9312,3,122 2222=-=-===b a c b a 3,3,32===∴c b a 于是)0,3(),0,3(21F F - 又Θ线段1PF 的中点在y 轴上,而O 是线段21F F 的中点 轴 y PF 2∴ 于是轴x PF ⊥2 (法一)在12F PF Rt ?中, 2 2 12221F F PF PF += 36944))((22 2 12121=?===-+∴c F F PF PF PF PF 又由椭圆的定义,有 3 4322221=?==+a PF PF ① 333436 21== -∴PF PF ② 联立①、②得, 237233341=+= PF ,23 237342=-=PF 故723 23 721 ==PF PF ,即1PF 是2 PF 的7倍。 (法二) 2332322= ==a b PF ,而34322221=?==+a PF PF 23723341=- =∴PF 故723 23 721 ==PF PF ,即1PF 是2 PF 的7倍。 6. 设1F 、2F 为椭圆1 492 2=+y x 的两个焦点,P 为椭圆上的一点。已知P ,1F ,2F 是一个 直角三角形的三个顶点,且 2 1PF PF >,则 2 1 PF PF =__________. 解:在椭圆1492 2=+y x 中, 549,4,92 2222=-=-===b a c b a 5,2,3===∴c b a 于是)0,5(1-F ,)0,5(2F (ⅰ)当ο 9021=∠PF F 时,2054422 212 22 1=?===+c F F PF PF 又Θ 6 32221=?==+a PF PF ① 8220 362 ) ()(2 2212 2121=-= +-+= ?∴PF PF PF PF PF PF 于是4 84364)()(21221221=?-=?-+=-PF PF PF PF PF PF 又 2 1PF PF > 2 21=-∴PF PF ② 联立①、②得, 422 61=+=PF ,2 462=-=PF 于是此时 22 4 2 1 == PF PF (ⅱ)当ο 9012=∠F PF 时, 2 2 12221F F PF PF += 20544))((2 2 2 12121=?===-+∴c F F PF PF PF PF 而 6 32221=?==+a PF PF ③ 310 62021== -∴PF PF ④ 联立③、④得, 3146282310 61==+ = PF ,3431462= -=PF 于是此时27 34314 2 1==PF PF 故21 PF PF 的值为2或27 题型2:求椭圆的方程 7. (1)若方程1352 2=-+-k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围是__________; (2)若方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则k 的取值范围是__________; (3)若方程1 35=-+-k k 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是__________. 解:(1)Θ方程1352 2=-+-k y k x 表示椭圆 544335030 5<<<?? ? ??-≠->->-∴k k k k k k 或 故当)5,4()4,3(?∈k 时,方程1 352 2=-+-k y k x 表示椭圆。 (2)Θ方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆 43350305<?? ? ??->->->-∴k k k k k 故当)4,3(∈k 时,方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆。 (3)Θ方程1352 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆 5453030 5<??? ??->->->-∴k k k k k 故当)5,4(∈k 时,方程1 352 2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆。 8. 已知椭圆142 2=+m y x 的焦距为2,则m =__________. 解:由题意知,22=c 1=∴c 于是12 2 2 ==-c b a (*) (ⅰ)当椭圆1422=+m y x 的焦点在x 轴上时,42=a ,m b =2 于是由(*)式,有314=?=-m m (ⅱ)当椭圆14=+m 的焦点在y 轴上时,m a =2,42 =b 于是由(*)式,有514=?=-m m 故m 的值为3或5 9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且经过点)0,3(P ,则该椭圆的方程为__________. 解:由题设条件知,b a b a 3232=??=① (ⅰ)当椭圆的焦点在x 轴上时,设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 则由该椭圆过点)0,3(P ,有10 922=+b a ② 联立①、②得,92 =a ,12 =b 于是此时该椭圆的方程为1 922 =+y x (ⅱ)当该椭圆的焦点在y 轴上时,设其方程为122 22=+b x a y (0>>b a ) 则由该椭圆过点)0,3(P ,有19 022=+b a ③ 联立①、③得,92 =b ,812 =a 于是此时该椭圆的方程为198122=+x y 故所求椭圆的方程为192 2=+y x 或198122=+x y 10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴,且经过两点)1,6(1P ,)2,3(2--P ,则椭圆的方程为__________. 解:设所求椭圆的方程为 122=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠) 则由该椭圆过)1,6(1P ,)2,3(2--P 两点,有?? ?=+=+12316n m n m ,解得:????? ==3191n m 故所求椭圆的方程为1 319122=+y x ,即1392 2=+y x . 11. 在平面直角坐标系xoy 中,椭圆C 的中心为坐标原点,焦点1F 、2F 在x 轴上,离心率为 22 . 若过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点,且2ABF ?的周长为16,那么C 的方程为 __________. 解:由椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 16 2=?ABF C Θ 16 22=++∴AF BF AB 而 1 1AF BF AB += 16 2216)()(21212211=+?=+++=+++∴a a AF AF BF BF AF BF AF BF ,即164=a 于是4=a 又 22== a c e Θ 2242222=?== ∴a c 于是88162 2 2 =-=-=c a b 故椭圆C 的方程为18162 2=+y x 题型3:椭圆的性质 12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5,最大值为15,则椭圆的方程为_________. 解:不妨设所求椭圆的方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 设),(y x P 是该椭圆上任意一点,)0,(c F 是其一个焦点 令? ? ?==θθ sin cos b y a x ,πθ20≤≤ 则 θ θθθθ2222222sin cos 2cos )0sin ()cos (b c ac a b c a PF ++-=-+-= )sin 1(cos 2)sin (cos sin )(cos 2cos 22222222222θθθθθθθ-+-+=-++-=c ac a c a c ac a θ θθθcos )cos (cos cos 22222c a c a c ac a -=-=+-= 又0>>c a Θ,]1,1[cos -∈θ θ θcos cos c a c a PF -=-=∴ 于是当0=θ,即点),(y x P 为椭圆122 22=+b y a x 的右顶点时,PF 取得最小值,且 c a PF -=min ][; 当πθ=,即点),(y x P 为椭圆122 22=+b y a x 的左顶点时,PF 取得最大值,且c a PF +=max ][. 因而由题意,有???==? ? ??=+=-510155c a c a c a 7525100222=-=-=∴c a b 故所求椭圆的方程为1751002 2=+y x 注:由本题可见,椭圆的右(左)顶点到右(左)焦点的距离最小,到左(右)焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时,这个结论可以直接用。 13. 已知椭圆的中心在坐标原点,在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点1B 、2B 的连线互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为510-,则这个椭圆的方程为__________. 解:由该椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 设)0,(c F 是该椭圆的右焦点,则与其较近的长轴的端点为)0,(a A 于是有510-=-c a (*) 又Θ),0(1b B ,),0(2b B -是该椭圆上的对称点,)0,(c F 是该椭圆的右焦点 F B F B 21=∴ 又F B F B 21⊥Θ 21FB B ?∴为等腰直角三角形,其中ο9021=∠FB B 于是有 OF OB =2,即c b = 又2 2 2 c b a += 222c a =∴,即c a 2=,代入(*),得5=c 于是10=a ,5= b 故所求椭圆的方程为15102 2=+y x 题型4:与椭圆的焦点有关的三角形问题 14. 设P 是椭圆14522=+x y 上的一点,1F 、2F 是该椭圆的两个焦点,且ο3021=∠PF F , 则 2 1PF F S ?=__________. 解:在椭圆14522=+x y 中, 145,4,52 2222=-=-===b a c b a 1,2,5===∴c b a 于是)1,0(1F ,)1,0(2-F 在21PF F ?中,由余弦定理,有 2 12 2 12221212cos PF PF F F PF PF PF F ?-+= ∠ 2 12 122 12 1222 12 2 121221224224422)(PF PF PF PF b PF PF PF PF c a PF PF F F PF PF PF PF ??-= ??--=?-?-+= 2 3822 12 12 12 12= ??-= ??-= PF PF PF PF PF PF PF PF b 于是 )32(16)32)(32() 32(16321621-=-+-=+= ?PF PF 故348)32(421)32(1621sin 21212121-=-=?-?=∠??= ?PF F PF PF S PF F 15. 已知1F 、2F 分别为椭圆1 9162 2=+y x 的左、右焦点,点P 在该椭圆上. 若点P 、1F 、2 F 是一个直角三角形的三个顶点,则21F PF ?的面积为____________. 解:在椭圆19162 2=+y x 中, 7916,9,162 2222=-=-===b a c b a 7,3,4===∴c b a 于是)0,7(1-F ,)0,7(2F (ⅰ)当21F PF Rt ?以点1F 或2F 为直角顶点时, 4921==a b PF 或49 22= =a b PF ,而72221==c F F 7497249212121121=??=?= ∴?F F PF S F PF 或749 7249212121221=??=?=?F F PF S F PF 于是此时总有 749 21= ?F PF S 并且此种情形下,b x y x P P P =<±=?±=-±=-±=±=3491699)1671(9)161(9,72 即点) 49,7(±±P 在椭圆19162 2=+y x 上,满足题意。 (ⅱ)当21F PF Rt ?以点P 为直角顶点时, 设 ),(00y x P 则 7 2221 212121212100212121PF PF c PF PF F F PF PF y y F F PF PF S F PF ?=?=?=??=?= ? 又Θ842221=?==+a PF PF ,287442 2 2 12 22 1=?===+c F F PF PF 18236 228642 ) ()(2 2212 2121==-= +-+= ?∴PF PF PF PF PF PF 于是此时 b PF PF y =>== ?= 379 72187 22 10 这表明,此种情形下,点),(00y x P 在椭圆19162 2=+y x 外,不满足题意。 故21F PF ?的面积为7 49 16. 已知1F 、2F 是椭圆在x 轴上的两个焦点,P 为椭圆上一点,ο 6021=∠PF F . (1)求该椭圆离心率的取值范围; (2)求证:21PF F ?的面积只与该椭圆的短轴长有关. 解(1):由该椭圆的焦点在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 在21PF F ?中,由余弦定理,有 2 12 2 12221212cos PF PF F F PF PF PF F ?-+= ∠ 2 12 122 12 1222 12 2 121221224224422)(PF PF PF PF b PF PF PF PF c a PF PF F F PF PF PF PF ??-= ??--= ?-?-+= 2 1 22 12 12=??-= PF PF PF PF b 2 2 134b PF PF =?∴ 又 2 22 121)2 ( a PF PF PF PF =+≤?Θ 2 234 a b ≤∴ 而2 2 2 c a b -= 222223431)(34c a a c a ≤?≤-∴,即2 241a c ≥ 于是 414122 22 2= ≥=a a a c e 又10< 121 <≤∴e 故该椭圆离心率的取值范围是) 1,21 [ 证(2):由(1)知,2 2134 b PF PF =? 2 2212133233421sin 2121b b PF F PF PF S PF F =??=∠??= ∴? 故21PF F ?的面积只与该椭圆的短轴长有关 题型5:椭圆中的最值问题 17. 设1F 是椭圆1 592 2=+y x 的左焦点,点P 是椭圆上的一个动点,)1,1(A 为定点,则 1 PF PA +的最小值为__________. 解:在椭圆1592 2=+y x 中,92=a ,52=b ,4592 22=-=-=b a c 2,5,3===∴c b a 于是该椭圆的左右焦点分别为)0,2(1-F ,)0,2(2F Θ622121==+≥++a PF PF AF PA PF 2 6)10()12(662221-=-+--=-≥+∴AF PF PA 故[] 2 6min 1-=+PF PA 18. 若),(y x B 满足1 422 =+y x (0≥y ),则43--x y 的最大值、最小值分别为__________. 解:在椭圆1422 =+y x (0≥y )中,42=a ,12=b ,3142 22=-=-=b a c 3,1,2===∴c b a 于是该椭圆的左右焦点分别为)0,3(1-F ,)0,3(2F 43--x y 表示椭圆1422 =+y x (0≥y )上的点),(y x P 与定点)3,4(0P 之间的连线的斜率 令k x y =--43 ,则直线0PP 的方程为)4(3-=-x k y ,即k kx y 43-+= 联立?????-+==+k kx y y x 4314 22,得 [] 04)43(4)43(8)41(222=--+-++k x k k x k 令 [][] 02634)43(4)41(4)43(82 222 =+-=--+--=?k k k k k k 则 331- =k ,33 1+=k (舍去) 又 2324030= --=A P k ,这里)0,2(A 为椭圆1422 =+y x (0≥y )的右顶点 故23max = k , 331min -=k ,即43--x y 的最大值为23 ,最小值为331- . 19. 在直线l :04=-+y x 上任取一点M ,过点M 且以椭圆1 12162 2=+y x 的焦点为焦点作 椭圆,则点M 的坐标为__________时,所作的椭圆的长轴最短,此时该椭圆的方程为__________. 解:在椭圆11216=+中,162=a ,122=b ,412162 22=-=-=b a c 2,32,4===∴c b a 于是该椭圆的左右焦点分别为)0,2(1-F ,)0,2(2F 要使过点M 且以椭圆1 12162 2=+y x 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短 必须使 2 1MF MF +最小 设)0,2(2F 关于直线l :04=-+y x 的对称点为),(002y x F ' 则由???????=-+++-=-?--0420221)1(2 0000y x x y ,即???=-+=--06020000y x y x ,得???==2400y x )2,4(2'∴F 于是直线' 21F F 的方程为 ) 4(31 )4()2(4022-=----= -x x y ,即023=+-y x 显然,使 2 1MF MF +取得最小值的点M 即为直线' 21F F 与直线l 的交点 联立? ??=-+=+-04023y x y x ,得????? ==2325y x ) 23,25(M ∴ 此时 []10 240)02()]2(4[222121min 21 ==-+--=' ='+=+F F MF MF MF MF 101022='?='∴a a ,6410222=-=-'='c a b 故所求椭圆的方程为16102 2=+y x 20. 若点O 和点F 分别为椭圆1 342 2=+y x 的中心和左焦点,点P 为椭圆上任意一点,则 ?的最大值为__________,此时点P 的坐标为__________. 解:在椭圆134=+中, 134,3,42 2222=-=-===b a c b a 1,3,2===∴c b a 于是)0,1(-F 设),(y x P 则),(y x OP =,),1(y x FP +=,并且22≤≤-x 于是3 41 )41(3)1(222 2 2 2 ++=-++=++=++=?x x x x x y x x y x x ,]2,2[-∈x 令 341)(2 ++= x x x g ,]2,2[-∈x 其对称轴为 2 4 1 21-=?- =x ∴函数)(x g 在]2,2[-上单调递增 于是6 32241 )2()]([2max =++?==g x g 将2=x 代入方程13422=+y x 中,得0=y )0,2(P ∴ 故?的最大值为6,此时点P 的坐标为)0,2(. 21. 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率 23= e . 已知点) 23 ,0(P 到这个椭圆 上一点的最远距离为7,则该椭圆的方程为__________,该椭圆上到点P 的距离为7的点的坐标是__________. 解:由该椭圆的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,可设其方程为122 2 2=+b y a x (0>>b a ) 23 == a c e Θ 224323a c a c =?= ∴, 而222b a c -= 2 22224143a b a b a =?=-∴,即224b a = 于是椭圆12222=+b y a x 的方程可化为142222=+b y b x 设),(y x M 是该椭圆上任意一点 则 493)1(4493)23()0(2222 2222 + -+-=+-+=-+-=y y b y b y y x y x PM 49 43322+ +--=b y y ,b y b ≤≤- 令 49 433)(22+ +--=b y y y g ,],[b b y -∈ 其对称轴为 21 )3(23- =-?-- =y (ⅰ)当b -<- 21,即 21< b 时,函数)(y g 在],[b b -上单调递减 此时, 2222max )23 (49349433)()]([+=++=+ ++-=-=b b b b b b b g y g 于是72323)23(][2max =+=+=+=b b b PM 解得: 21237> -=b 这显然与 21 < b 矛盾,因此此种情况不存在。 (ⅱ)当b >-21时,这显然与0>b 矛盾,因此此种情况不存在。 (ⅲ)当 b b <-<-21,即21>b 时,函数)(y g 在]21,[--b 上单调递增,在] ,21 [b -上单调递减 此时,3 449 42343)21()]([22max +=+++-=-=b b g y g 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则 ????? x -12-y +12-1=0 y -1x +1=-1,解之得????? x =2y =-2, 特殊解法:当直线l :Ax +By +C =0的系数满足|A|=|B|=1时,点A(x0,y0)关于l 的对称 点B(x ,y)的坐标,x =-By0-C A ,y =-Ax0-C B . 4.(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形OABC ,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O 点落在线段BC 上,设折痕所在直线的斜率为k ,则k 的取值范围为( ) A .[0,1] B .[0,2] C .[-1,0] D .[-2,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点O 落在线段BC 上,可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ,以l 为折痕可使O 与D 重合,故问题转化为在线段CB 上任取一点D ,求直线OD 的斜率的取值范围问题, ∵kOD≥kOB =12,∴k =-1kOD ≥-2,且k<0, 又当折叠后O 与C 重合时,k =0,∴-2≤k≤0. 5.(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x -ay +1=0的两侧,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,10) B .(10,+∞) C.??? ?-∞,43∪(10,+∞) D.??? ?43,10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边,所得两值异号,∴(9-a +1)(3-3a +1)<0,∴43 平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x . 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题(2) 第一部分:复习运用的知识 (一)椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ,即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个: ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴: 21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e = ,()10,0<<∴>>e c a (2)22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=越小,椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越 高三数学《平面解析几何》 单元练习七 (考试时间120分 分值160分) 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把正确答案填在题中横线上) 1.抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______. 2.过点A (4,a )与B (5,b )的直线与直线y =x +m 平行,则AB =________. 3.已知双曲线x 24-y 2 12=1的离心率为e ,抛物线x =2py 2的焦点为(e,0),则 p 的值为________. 4.若直线ax +2by -2=0(a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -8=0的周长,则1a +2 b 的最小值为______. 5.若双曲线x 2a 2-y 2 =1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________. 6.已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2,则曲线的方程为________. 7.(2010·淮安质检)抛物线y =-4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是________. 8.已知点A 、B 是双曲线 x 2- y 2 2 =1上的两点,O 为坐OA 标原点,且满足OA · OB =0,则点O 到直线AB 的距离等于________. 9.(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26-y 2 3=1的渐近线与圆(x -3)2+y 2=r 2(r >0) 相切,则r =________. 10.(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22-y 2 b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2,其一条渐近线方程为y =x ,点P (3,y 0)在该双曲线上,则12PF PF ?=________. 11.(2009·天津高考改编)设抛物线y 2=2x 的焦点为F ,过点M (3,0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点,与抛物线的准线相交于点C ,BF =2,则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF =________. 12.(2010·南京模拟)已知点(x 0,y 0)在直线ax +by =0(a ,b 为常数)上,则 (x 0-a )2+(y 0-b )2的最小值为________. 13.直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2 -4y 2 =3的焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________. 14.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若 AF FB =,,AF FB BA BC =?=48,则抛物线的方程为______________. 高考专题:解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A (2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析:设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=,x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P (x,y ),将x x x 122+=,y y y 122+=代入,当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 , 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时,其中点P (2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β。 (1)求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ; (2)求|||PF PF 13 23 +的最值。 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】(1)已知双曲线 a x 2- y b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为 F (2, 0),且双曲线的渐近线与圆 (x - 2)2 +y 2=3 相切,则双曲线的方程为 ( 22 A.x2-y2=1 A. 9 -13= 2 C.x 3-y 2=1 22 (2)若点 M (2,1),点 C 是椭圆 1x 6+y 7 22 (3)已知椭圆 x 2+y 2=1(a >b >0)与抛物线 y 2=2px (p >0)有相同的焦点 F ,P ,Q 是椭圆与抛物线的交点, ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ,则椭圆 a x 2+ y b 2=1(a >b >0)的离心率为 ___ . 答案 (1)D (2)8- 26 (3) 2- 1 22 解析 (1)双曲线 x a 2-y b 2=1 的一个焦点为 F (2,0), 则 a 2+ b 2= 4,① 双曲线的渐近线方程为 y =±b a x , a 由题意得 22b 2= 3,② a 2+b 2 联立①② 解得 b = 3,a =1, 2 所求双曲线的方程为 x 2-y 3 =1,选 D. (2)设点 B 为椭圆的左焦点,点 M (2,1)在椭圆内,那么 |BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a ,所以 |AM| +|AC|≥2a -|BM|,而 a =4,|BM|= (2+3)2+1= 26,所以 (|AM|+ |AC|)最小=8- 26. ) 22 B.x - y =1 B.13- 9 =1 2 D.x 2 -y 3=1 1 的右焦点,点 A 是椭圆的动点,则 |AM|+ |AC|的最小值为 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1 =+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合. 高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 §0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注:①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+b y a x . 注:若23 2--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是23 2--=x y ,但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化.①当b 为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则 1l ∥212k k l =?,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件,且21C C ≠) 平面解析几何(附高考预测) 一、本章知识结构: 二、重点知识回顾 1.直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ,倾斜角为α,它们的关系为:k =tan α; 若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程 a.点斜式:)(11x x k y y -=-; b.斜截式:b kx y +=; c.两点式:121121x x x x y y y y --=--; d.截距式:1=+b y a x ; e.一般式:0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ,2l 有三种位置关系:平行(没有公共点);相交(有 且只有一个公共点);重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ,则 1l ∥2l ?1k =2k ,1l ⊥2l ?1k ·2k =-1。 (4)点、直线之间的距离 点A (x 0,y 0)到直线0=++C By Ax 的距离为:d= 2200||B A C By Ax +++。 两点之间的距离:|AB|=212212)()y y x x -+-( 2. 圆 (1)圆方程的三种形式 标准式:222)()(r b y a x =-+-,其中点(a ,b )为圆心,r>0,r 为半径,圆的标准方程中有三个待定系数,使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小. 一般式:022=++++F Ey Dx y x ,其中?? ? ??--22E D ,为圆心F E D 42 122-+为半径,,圆的一般方程中也有三个待定系数,即D 、E 、F .若已知条件中没有直接给出圆心的坐标(如题目为:已知一 个圆经过三个点,求圆的方程),则往往使用圆的一般方程求圆方程. 参数式:以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x (其中θ为参数). 解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G:1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为 5 2. (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k(k≠0)的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q 为EF的中点,问E、F 两点能否关于 过点P(0, 3 3 )、Q 的直线对称?若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ,动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切,且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . (Ⅰ)求 k 的取值范围,并求x2 x1 的最小值; (Ⅱ)记直线P1A1 的斜率为k1 ,直线P2A2 的斜率为k2 ,那么,k1 k2 是定值吗?证明你的结论. 3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F,点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点,点 A 关于x 轴的对称点为 D .(1)求抛物线C 的方程。 (2)证明:点F 在直线BD 上; u u u r uu u r 8 (3)设 FA ?FB ,求BDK 的面积。.9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为中点 T 在直线OP 上,且A、O、B 三点不共线. (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率; ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值.1 2 ,点 P(2,3)、A、B在该椭圆上,线段AB 的 解析几何解答题 1、椭圆G :)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25 (1)求此时椭圆G 的方程; (2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于 过点P (0, 3 3)、Q 的直线对称若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由. ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值; (Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线 C 的方程。 ~ (2)证明:点F 在直线BD 上; (3)设8 9 FA FB ?=,求BDK ?的面积。. { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1 2 ,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值. - 、 直线和圆的方程 一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在坐标平面上什么位置,都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2-x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x ,y )之间数量关系的一个公式,其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点, B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时,λ=1,此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 5.两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时,tan θ= 2 11 21k k k k +-, 当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到:“到角”公式与“夹角”公式的 区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件来判断. (1)斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=, l 2∶22b x k y +=,有以下结论: ①l 1∥l 2?1k =2k ,且b1=b2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 (2)对于直线l 1∶0111=++C y B x A ,l 2 ∶0222=++C y B x A ,当A 1,A 2,B 1, B 2都不为零时,有以下结论: ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7.点到直线的距离公式. (1)已知一点P (00,y x )及一条直线l :0=++C By Ax ,则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++; (2)两平行直线l 1: 01=++C By Ax , l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程:222)()(r b y a x =-+-,其中(a ,b )是圆心坐标,r 是圆的半径; (2)圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x (F E D 42 2-+>0),圆心坐标 为(-2D ,-2 E ),半径为r =2422 F E D -+. 平面解析几何精粹 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =1 2(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.1 2 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y ′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则 ????? x -12-y +12-1=0y -1x +1=-1 ,解之得? ???? x =2 y =-2, 特殊解法:当直线l :Ax +By +C =0的系数满足|A|=|B|=1时,点A(x0,y0)关于l 的对称点B(x ,y)的坐标,x =-By0-C A ,y =-Ax0-C B . 4.(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中,矩形OABC ,O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O 点落在线段BC 上,设折痕所在直线的斜率为k ,则k 的取值范围为( ) A .[0,1] B .[0,2] C .[-1,0] D .[-2,0] [答案] D [解析] 如图,要想使折叠后点O 落在线段BC 上,可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ,以l 为折痕可使O 与D 重合,故问题转化为在线段CB 上任取一点D ,求直线OD 的斜率的取值范围问题, ∵kOD≥kOB =12,∴k =-1 kOD ≥-2,且k<0, 又当折叠后O 与C 重合时,k =0,∴-2≤k≤0. 5.(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x -ay +1=0的两侧,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,10) B .(10,+∞) C.??? ?-∞,43∪(10,+∞) D.??? ?43,10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边,所得两值异号,∴(9-a +1)(3-3a +1)<0,∴43 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 平面解析几何 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式: 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y --=,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111: l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111 =++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=.高中数学平面解析几何知识点总结
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