高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结(全)

必修四常考公式及高频考点

第一部分 三角函数与三角恒等变换

考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k 2360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法： 第一象限角的集合为{α| k 2360 °<α

第二象限角的集合为{α| k 2360 °+90 °<α

| k 2360 °+270 °<α

3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：

（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k 2360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角

（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k 2180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角

（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k 290 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：

终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k 2360 °+270 °,k ∈Z }

终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k 2180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k 290 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：

区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角

考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化

π=?180，1801π=

?，1弧度?≈?

=

3.57180π

2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）

弧长公式：R R

n l απ==

180

, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 2

1

3602==

π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12

R 2

|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数

规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧

考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=

（||r OP ==

；

化简为x

y

x y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号

规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值

除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线

经典结论： (1)若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x <<

(2)若(0,

)2

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥

例：

在单位圆中分别画出满足sin α＝12、cos α＝1

2、tan α＝－1的角α的终边，并求角α的取值集合

考点四 三角函数图像与性质

,2x x k k ππ??≠+∈Z ????

考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法

（1）y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B 或y=Acos(ωx ＋φ)＋B 解析式确定方法

A 、

B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路：

代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(22

1Z k k x ∈+=

+ππ

?ω或

)(22

32Z k k x ∈+=

+ππ

?ω，求?值． 易错提醒：y=Asin(ωx ＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600

)的初相是-600

②ω求解思路：

利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。

易错提醒：“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x ，不可针对-x 或2x 等. 例：

“两域”： (1) 定义域

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2) 值域(最值)： a.直接法（有界法）：利用sinx ，cosx 的值域.

b.化一法：化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值).

c.换元法：把sinx 或cosx 看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例：

1.y=asinx 2

+bsinx+c

2.y=asinx 2+bsinxcosx+ccosx 2

3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)

4.y=a(sinx ±cosx)+bsinxcosx+c “四性”： (1)单调性

①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2k π-π2<ωx+φ<2k π＋π

2，k ∈Z 解得, 单调递减区间由

2k π+π

2

<ωx+φ<2 k π＋1.5π，k ∈Z 解得;

②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由2k π+π<ωx+φ<2k π＋2π,k ∈Z 解得, 单调递减区间由2k π<ωx+φ<2 k π＋π，k ∈Z 解得;

③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象的单调递增区间由k π-π2<ωx+φ

2，k ∈Z 解得,.

规律总结：注意ω、A 为负数时的处理技巧． (2)对称性

①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= k π＋π

2(k ∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= k π(k ∈Z)解得;

②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ= k π(k ∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=k π＋π

2(k ∈Z) 解得;

③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= k π(k ∈Z)解得. 规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (3)奇偶性

①函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数?φ＝k π(k ∈Z)，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数?φ＝k π＋π

2(k

∈Z)；

②函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数?φ＝k π＋π

2

(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数?φ＝k π(k ∈Z)；

③函数y ＝Atan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数?φ＝k π

2(k ∈Z)．

规律总结：φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A 符号. (4)周期性

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π

|ω|，

y ＝Atan(ωx ＋φ) 的最小正周期T ＝π|ω|

.

考点六 常见公式

常见公式要做到“三用”：正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系

22sin cos 1θθ+=；tan θ=

θ

θ

cos sin 2.三角函数化简思路：“去负、脱周、化锐”

（1）去负，即负角化正角：

sin(-a)=-sina ； cos(-a)=cosa ；tan(-a)=-tana ；

（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：

sin(2k π+a)=sina ； cos(2k π+a)=cosa ；tan(2k π+a)=-tana ； （3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角： 6组诱导公式

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

． 口诀：奇变偶不变，符号看象限. 均化为“k π/2±a ”,做到“两观察、一变”。一观察：k 是奇数还是偶数；二观察：k π/2±a 终边所在象限，再由k π/2±a 终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换. 其中公式（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解 3.两角和差公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

,

4.二倍角公式

sin 2sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；

22tan tan 21tan α

αα

=

-，

二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α=β时的特殊情况 倍角是相对的，如0.5α是0.25α的倍角，3α是1.5α的倍角 5.升降幂公式

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂缩角）.

221cos 21cos 2cos ,sin 22

αα

αα+-==（降幂扩角），

6.辅助角公式

sin cos a b αα+

)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a

?=

，- π2

7.半角公式

sin

2A =±2cos 1A -；cos 2A =±2cos 1A

+ tan

2A =A

A cos 1cos 1+-；tan 2A =A A sin cos 1-=A A cos 1sin +

8.其它公式 1+sin a =(sin 2a +cos 2a )2；1-sin a = (sin 2a -cos 2

a )2

9.万能公式

sin a=

2)2(tan 12tan

2a a +；cos a=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-；tan a=2

)2

(tan 12tan

2a

a

- 10.和差化积

sin a+sin b=2sin 2b a +cos 2b a -；sin a-sin b = 2cos 2b a +sin 2b

a - cos a+cos

b = 2cos 2b a +cos 2b a -；cos a-cos b = -2sin 2b a +sin 2b

a -

tan a+tan b =b

a b a cos cos )

sin(+

11.积化和差

sinAsinB =-21[cos(A+B)-cos(A-B)]；cosAcosB =21

[cos(A+B)+cos(A-B)] sinAcosB =21[sin(A+B)+sin(A-B)]；cosAsinB =2

1

[sin(A+B)-sin(A-B)]

12.三倍角公式

3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()

33

ππ

θθθθθθ=-=-+；

3

cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππ

θθθθθθ=-=-+；323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33

θθππ

θθθθθ-==-+-

13.常见计算技巧

（1）简单的三角方程的通解

sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=?=+-∈≤.

s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈.

特别地,有

sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈.

（2）最简单的三角不等式及其解集

sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤?∈-+∈.

cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈. tan ()(arctan ,),2

x a a R x k a k k Z π

ππ>∈?∈++∈.

tan ()(,arctan ),2

x a a R x k k a k Z

π

ππ<∈?∈-

+∈.

例：

已知sin α>12、cos α>12、tan α>－1、sin α<- 12、cos α<- 1

2、tan α<－1,分别求出α的取值范围

14.三角形中三角函数关系

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+222

C A B

π+?

=-222()C A B π?=-+. sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan(A+B)=-tanC;sin cos 22

A B C

+=等． 15.三角函数化简的常用技巧

1.三角函数化简要做到“四看、四变”

(1)看角、做好角的变换：观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简.

(2)看名、做好名的变换：利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法 (3)看次数、做好次数的变换：利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次 (4)看形、做好形的变换：利用辅助角公式，统一函数形式 2.具体技巧

(1)遇分式通分、遇根式升幂. (2)和积转换法

掌握sin α±cos α，sin αcos α化简方法，利用(sin α±cos α)2

＝1±2sin αcos α，“知一求二”． (3)巧用“1”的变换

1＝sin 2θ＋cos 2θ＝＝tan450

＝sin π2

＝cos 0….

3.四种常见题型

给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式 若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函数均可；若角的范围在（0,180），选择余弦函数较好；若角的范围在（-90,90），选择正弦函数较好；

第二部分 平面向量

考点一 向量的有关概念

1.向量：既有大小又有方向的量，用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示

2.向量的模：有向线段的长度，|a|

3.单位向量：模为1的向量.与a 平行的单位向量：±a/|a|；与a 同向的单位向量：a/|a|；单位向量有无数个

4.零向量：模为0的向量，方向是任意的.注意实数0与向量0的区别

5.相等向量：长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移

6.相反向量：长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移

7.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，对长度不作要求 易错提醒：

1.有向线段与向量的区别：向量可用有向线段来表示，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小

2.共线向量（平行向量）可重合，注意与直线平行的区别；不要单纯从字面上理解共线向量，注意与直线重合的区别

3.规定零向量与任意向量平行；不可说零向量与任意向量垂直

4.零向量与单位向量的特殊性：长度确定、方向任意.a//b, b// c,不一定推出a//c; a=b, b= c,一定推出a=c 6.向量不可以比较大小，如不能得出3i>2i

考点二 向量的线性运算

1.向量的加法法则

（1）平行四边形法则：共起点，指向对角线；起点相同、终点相同，首尾相连、路径不限 （2）三角形法则：首尾相连，可理解为“条条大路通罗马” 2. 向量的减法原则：起点相同、指向被减

OA OB OC →+→=→

OA OB BA →-→=→ 12

(a+b)= 12

OC ,12

(a-b)= 12

BA

两个向量共线只可用三角形法则；封闭图形、首尾相连、相加为零 3.向量的数乘运算

实数λ与向量a 的积叫做向量的数乘，记作a λ

．其几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩 （1）

a a λλ=

（2）当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=

4.a 与b 的数量积运算

a2b=|a ||b|cos θ=|a||b|cos=x 1x 2+y 1y 2

（1）|a|cos叫做a 在b 方向上的投影；|b|cos叫做b 在a 方向上的投影

（2）a2b 的几何意义：a2b 等于|a|与|b|在a 方向上的投影|b|cos的乘积 （3）θ为a 与b 的夹角，0≤θ≤π （4）零向量与任一向量的数量积为0 （5）a2b=-b2a

（6）向量没有除法，“a /b”没有意义,注意与复数运算的区别

（7）向量的加法、减法、数乘结果为向量，向量的数量积结果为实数 易错提醒：

向量的数量积与实数运算的区别：

（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a ?b)?c ≠a ?(b ?c)

（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a ?b=a ?c (a ≠0)，推不出 b=c （3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或a=-b （4）|a ?b|≤|a|?|b|

考点三 向量的运算律

1.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a 2b= b 2a （交换律）; (2)（λa ）2b= λ（a 2b ）=λa 2b= a 2（λb ）; (3)（a +b ）2c= a 2c +b 2c.

考点四 向量的坐标表示及坐标运算

1.平面向量基本定理

如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量（隐含另一条件为非零向量，基底不唯一）e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 该定理作用：证明三点共线、两直线平行或两个向量a 、b 共线.

解题思路：可用两个不共线的向量e 1、e 2表示向量a 、b ，设b=λa （a ≠0），化成关于e 1、e 2的方程，即f(λ) e 1+g(λ) e 2=0,由于e 1、e 2不共线，则f(λ)=0，g(λ) =0

2.向量的坐标表示

i j x y →

→

，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→

=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示

(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++

(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y -- (3)设

()()

λλλλa x y x y →

==1111，，

(4)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a 2b=|a ||b|cos θ=x 1x 2+y 1y 2

（5）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--

（6）

()()||AB x x y y A B →=

-+-212

212

，、两点间距离公式

易错提醒：

公式（2）与公式（5）的区别

向量坐标与该向量有向线段的端点无关，仅与其相对位置有关 考点四 向量的常见公式 1.线段的定比分公式

（1）定比分点向量公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=

，则P 的

坐标是1212,11x x y y λλλλ++?? ?++??，即12

1

211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

?12

1OP OP OP λλ+=+ ?12

(1)OP tOP t OP =+- （11t λ

=+）. （2）定比分点坐标公式：

()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在

P x y P x y P x y P P P 11122212l

l 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→

P P P P P P P P 12121200→

><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ

x x x y y y P P P x x x y y y =++=++?????

??=+=+???????121212

1212

112

2λλλλ，为中点时， ()()()

如：，，，，，，?ABC A x y B x y C x y 112233，

则重心的坐标是，?ABC G x x x y y y 123

12333++++?? ???

2.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心222

OA OB OC ?== .

（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=

.

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?

.

（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=

.

（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+

.

3. A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)三点共线?OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1

(x 1-x 2)(y 2-y 3)= (x 2-x 3) (y 1-y 2)等

4. 向量的三角形不等式和方程

（1）∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a+b ∣≤∣a ∣+∣b ∣

① 当且仅当a 、b 反向时，左边取等号；② 当且仅当a 、b 同向时，右边取等号 （2）∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a-b ∣≤∣a ∣+∣b ∣

① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号；② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号 记忆规律：

（1）与（2）的几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

（3）∣a+b ∣2+∣a-b ∣2=2（∣a ∣2+∣b ∣2

），该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和 （4）a 2b>0推不出a 与b 的夹角为锐角，可能为0；a 2b<0推不出a 与b 的夹角为钝角，可能为180

5.点的平移公式

''''

x x h x x h y y k y y k

??=+=-?????=+=-????'

'OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'

F 上的对应点为'

'

'

(,)P x y ，且'PP

的坐标为(,)h k .

6.“按向量平移”的几个结论

(1)点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.

(2)函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'

C ,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3)图象'

C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'

C ,则'

C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5)向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y . 考点五 向量的的四种常见题型 设a=11(,)x y ,b=22(,)x y

1.两个向量的平行或共线关系：a//b ?b=λa （a ≠0）12210x y x y ?-=（交叉相乘差为零）， 若a=0,则λa=0，当b=0，λ不唯一；当b ≠0，λ不存在.限定a ≠0是保证λ的唯一性和存在性 不可写为x 1/x 2=y 1/y 2

2.两个向量的垂直关系 a ⊥b ?a 2b=0?|a ||b|cos θ=012120x x y y ?+=（对应相乘和为零）

3.两个向量的夹角公式：

cos θ=

,其中θ为a 与b 的夹角

4.两个向量的模运算：若(),a x y = ，则2

22

a x y =+ 或a =

（a±b）2=a 2±2ab+b 2,（a+b ）（a-b ）=a 2

-b 2

解题技巧：

1.如向量用模表示，且已知两个向量的夹角，遇模，先平方后开方，如()2wb a wb a ±=±λλ

2.如向量用坐标表示，遇模不平方，直接按照坐标运算