线性代数练习题及答案
选择题
1 A,B 都是n 阶矩阵，且AB =0,
(A) A = 0 或 B = 0. (C) A = 0 或 B =0.
3若A 为m n 矩阵，且R （A^ r : m n 则（
）必成立.
4向量组 二厂匕,…：'，线性无关的充分条件是（）
（A ） ： 1,： 2, ： s 均不是零向量. （B ） ：忙2
,
：s 中任一部分组线性无关.
（C ） _：? , _込广%中任意两个向量的对应分量都不成比例
.
（D ） :、，：』,…：*中任一向量均不能由其余 S-1个向量线性表示 5齐次线性方程组
AX =0是非齐次线性方程组 AX 二B 的导出组，则（）必定成立.
（A ） AX =0只有零解时，AX =B 有唯一解. （B ） AX - 0有非零解时，AX = B 有无穷多解.
（C ）〉是AX J 的任意解，0是AX = B 的特解时，0 ?〉是AX = B 的全部解.
（D ） !，
2是
AX =B 的解时，「2是AX =0的解.
6若B =二，方程组AX 二B 中，方程个数少于未知量个数，则有
（
线性代数练习题
2设
5
、
b 、
1
-r <-1
b <
c
d 」
0 1丿,
<1
~r
(A)
.(B)
■
1—1 1
<1 0丿
则必有：()
(B) A = B = 0 (D) A = | B = 0
（A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ） A 经初等变换可化为
0 0>
（D ）A 中r 阶子式不全为零。
(B) AX - v 只有零解。 (D) AX =B —定有无穷多组解。
ax — bv = 1
7线性方程组丿
丫 ，若a^b ,则方程组
bx + ay = 0
(A) AX =B —定无解。 (C) AX - ■ n 必有非零
(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解
(D)其解需要讨论多种情况
B 都是n 阶矩阵，且 AB = 0，则A 和B 的秩(
A 必有一个为0, C 必有一个小于n ，
B 必定都小于n , D 必定都等于n
填空题
1方程组
x 1
+
2x 2
_ X 3 = 0
2x 1
4x 2
7x 3
=0
的通解为
2设5阶方阵A 的行列式为| A = — J2，贝U |<2A = __________
3已知
■2
-3
，求X 二
三计算题
2 1
1 D =-
-5 3 1 3 - 1
3
1 1 1 1
1
3 4 2
2 D =
2 2 2
解：D
1
3 4
2
亠3
3
一 3
1
3 4
2
x 0 0 2
2 x 0 0
3 D =
解：D=x
0 2 x 0
0 0 2 x
=(3 -1)(4 -1)(2 -1)(4 -3)(2
_3)(2 _4) =12
x 0 0
2x0
2x0 + 2(-1严 0 2 x =x 4 -16 0 2 x
0 0 2
—4 2 — 3
x a x x
4 D =
x x a x x x x a
2 2 2
6 设 A=1
2 3 , B = A 」,求 B 解：A
1 3 6一
广2
0 3、
(1、
‘2 0
3、
7 解矩阵方程： -1
4
6 X = -1 解： -1 4 6
<3
-2 一3」
3丿
<3
_2 一3」
125
丿
"2 0 3、
■-1
8 2
、
8 解矩阵方程：X
-1 4
6
—
_
3 6
<3
-2 一
3」
3
0 5丿
1 1 1 1 1 1
x x
0 a — x 0 0 3
= (3x + 0 0
0 =(3x + a )( a —
x )
a x a —x x a
0 0 0 a —x
1 1 x a D = (3x +a ) x x
x x
[
4 -6 8 1
'2 3 4'
5设A = 2
3 4
,求矩阵A 的秩。解：A[ 0 1 0 i
-2 -3 _4_
<0 0 0> R(A) =2 2 2 2 1 2 3=2, 1 3 6
<27
广2 0 3、
-4 「1、
X = -1 4 6
-1
<3 —2 一3」
10」 <27 5 2 '
(1 '
5 5、
5 1
1
-1 =
9 1。」
9 1
17 125
< 135
-2
3 T 1
1 _
9 2 27
J1 8 2、 广2 0 3、
1 8 2、 X = 0 -3 6 -1 4 6 = 0 -3 6
<0
0 5」 <3 -2 _3
J
0 5」
10 27
2
_
5
1
_
9
1 125
丿
20
27 7 9 10 64 135 17 27
45 1 27
X i 2X 2 3X 3 4X 4
求线性方程组'
X i
-X 2 X 3
X 4
5
的通解
3
4 3
」
R(A) 二R(B) =2 ：：： 4,故
原方程
组有无穷多组解
5 7 X i =
一一X 3 -2x 4
+ —
3 3
2
4
X 2 =
X 3
-X 4 +
-
3
3
X 3 =
X 3
I.X 4 =
X 4
同解方程组为:
X 4为自由未知量，
10求线性方程组 础解系。
r
5、 卜2、
X
2 -1 + k 1 — -- + k 2 X
3 3 0
1 l X 4丿
1 1丿 I
0 丿
原方程组的通解为: ,k 1 ,k 2任意常数 X 1 2X 2 X 3 x 4 = 2 2X 1 5X 2 X 3 4X d = 5 1 2 3
亠 的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基 X i X 2 -X 3 2X 4
3X 2 3X 4 =1 (1 2 1 1 2、 (1 0 3 -3 0
、
2 5 1 4 5 C 0 1 -1 2 1 0 1 1 -1 2 1 0 0 0 0 0 I 1
3 0 3 3」 1 1°
0 0 0 °」
解：B = 同解方程组为: 知R(A)二R(B) = 2 ::： 4 ,故原方程组有 无穷多组解， 二-3X 3 3X 4
=X3 - 2X 4 1 X 3M4为自由未知量, 原方程组的通解为:
X 2
3x 1 2x 2 X 3 X 4 - -2
1
2
3
的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个
X 2 +2X 3 +X 4 =5
11求线性方程组
基础解系。
「1 1 1 1 1、
「
1
0 _1 _1 -4
3 2
1 1 -
2 「 0 1 2 2 5
1 2 1 5 L 0 0 0
1
0 \5 4 3 3 0」
<0 0 0 0 0」
解：B 二
5X 1 4X 2 3X 3
，知R(A)二R(B) = 3 ：：： 4,故原
方程组
f X1 = X3 _ 4
x2二-2X3 5，X3为自由未知量，原方程组的通解为:
x4= 0
12当a为何值时下列线性方程组有解
2x^1 +x2 - x3+ x4 = -2
% + 2x2+ x3+ x4 = 3
-x1 x22X3_2X4
x4 = -1
有解时用向量形式表示出它的通解
，知R(A) = R(B) = 3 ：： 4,故
13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无关组
(1)：1 =(2,1,3);： 2 =(1,-1,2);： 3 =(0,3,-1)；
(2) a 1=(1,0,1), a 2=(0,1,-1), a 3=(2,0,1) a 4=(0,1,2)
广2 1 -1 1 -2 ]n 2 1 1 3、
1 2 1 1 3 I 0 1 1 0 2
一1 1 2 -2 L a 0 0 0 1 2
0 -1 1 一1丿<0 0 0 0 a j」
解：B =
(1(1
2 1 1
3 0 0
，当a =1 时，R(A) =R(B) =3，线
—
3)
-3
二
X3
，X3为自由未知量，原方程组的通解为:
x
-i
原方程组有无穷多组解，
有无穷多组解，同解方程组为:
X i - X3
性方程组有解。
z
2 1 0、
n -1 3、
解：（1）A =
1
-1 3 c 0 1 -2
2
-b
1° ° 1
」
向量组〉1,〉2,〉3线性无关，且〉1,〉2,〉3就是一个最大无关组
广
1
° 2
°、
° 2 °
、 解：（2）A = ° 1 ° 1
c ° 1 ° 1
J -1 1 2」
<
° ° -1 3
向量组-'I ,〉2, 為线性相关，：'1^-2^'3或-1,〉2厂4是最大无关组
14 已知向量组 r F 1
2 3 4 , -2 =〔2 3 4
5
, ： ^'3 4 5
6 ,
J =(4 5 6 7 ），求向量组的秩。
解
*1 2 3 4、
1 2 3 4、
*1 1 1 1]
1 1 1 1]
2 3 4 5
1 1 1 1
1 2 3 4
° 1 2 3
A =
[
L
3 4 5 6
1 1 1 1
° ° ° °
° ° ° °
I 4
5 6
7
丿
1 1 1丿
<
° ° °
丿
1
1° ° °
丿
R （：1,〉2」3,： 4）=2
15已知向量组 ?1 =(1
2
-1 1 ），心
-=(2
0 t 0)
3=(0 —4 5 — 2 )的秩
为
2，求 t 。
p
2
°、 （1 2 ° '
2
°、
& 2 ° -4 ,°
-4 -4 ° 1
1
解：A =
L
[
-1 t 5 ° 2 +t 5 ° 2+t 5
° 一2」 1° -2 一2丿
1°
° °」
若 R(〉1「2,〉3)=2,则 2 t =5,所以 t =3.
，:2 =：1 2 3 ，: 3 = 1 3 t ，当t 为何值时，向量
组线性相关。
16讨论向量组 y = 1
1 1
(1 i 1、
n 1 1 、
n 1 1、
解：A = 1 2 3
c 0 1 2 ] 0 1 2
a 3 t
」
<0
2
I
0 t —5
」
若向量组线性相关,则R(r, ：2 ： 3)=R(A) ：： 3 所以t -5 =0，即t =5 四证明题
1.设A,B 相乘可交换，且 A 可逆，证明A ，与B 相乘也可交换 证：由AB 二BA 得B=A 」BA 故
BA 」二A 」B .
2 ?设A 是可逆的n 阶矩阵，求证 -A " —A J
.
证：由-A 」-A 二A 」A = E.故 A 」=-A 」.
线性代数练习题答案
一.选择题
8.(C)
二.填空题
I .(C)
| AB |=| A||B |=|0|= 0。
2. (B) 可代入验算。
3. (A ,C ,D)例如 A =
1
0 <0
4. (B ,D )部分组也含向量组
本身。5. (C) :是AX
的任意解, 0
是AX =B 的特解时，° ：?是
AX 二B 的全部解.
.(C)
7 . (B) ? b 2 = 0，由克莱姆法则知有唯一解。
X 2 =1 1 k , k 是任意常数.2. (“i | A|=—(/2$ = —8
W 丿I 0
丿
计算题
解：将2 , 3 ,4行加到第一行提公因式化二角形得：D =(3x ■ a)(a - x)3
1 0 2
解: A T 0 1 0 , R(A)=2
卫 0 0 ；
解：冋非冷屮亡盒冷
2 0
3 "
0 1
"5
2 ~5
解：
(A
，E)初■行变(E
，A J), -1
4
6
=
1
_"2 1
运
1 ~2
3
-2 ~3)
1 1 3
2
5
一帀
1 5
-1
17 _
15
1. 3.
- *-.
1.
D
2.
3. 4.
5.
6.
7
1
3
-1 3
-11 5 -5
-11
-6 -5
0 -11 5 —
-6 -5
=
1
1 -5 =
1 2 -5 =
1 1 —
2 -5
-1 1 0
-1
0 -1
1 0
=40
5 11
2 -
-3
」
,有关的
2 <1 0屮 一1」
1 0、
1 一
解: 化为二角形行列式得: D =40
解: 由范得蒙行列式结论得: D =(3_ 1)(4 _ 1)(2 _ 1)(4 _3)(2 _ 3)(2 _ 4) = 12 解: 按第一行展开计算得:
D =x 4
-16
10. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得:
11. 解：对增广矩阵做初行变后类上题可得:
1
令a = 一2
, a 为对应导出组AX =日的一个基础解系
1
X 1
=一3 x 3
+ 3 x 4
X 1 ”
3
〔3 \
X 2 =X3 —2x 4 +1
X 2
1
-2
1
=
1 k1 + 0 k
2 + 0
X 3 = X 3 X 3
1
x 4
= x 4
1X4
」
<0」
<1」
<0k 1
,k 2
为任意常数. 8 .解:
/ 01 _可 53
话
46
、A 土同上题，X=BA ，=
7
2 2
3 -10
31 -10
5
2
4
一飞
9 .解：增广矩阵
2 -1
3
4 5^
初行变
TT
1 0
5 y 2 r
1 1 1
1
1
2 3
1
約
（行最简阶梯
X i X 2
鳥 X 3 -2x 4 ? -紜3 -X 4 4
X
3
- X
3
焉=X 4
f 5、
_3
门\
3 2 3
k1 +
-1
k2 +
4 3
1 0
<0丿
<1」
为对应导出组AX "的一个基础解系。
X i = X3 —4 X 2 二 -2x 3 - 5 X 3 二 X 3
X 4 =0 X i X 2 X 3
1 -
2 k +
1 0丿
k 为任意常数
1 X
2 X 3
k 1
,k 2
为任意常数
：1,： 2
12.解：A 二
r 2 1 -1 1 -2]
1 0 -1 0 -1、
1 2 1 1 3 初行变
h, 0 1 1 0 2
-1 1 2 -2
T T a 0 0 0 1 3
0 -1 1
一1
丿
<0
0 0 0 詈-a,
对增广矩阵做初行变后可知当
11
a = 3
时, 原方程组有解, 冷=X 3
1 ~3
「1、
/ 1
、
_ 3
x 2 = -x 3
+ 2 2
，通解为： X 2
-1 k + 2 X 3 =X3
X 3
1 0
2
X 4 = 3
<0』
2
“丿
,k 为任意常数. 2
1
0 '
1 0 0
、 13. (1)解：A 二 1 -1
3
初行^
0 1
<3 2
-1」
I 0
0 h 1 0
2 0、
1 0 0 6
⑵解：A= 0
1 0 1 T 0 1 0 1 -1 1 2」 <0 0 1 -3
：仆：2, ： 3为其最大无关组.
S,〉2, >3, >4线性相关. 〉_,：? 2
,〉3
线性无关，为其最大无关
组. 14.解: 1 2 3 <4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5
6 7
初行变
TT 1 0 0 <0 0 1 0 0
-1 2 0 0
-2 3
:、，—为其最大无关组.秩为2.
15.解:
0 -4 5
—2 1
t f 3
,R(A) =2, t = 3满足要求.
16. 解:
1 0 — 2丿
<0 0 0 1 1
1 1 1、
1 2 3 T 0 1 2 <1 3 t j
<0 0 t —5)
A = 八向量组线性相关，? t = 5满足要
求. 四.证明题
1.证明：AB = BA且A」存在，分别左乘、右乘A」，得A J AA-1, 或BA」二A』B，结论得证。
2.证明：由性质('A)(」B) V、(AB)，现在- A J A =(-1)(-1)人」人=A」A = E. 又由性质知AB =E= B J-A，故- A，二-A」.