函数的奇偶性(学生版)

函数的奇偶性

一、函数奇偶性定义 1、图形描述：

函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数；

函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述

一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。

特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

二、函数具有奇偶性的几个结论

1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数?()y f x =的图像关于原点对称。

2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。

3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1

2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：

奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇?奇=偶 偶?偶=偶 奇?偶=奇

5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

6、多项整式函数1

10()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零。

类型一 函数奇偶性的判断

例1：判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)f (x )＝2x 4＋3x 2

； (2)f (x )＝1x

＋x ；

练习1：判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝x 2

＋1；

(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；

练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x 2

C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

类型二 分段函数奇偶性的判定

例2：用定义判断函数f (x )＝?

????

－x 2

＋

x x 2

－x

的奇偶性．

练习1：判断函数f (x )＝

????

?

x 2

＋2 x 0

x ＝－x 2－

x

的奇偶性．

练习2：如果F (x )＝?

??

??

2x －3

x f x x

是奇函数，则f (x )＝________.的单调性

类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式

例3：若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求：当x ≥0时，函数f (x ) 的解析式．

练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________．

练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的表达式为( )

A ．f (x )＝x ＋1

B ．f (x )＝x －1

C ．f (x )＝－x ＋1

D ．f (x )＝－x －1

类型四 抽象函数奇偶性的证明 例4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证： f (x )为奇函数．

练习1：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．

2：已知()f x 是定义在R 上的任意一个增函数，()()()G x f x f x =--，则()G x 必定为（ ） A 、增函数且为奇函数 B 、增函数且为偶函数 C 、减函数且为奇函数 D 、减函数且为偶函数 类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断

例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x －a|＋1的奇偶性．

练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f (x )＝x 2

＋a

x

，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．

练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝ax ＋b x

(其中a 、

b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，5

2

)．

(1)求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的奇偶性．

类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值

例6: 已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝5

3

.求实数a 、b 的值；

练习1: (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝x ＋b

1＋x

2为奇函

数.求b 的值；

练习2: 若函数(0)y kx b k =+≠是奇函数，则b = ；若函数2

(0)y ax bx c a =++≠为偶函数，则b = 。

类型七：利用奇偶性解不等式

例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．

练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x ≥0时单调递减，设f(1－m)

练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)

3

)的x 的取值范围是( )

A ．? ??

??13，23 B ．????

??13，23

C ．? ??

??12，23 D ．????

??12，23

类型八 利用奇偶性求函数值

例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求 f(1)．

练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( ) A ．－15 B ．－13 C ．－5 D ．5

练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1

2

，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( ) A ．0 B ．1 C ．5

2 D ．5

1、判断下列函数的奇偶性：

（1）()11f x x x =+--； （2）()()1f x x =-?

2、已知函数()f x 是奇函数，定义域为{}

0x x R x ∈≠且，又()f x 在()0,+∞上为增函数，且

()10f -=，则满足()0f x >的x 的取值范围是 。

1、 若2)(2

4

+-=bx ax x f ，且5)(=c f ，求)(c f -的值；

4、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()(1f x x =，求()f x 的解析式。

5、已知()()2111

x a

f x x x bx +=-≤≤++奇函数，求,a b 的值。

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基础巩固

1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝( )

A．3 B．－3

C．2 D．7

2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)，其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

3．若二次函数f(x)＝x2＋(b－2)x在区间[1－3a,2a]上是偶函数，则a、b的值是( ) A．2,1 B．1,2

C．0,2 D．0,1

4．(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )

A．－3 B．－1

C．1 D．3

5．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数

6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )

A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)

C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)

7．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.

8．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)

9．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．

(1)证明：f(x)是偶函数；

(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．

10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．