北京中考数学模拟二次函数综合题汇编(含答案)
09年 北京中考数学模拟分类——二次函数综合题
1、［2009平谷区二模］24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点
(03)A ，、(10)C -，．将矩形OABC 绕原点O 顺时针
方向旋转90o
，得到矩形OA B C '''．设直线BB '与x 轴交于点M 、与
y 轴交于点N ，抛物线经过点C 、M 、N ．解答
下列问题：
（1）求直线BB '的函数解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上求出使OABC C B P S 2
9
S 矩形='
'?的所有点P 的坐标．
2、［2009朝阳二模］23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，
将△A BO 绕坐标原点O 顺时针旋
转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.
抛物线y= ax 2
+bx+3经过B 、1B 两点.
（3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰
三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；
（4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN
的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.
3、［20XX 年昌平区二模］24．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC
的解析式为y =，直线
AC 交x 轴
于点C ，交
y 轴于点A ．
（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角
顶点B 的坐标；O
（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角
度为()0180αα?<
时，求α的值；
（3）在（2）的条件下，判断点
B '是否在过点B 的抛物线
23y mx x =+上，并说明理由．
x
4、［20XX 年海淀区］23、已知：关于x 的一元二次方程
22(2)0x n m x m mn +-+-=①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1； （3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a ，当2x =时，
关于m 的函数1y nx am =+与和关于m 的函数
222(2)y x a n m x m mn =+-+-的图像交于点A 、B （点A 在点
B 的左侧），平行于
y 轴的直线l 与1y 、2y 的图像分别交于
点C 、D.当l 沿AB 由点A 平移到B 点时，求线段CD 的最大值.
5、［20XX 年海淀区二模］24、如图，已知抛物线
22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线
3y x
=上，
直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.
（1）确定直线AB 的解析式；
（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90?，与x 轴交于点D ，与
y 轴
交于点E ，求sin BDE ∠的值.
（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG
6、［20XX 年丰台区二模］25．已知抛物线2
y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若过点B 的直线y kx n =+与抛物线相交于点C （2，m ），求
?OBC 的面积；
（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E ．是否存在点P ，使得以C 、E 、P 为顶点的三角形与?OCD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
7、［20XX 年石景山二模］23．如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（
，
3），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B ．
（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．
8、［20XX 年石景山区二模］24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，AOB ?为等边三角形，点
A 的坐标是（34
，
0），点B 在第一象限，AC 是OAB ∠的平分线，并且与y 轴
交于点E ，点M 为直线AC 上一个动点，把AOM ?绕点A
顺时针旋转，使边AO 与边AB 重合，得到ABD ?．
（1）求直线OB 的解析式；
（2）当M 与点E 重合时，求此时点D 的坐标；
（3）是否存在点M ，使OMD ?的面积等于33，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 9、［20XX 年大兴二模］25.已知,抛物线c bx ax y ++=2过点
)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C ，此抛物线的顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；（2）把ABC △绕AB 的中点M 旋转180o
，得到四边形AEBC . ①求E 点的坐标；
②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．
（3）试探求：在直线BC 上是否存在一点P ，使得PAD △的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理
由．
10、［20XX 年房山二模］24．如图，已知抛物线经过点B (-2,3)、原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴与x 轴交于点C （2，0）， （1）求此抛物线的函数关系式；
（2）联结CB, 在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E 的坐标；
（3）在(2)的条件下, 联结BE,设BE 的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PBG 的周长最小？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
第24
C
B
A
y
x
E
O x
B
O C
A
y
y
x
O A
B C
D 第23题
11、［20XX 年房山二模］23．已知抛物线232y x x n =++， （1）若n=-1, 求该抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当11<<
-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求
n 的取值范围．
12、［20XX 年西城二模］24. 如图，抛物线y ＝ax 2
+bx +c 的顶点为
A （0，1），与x 轴的一个交点
B 的坐标为（2，0），点 P 在抛
物线上，其横坐标为2n （0 （2）用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明PD OC CD OB 与的大小关系； （3）若将原题中“0 A B C D O x y P 13、［2009平谷二模］25、已知，关于x 的一元二次方程:2(4)30x a x a ---+=（0a <） （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为1x ,2x （其中12x x <），若y 是关于a 的函数，且21 23x y x =+，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a 的方程10y a ++=的解． 1 2 3 4 4 3 2 1 a y O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 14、［20XX 年延庆二模］25.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在X 轴正半轴上，边CO 在Y 轴的正半 轴上，且AB=2，OB=23，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在Y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D. ⑴求F 、E 、D 三点的坐标； ⑵若抛物线 c bx ax y ++=2经过点 F 、E 、D ，求此抛物线的 解析式； ⑶在X 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得△QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？ x 线2 12 y x bx c =- ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E 在第一象限内的此抛物线上，且OE ⊥BC 于D ，求点E 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PA 与PE 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 16、［2009宣武区二模］23.（本题满分7分）已知二次函数 2 441y ax ax a =++-的图象是C 1． （1）求C 1关于点R （1，0）中心对称的图象C 2的函数解析式； （2）在（1）的条件下，设抛物线C 1、C 2与y 轴的交点分别为A 、B ，当AB=18时，求a 的值． 过点(12)P b --，． （1）求b c +的值； （2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交 y 轴于点A ，交抛物 线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 18、［2009顺义二模］24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 m x m x y ++-=)1(2（m 是常数） 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），且A 、B 两点在原点两侧． （1）求A 、B 两点的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）若6ABC S ?=，求抛物线的解析式； （3） 设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，试判断△ACD 的形状，并求tan ∠ACB 的值． 1. 24．（本题7分） OABC (13)B ∴-， 把(13)B -，，(31)B '，代入y mx n =+中，331m n m n -+=?? +=?，． 解得1252m n ? =-??? ?=?? ，． ∴ 1522y x =-+ ． 3分 （2）由（1）得，) 0,5(M ),25 ,0(N ． 4分 设二次函数解析式为 2 y ax bx c =++，把5(10)(50)02C M N ?? - ? ??，，，，，代入得， 52502525502c a b a b ?=???-+=? ? ? ++=??，，．解得12252a b c ?=-??=???=?，，． ∴二次函数解析式为 215222y x x =-++ ． 5分 （3）313OABC S =?=Q 矩形， 227 S C B P =∴''?． 又3B C ''=Q ，∴点P 到B C ''的距离为9．则P 点 的纵坐标为10或8-． ∵抛物线的顶点坐标为（ 29,2） ∴P 的纵坐标是10,不符合题意,舍去 ∴P 的纵坐标是8-. 6分 当8y -=时， 25 2x x 2182+ +-=-，即0214x x 2=--． 解得7x ,3x 21=-=． ∴)8,7(P ),8,3(P 21---． ∴满足条件的点P 的坐标是(－3,－8)和（7，－8）. 2. 23．（本小题7分） 解：（1）过点B 作BE ⊥OA 于点E ， ∵AB=OB ， ∴OE=2 1 OA=2． ∴BE=122=-OE OB ． ∴B (－2,1) ． …………………1分 ∴)1,2(),2,1(21-B B ． ∵抛物线32++=bx ax y 经过1B B 、两点， ∴???=++=+-,231324b a b a 解得???? ? -=-=3132b a ． ∴ 抛 物 线 的解 析 式 为 33 1 322+--=x x y ．……………2分 （2）∵当x=2时，131 32312322-≠-=+?-?-=y ， ∴ 点 ) 1,2(2-B 不在此抛物线 上． ……………………3分 （3）点P 应在线段2BB 的垂直平分线上，由题意可知，21BB OB ⊥且平分2BB ， ∴点P 在直线1OB 上． 可求得1OB 所在直线的解析式为 y=2x ． ……………………………4分 又点 P 是直线 y=2x 与抛物线 33 1 322+--=x x y 的交点， 由?? ???+--==,331 3222x x y x y 解得???==2111y x ，????? -=-=9 2922y x ． ∴符合条件的点P 有两个，)2,1(1P 即点1B 和 )9,29 (2--P ．………………………5分 （4 223 3. 24．解：（1）在图1中，∵直线AC 交x 轴于点C ， ∴点()2,0C ，即(20)D ，．…………………………..1分 过点B 作BE x ⊥轴于点E . ∵OBD ?是等腰直角三角形，直角顶点为B ， ,45OB BD BDE ∴=∠=?， 11,2 OE ED BE OC ∴==== 图1 ∴(1,1)B ．…………………………………………………….2分 （2）∵直线AC 交y 轴于点A ， ∴(0,3A ． 在图2中，过点O 作OF AC ⊥于点F . 在Rt AOC △中， tan AO ACO OC ∠== 30ACO ∴∠=? ， 图2 60,1FOC OF ∴∠=?=． 在Rt B OD '△中，利用勾股定理，得OB '= 在Rt OB F '△中， cos 2OF B OF OB '∠=='， 45B OF '∴∠=?． 45B OD '∠=?Q ， 90DOF ∴∠=?， 30COD α∴∠==?．…………………………………….4分 （3）Q 抛物线23y mx x =+过点(1,1)B ， 2m ∴=-， ∴抛物线的解析式为2 23y x x =-+．………….5分 设点(),B a b '，则2222a b +==． 又点(),B a b '在直线AC 上， b ∴=+ 22 (2a ∴++=， ∴a =（负值不符合题意，舍）， b ∴=．……………………………………………..6分 将a =代入抛物线的解析式223y x x =-+2112()32212++-?+? = Q b =. ∴点B '在过点B 的抛物线223y x x =-+上．…7分 4. 23． ∵n 2≥0， ∴Δ≥0． ∴方程①有两个实数根． (2)解：由m －n －1＝0，得m －n ＝1． 当x ＝1时， 等号左边＝1＋n －2m ＋m 2－mn ＝1＋n －2m ＋m (m －n )＝1＋n －2m ＋m ＝1＋n －m ＝0． 等号右边＝0． ∴左边＝右边． ∴x ＝1是方程①的一个实数根． (3)解：由求根公式，得2 2n n m x ±-= ． x ＝m 或x ＝m －n ． ∵m －n －1＝0， ∴m －n ＝1，n ＝m －1． ∴a ＝m ． 当x ＝2时，y 1＝2n ＋m 2＝2(m －1)＋m 2＝m 2＋2m －2． y 2＝22＋2m (n －m －m )＋m (m －n )＝4＋2m (－1－m )＋m ＝－2m 2－m ＋4． 如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时， 3427212 +??? ? ? +m ． 由y 1＝y 2，得m 2＋2m －2＝－2m 2－m ＋4． 解得m ＝－2或m ＝1． ∴m A ＝－2，m B ＝1． 121 2<-<-Θ， ∴当m ＝21-时，CD 取得最大值4 27 ． 5. 解：(1)y ＝(3－m )(x 2－2x ＋1)＋4m －m 2－3＋m ＝(3－m )(x －1)2＋5m －m 2－3． ∴A (1，－m 2＋5m －3)． ∵点A 在双曲线x y 3 = 上， ∴xy ＝3． －m 2＋5m －3＝3． 解得m ＝2，m ＝3(不合题意，舍去)． ∴m ＝2，A (1，3)． ∵直线y ＝mx ＋b 经过点A ， ∴3＝2×1＋b ． b ＝1． 故直线AB 的解析式为y ＝2x ＋1． (2)由y ＝2x ＋1，可得B (0，1)，?? ? ??- 0,21C ． 将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°， 得点B 的对应点为D (1，0)， 点C 的对应点为?? ? ??21,0E ． 可得直线DE 的解析式为2 121+- =x y ． 由?? ???+-=+=，21 21, 12x y x y 得两直线交点为??? ??-53,51F ． 可得DE ⊥BC ，BD ＝2，5 5 =BF ． 7. 23． 解：（1）联结 ，在菱形 ABCD 中 ， // ， ，由抛物线对称性可知 ．………………………………1分 ∴ 都是等边三角形． ．…………2分 ∴点 为（2， ）．…………………………………3分 （2）由抛物线 的顶点 可设抛物线的解析式为 ．由（1）可得 （1，0），把 解得 ．………………5分 设平移后抛物线的解析式为 ，把（0，式得．∴平移后抛物线的解析式为 ．……………………7分 即． 10. 24. 解：（1）抛物线的解析式为：2 14 y x x = - ------------------2分 （2）1(2,5)E ，2(2,5)E - -----------------------4分 （3）存在. ①当1(2,5)E 时，1(0,4)G ，设点B 关于直线x=2的对称点为D ， 其坐标为（6，3） -------------------5分 直线1DG 的解析式为：146y x =-+，∴1P （2，11 3 ） ------------------6分 ②当2(2,5)E -时，2(0,1)G -,直线2DG 的解析式为：2 13 y x =- ∴2P （2，1 3 ） -------------------------7分 综合①、②存在这样的点P ，使得△PBG 的周长最小，且点P 的坐标为（2，11 3 ） 或（2，1 3 ） -----------------------------------------8分 11. 23. 解：（1）当n=-1时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为：x=-1或x= 1 3 ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103?? ??? ，． ···························· 2分 （2）∵抛物线与x 轴有公共点． ∴对于方程 2320x x n ++=，判别式△=4-12n ≥0， ∴n ≤31 ． --------------------------------3分 ①当13 n =时，由方程031232=++x x ，解得31 21-==x x ． 此时抛物线为31 232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103??- ??? ，． ·············· 4分 ②当n ＜1 3 时， 11-=x 时，132y n =-+=1+n 12=x 时，2325y n n =++=+ 由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为3 1-=x ， 应有1y ≤0，且2y ＞0 即1+n ≤0,且5+n ＞0 ---------------------------------------5分 D 1G 2G y 综合①、②得n 的取值范围是：1 3 n =或-5＜n ≤-1． -----------------------------7分 12. 24．解：(1)如图①． 第24题答图 ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A (0，1)，经过(2，0)点， ∴y ＝ax 2＋1， 又4a ＋1＝0，解得41- =a ． ∴抛物线的解析式为14 12 +-=x y ． (2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ． ∵A (0，1)，B (2，0)． ???=+=∴.02,1b k b 解得????? =-=. 1, 21b k ∴直线AB 的解析式为12 1 +-=x y ． ∵点P 在抛物线上，它的横坐标为2n (0＜n ＜1)， ∴点P 的坐标为(2n ，1－n 2)，且点P 在第一象限． 又∵PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D ， ∴x D ＝OC ＝2n ，n n y D -=+?- =1122 1 ，且点D 在第一象限． ∴CD ＝1－n ． PD ＝y P －y D ＝(1－n 2)－(1－n )＝n －n 2＝n (1－n )． ∵0＜n ＜1． n n n n CD PD =--=∴ 1) 1(． n n OB OC ==22Θ， OB OC CD PD =∴． 点P 的坐标为(2n ，1－n 2)． ∵x D ＝OC ＝2n ， n n y D -=+?-=∴1122 1 ． ∵D 点在第四象限， ∴CD ＝－y D ＝n －1， PD ＝y D －y P ＝(1－n )－(1－n 2)＝n (n －1)． ∵n ＞1， n n n n CD PD =--=∴ 1) 1(， n n OB OC ==22Θ，OB OC CD PD = ∴仍然成立． 13. 解：（1）△ =)3a (4)4a (2-+-=44a a 2 +-=2)2a (- ∵a<0， ∴ 0)2a (2 >-． ∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）2)2a ()4a (x 2-±-= =2) 2a ()4a (-±- ∴3a x -=或1 22 a 4a x -=+--= ． ………………………………………3分 ∵a<0，21x x <， ∴1x ,3a x 21-=-= ………………………4分 2x 32x y +=a 23a 32-=-+-)0a (< a 2y - = )0a (<和1a y --=)0a (<的图像．…………..6分 由图像可得当a<0时，方程方程01a y =++的解是 2a -=．………………………….7分 14. 25．解：（1）联结AO ,Q ABOC ， 322==OB AB ，40=∴A ………1分 Q 矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形 EFOD ,A 落在y 轴上的点E 4==∴EO AO )4,0(E ∴ ……………………(2分) 过 D 点 作 DH ⊥ X 轴 于 H ， AOB DOH ABO DHO ∠=∠∠=∠,Θ， DHO ?∴∽ABO ? AO DO OB HO AB DH = =∴ 4,2,32,2====AO DO OB AB Θ 3,1==∴OH DH )1,3(-∴D …………………………3分 同理得)3,3(F ∴ …………………………4分 （2）因为抛物线c bx ax y ++=2 经过点F 、E 、 D ∴C=4 ?????+-=++=∴43314333b a b a 求得：4 ,33 ,32==-=c b a 所求抛物线为：4 33 322++-=x x y …………………………5分 设三角形QOB 的OB 边上的高为h ，则 3223221 ?=??h ， 所以4=h …………………………6分 因为点Q 在x 轴上方的抛物线上, )4,(x Q ∴ 23 ,0,433324212= =++-=∴x x x x ………7分 所以Q 的坐标是)4,0(或) 4,23 ( …………………………8分 15. 23．解：（1）根据题意，得A （－2，0）、C （0，3）．…………………………………………1分 Q 抛物线21 2y x bx c =-++ 过A （－2， 0）、C （0，3）两点， ∴ 220,3.b c c --+=??=? 解得 1,23.b c ? =?? ? =? ∴ 抛物线的解析式为 211 3 22y x x =-++．………………………2分 （2）由211 3 22y x x =-++可得 B 点坐标为 （3，0）． ……………………………3分 ∴OB ＝OC ＝3． x Q OD ⊥BC ， ∴OD 平分∠BOC ．……………………4分 ∴点E 的横坐标等于纵坐标． 解方程组2,11322y x y x x =???=-++??得 122, 2; x y =?? =?223, 3.x y =-?? =-? ∴点E 的坐标为（2，2）．……………5分 （3） 在抛物线的对称轴上存在一点P ，使 线段PA 与PE 之差的值最大． 当点P 为抛物线的对称轴 12x = 和BE 所在的直线26y x =-+的交点时，PA －PE =PB －PE=BE ，其值最大． BE =22 12+=5． ……………6分 由12,26x y x ?= ?? ?=-+?解得12,5.x y ?= ?? ?=? ∴点P 的坐标为（1/2， 5）． …………………………………………………7分 ∴点P 为（1/2，5）时PA －PE 的最大值为5． 16. 23．解：(1)由y ＝a (x ＋2)2－1，可知抛物线C 1的顶 点为M (－2，－1)．由图知点M (－2，－1)关于点R (1，0)中心对称的点为N (4，1)，以N (4，1)为顶点，与抛物线C 1关于点R (1，0)中心对称的图象C 2也是抛物线，且C 1与C 2的开口方向相反，故抛物线C 2的函数解析式为y ＝－a (x －4)2＋1， 即y ＝－ax 2＋8ax －16a ＋1． 第23题答图 (2)令x ＝0，得抛物线C 1、C 2与y 轴的交点A 、B 的纵坐标分别为4a －1和－16a ＋1， ∴AB ＝｜(4a －1)－(－16a ＋1)｜＝｜20a －2｜． ∴｜20a －2｜＝18． 当101