2019-2020学年山东省菏泽市第一中学八一路校区高一上学期第三次月考数学试题(含答案解析)

2019-2020学年山东省菏泽市第一中学八一路校区高一上学期第三次月

考数学试题

一、单选题

1．已知集合A ＝{x |x >2}，B ＝{

}15x x -≤≤，则B ∩?R A 等于（ ）

A ．{x |2≤x ≤5}

B ．{x |－1≤x ≤5}

C ．{x |－1≤x ≤2}

D ．{x |x ≤－1}

【答案】C

【解析】已知集合A ，B ，则根据条件先求出{}|2R C A x x =≤，然后根据交集的定义求出R B C A ?即可. 【详解】

解：集合A ＝{x |x >2}，所以{}|2R C A x x =≤，又集合{

}15

B x x =-≤≤，则

{}|12R B C A x x ?=-≤≤.

故选：C. 【点睛】

本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题. 2．命题2",2"x Z x ?∈<的否定是（ ） A ．2,2x Z x ?∈≥ B ．2,2x Z x ?∈≤ C ．2,2x Z x ?∈> D ．2,2x Z x ?∈≥

【答案】D

【解析】直接根据命题的否定的定义得到答案. 【详解】

命题2

",2"x Z x ?∈<的否定是：2

,2x Z x ?∈≥ 故选：D 【点睛】

本题考查了命题的否定，属于基础题型.

3．已知[]{}

2,2,A B x x a =-=≤，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}

2a a > B ．{}

2a a >-

C ．{}

2a a ≥

D ．{}

2a a ≤-

【答案】C

【解析】根据A B A =I 得到A B ?，再根据范围大小关系得到答案. 【详解】

A B A A B ?=∴?

[]{}2,2,A B x x a =-=≤，故2a ≥

故选：C 【点睛】

本题考查了根据集合的包含关系求参数范围，判断A B ?是解题的关键. 4．下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A ．()()2

,f x x g x x ==

B ．()()2,f x x g x x ==

C ．()()2

,x f x x g x x

==

D ．()()4221

,11

x f x g x x x -==-+

【答案】D

【解析】根据函数的定义域和表达式是否相等依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. ()f x x =定义域为R ，()2

g x x =定义域为[)0,+∞，不相同，排除；

B. ()2f x x x =

=，()g x x =，表达式不相同，排除；

C. ()f x x =定义域为R ，()2

x g x x

=定义域为()(),00,-∞?+∞，不相同，排除；

D. ()422

111

-==-+x f x x x 定义域为R ，()2

1g x x =-定义域为R ，都相同. 故选：D 【点睛】

本题考查了相同函数的判断，确定定义域和表达式是解题的关键.

5．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()2

1

f x x x

=+

,则()1f -= ( )

A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

【答案】A

【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 6．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．3y x =+ C ．22y x =-+ D ．2x y =

【答案】B

【解析】由一次函数的性质判断A 错；由指数函数的性质判断D 错；由二次函数性质，判断C 错，进而可得出结果. 【详解】

由一次函数的性质可知，3y x =为奇函数，故A 错误；

由指数函数的性质可知，2x

y =为非奇非偶函数，故D 错误；

由二次函数的性质可知，2

2y x =-+是偶函数，在()0,∞+上单调递减；故C 错误．

由33-+=+x x 得3y x =+是偶函数，当0x >时，33=+=+y x x 显然单调递增，故B 正确； 故选：B 【点睛】

本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性的判断，熟记基本初等函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型．

7．在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边过点P （2，-1），则sin （π-α）的值为（ ） A ．5

B ．25

C 5

D 25

【答案】A

【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得sinα,再由诱导公式即可得答案 【详解】

解：∵角α终边过点()2,1P -, ∴222(1)5r OP ==

+-=

∴5

sin 5

y r α=

==-

∴()5

sin sin παα-==-, 故选A 【点睛】

本题考查已知终边上一点求三角函数值,考查诱导公式的应用,是基础题 8．设07log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（ ） A ．a b c << B ．a c b <<

C ．b a c <<

D ．c a b <<

【答案】C

【解析】利用对数函数的性质推导出01,0a b <<<，利用指数函数的性质推导出1c >，由此能求出结果． 【详解】

解：0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71a =<=<=Q ，

1111log 0.9log 10b =<=， 0.901.1 1.11c =>=，

b a

c ∴<<．

故选C ． 【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题．

9．定义运算()()a a b a b b a b ?≤?=?>?

，则函数()112??=? ???x

f x 的图象是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】先由题意得到函数解析式，进而可得出函数图像. 【详解】

由题意可得：()11,01,121112,0

112,122x

x

x

x x

x f x x ???

≤?≤? ???????=?==?? ???>?????? ???>??? ? ????

???. 根据选项，可得D 正确. 故选：D 【点睛】

本题考查了分段函数的图象，根据题意写出分段函数解析式，即可得出结果，属于基础题．

10．函数()()(),0

0,12

2,03x a x f x a a a x a x ?≥?

=>≠?-+

为R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．31,2

?? ??

?

B ．31,

2??

???

C ．()1,2

D ．)3

,22

???

【答案】A

【解析】根据分段函数为递增函数，满足每一个分段为递增，且间断处满足0

2

3

a a ≥，计算得到答案. 【详解】

()()(),00,12

2,03x a x f x a a a x a x ?≥?=>≠?-+

为R 上的增函数 则满足：01202

3a a a a

?

?>?->???≥?

解得3

12a <≤

故选：A

【点睛】

本题考查了分段函数的单调性，忽略掉间断处的大小关系是容易发生的错误. 11．下列转化结果错误的是（ ） A ．67?30'化成弧度是

38

π B ．103

π

-

化成角度是-600? C ．-150?化成弧度是76

π- D ．

12

π

化成角度是15?

【答案】C

【解析】根据两个基本等式：()1801,1180

rad rad π

π??

?==?

???

，逐项分析即可. 【详解】

对于A ，3673067.51808

π

π

?=?

='，正确；对于B ，

1010180=60033πππ??

--?=- ????

?，正确；对于C ，5150150180

6π

π

-?=-?=-

，错误；对于D ，180=151212πππ????= ???

?，正确.

故选C. 【点睛】

本题考查角度与弧度的互化，难度较易.注意：()1801,1180

rad rad π

π??

?==?

???

.

二、多选题

12．设,a b ∈R ，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．222a b ab +≥

B ．1

2a a

+≥

C ．212+≥b b

D ．

2b a

a b

+≥ 【答案】ACD

【解析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立. 【详解】

A.当,a b ∈R 时，222a b ab +≥成立，故A 正确；

B.当0a >时，1

2a a +≥，等号成立的条件是1a =，当0a <时，12a a

+≤-，等号成立的条件是1a =-，

故B 不正确；

C.当b R ∈时，()2

2

1210b b b +-=-≥，所以212+≥b b ，故C 正确；

D.0,0b a a b >>，所以22b a b a a b a b

+≥?=，等号成立的条件是当且仅当b a a b =，即22a b =，故D 正确. 故答案为：ACD 【点睛】

本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型.

13．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y （单位：千克）与时间x （单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）.

A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加

B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少

C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同

D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 【答案】BD

【解析】根据车间持续5个小时的生产总产量y （单位：千克）与时间x （单位：小时）的函数图像，分别进行判断即可。 【详解】

由该车间持续5个小时的生产总产量y （单位：千克）与时间x （单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A 错，B 正确； 后2小时均没有生产，故C 错，D 正确。 故选：BD 【点睛】

此题考查函数图像的实际应用，关键点是将函数图像和实际问题联系起来，属于较易问题。

三、填空题 14．若2sin()3

3π

α+=

，则cos()6

π

α-的值是___________. 【答案】

2

3

【解析】将6

π

α-化为

23π

πα?

?-+ ???

，利用诱导公式结合题意即可求解. 【详解】

2cos cos sin()62333ππππααα????

??-=-+=+= ? ??????

???

故答案为：2

3

【点睛】

本题主要考查了三角函数的给值求值型问题，将

6

π

α-化为

23π

πα?

?-+ ???

是解题的关键，属于基础题. 15．若扇形的圆心角为2π

3

，半径为2，则扇形的面积为______. 【答案】

4π3

【解析】利用扇形面积公式21

2

S R α=可求出答案. 【详解】

由题意,扇形的面积为22112π42π2233

S R α==??=. 故答案为:4

π3

. 【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算,考查了学生的计算能力,属于基础题. 16．已知

sin 2cos 32cos θθ

θ+=，则tan θ=____________.

【答案】4 【解析】

sin 2cos 32cos θθ

θ

+=,得出tan θ方程,即可求出tan θ.

【详解】

sin 2cos tan 2

3,tan 42cos 2

θθθθθ++==∴=.

故答案为: 4

【点睛】

考查同角间的三角函数关系,化弦为切,重点考查计算能力,属于基础题. 17．集合1

{|0}2x A x x

+=≤-，{|40}B x x p =+<，若B A ?，则实数p 的取值范围是_____. 【答案】4p ≥

【解析】先化简集合{

2A x x =>或}1x ≤-，4p B x x ??

=<-

????

，根据B A ?，列出不等式，即可得出结果. 【详解】 因为{1

{|

0}22x A x x x x +=≤=>-或}1x ≤-，{|40}4p B x x p x x ??=+<=<-???

?，

又B A ?，所以14

p

-≤-，解得4p ≥. 故答案为：4p ≥ 【点睛】

本题主要考查由集合的包含关系求参数，熟记集合间的基本关系，以及分式不等式的解法即可，属于常考题型.

四、解答题

18．计算下列各式的值. (1)()112

03

90.027216π??++- ?

??

；

(2)3log 2

94lg100log 4log 33-?-.

(3)252525sin

cos tan 634

πππ

??

++- ???

； 【答案】(1)

41

20；(2)12

-；(3)0. 【解析】（1）根据指数运算的性质，进行化简即可； （2）根据对数运算的性质，结合题目，灵活应用即可求得； （3）利用诱导公式，化简求值即可. 【详解】

(1)()()1121

12

2

033

3

9333410.02720.31116410420

π?

?????++-=++=

++= ?

???

??

； (2)3log 2

94lg 4lg 31

22lg 9lg100log 4log 33

lg 42

--=-

?-=-?. (3)252525sin

cos tan sin 4cos 8tan 6634634πππ

ππππππ???????

?++-=++++-- ? ? ? ?????????

sin

cos

tan 6

34π

π

π??

=++- ???

11

1022

=

+-= 【点睛】

本题考查指数、对数的运算，以及诱导公式的应用，属计算问题，需要对性质和运算规律非常熟悉. 19．若角()0,απ∈，且7

sin cos 13

αα+=. （1）求sin cos αα-的值； （2）求tan α的值. 【答案】（1）

17

13；（2）125

-

. 【解析】（1）由()0,απ∈得知sin 0α>，将等式7

sin cos 13

αα+=

两边平方，可求出2sin cos αα的值，并可得出cos 0α<，可推出sin cos 0αα->，并将代数式sin cos αα-平方，可求出sin cos αα-的值；

（2）根据题中条件和（1）的结果建立方程组求出sin α和cos α的值，再利用同角三角函数的商数关系可求出tan α的值. 【详解】

（1）将7sin cos 13αα+=

平方得22

49sin 2sin cos cos 169

αααα++=， 120

2sin cos 0169

αα∴=-

<. ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.

而()2

120289

sin cos 12sin cos 1169169

αααα??-=-=--

= ?

??，因此，17sin cos 13αα-=；

（2）由（1）得7sin cos 1317sin cos 13αααα?+=????-=??，解得12sin 13

5

cos 13αα?

=????=-??

，因此，sin 12tan cos 5ααα=

=-. 【点睛】

本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系求值，在处理有关sin cos αα±的值，一般利用平方关系，即()2

sin cos 12sin cos αααα±=±，同时不要忽略对角的取值范围的判断，考查运算求解能力，属于中等题.

20．(1)已知函数()12sin f x x =+，用五点法作出()y f x =在[]0,2π上的图象. (2)用“五点法”作函数2cos 3y x =-+()02x π≤≤的简图. 【答案】(1)图象见详解；(2)图象见详解.

【解析】（1）根据五点作图法，列表，描点，连线即可得到函数图像； （2）根据五点作图法，列表，描点，连线即可得到函数图像. 【详解】 (1)列表如下：

x

2

π

π

32

π 2π

sin x 0 1

－1

12sin x

+ 1 3 1 －1 1

描点、连线即可得到函数()y f x =在[]0,2π上的图象，如图所示.

(2)由条件列表如下：

x 0

2

π π

32

π 2π

2cos x

-

－2 0

2 0 －2

2cos 3

x -+ 1 3 5 3 1

描点、连线得出函数2cos 3y x =-+()02x π≤≤的图象如图所示.

【点睛】

本题考查正弦型函数和余弦型函数的五点作图，属基础题.

21．已知函数f (x )＝log (1)a x -，g (x )＝log (62)a x -(a >0，且a ≠1). (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域； (2)试确定不等式f (x )≤g (x )中x 的取值范围. 【答案】（1）{}3|1x x <<.（2）见解析.

【解析】(1) 函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域为f (x )＝log (1)a x -和 g (x )＝log (62)a x -定义域的交集，

列出方程组求解即可. (2) f (x )≤g (x )，即为log (1)log (62)a a x x -≤-，对01a <<，1a >两种情况分类讨论，即可求出x 的取值范围. 【详解】

解：(1)φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域为：10

620x x ->??

->?

，解得：13x <<，所以定义域为{}3|1x x <<.

(2) f (x )≤g (x )，即为log (1)log (62)a a x x -≤-，定义域为{}3|1x x <<. 当01a <<时，162x x -≥-，解得：73x ≥

，所以x 的取值范围为7,33??

????

. 当1a >时，162x x -≤-，解得：73x ≤

，所以x 的取值范围为71,3?? ???. 综上可得：当01a <<时，x 的取值范围为7,33

??????

.

当1a >时，x 的取值范围为71,3?? ???

.

【点睛】

本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，考查分类讨论的思想，属于基础题.

22．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数

关系是20,(25,*)

45,(2530,*)t t t N P t t N +<∈?=?≤≤∈?

，日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是

40(30,)Q t t t =-+≤∈N*.

（1）设该商品的日销售额为y 元，请写出y 与t 的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）

（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？

【答案】（1）(

)

(

)

22080025,1800452530,t t t t N y t t t N

*

*

?-++<∈?

=?-≤≤∈??；（2）日销售金额的最大值为900元，11月10日

日销售金额最大

【解析】(1)由日销售金额＝每件的销售价格×日销售量可得(

)

(

)

22080025,1800452530,t t t t N y t t t N

**

?-++<∈?

=?-≤≤∈??; (2)利用二次函数的图像与性质可得结果. 【详解】

（1）设日销售额为y 元，则y P Q =?，

所以**

(20)(40),(25,)

45(40),(2530,)t t t t N y t t t N ?+-<∈=??-≤≤∈?． 即：2**

20800(25,)

180045(2530,)t t t t N y t t t N ?-++<∈=?-≤≤∈? （2）2**

(10)900,(25,)

180045,(2530,)t t t N y t t t N ?--+<∈=?-≤≤∈?

． 当025t <<时，10t =，max 900y =； 当2530t ≤≤时，25t =，max 675y =．

故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大. 【点睛】

本题主要考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学中二次函数的知识进行求解函数的最值. 23．已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足1

122

()()()x f f x f x x =-，且当1x >时，()0f x < （1）求(1)f 的值；

（2）证明：()f x 为(0,)+∞上的单调减函数； （3）若(3)1f =-，求()f x 在[2,9]上的最小值； 【答案】（1）(1)0f =；（2）证明见解析；（3）2-. 【解析】（1）由定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足1

122

(

)()()x f f x f x x =-，当12x x =时，能求出(1)f ．

（2）设12x x >，则1122

()()()x f x f x f x -=，由12x x >，知121x

x >，当1x >时，()0f x <，由此能

推导出()f x 在区间(0,)+∞是减函数．

（3）由(1)0f =，(3)1f =-，知1

()(1)(3)13f f f =-=，1(9)(3)3f f =÷1(3)()23

f f =-=-，由()f x 在区间(0,)+∞是减函数，求出()f x 在[2,9]上的最小值．

【详解】

（1）Q 定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足1

122

(

)()()x f f x f x x =-， ∴当12x x =时，(1)0f =．

（2）()f x 是减函数，设12x x >＞0，则1

122

()()(

)x f x f x f x -=， 12x x >Q ，∴

1

2

1x x >， Q 当1x >时，()0f x <，

1212()()0()()f x f x f x f x ∴-

()f x ∴在区间(0,)+∞是减函数．

（3）0()1f =Q ，(3)1f =-，

1

()(1)(3)13

f f f ∴=-=0(1)1=--=，

Q 1(9)(3)(3)3f f f =÷=-1

()1123

f =--=-，

()f x Q 在区间(0,)+∞是减函数，

()f x ∴在[2,9]上的最小值为(9)2f =-．

【点睛】

本题考查抽象函数的函数值、单调性、最小值的求法，考查基本运算求解能力和转化与化归思想，求解时要注意利用赋值法判断函数的单调性和最值．