平行四边形培优讲义新打印版
平边四边形知识点
一．知识框架
:
二．知识概念
平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
平行四边形的判别方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
,
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
/
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）
正方形常用的判定：
邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
/
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形常用辅助线：
.
—
】
、
平行四边形的判定及性质巩固练习题
1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD?是平行四边形．
2、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗说明理由.
【
3、有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形．
4、□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，求证：BE=DF
）
5、(变式练习2)□ABCD中,AC、BD交于点O，AE=CF，BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形
—
F
E
O
A
N
M
F
E
O
A
/
7、(变式练习4)如图所示，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，四边形EGFH 是平行四边形，说明理由.
8、(变式练习)□ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 的延长线于E ，BF 平分∠ABC 交AB 的延长线于F ，求证：四边形 DEBF 是平行四边形
？
9、(变式练习1)如图所示，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗为什么
{
10、(变式练习2)如图，E 、F 分别为口ABCD 的边AD 、BC 的中点。求证：（1）BE=DF ； |
（2）O 为GH 的中点。
F E
C D B
A B
C
F
D G H
E O
，
12、已知如图：在ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE =DF ， 则线段AC 与EF 是否互相平分说明理由.
:
13、.如图所示，已知点D 是△ABC 的边AB 上的中点，点E 是AC 上的一点，DF ∥BE,EF ∥AB,证明：AE 、DF 互相平分
^
14、如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，△BME 是△AMD 绕点M 按顺时针方向旋转180°得到的，连结AE ，求证：DE=AC ．
15、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． …
求证：四边形AFCE 是平行四边形． N
M
E F
C
D
B
A F
D B C
A E
A
D
F
C
。
E
16、如图所示，某城市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF=FC ，甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B →A →E →F ，乙乘2路，路线是B →D →C →F ，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站，请说明理由.
(
17、在平行四边形ABCD 中，BN ＝DM ，BE ＝DF ，求证：四边形MENF 是平行四边形.
]
18、如图，在ABCD 中，AB=2AD ，延长AD 到F,使DF=AD,再延长DA 到E,使AE=AD,求证:BF ⊥CE.
19、如图19－1－30，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。求证：四边形ADEF 是平行四边形。
￥
20、如图3，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥，连结
BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。
）
21、如图2，平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，试说明：EF与GH相互平分．
矩形拓展题
1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
2、如图①，矩形ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将△BAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF，如图②（2）将△AFB沿BF折叠，AF与DC交点G，如图③则所得梯形BDGF的周长等于（）
+22 +22 +42 +42
①②③
3、如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠
无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )
·
A．2m+3 B．2m+6 C．m+3 D．m+6
：
4、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于
~
B
O
C
第1题
(第3题)
m+3m
3
a
M
D
A E 'A （'
B ）
D A ．a B ．a 5
4
C ．a 22
D ． a 23
5、如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，?
>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为( )
B. 3
C.2
【
6、矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B ’处，折痕为AE ．在折痕AE
上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________．
7．小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①，AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ．
8、如右上图，将矩形ABCD 纸片沿EF 折叠，使D 点与BC 边的中点D’重合，若BC=8，CD=6，则CF=________。 9、如图2，在矩形ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△AEF （点A 、B 、E 在同一直线上），连结CF ，则CF = . -
10、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm.
11、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合， !
折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2
． A B C D B
￥
C
D
F ①
②
A B C
E ~
M
N ③
12、如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．
?
13、如图自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD,E 为垂足,延长CE 至F,使CF=BD,连接AF,求∠BAF 的大小
菱形的性质及判定巩固练习题
1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）
A ．对角线相等的平行四边形
B ．每条对角线平分一组对角的四边形
C ．对角线互相垂直的平行四边形
D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2 下列命题中错误．．
的是 （ ） Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
：
Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 3 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
4 菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ） A ．8cm 和3．4cm 和3．8cm 和3．4cm 和3
!
5 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）
A ． 32
B ． 33
C ． 34
D ． 3
A
B
C
D
F A
D
E B
A D
E
6 如右图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立．．．的是（ ）
A. DE DA =
B. CE BD =
C. 90=∠EAC °
D.E ABC ∠=∠2
7 如右图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a
B ．12a
C ．8a
D ．4a
8、如图，菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD
的面积是 ，对角线BD 的长是 ．
9、已知菱形ABCD 的面积是2
12cm ，对角线4AC =cm ，则菱形的边长是 cm 10、如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.
11、如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点．
?
12、如图，菱形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，5cm AB =，4cm AO =，则BD = cm ．
13、如图所示，已知□ABCD，AC ，BD 相交于点O ，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
13题图 14题图
12题图
14、 如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）
15、菱形ABCD 的周长为48cm ，∠BAD： ∠ABC= 1：?2，?则BD=?__ ___，?菱形的面积是____ __． 16、在菱形ABCD 中，AB=4，AB 边上的高DE 垂直平分边AB ，则BD=_____，AC=_____．
17、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系并证明你的猜想 D
C
B
O
A
D
E
B
F
A
D
O
E B
C
…
18、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．求证：四边形AEDF 是菱形．
19、如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC 平分BAD ∠，CE AD ∥交AB 于E ． （1）求证：四边形AECD 是菱形；
（2）若点E 是AB 的中点，试判断ABC △的形状，并说明理由．
)
20、如图8，在平行四边形ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．
（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形请证明你的结论．
21、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，四边形AEFG 是菱形吗
A
B
C
·
D E
F
32
1A B
C
E
F G
A
E
"
22、如图，三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是AC 上一点，AE=AB,EF ∥BC 交AD 于F ，BE 与AD 交与G ，求证：四边形BDEF 是菱形。
￥
￥
23、如图、在三角形ABC 中，∠A=90 o，∠B 的平分线交AC 于D ，交高AH 于E,，DF ⊥BC,F 为垂足，求证：四边形AEFD 为菱形。
24、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC ，交BD 于E ，垂足为H ，已知CH=4，AH=8
（1）求菱形的周长； （2）求OE 的长度．
A C
E
F
A D
C
A
C
F
25、如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC 3，∠C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .
（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形请说明理由.
(
正方形练习题
1、正方形ABCD 的边长为1，它的两条对角线相交于点O ，则△ABO 的周长为_____ ，面积为_______
2、如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，EC=AC ，AE 交CD 于F ，则∠AFC=____
F
A
B
D 2题图 3题图 6题图
3、如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AE=2, EF= 5点E 在AB 上，点F 在AD 上，则CF=_____
4、在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 把正方形分成两部分，且:1:5ABE AECD S S ?=梯形，AB=6, 则AE=________
5、若正方形面积缩小为原来的
1
3
，则它的边长是原来边长的______ :
A
B
D
C
E
F
B C A D
P E
F
B A D
E
P
C'B'
D A
C
B
N
B
A
D
M
7、如图，以正方形ABCD 的对角线BD 为边作正三角形BDE,过E 作EF ⊥AD,交DA 的延长线于F,则∠AEF=_____；若正三角形BDE 的周长是122，正方形面积为_______
7题图 8题图 10题图 8 、如图，在正方形ABCD 中，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC,PF ⊥BD,点E 、F 分别是垂足，BD+AC=14，则PE+PF=______ {
9、正方形ABCD 边长为8，M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值为_________ 10、如图，已知边长为1的正方形ABCD ，E 为AD 中点，P 为CE 的中点，则BPD S =_____
11、在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F,只添加一个条件____________________,使四边形AEDF 为正方形（写出一个条件即可） 12、如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转60°，至正方形'
'
'
AB C D ,则旋转后两个正方形重叠部分的面积是_______
13、如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上任一点，N 是CD 的中点，且AM=DC+CM …
求证：AN 平分∠DAM
14、已知正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM 且交∠CBE 的平分线于N. 求证：MD=MN. 若M 是AB 上任意一点，MD=MN 还成立吗若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。
|
15、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，过点E 作AE 的垂线分别交CD 、AB 的延长线于点F 、G. 求证：BE=BG+CF
、
16、如图，在正方形ABCD 中，△PAQ 是正三角形，设AB=10,求PB 的长 !
@
17、如图，在正方形ABCD 中，F 是对角线AC 上任一点，BF ⊥EF,求证：BF=EF
:
18、如图，正方形ABCD 边长为1，E 是CD 的中点，点F 在BC 边上移动.试判断当点F 移到什么位置时，AE 是∠DAF 的平分线
B C
A D
19、如图，在正方形ABCD中，E是DB延长线上的一点，且∠ECB=15°.求证：EC=BD
G A
B D C
E
`
四边形综合培优题
1、以△ABC的边AB、AC、BC为边作等边△ABD、等边△ACE和等边△BCF。（1）求证四边形ADFE是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；
（4）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形．
;
M
F
E
O D
C
B
A
M
F
E
O
D
C
B
A
2、如图：正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，连接EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足M ，AM 交BD 于点F ． ①求证OE=OF '
②如图2所示，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥EB 的延长线于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
?
3、如图，在梯形ABCD 中，∠A+∠B=90°，AB
1
()2
AB CD
4、已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，
{
（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形并给出证明．
、
A
M
N
E
#
5、在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
、
（1）在图1中证明CE ＝CF ；
（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），求∠BDG 的度数
（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
…
（
6、已知正方形ABCD ，点P 是对角线AC 所在直线上的动点，点E 在DC 边所在直线上，且始终保持PE ＝PD ． （1）如图1，当点P 在对角线AC 上时，观察、猜想PE 与PB 有怎样的关并证明你的结论。
（2）如图2，当点P 运动到CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
;
（3）如图3，当点P 运动到CA 的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形， 并判断此时PE 与PB 有怎样的关系并证明你的结论。 图3
A
D
B
C E
&
G
图2
A B
C F
D
E G
图1
A
B
C
F D E
A B
7、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB ＝45°，CD ＝2，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连结EG 、AF ．
（1）求EG 的长； （2）求证：CF ＝AB ＋AF ．（用两种方法证明） <
!
8、以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．
（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状并说明理由；
（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），
A
D
B
)
A
:
C
D G E
F
A B C
D
G E
F
① 试用含 的代数式表示∠HAE；② 求证：HE=HG；③ 四边形EFGH是什么四边形并说明理由．
￥
；
9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°
（1）求点E到BC边的距离；
(2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的形状是否发生变化若不变，请求出△PMN的面积和周长；若变化，请说明理由．
￥
10、将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的