线性代数第四章答案说课材料

线性代数第四章答案

第四章向量组的线性相关性

1 设 V 1 (1 1 0)T V

2 (0 1 1)T V

3 (3

4 0)T 求 V 1 V 2 及 3v i 2v 2 V 3

解 V 1 V 2

(1 1 0)T (0 1 1)T

(1 0 1 1 0 1)T (1 0 1)T

3V 1 2V 2 V 3 3(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T

(3 1 2 0 3 3 1 2 1 4 3 0 2 1 0)T (0 1 2)T

2 设 3(a 1 a) 2(a 2 a) 5(a

3 a)求 a 其中 a 1 (2 5 1 3)T a 2 (10 1 5 10)T a 3 (

4 1

1 1)T

解由 3(a 1 a) 2(a 2 a) 5(a 3 a)整理得

a 1(3a

2 5a 3)

g[3(2,5,1,3)T 2(10, 1,5,10)T 5(4,1, 1,1)T ] 6

(1 2 3 4)T 3已知向量组

A a 1 (0 1 2 3)T a 2 (3 0 1 2)T a 3 (2 3 0 1)T

B b 1 (2 1 1 2)T b 2 (0 2 1 1)T b 3 (4 4 1 3)T

证明由

1 0 3 1

2 4 1 0 3

1 2 4 r

0 1 6 1 5 7 r

0 1 6 1 5 7 0 0 20 5 15 25 0 0 4 1 3 5 0 0 4 1 3 5

0 0

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谢谢2

证明B 组能由A 组线性表示

但A 组不能由B 组线性表示

4 4 7 9

2 0 5 7

.12 11

3 2 6 8

0 312 1 o o O

r ~

4 4 13 0 2 11

2 112

2 3 0 1 3 0 12

知R(A) R(A B) 3所以B组能由A组线性表示

由

4 10 2 10 2

4 ~ 0 2 2 ~ 0 1 1

1 0 1 1 0 0 0

3 0 1 1 0 0 0

知R(B) 2因为R(B) R(B A)所以A组不能由B组线性表示

4已知向量组

A a1 (0 1 1)T a2 (1 1 0)T

B b1 ( 1 0 1)T b2 (1 2 1)T b3 (3 2 1)T

证明A组与B组等价

证明由

1 1 3 0 1 r 1 3 0 1 r 1 3 1

(B,A) 0 2 2

1 1?0

2 1 1 0 2 1

1 1 1 1 0 0

2 1 1 0 0

知R(B) R(B A) 2 显然在A 中有二阶非零子式故R(A) 2 又R(A) R(B A )2 !所以

R(A) 2 从而R(A) R(B) R(A B) 因此A组与B 组等价

5 已知R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明

(1) a1能由a2 a3线性表示

(2) a4不能由a1 a2 a3线性表示

证明(1)由R(a2 a3 a4) 3知a2 a3 a4线性无关故a2 a3也线性无关又由R(a1 a2 a3) 2 知a1 a2 a3线性相关故a1能由a2 a3线性表示

(2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示贝V因为a1能由a2 a3线性表示故a4能由a2 a3线性表示从而a2 a3 a4线性相关矛盾因此a4不能由a1 a2 a3线性表示

6判定下列向量组是线性相关还是线性无关

(1) ( 1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T

⑵(2 3 0)T ( 1 4 0)T (0 0 2)T

解 ⑴以所给向量为列向量的矩阵记为

A 因为

1 2 1 r 1 2 1 r

A 314 ?077

1 0 1 0

2 2

B 因为

22 0

所以R(B) 3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关

7问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a i (a 1 1)T a 2 (1 a 1)T a 3 (1 1 a)T 解以所给向量为列向量的矩阵记为

A 由

a 1 1 |A| 1

a 1 1

如能使行列式等于 o ,则此时向量组线性相关

(具体看书后相应答案)

8设a 1 a 2线性无关a 1 b a 2 b 线性相关求向量b 用a 1 a 2线性表示的表示式解因为a 1 b a 2 b 线性相关故存在不全为零的数

2使

(a 1 b) 2@ b) 0

由此得

1 2

—1— a 1 —2-

a 2

1 2 1 2

-^a1 (1 1 2

-^)a 2

1 2

设c

1 则

b ca 1 (1 c)a 2

c R

所以R(A) 2小于向量的个数

从而所给向量组线性相关

|B|

9设a i a2线性相关b i b2也线性相关问a i b i a2 b2是否一定线性相关？试举例说明之(也可看书后答案)

解不一定

例如当a i (1 2)T, a2 (2 4)T, b i ( 1 1)T, b2 (0 0)T时有

a i

b i (i 2)T b i (0 i)T, a2 b2 (2 4)T (0 0)T (2 4)T

而a i b i a2 b2的对应分量不成比例是线性无关的

iO举例说明下列各命题是错误的

(1) 若向量组a i a2 a m是线性相关的则a i可由a2 a m线性表示

解设a i e i (i 0 0 0) a2 a3 a m 0贝U a i a2 a m线性相关但a i不能由a2

a m线性表示

(2) 若有不全为0的数i 2 m使

i a i m a m i b i m b m 0

成立则a i a2 a m线性相关，b i b2 b m亦线性相关

解有不全为零的数i 2 m使

i a i m a m i b i m b m 0

原式可化为

i(a i b i) m(a m b m) 0

取a i e i b i a2 e2 b2 a m e m b m其中e i e2 e m为单位坐标向量则上式成立而a i a2 a m和b i b2 b m均线性无关

(3)若只有当i 2m全为0时等式

i a i m a m i b i m b m 0

才能成立则a i a2a m线性无关，b i b2 b m亦线性无关

解由于只有当i m全为0时等式

成立所以只有当i 由i a i m a m i b i m b m 0 m全为0时等式

i(a i b i) 2(a2 b2)m(a m b m) 0

成立因此a i b i a2 b2 a m b m线性无关

取a i a2 a m 0取b i b m为线性无关组则它们满足以上条件但a i a2 a m

线性相关

(4)若a i a2 a m线性相关，b i b2 b m亦线性相关则有不全为0的数i 2

使

i a i m a m 0 i b i m b m 0

同时成立

解a i (i 0)T a2 (2 0)T b i (0 3)T b2 (0 4)T

i a i 2a2 0 i 2 2

i b i 2b2 0 i (3/4) 2

i 2 0与题设矛盾

ii 设b i a i a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a i 证明向量组b i b2 b3 b4线性相关

证明由已知条件得

a i

b i a2 a2 b2 a3 a3 b3 a4 a4 b4 a i

于是a i b i b2 a3

b i b2 b3 a4

b i b2 b3 b4 a i

从而b i b2 b3 b4 0

这说明向量组b i b2 b3 b4线性相关

i2 设b i a i b2 a i a2 b r a i a2 a r且向量组a i a2 a r线性无关证明向量组b i b2 b r线性无关

证明已知的r个等式可以写成

i i i

i i

(b!, b2, ,b r) (a i, a2, ,a r) 0

0 0 i