复习题三角形的证明

1．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若

AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定

2．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为

AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）

A． B．3

C． D．9

3．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（）

A．3 B．C．6﹣3 D．3﹣3

4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）

A．B．C．2 D．

5．如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为E，D在BC上，已知∠CAD ＝32°，则∠B＝度．

6．如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是．

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直线AC或BC 上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有个．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．

（1）求证：△BCD是等腰三角形；

（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）

9．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．

10．将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE 的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．

11．如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF．

（1）求证：CD＝BE；

（2）若AB＝12，试求BF的长．

12．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

13．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF＝CG吗说明理由．

14．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF＝AB．

15．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点．（1）直接写出AB与EF的数量关系：；

（2）若AD＝3，BD＝2，∠C＝60°，求EF的长．

16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB 于F．

（1）求证：CD∥EF；

（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．

17．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则

（1）BP＝cm，BQ＝cm．（用含t的代数式表示）

（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形

18．（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；

（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件（请你至少写出两个条件，无需证明）

19．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；

（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；

（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立直接写出正确的结论．

20．已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角∠EAC，求证：AB＝AC．

21．（1）数轴上有A、B两点，若A点对应的数是﹣2，且A、B两点的距离为3，则点B对应的数是；

（2）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是AC的中点，AM的长为；

（3）已知∠AOB＝3∠BOC，∠BOC＝30°，则∠AOC＝．

（4）已知等腰三角形两边长为17、8，求三角形的周长．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．

求证：AD平分∠EAF．

23．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．

24．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，求线段DF的长度．

25．（1）如图1，OB是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到D，使OD＝OB，连结DA．利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半．

（2）上面（1）中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图2，点E是Rt△ABC的直角边AC上的点，ED⊥AB于D，F是线段BE的中点，连结FC、FD、CD，则有∠FCD＝∠FDC．

26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）如果S△ABC＝14，AC＝7，求DE的长．

27．如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求∠BCF的度数．

28．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC 的周长．

29．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB+BC+AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．

30．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．

31．如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD＝29°，求∠B的度数．

32．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．

（1）求证：BE＝BF；

（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．

33．如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的大小；

（2）若CD＝3，求DF的长．

34．已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC 于点F，求证：BE+CF＝EF．

35．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．

36．已知：E是∠AFB的平分线上一点，EC⊥FA，ED⊥FB，垂足分别为C、D．求证：FE是CD的垂直平分线．

37．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；

（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数．

38．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE＝AC．（1）求证：DE＝DB；

（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．

39．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；

（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

40．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，

（1）求∠F的度数；

（2）若CD＝3，求DF的长．