定积分的意义及其在几何中的应用

定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)

题目：定积分的意义及其在几何中的应用

学院兰州大学数学与统计学院

专业数学应用

班级 09数学教育二班

学号 1500902052

姓名蔡兴盛

指导教师王宾国

兰州大学教务处制

二Ｏ一二年三月

定积分的意义及其在几何中应用

定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们

的生活中也起着很重要的作用！

内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。

关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何

一、定积分的概念 1.1定积分的定义

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<

<<<

<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a

x n

-?=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,

,i i n ξ=，作和式：1

1

()()n n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=?=∑∑

如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()b

a

S f x dx =

?

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．

说明：（1）定积分()b

a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为

()b

a

f x dx ?

，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n

i i b a

f n

ξ=-∑

；

④取极限：()

1()lim n

b

i a

n i b a

f x dx f n

ξ→∞

=-=∑? （3）曲边图形面积：()b

a

S f x dx =?；变速运动路程21

()t t S v t dt =?；

变力做功 ()b

a W F r dr =?

1.2定积分的几何意义

如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分

()b

a

f x dx ?

表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所

围成的曲边梯形的面积．

说明：一般情况下，定积分()b

a f x dx ?的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直

线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?+

+?

不妨设1(),(),

,()0i i n f x f x f x +<

于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -?+?+

+?--?+

+-?

()b a

f x dx ∴=?阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

1.3定积分的性质

性质1 a b dx b

a -=?1

性质2 ??=b

a

b a

dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3 1212[()()]()()b b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （定积分的线性性质）

性质4 ()()()b c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+??? （其中a

1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积

用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许

多基本的小块,每块的厚度为

)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==b

x a x x x A )()(σ

其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题

例1 求椭圆面122

2222=++c

z b y a x 所围立体的体积

解：以平面0

x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影

1)

1()

1(222

2

222

2=-+

-a

x c z a

x b y

所以截面面积函数为)1()(22

a x bc x A -=π []a a x ,-∈

于是求得椭球体积abc dx a

x bc v a

a ππ34

)1(22=-=?-

显然当c b a ===r 时,就等于球的体积33

4

r π

1.4.2定积分在初等数学里的应用

近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用

一、证明不等式

运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则??≤b

a

b

a

x g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥?b

a

dx x g

例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n

求证：nx x n +≥+1)1(

证明：若01<<-x 或110<+

01)1(x

x

n dx dx x 即

为nx x n +>+1)1(。若0>x 或11>+x 且2≥n 时1)1(1>+-n x 因此 ??>+-x

x n dx dx x 0

1)1(

由此可得nx x n +>+1)1(。

综合以上可得：当1->x 时，且0≠x N n ∈且 2≥n 时有nx x n +>+1)1(

由上面的证明我们可以推广，去掉条件N n ∈时，结论仍然成立．所以，我们可以得到一个一般的结论

设1->x 则若10<<α时，有x x αα+≤+1)1( 若0<α或1>α时，有x x αα+≥+1)1( 当且仅当0=x 时，两式中的等号成立

例3．已知b a ,是实数，并且b a e <<，其中e 是自然对数的底，证明a b b a .> 证明：当b a e <<时，要证明a b b a >，只要证明b a a b ln ln > 既要证明

b

b

a a ln ln >

b x a e ≤≤<时，因为

0ln 12

<-x x

从而 0ln 1ln ln ln ln 2

<-===-??dx x x x x

d x x a a b b b a b a b a 所以当b a

e <<时，a

a

b b ln ln <

于是得到a b b a > 求和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积

分和,再求导即可.

二、定积分在几何中的应用 2.1定积分的微元法

定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用．首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）.

在将具体问题中所求的量S （如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：

?=b

a dx x f S )(

时，总是把所求量S 看作是与变量x 的变化区间],[b a 相联系的整体量．当把区间],[b a 划分为若干小区间时，整体量S 就相应地分为若干部分量S ?，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间],[b a 具有可加性.

划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式x x f ?)(，由可加性，总量的近似值可以表达成和式∑=-?n

i i i x x f 11)(（由于点i ζ任意选取时，和式极限有确定的值，常取i

ζ为区间的左端点1-i x ），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量

S 可用定积分来表达

?=b

a dx x f S )(

一般地，如果某一实际问题中所求量S 满足以下条件：

S 是与变量x 的变化区间],[b a 有关的量，且S 对于该区间具有可加性，所求量S 就可用定积分来计算.具体步骤如下：

（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间],[b a

（2）在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并在该小区间上找出所求量S 的微元

dx x f dS )(=

（3）写出所求量S 的积分表达式?=b

a

dx x f S )(，然后计算它的值.

这里)(x dS dS =通常称为所求量S 的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.

2.2定积分求解平面图形面积 2.2.1直角坐标情形

根据定积分的几何意义，由区间

连续曲线)

(x f y =、

)

(x g y =、

],[),()((b a x x g x f ∈≥及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积A ，由定积分的性质，

此式可写为

dx x g x f A b

a

?-=)]()([ (利用微元法求解可得同样的结果)

其中d dx x g x f A b

a

?-=)]()([就是面积元素

2.2.2极坐标情形

图 5-17

某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便．用微元法计算：由极坐标方程()θρρ=所表示的曲线与射线βθαθ==,所围成的曲边扇形面积（图5-17）

． 以极角为积分变量，积分区间为[]βα,，在[]βα,上任取一小区间[]θθθd +,，与它相应的小曲边扇形面积近似于以θd 为圆心角．()θρρ=为半径的圆扇形面积，从而得到面积

元素()[]θθρd dA 221=于是所求面积为()[]θθρβ

αd A 22

1

?=

例4 计算心形线()()0cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积（图5-18）． 解：由于图形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积1A ，再2倍即得所求面积A ．

对于极轴以上部分图形，θ的变化区间为[]π,0．相应于[]π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为)cos 1(θα+、圆心角为θd 的圆扇形的面积．从而得到面积元素

()θθαd dA 2

2cos 12

1+=，

得

()θθαd A x

2

20

1cos 121+=?

=()θθθαd x

?++0

22cos cos 2121

=θθθαd ??????++2cos 21cos 223212 =x

22sin 41sin 22321??????++θθθα =24

3

πα 所以，所求面积为212

3

2πα==A A

2.3用定积分求解图形体积 2.

3.1旋转体的体积

设一旋转体是由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,、及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成（图5-19）．现用微元法求它的体积．

在区间[]b a ,上任取[]dx x x +,，对应于该小区间的小薄片体积近似于以()x f 为半径，以

dx 为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为

图

5-18

图 5-19

[]dx x f dV 2

)(π=

从a 到b 积分，得旋转体体积为

()dx x f

V b

a

?=2

π

类似地，若旋转体是由连续曲线()y x ?=与直线d y c y ==,及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转而成，则其体积为()dy y V d

c ?=2?π

例5

求椭圆122

22=+b

y a x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）．

图 5-20

解 将椭圆方程化为()

22

222

x a a

b y -=

体积元素为()()

dx x a a

b dx x f dV 22

222

-==ππ

所求体积为()()d x x a a b dx x a a b V a a ??-=-=-1

2

2222

222

2ππ =2

0322

234312ab x x a a b a

ππ=?????

?- 当a=b=R 时，得球体积V=R

3

3

4

π

2.3.2平行截面面积为已知的立体的体积

从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算．

图5-22 如图5-22所示，取上述定轴为x 轴，并设该立体在过点x=a 、x=b 且垂直于x 轴的两

个平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积．A(x)为x的已知的连续函数．