23.向量的分解与坐标运算1
§4.2 向量的分解与坐标运算
【基础知识梳理】
1. 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是一个平面内的两个_________的向量，那么该平面内的任一向量，存在______的一对实数a 1，a 2，使___________________.其中，不共线的向量1e ，
2e 叫做表示这一个平面内所有向量的一组_______，记为_________，a =a 11e +a 22e 叫做向量
关于_________的分解式
2. 正交基底：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相______，则称这个基底为正交基底.在正交基
底下分解向量，叫做正交分解.
3. 已知A,B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则直线l 的向量参数方程式是 线段AB 的中点的向量表达式
4. 正交分解；如果基底的两个基向量互相_____，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，
2e ，建立正交基底 ，
（也叫做直角坐标系xOy 的基底），任作一向量a ，存在唯一的有序实数对（21,a a ），使得 （21,a a ）就是向量a
在基底{1e ，2e }下的坐
标.
5. 符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义： ， .
6. 向量的直角坐标运算：两个向量的和与差的坐标等于
向量数乘积的坐标等于
一个向量的坐标等于
7. 用平面向量坐标表示向量共线条件： 【基础知识检测】
1. D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量= （ ） A.12BC BA -+ B. 12
BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 2. 已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝ （ ） A. 9 B. 6 C. 5 D. 3
NO.23
3. 已知点A （1，-2），若点A 、B 的中点坐标为（3，1）且AB 与向量),1(a λ=共线，则λ=____
4. 已知AB a =，B （1，0），)4,3(b =，)1,-1(c =，且c 2-b 3a =，则A 点的坐标为_______
【典型例题探究】
题型1.（平面向量基本定理及应用）在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知=，=，试用、表示、.
变式训练：在平行四边形ABCD 中，a AB =，b AD =，NC 3AN =，M 为BC 的中点，则
=_______.（用、表示）
题型2.（向量的坐标运算）已知A （-2，4），B （3，1），C （-3，-4）.设=，=，c CA =，且c 3CM =，b 2CN -=.
⑴ 求3a +b -3c ； ⑵ 求满足a =m b +n c 的实数m 、n ；⑶ 求M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.
变式训练：已知A(-1,2),B(2,8),且BA 3
1DA ,AB 31AC -== ，求点C,D 和CD 坐标.
题型3. （向量平行的充要条件）已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 和OB 的交点P 的坐标.（用向量方法解决）
变式训练： ⑴ 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ=其中,CE BC 等于_______;
⑵ 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===- ，且A 、B 、C 三点共线，则k=_____.
【限时过关检测】 班级 学号 姓名 分数
一、选择题( 每小题8分 )
1. 已知点A （2，3），B （-1，5），且3,3
1==，则点C ，D 的坐标分别为 （ ） A. )9,7(),311,1(- B. )8,5(),35,1(- C. )7,5(),37,21(- D.)9,7(),3
8,1(- 2. 已知△ABC 的顶点A （2，3），B （8，-4）和重心G （2，1），则点C 的坐标是 （ ）
A. （4，-3）
B. （1，4）
C. （-4，-2）
D. （-2，-2）
3. 与向量)3,1(a -=平行的单位向量是 （ ）
A. （1，-3）
B. （1,3）
C. （23，-1）
D. （-21，2
3） 4. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1B ,1,3A -，若C 满足OB OA OC β+α=，其中有R ,∈βα且1=β+α，则点C 的轨迹方程为 （ ）
A. 011y 2x 3=-+
B. ()()52y 1x 2
2=-+- C. 0y x 2=- D. 05y 2x =-+ 二、填空题( 每小题8分 )
5. 若1,1(a -=)，)5,3(c ),3,1(b =-=，使b y a x c +=成立的实数x 、y 的取值是 .
6. 若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于
7. 已知向量)2,1(a =，)1,x (b =，b 2a u +=，b a 2v -=，且u ∥v ，则x=______.
8. 已知)2,3(),2,1(-==，当实数k=________时2k +与4-2平行.
三、解答题
9.（10分）已知平行四边形ABCD ，AH=HD ，BF=MC=3
1BC ，设AB =a ，AD =b ，选择基底{a ，b }，试写出下列向量在此基底下的分解式：AM 、MH 、AF .
10. （10分）已知平面上有三个点A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），又有一点C 在AB 上，使C 2
1=
，连结DC 并延长到E ，使ED 41C E -=，求E 点的坐标.
【体验高考】( 每小题8分 )
1.（2007宁夏、海南）已知平面向量)1,1(),1,1(-==，则向量
b 23a 21-= （ ） Ａ．（-2，-1） Ｂ．（-2，1） Ｃ．（-1，0） Ｄ．（-1，2）
2. （2007安徽）在四面体O-ABC 中，a O A =，b O B =，c OC =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则O E = （用a ，b ，c 表示）．
空间向量的坐标运算练习
空间向量的坐标运算练 习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐 标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)
空间向量的坐标运算（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C
解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组
基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.
C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
空间向量的基本运算
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
人教版高中数学B版必修4练习 向量的正交分解与向量坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、基础过关 1． 已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3 2 b 等于 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 2． 已知a －1 2 b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于 ( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2) 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为 ( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 4． 已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12 MN → ，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B.????1，32 C.? ???－1，－3 2 D ．(8，－1) 5． 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC → 的坐标是________． 6． 已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD → ，则x ＋y ＝________. 7． 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的 有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d . 8． 已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 二、能力提升 9． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD → 等于 ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(讲义版)
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算 一、 考情分析 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 二、 知识梳理 1.平面向量的基本定理 如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒] 1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 三、 经典例题
平面向量坐标运算
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
《向量的分解和向量的坐标运算》习题
《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题 一、选择题 1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF → ＝( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋1 4 b D.13a ＋23 b 2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA → ，AF → ＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC → ( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不垂直 4．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP → ＝( ) A.45a ＋3 10 b B.45a ＋1310 b 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2 ＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D.6或－ 6 6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.2 3 B.43 C ．－3 D ．0 7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
(完整版)平面向量的坐标运算测试题
平面向量的坐标运算测试题 一、选择题（每题5分，共10题） 1. 如右图所示，平面向量AB u u u r 的坐标是（ ） A. (2,3) B. (2,3)- C. (2,3)-- D. (2,3)- 2. 已知向量3(1,)a =-r ，则向量a r 与单位向量(1,0)i =r 的夹角是（ ） A. 30o B. 60o C. 120o D. 150o 3. 设1e u r ，2e u u r 是平面中所有向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面中所有向量的一组基底的是（ A. 12e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B. 122e e -u r u u r 和2e u u r C. 122e e -u r u u r 和2163e e -u u r u r D. 12e e -u r u u r 和212e e +u u r u r 4. 以下四种说法中错误的是（ ） A. 平面内任一向量都可以由这个平面内的两个不共线的向量线性表示 B. 0r 不可以作为平面中所有向量的一组基底 C. 若1e u r ，2e u u r 是平面中所有向量的一组基底，11220e e λλ=+r u r u u r ，则有120λλ== D. 若//a b r r ，则存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r 成立 5. 向量||10a =r ，它与x 轴正方向上的夹角为150o ，则它在x 轴上的投影为（ ） A. 53- B. 5 C. 5- D. 53 6. 如图，已知(4,1)OA =u u u r ，(1,3)OB =u u u r ，点C 是AB 的三等分点，则OC = u u u r （ ） A. 7(2,)3 B. 5(,2)2 C. 5(3,)3 D. 7(2,)3-- 7. 已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若ma nb +r r 与2a b -r r 共线，则m n 等于（ ） A. 12 B. 2 C. 12 - D. 2-
高一数学平面向量的坐标运算
平 面 向 量 的 坐 标 运 算 一、【教材的地位和作用】 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 二、【学习目标】 根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的： 1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想 三、【教学重点和难点】 理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。 四、【教法和学法】 本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。 整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。 五、【学习过程】 1.提供新知识产生的理论基础 课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入 哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。 3.创建新知识 以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、j 作为基底，任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使j y i x a +=
最新空间向量运算的坐标表示练习题
课时作业(十七) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3) 【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 【答案】 A 2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132 【解析】 ∵AB 的中点M ? ? ???2，32，3，∴CM →＝? ????2，12，3，故|CM | ＝|CM → |＝ 22＋? ?? ??122＋32＝532. 【答案】 C 3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( ) A ．－6 B ．－23 C.2 3 D ．14 【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2 3.
【答案】 C 4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( ) 图3-1-32 A ．1 B.52 C.62 D.32 【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E (1,1，2)， F ? ???? 2，1，22，所以|EF |＝ (1－2)2 ＋(1－1)2 ＋? ??? ?2－222 ＝6 2，故选C. 【答案】 C 二、填空题 5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA → ＝
向量的分解与向量的坐标运算
§2.2向量的分解与向量的坐标运算 第一课时 平面向量基本定理 一、自主学习 1、平面向量基本定理 （1）定理：如果21e e 和是一个平面内的两个 的向量，那么该平面内的 a ，存在唯一的 a 1, a 2，使a = . （2）基底与向量的分解 把 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 },{21e e 。2211e a e a +叫做向量a 关于基底},{21e e 的分解式。 2、直线的向量参数方程式 （1）向量的参数方程 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点（如上图所示），则对直线l 上 一点P ，一定存在惟一的一个实数t 与之对应，向量等式= ，反之，对每一个数值，在直线l 上都有 的一个点P 与对之对应，向量等于OP = + 叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称 。 （2）线段中点的向量表达式 在向量等式t t +-=)1(中，若t= ，则点P 是AB 的中点，且= 。 这是线段AB 的中点的向量表达式。 二、典例解析 中，M 、N 分别是边DC 、BC 的中点。 （1）求证：MN BD 21； （2）设b y a x MN b AD a AB +===且,，求x, y 的值。 三、小结 四、课后作业 1、下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底； ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量。 其中正确的是（ ） ∥
A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 2、已知b n a m c +=，要使c b a ,,的终点在一条直线上（设c b a ,,有公共起点）， ),(,R n m n m ∈需满足的条件是（ ） A 、1-=+n m B 、0=+n m C 、1=-n m D 、1=+n m 3、OC OB OA ,,的终点A ，B ，C 在一条直线上，且, 3CB AC -=设 q OB p OA ==,，r =，则以下等式成立的是（ ） A 、q p r 2 321+-= B 、q p r 2+-= C 、q p r 2123-= D 、p q r 2+-= 4、设)(3,82),5(2 2b a b a b a -=+-=+=，则共线的三点是（ ） A 、A ，B ，C B 、B ，C ，D C 、A ，B ，D D 、A ，C ，D 5、在△ABC 中，BC EF //,5 1=交AC 于F 点，设b AC a AB ==,，用b a ,表示向量BF 为 。 6、设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使31,31,31===，若b a ==,，试用b a ,将,,表示出来。 §2.2向量的分解与向量的坐标运算 第二课时 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、自主学习 1、（1）如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直。 （2）如果平面向量基底的两个基向量互相 ，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做 。 （3）在直解坐标系内，分别取与x 轴和y 轴方向 的单位向量21,e e ，对任一向量，存在唯一的有序实数对（a 1, a 2），使得2211e a e a a += ， 就
平面向量在坐标中的运算(习题带答案)
一．复习巩固 1、下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（D ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、下列命中，正确的是（ C ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN → ＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =- b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC → ， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA → 共线的向量有 个 个 个 个 （ C ）