高中数学选修2-2 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
[学习目标] 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.
知识点 复数的加、减法法则及几何意义与运算律
复数的和z 1+z 2与向量OZ 1→
+OZ 2→=OZ →
的坐标对应
复数的差z 1-z 2与向量OZ 1→
-OZ 2→=Z 2Z 1→
的坐标对应
交换律 z +z =z +z
思考 (1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)若复数z 1,z 2满足z 1-z 2>0,能否认为z 1>z 2? 答案 (1)是复数,唯一确定. (2)不能,例如可取z 1=3+2i ,z 2=2i.
题型一 复数加、减法的运算 例1 (1)计算(2+4i)+(3-4i); (2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i). 解 (1)原式=(2+3)+(4-4)i =5.
(2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i =-2+2i.
反思与感悟 复数的加、减法运算,就是实部与实部相加减作实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i 看作字母,类比多项式加减中的合并同类项.
跟踪训练1 计算(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 011-2 012i)-(2 012-2 013i). 解 方法一 原式=(1-2+3-4+…+2 011-2 012)+(-2+3-4+5+…-2 012+2 013)i =-1 006+1 006i.
方法二 (1-2i)-(2-3i)=-1+i , (3-4i)-(4-5i)=-1+i ,…,
(2 011-2 012i)-(2 012-2 013i)=-1+i. 将上列1 006个式子累加可得 原式=1 006(-1+i)=-1 006+1 006i. 题型二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在平行四边形OABC 中,顶点O ,A ,C 分别表示0,3+2i ,-2+4i.求:
(1)AO →所表示的复数,BC →
所表示的复数; (2)对角线CA →
所表示的复数;
(3)对角线OB →所表示的复数及OB →
的长度. 解 (1)因为AO →
=0-(3+2i)=-3-2i , 所以AO →
所表示的复数为-3-2i. 因为BC →=AO →,
所以BC →
所表示的复数为-3-2i. (2)因为CA →=OA →-OC →
,
所以CA →
所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线OB →=OA →+AB →=OA →+OC →
,
所以OB →
所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i , 所以|OB →
|=12+62=37.
反思与感悟 复数z 与复平面内的向量OZ →
是一一对应的关系,复数的加法可以按照向量的加法来进行,即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
类比实数减法的意义,复数的减法也是加法的逆运算:减去一个复数等于加上这个复数的相反数.
若用d 表示平面内点Z 1和Z 2之间的距离,则d =|Z 1Z 2—
→ |=|z 1-z 2|,其中z 1,z 2是复平面内的两点Z 1,Z 2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.
跟踪训练2 满足条件|z +1-i|=|4-3i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一个圆 D.一个椭圆
答案 C
解析 根据复数减法的几何意义,|z +1-i|表示复平面内复数z 对应的点Z 到点(-1,1)的距离,而|4-3i|表示复数4-3i 的模,等于5,故满足|z +1-i|=5的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(-1,1)为圆心,5为半径的圆. 题型三 复数加、减法的综合应用 例3 已知|z 1|=|z 2|=|z 1-z 2|=1,求|z 1+z 2|.
解 方法一 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ), ∵|z 1|=|z 2|=|z 1-z 2|=1, ∴a 2+b 2=c 2+d 2=1,① (a -c )2+(b -d )2=1,② 由①②得2ac +2bd =1, ∴|z 1+z 2|=(a +c )2+(b +d )2 =a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd = 3. 方法二 设O 为坐标原点,
z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A ,B ,C . ∵|z 1|=|z 2|=|z 1-z 2|=1,
∴△OAB 是边长为1的正三角形, 又以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,
∴四边形OACB 是一个内角为60°,边长为1的菱形, 且|z 1+z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长,
∴|z 1+z 2|=|OC →
| =
(|OA →|2+|AC →|2+2|OA →||AC →
|cos 60°)= 3.
反思与感悟 (1)设出复数z =x +y i(x ,y ∈R ),利用复数相等或模的概念,可把条件转化为x ,y 满足的关系式,利用方程思想求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
(2)在复平面内,z 1,z 2对应的点为A ,B ,z 1+z 2对应的点为C ,O 为坐标原点,则四边形OACB :①为平行四边形;②若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为矩形;③若|z 1|=|z 2|,则四边形OACB 为菱形;④若|z 1|=|z 2|且|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为正方形. 跟踪训练3 已知|z 1|=|z 2|=1,z 1+z 2=12+3
2
i ,求复数z 1,z 2及|z 1-z 2|.
解 由于|z 1+z 2|=????12+32i =1,设z 1,z 2,z 1+z 2对应的向量分别为OA →,OB →,OC →,则因|OA
→
|=|OB →|=|OC →
|=1,故A ,B ,C 三点均在以原点为圆心,1为半径的圆上,如图所示,由平行四边形法则和余弦定理易得
cos ∠AOC =|OA →|2+|OC →|2-|AC →
|22|OA →||OC →
|
=1
2,
故∠AOC =60°,所以平行四边形OACB 为菱形,且△BOC ,△COA 都是等边三角形,即∠AOB =120°.
又∵OC →
与x 轴正半轴的夹角为60°,故点A 在x 轴上,即A (1,0). 而x B =|OB →|cos 120°=-12,y B =|OB →|sin 120°=32,
∴B 的坐标为???
?-12,3
2.
∴????? z 1=1,z 2=-12+3
2i ,或?????
z 1=-12+32i ,
z 2=1. 方法一 |z 1-z 2|=???
?32-3
2i = 3.
方法二 由结论|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2(|z 1|2+|z 2|2)知,|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2-|z 1+z 2|2=3, ∴|z 1-z 2|= 3.
方法三 由余弦定理可得
|AB →|2=|OA →|2+|OB →|2-2|OA →||OB →
|cos 120°=3, 又∵z 1-z 2=OA →-OB →=BA →, ∴|z 1-z 2|=|BA →|=|AB →
|= 3.
因对复数加、减法的几何意义理解不到位致误
例4 在平行四边形ABCD 中,A ,B ,C 三个顶点所对应的复数分别为3+3i ,-5i ,-2+i ,求第四个顶点对应的复数. 错解 ∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD →=BC →,∴OA →-OD →=OC →-OB →,
∴OD →=OA →-OC →+OB →,故OD →
对应的复数为3+3i -(-2+i)+(-5i)=5-3i. ∴第四个顶点D 对应的复数为5-3i.
错因分析 AD →=OD →-OA →,而不是AD →=OA →-OD →
. 正解 ∵AD →=BC →,∴OD →-OA →=OC →-OB →
, ∴OD →=OA →+OC →-OB →.
∴OD →
对应的复数为3+3i -2+i +5i =1+9i. ∴第四个顶点D 对应的复数为1+9i.
防范措施 可依据复数的几何意义,找出相应A ,B ,C 三点的坐标,然后推测D 点的大致位置,再依据平行四边形的性质,并结合向量知识确定点D 的坐标.
1.若复数z 满足z +i -3=3-i ,则z 等于( ) A.0 B.2i C.6 D.6-2i
答案 D
解析 z =3-i -(i -3)=6-2i.
2.复数i +i 2在复平面内表示的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 i +i 2=-1+i ,对应的点在第二象限.
3.在复平面内,O 是原点,OA →,OC →,AB →表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i ,则BC →
表示的复数为( ) A.2+8i B.-6-6i C.4-4i D.-4+2i
答案 C
解析 BC →=OC →-OB →=OC →-(AB →+OA →
)=3+2i -(1+5i -2+i)=4-4i. ∴BC →
表示的复数为4-4i.
4.若|z -1|=|z +1|,则复数z 对应的点在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限
答案 B
解析 ∵|z -1|=|z +1|,∴点Z 到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z 在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.
5.已知复数z 1=(a 2-2)+(a -4)i ,z 2=a -(a 2-2)i(a ∈R ),且z 1-z 2为纯虚数,则a = . 答案 -1
解析 z 1-z 2=(a 2
-a -2)+(a -4+a 2
-2)i(a ∈R )为纯虚数,∴?
????
a 2
-a -2=0,
a 2+a -6≠0,解得a =-
1.
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、选择题
1.复数z 1=2-12i ,z 2=1
2-2i ,则z 1+z 2等于( )
A.0
B.32+5
2i C.52-5
2i D.52-32
i 答案 C
解析 z 1+z 2=????2+12-????12+2i =52-52
i.
2.若z +3-2i =4+i ,则z 等于( ) A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i
答案 B
解析 z =4+i -(3-2i)=1+3i.
3.复数z 1=3+i ,z 2=-1-i ,则z 1-z 2等于( ) A.2 B.2+2i C.4+2i D.4-2i
答案 C
4.设z 1=2+b i ,z 2=a +i ,当z 1+z 2=0时,复数a +b i 为( ) A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i
答案 D
解析 由????? 2+a =0,b +1=0,得?
????
a =-2,
b =-1.∴a +b i =-2-i.
5.如果复数z 满足|z +2i|+|z -2i|=4,那么|z +i +1|的最小值是( ) A.1 B. 2 C.2 D. 5
答案 A
解析 设复数-2i,2i ,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,因为|z +2i|+|z -2i|=4,Z 1Z 2=4,所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2,如图所示,问题转化为:动点Z 在线段Z 1Z 2上移动,求ZZ 3的最小值.
因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0,则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值,Z 0Z 3=1.故选A.
6.复平面内点A ,B ,C 对应的复数分别为i,1,4+2i ,由A →B →C →D 按逆时针顺序作?ABCD ,则|BD →
|等于( )
A.5
B.13
C.15
D.17 答案 B 解析 如图,
设D (x ,y ),F 为?ABCD 的对角线的交点,则点F 的坐标为???2,32, 所以????? x +1=4,y +0=3,即????
?
x =3,y =3.
所以点D 对应的复数为z =3+3i , 所以BD →=OD →-OB →
=(3,3)-(1,0)=(2,3), 所以|BD →
|=13. 二、填空题
7.若复数z 1+z 2=3+4i ,z 1-z 2=5-2i ,则z 1= . 答案 4+i
解析 两式相加得2z 1=8+2i ,∴z 1=4+i. 8.若|z -2|=|z +2|,则|z -1|的最小值是 . 答案 1
解析 由|z -2|=|z +2|,知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(-2,0)距离相等的点,即虚轴.|z -1|表示z 对应的点与(1,0)的距离.∴|z -1|min =1.
9.如果一个复数与它的模的和为5+3i ,那么这个复数是 . 答案
11
5
+3i 解析 设这个复数为x +y i(x ,y ∈R ), ∴x +y i +x 2+y 2=5+3i , ∴???
x +x 2+y 2=5,
y =3,∴?????
x =115,y = 3.
∴x +y i =11
5+3i.
三、解答题
10.计算:(1)(-7i +5)-(9-8i)+(3-2i); (2)????13+12i +(2-i)-???
?43-32i . (3)已知z 1=2+3i ,z 2=-1+2i ,求z 1+z 2,z 1-z 2. 解 (1)(-7i +5)-(9-8i)+(3-2i) =-7i +5-9+8i +3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i =-1-i. (2)????13+12i +(2-i)-????43-32i =13+12i +2-i -43+32
i =????13
+2-43+????12-1+3
2i =1+i. (3)z 1+z 2=2+3i +(-1+2i)=1+5i , z 1-z 2=2+3i -(-1+2i)=3+i.
11.已知ABCD 是复平面内的平行四边形,且A ,B ,C 三点对应的复数分别是1+3i ,-i,2+i ,求点D 对应的复数.
解 方法一 设D 点对应的复数为x +y i(x ,y ∈R ), 则D (x ,y ),又由已知A (1,3),B (0,-1),C (2,1). ∴AC 中点为????32,2,BD 中点为????
x 2,y -12. ∵平行四边形对角线互相平分,
∴???
32=x 2
,2=y -1
2,
∴?
????
x =3,y =5.即点D 对应的复数为3+5i. 方法二 设D 点对应的复数为x +y i(x ,y ∈R ). 则AD →
对应的复数为(x +y i)-(1+3i) =(x -1)+(y -3)i ,
又BC →
对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i , 由于AD →=BC →
.∴(x -1)+(y -3)i =2+2i.
∴????? x -1=2,y -3=2,∴?
????
x =3,y =5.即点D 对应的复数为3+5i. 12.集合M ={z ||z -1|≤1,z ∈C },N ={z ||z -1-i|=|z -2|,z ∈C },集合P =M ∩N . (1)指出集合P 在复平面上所表示的图形; (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值.
解 (1)由|z -1|≤1可知,集合M 在复平面内所对应的点集是以点E (1,0)为圆心,以1为半径的圆的内部及边界;由|z -1-i|=|z -2|可知,集合N 在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ,因此集合P 是圆面截直线l 所得的一条线段AB ,如图所示.
(2)圆的方程为x 2+y 2-2x =0, 直线l 的方程为y =x -1.
解?
????
x 2+y 2-2x =0,y =x -1得 A (2+22,22),B (2-22,-22).
∴|OA |=2+2,|OB |=2- 2. ∵点O 到直线l 的距离为
22,且过O 向l 作垂线,垂足在线段BE 上,∴2
2
<2- 2. ∴集合P 中复数模的最大值为2+2,最小值为2
2
.
高中数学-复数的基础知识
复数 基础知识 1.复数的定义:设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi (a,b ∈R )的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi (a,b ∈R ),a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设z 对应复平面内的点Z ,见图15-1,连接OZ ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r ,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ ,称为复数的指数形式。 3.共轭与模,若z=a+bi ,(a,b ∈R ),则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1)2121z z z z ±=±;(2)2121z z z z ?=?;(3)2||z z z =?;(4)2 121z z z z =???? ??;(5)||||||2121z z z z ?=?; (6)||||||2121z z z z =;(7)||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|;(8)|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2;(9)若|z|=1,则z z 1= 。 4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则;(3)按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方:若=n w r(cos θ+isin θ),则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=, k=0,1,2,…,n-1。 7.单位根:若w n =1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有(这里记k k Z Z 1=,
高中数学复数专题知识点整理
专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解
高中数学复数
第1章:复数与复变函数 §1 复数 1.复数域 形如iy x z +=的数,称为复数,其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =, z y Im = 虚部为零的复数可看成实数,虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。 设 ,复数的四则运算定义为 加(减)法: 乘法: 除法: 相等: 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后,称为复数域. 在复数域中,复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求 2 1 z z . 分析:直接利用运算法则也可以,但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ,在分子分母同乘2z ,再利用1i 2-=,得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2.复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标,复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上,从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系,且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的,即满足平行四边形法则,例如: 这样,构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3. 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值,即:
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能:掌握复数的四则运算; 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观:通过复数的四则运算学习与掌握,进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣,激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课: 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课: 建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数,我们规定: 1、复数的加法运算法则:Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律: 交换律:Z1+Z2=Z2+Z1 结合律:Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1:计算:(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)
课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 学生探究过程: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算:(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则:。 例1.计算(1) (2) (3) (4)
复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
高一数学复数的运算练习题
复数的运算测试题 一、选择题 1.0a =是复数()z a bi a b =+∈R ,为纯虚数的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件 答案:B 2.若12z i =+,23()z ai a =+∈R ,12z z +的和所对应的点在实轴上,则a 为( ) A.3 B.2 C.1 D.—1 答案:D 3.复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,则( ) A.2a ≠或1a ≠ B.2a ≠且1a ≠ C.0a = D. 2 a =或 0a = 答案:D 4.设1z ,2z 为复数,则下列四个结论中正确的是( )
A.若22120z z +>,则2212z z >- B. 12 z z -= C.22121200z z z z +=?== D.11z z -是纯虚数或零 答案:D 5.设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+,t ∈R ,则下列命题中正确的是( ) A.z 的对应点Z 在第一象限 B.z 的对应点Z 在第四象限 C.z 不是纯虚数 D.z 是虚数 答案:D 6.若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根,则方程的另一个根为( ) A.1i - B.1i -+ C.1i -- D.i 答案:A 7.已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,则1 2z z ·的最大值为( )
A.3 2 D.3 答案:A 8.已知m ∈R ,若6()64m mi i +=-,则m 等于( ) A. 2- B. C. D.4 答案:B 9.在复平面内12 ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为 OB .那么向量AB 对应的复数是( ) A.1 B. 1- D. 答案:D 10.在下列命题中,正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小; ②123z z z ∈C ,,,若221221()()0z z z z -+-=,则13z z =; ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数,则实数1x =±; ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ; ⑤若a b ,是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数; ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =.
(完整word版)高中数学-复数专题
复数专题 一、选择题 1 .(2012年高考(天津理)) i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ ( ) A .2i + B .2i - C .2i -+ D .2i -- 2 .(2012年高考(新课标理))下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ( ) A .23,p p B .12,p p C .,p p 24 D .,p p 34 3 .(2012年高考(浙江理))已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= ( ) A .1-2i B .2-i C .2+i D .1+2i 4 .(2012年高考(四川理))复数2(1)2i i -= ( ) A .1 B .1- C . i D .i - 5 .(2012年高考(上海理))若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 ( ) A .3,2==c b . B .3,2=-=c b . C .1,2-=-=c b . D .1,2-==c b . 6 .(2012年高考(陕西理))设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7 .(2012年高考(山东理))若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 ( ) A .35i + B .35i - C .35i -+ D .35i -- 8 .(2012年高考(辽宁理))复数 22i i -=+ ( ) A .34i - B .34i + C .41i - D .3 1i +
高中数学公式速记口诀大全
高中数学公式速记口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范; 三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思
高中数学复数练习题百度文库
一、复数选择题 1.已知复数1z i =+,则2 1z +=( ) A .2 B C .4 D .5 2.在复平面内,复数534i i -(i 为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A .()3,4 B .()4,3- C .43,55??- ??? D .43,55?? - ??? 3.若复数1z i i ?=-+,则复数z 的虚部为( ) A .-1 B .1 C .-i D .i 4.已知a 为正实数,复数1ai +(i 为虚数单位)的模为2,则a 的值为( ) A B .1 C .2 D .3 5.已知i 为虚数单位,若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数,则z a +=( ) A B .3 C .5 D .6.若复数1z i =-,则1z z =-( ) A B .2 C . D .4 7.已知复数5 12z i =+,则z =( ) A .1 B C D .5 8.若 1m i i +-是纯虚数,则实数m 的值为( ). A .1- B .0 C .1 D 9.在复平面内,复数z 对应的点是()1,1-,则1 z z =+( ) A .1i -+ B .1i + C .1i -- D .1i - 10.已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ,i 为虚数单位),则实数+a b 的值为( ) A .3 B .5 C .6 D .8 11.已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是( ) A .-1 B .1 C .i - D .i 12.若i 为虚数单位,,a b ∈R ,且2a i b i i +=+,则复数a bi -的模等于( ) A B C D
典型例题:复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算 例1.计算: i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解:提示:利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式=0 变式训练1: 2 = (A)1 -(B) 1 22 +(C) 1 22 -+(D)1 解:21 2 ===-+故选C; 例2. 若0 1 2= + +z z,求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解:提示:利用z z z= =4 3,1 原式=2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲ . 解:2 例3. 已知4, a a R >∈,问是否存在复数z,使其满足ai z i z z+ = + ?3 2(a∈R),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由 解:提示:设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3:若 (2) a i i b i -=+,其中i R b a, ,∈是虚数单位,则a+b= __________