平面向量的数量积及其应用.docx
06—平面向量的数量积及其应用
突破点 (一 ) 平面向量的数量积
1．向量的夹角； 2．平面向量的数量积； 3．平面向量数量积的运算律
平面向量数量积的运算
1.利用坐标计算数量积的步骤
第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；
第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．
2．根据定义计算数量积的两种思路
(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，
需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，
然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．
[典例 ]
(1)设向量 a ＝ (－ 1,2)，b ＝ (m,1)，如果向量 a ＋ 2b 与 2a － b 平行，那么 a 与 b 的数量积等于 ( )
7
B ．－
1
A ．－ 2
2
(2)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB ＝ 2， BC ＝ 1，∠ ABC ＝ 60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC
uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
上，且 BE ＝ 3 BC ， DF ＝ 6 DC ，则 AE ·AF 的值为 ________．
[ 解析 ] (1)a ＋ 2b ＝ (－ 1,2)＋ 2(m,1)＝ (－ 1＋ 2m,4)， 2a － b ＝ 2(－ 1,2)－ (m,1)＝ (－ 2－ m,3)，由题意得
3(－ 1＋ 2m)－ 4(－ 2－ m)＝ 0，则 m ＝－ 1，所以 b ＝ －1， 1 ，所以 a ·b ＝－ 1×－
1
＋ 2×1＝ 5.
2
2
2 2
uuur uuur
uuur uuur uuur
2 uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
(2)取 BA ， BC 为一组基底， 则 AE ＝ BE － BA ＝ 3 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BA
uuur 5 uuur 7 uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur ·－ 7 uuur uuur 7 | uuur 25
＋ BC ＋ 12BA ＝－ 12 BA ＋ BC ，∴ AE ·AF ＝ 3BC － BA 12BA ＋ BC ＝
12BA | 2
－
18
uuur uuur 2 uuur BA ·BC ＋ 3| BC
|
2＝ 7
×4－ 25
1＋ 2＝ 29 29
1218
× 2× 1
×. [答案 ] (1)D (2)
18
2 3
18
[易错提醒 ]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，
一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还
是互补． (2)两向量 a ， b 的数量积 a ·b 与代数中 a ， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的
“·”．
突破点 (二 )
平面向量数量积的应用
平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、 a ⊥ b| 、 a ·b| 与 | a|| b| 的关系
平面向量的垂直问题
1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[例1](1)△ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量a， b 满足uuur
AB＝ 2a，
uuur
AC＝ 2a＋ b，则下列结
论正确的是()
A． | b|＝ 1B． a⊥ b C． a·b＝ 1D． (4a ＋ b)⊥uuur BC
(2)已知向量a＝ (k,3)， b＝ (1,4)， c＝ (2,1)，且 (2a－ 3b)⊥ c，则实数k＝ ()
9
A．－ 2B．0C． 3
[解析](1)在△ ABC中，
由uuur
BC
uuur
＝ AC
uuur
－ AB＝ 2a＋ b－ 2a＝ b，得 | b| ＝ 2，A 错误．又
uuur
AB＝ 2a 且 |
uuur
AB|
uuur
＝2，所以 | a| ＝ 1，所以 a·b＝ | a|| b|cos 120 °＝－ 1，B，C 错误．所以 (4a＋ b) ·BC＝ (4a＋ b) ·b＝ 4a·b＋ | b| 2
uuur
＝ 4×(－1)＋ 4＝0，所以 (4a＋ b)⊥BC， D 正确，故选 D.
(2)∵ (2a－ 3b)⊥ c，∴ (2a－ 3b) ·c＝ 0.∵ a＝ (k,3)， b＝ (1,4)， c＝ (2,1)，∴ 2a－ 3b＝ (2k－ 3，－ 6)．
∴ (2k－ 3，－ 6) ·(2,1)＝ 0，即 (2k－ 3) ×2－6＝ 0.∴ k＝ 3.[ 答案 ] (1)D(2)C
[易错提醒 ]
x1 y2－ x2 y1＝ 0 与x1x2＋ y1y2＝ 0 不同，前者是两向量a＝ (x1，y1)，b＝ (x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量模的相关问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝ a·a＝ | a| 2； (2)| a±b| ＝a±b2＝ a2±2a·b＋ b2.
π[例 2](1)(2017 衡·水模拟 )已知 | a| ＝ 1，| b| ＝ 2， a 与 b 的夹角为，那么 |4 a－ b| ＝ ()
3
A． 2B． 6 C． 2 3D． 12
(2)已知 e ， e 是平面单位向量，且1
e ·e ＝2.若平面向量 b 满足 b·e ＝ b·e ＝ 1，则 | b| ＝ ________.
121212
π
[解析 ](1)|4 a－ b| 2＝ 16a 2＋ b2－ 8a·b＝ 16×1＋4－ 8×1×2×cos＝ 12.∴ |4 a－ b| ＝ 2 3.
3
1 2
＝1
，∴ | e1
21
，e
2
1
，∴ e1 2
121
＝ b ，
(2)∵ e ·e2|| e|cos e＝2，e＝ 60°.又∵ b ·e ＝ b·e ＝ 1＞ 0，∴b，e
21
＝ 1，得 | b||1
＝°1，∴ | b| ＝
1 ＝23
(1)C
23
e＝ 30°.由 b·e e |cos 3033.[ 答案 ](2)3
2
[方法技巧 ]
求向量模的常用方法
(1)若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量
a 的模可直接利用公式
| a| ＝ x 2＋ y 2.
(2)若向量 a ， b 是以非坐标形式出现的，求向量
a 的模可应用公式 | a| 2 ＝ a 2＝ a ·a ，或 | a ±b| 2＝ (a ±b)2
＝ a 2±2a ·b ＋ b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
平面向量的夹角问题
求解两个非零向量之间的夹角的步骤
第一步
由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积
第二步
分别求出这两个向量的模
根据公式 cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b ＝
x 1x 2＋ y 1y 2
求解出这两个向量夹角的余弦
第三步
| a|| b|
2
2
2
2
x 1＋ y 1· x 2＋ y 2
值
第四步
根据两个向量夹角的范围是
[0， π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角
2 2
[例 3]
(1)若非零向量 a ， b 满足 | a| ＝
3 | b| ，且 (a － b)⊥ (3a ＋ 2b)，则 a 与 b 的夹角为 ()
D ． π
(2)已知单位向量 e 1 与 e 2 的夹角为 α，且 cos α＝ 1
，向量 a ＝ 3e 1－ 2e 2 与 b ＝ 3e 1－ e 2 的夹角为 β，则 cos
3
β＝ ________.
[解析 ]
(1)由 (a － b)⊥ (3a ＋ 2b)，得 (a － b) ·(3a ＋ 2b)＝ 0，即 3a 2－ a ·b － 2b 2＝ 0.
2
2
2－ | a|| b|cos θ－ 2| b| 2
＝0， 又∵ | a| ＝
3
| b| ，设〈 a ， b 〉＝ θ，即 3| a|
8 | b| 2 － 2 2
2
π
∴ 3 | b| 2·cos θ－ 2| b| 2＝ 0.∴cos θ＝
2.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝ .
3
4
1
1 (2)∵ a 2＝ (3e 1－ 2e 2)2＝ 9＋ 4－ 2×3×2×＝ 9， b 2
＝ (3e 1－ e 2)2＝ 9＋ 1－
2×3×1×＝ 8，
3
3
1
＝ 8，∴ cos β＝ a ·b ＝ 8 ＝ 2
2
a ·
b ＝ (3e － 2e ) ·(3e － e )＝9＋ 2－ 9× 1× 1×
| a|| b| 3×22 3
3
[易错提醒 ]
(1)向量 a ， b 的夹角为锐角 ? a ·b>0 且向量 a ， b 不共线． (2)向量 a ， b 的夹角为钝角 ? a ·b<0 且向量 a ， b 不共线．
突破点 (三 ) 平面向量与其他知识的综合问题
平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具
与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查
.
.在高考中，常将它
平面向量与三角函数的综合问题
[例 1] 已知函数 f(x)＝ a ·b ，其中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2x)， b ＝ (cos x,1)， x ∈ R.
(1)求函数 y ＝ f(x)的单调递减区间；
(2) 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， f(A)＝－ 1，
a ＝ 7，且向量 m ＝ (3， sin B)与 n ＝ (2， sin C)共线，求边长
b 和
c 的值．
[解 ] (1)f(x)＝ a ·b ＝ 2cos 2x － 3sin 2x ＝ 1＋ cos 2x －
π
，
3sin 2x ＝1＋ 2cos 2x ＋ 3
π π π
令 2k π≤2x ＋ ≤2k π＋ π(k ∈ Z)，解得 k π－ 6
≤x ≤k π＋
3(k ∈ Z)，
3
所以 f(x)的单调递减区间为
k π－ π π
(k ∈ Z)．
， k π＋
6 3
(2)∵ f(A)＝ 1＋ 2cos 2A ＋π
2A ＋ π ＝－ 1.
＝－ 1，∴ cos 3 3
又 0 π 7π π π <2A ＋ ＜ ，∴ 2A ＋ ＝ π，即 A ＝ . 3 3 3 3 3 ∵ a ＝ 7，由余弦定理得 a 2＝ b 2＋ c 2 －2bccos A ＝ (b ＋ c)2－ 3bc ＝ 7.① ∵向量 m ＝ (3， sin B)与 n ＝ (2， sin C)共线， 所以 2sin B ＝ 3sin C ．由正弦定理得 2b ＝ 3c ，②由①②，可得 b ＝ 3， c ＝ 2. [方法技巧 ] 平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路 (1) 向量平行 (共线 )、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行 (共线 )、垂直关系得到三角函数式， 再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． (2) 向量的模与三角函数综合： 此类题型主要是利用向量模的性质 | a| 2＝ a 2 ，如果涉及向量的坐标， 解答时可利用两种方 法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类 题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积 的综合． 平面向量与几何的综合问题 [例 2] (1)在平行四边形 uuur uuur ABCD 中， AD ＝1，∠ BAD ＝ 60°，E 为 CD 的中点．若 AC ·BE ＝ 1, 则 AB 的 长为 ________． (2)已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 120 °，点 E ， F 分别在边 BC ， DC 上， BC ＝ 3BE ， DC ＝ λ DF.若 uuur uuur AE ·AF ＝ 1，则 λ的值为 ________． uuur uuur uuur 1 x.又 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 [解析 ] (1)设 | AB | ＝ x ，x ＞0，则 AB ·AD ＝ AC ·BE ＝ ( AD ＋ AB ) ·(AD － 2 AB )＝ 1－ x 2 2 2 1 1 ，即 AB 的长为 1 . ＋ x ＝ 1，解得 x ＝ 2 4 2 uuur uuur uuur uuur － 1 (2)由题意可得 AB ·AD ＝ | AB | ·|AD |cos 120 ＝－ 2， ＝°2× 2× 2 uuur uuur uuur uuur 在菱形 ABCD 中，易知 AB ＝ DC ， AD ＝ BC ， uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 所以 AE ＝ AB ＋ BE ＝ AB ＋ 3 AD ， AF ＝ AD ＋ DF ＝ AB ＋ AD ， λ uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur AE ·AF ＝ AB ＋ 3 AD ·λ AB ＋ AD 4＋ 4 － 2 1 ＝ 1，解得 λ＝ 2.[答案 ] (1) 1 (2)2 1＋ 3λ ＝ λ 3 2 [方法技巧 ] 平面向量与几何综合问题的求解方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向 量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． [检验高考能力 ] 一、选择题 1．已知向量 a ＝ ( 3， 1)， b ＝ (0,1)， c ＝ (k ， 3)，若 a ＋ 2b 与 c 垂直，则 k ＝ ( ) A ．－ 3 B ．－ 2 C ． 1 D ．－ 1 解析：选 A 因为 a ＋ 2b 与 c 垂直，所以 (a ＋ 2b) ·c ＝0，即 a ·c ＋ 2b ·c ＝ 0，所以 3k ＋ 3＋ 2 3＝ 0，解 得 k ＝－ 3. uuur uuur 2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB ＝ (1，－ 2)， AD ＝ (2,1)，则 uuur uuur AD ·AC ＝ ( ) A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2 uuur uuur uuur 解析：选 A 由四边形 ABCD 是平行四边形，知 AC ＝ AB ＋ AD ＝ (1，－ 2)＋ (2,1) ＝ (3，－ 1)，故 uuur uuur AD ·AC ＝ (2,1) (3·，－ 1)＝ 2×3＋ 1×(－1)＝ 5. 3．若平面向量 a ＝ (－ 1,2)与 b 的夹角是 180 °，且 | b| ＝3 5，则 b 的坐标为 ( ) A ． (3，－ 6) B ． (－ 3,6) C ． (6，－ 3) D ． (－ 6,3) 解析：选 A 由题意设 b ＝ λa＝ (－ λ，2λ)(λ＜ 0)，而 | b| ＝ 3 5，则 － λ 2＋ 2λ 2 ＝3 5，所以 λ ＝－ 3， b ＝ (3，－ 6)，故选 A. 1 4．(2016 山·东高考 )已知非零向量 m ，n 满足 4|m| ＝ 3| n| ，cos 〈m ，n 〉＝ ，若 n ⊥(t m ＋ n)，则实数 t 的值为 ( ) 9 9 A ． 4 B ．－ 4 C.4 D ．－ 4 解析：选 B ∵ n ⊥ (t m ＋ n)， ∴n ·(t m ＋ n)＝ 0，即 t m ·n ＋ | n| 2＝ 0，∴ t|m||n| cos 〈 m ， n 〉＋ | n| 2＝ 3 1 0.又 4| m| ＝ 3| n| ，∴ t × | n| 2 ×＋ | n| 2 ＝ 0，解得 t ＝－ 4.故选 B. 4 3 5．(2016 天·津高考 )已知△ ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D ，E 分别是边 AB ，BC 的中点，连接 DE uuur uuur 并延长到点 F ，使得 DE ＝ 2EF ，则 AF ·BC 的值为 () 5 A ．－ 8 uuur uuur uuur 解析：选 B 如图所示， AF ＝ AD ＋ DF .又 D ，E 分别为 AB ，BC 的中点，且 DE uuur 1 uuur uuur 1 uuur ＋ 1 uuur ＝ 3 uuur uuur 1 uuur ＋ 3 uuur ＝ 2EF ，所以 AD ＝ 2 AB ， DF ＝ 2 AC 4 AC 4 AC ，所以 AF ＝ 2 AB 4 AC .又 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 3 BC ＝ AC － AB ，则 AF ·BC ＝ 2 AB ＋ 4 AC ·(AC － AB )＝ 2 AB ·AC － 2 AB 2＋ 4 uuur 3 uuur uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3 AC 2－ AC ·AB ＝ 4 AC 2－ AB 2－ AC ·AB .又 | AB | ＝ | AC | ＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，故 AF ·BC ＝ － 4 2 4 4 1－ 1 1＝ 1 2 4× 1× 1× .故选 B. 2 8 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 6．已知△ ABC 为等边三角形， AB ＝ 2，设点 P ，Q 满足 AP ＝ λ ，AQ ＝ (1－ λ) AC ，λ∈ R ，若 BQ · AB CP ＝－ 3 ，则 λ＝ ( ) 2 解析：选 A uuur uuur uuur ＝ (1－ λ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ∵ BQ ＝ AQ － AB AC － AB ， ＝ AP － AC ＝ λ － AC ，又 BQ · CP AB CP ＝－ 3，| uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB | ＝ | AC | ＝ 2，A ＝ 60°， AB ·AC ＝| AB | ·|AC |cos 60 ＝°2，∴ [(1－ λ) AC － AB ] ·(λ 2 AB uuur 3 uuur 2 2 uuur uuur uuur 2 3 2 3 － AC )＝－ ，即 λ| AB | ＋ (λ－ λ－ 1) AB ·AC ＋ (1－ λ)| AC | ＝ ，所以 4 λ＋ 2(λ－ λ－ 1)＋ 4(1－ λ)＝ ， 2 2 2 1 解得 λ＝ . 2 二、填空题 7．已知平面向量 a ＝ (2,4)， b ＝ (1，－ 2)，若 c ＝ a － (a ·b) b ·，则 | c| ＝ ________. 解析：由题意可得 a · b ＝2×1＋ 4×(－ 2)＝－ 6，∴ c ＝ a － (a ·b) ·b ＝ a ＋ 6b ＝ (2,4)＋ 6(1，－ 2)＝ (8，－ 8)， ∴ | c| ＝ 82＋ － 8 2＝ 8 2.答案： 8 2 8．已知向量 a ， b 满足 (2a － b) ·(a ＋ b)＝ 6，且 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，则 a 与 b 的夹角为 ________． 解析：∵ (2a － b) ·(a ＋ b)＝ 6，∴ 2a 2＋ a ·b － b 2＝ 6，又 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，∴ a ·b ＝－ 1，∴ cos 〈 a ， b 〉＝ a · b 1 2π 2π | a|| b| ＝－ 2，又〈 a ， b 〉∈ [0 ， π]，∴ a 与 b 的夹角为 3 .答案： 3 9．已知 a ＝ (λ， 2λ)， b ＝ (3λ， 2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ的取值范围是 ________． 2 4 1 1 解析： a 与 b 的夹角为锐角，则 a ·b>0 且 a 与 b 不共线，则 3λ＋ 4λ>0， ， 2 解得 λ<－ 或 0<λ< 或 λ> 3 3 3 2λ－ 6λ≠0， 所以 λ的取值范围是 － ∞，－ 4 ∪ 0， 1 ∪ 1，＋ ∞ .答案： － ∞，－ 4 ∪ 0， 1 ∪ 1，＋ ∞ 3 3 3 3 3 3 10.如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ BAD ＝ 60°， M 为 DC 的中点，若 N 为菱形 uuuur uuuur 内任意一点 (含边界 )，则 AM ·AN 的最大值为 ________． uuuur uuur uuur uuuur uuur ＋ 1 uuur 1 uuur 解析：设 AN ＝ λAB ＋ μAD ，因为 N 在菱形 ABCD 内，所以 0≤λ≤ 1,0μ≤ 1AM . ＝ AD 2 DC ＝ 2 AB ＋ uuur uuuur uuuur 1 u uur uuur uuur uuur λuuur ＋ μ uuur uuur uuur 2＝ λ AD . 所以 AM · ＝ 2AB ＋ AD ·λ ＋ μ AD ) ＝ 2 AB 2 λ＋ 2 AB · ＋ μ 2 ×4＋ AN ( AB AD AD uuuur uuuur uuuur uuuur λ＋ μ 1 ＋ 4μ＝ 4λ＋ 5μ.所以 0≤ 时， AM ·AN 有最大值 9，此时， N 2 × 2× 2× AM ·AN ≤9，所以当 λ＝ μ＝ 1 2 位于 C 点．答案： 9 三、解答题 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ＝ 2 ，－ 2 ， n ＝ (sin x ， cos x)， x ∈ 0， π . 2 2 2 π 的值． (1)若 m ⊥ n ，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 解： (1)若 m ⊥ n ，则 m ·n ＝ 0.由向量数量积的坐标公式得 2 2 2 sin x － 2 cos x ＝ 0，∴ tan x ＝ 1. π π 1 1 2 2 1 ， (2)∵ m 与 n 的夹角为 ，∴ m ·n ＝ | m|| n|cos ＝ 1×1×＝ ，即 2 sin x － 2 cos x ＝ 2 3 3 2 2 ∴ sin x － π 1 .又∵ x ∈ 0， π ，∴ x － π π π π π 5π 4 ＝ 2 ∈ － ， 4 ，∴ x － ＝ ，即 x ＝ . 2 4 4 4 6 12 12．已知在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量 m ＝(sin A ， sin B)，n ＝ (cos B ，cos A)， m ·n ＝ sin 2C. (1)求角 C 的大小； (2)若 sin A ， sin C ， sin B 成等差数列，且 uuur uuur CA ·(AB uuur － AC )＝ 18，求边 c 的长． 解： (1)m ·n ＝ sin A ·cos B ＋ sin B ·cos A ＝ sin(A ＋ B)，对于△ ABC ， A ＋ B ＝ π－ C,0＜ C ＜ π， 1 π ∴ sin(A ＋ B)＝sin C ，∴ m ·n ＝ sin C ，又 m ·n ＝ sin 2C ，∴ sin 2C ＝sin C ， cos C ＝ 2， C ＝ 3. (2)由 sin A ， sin C ， sin B 成等差数列，可得 2sin C ＝ sin A ＋ sin B ，由正弦定理得 2c ＝ a ＋ b. uuur uuur uuur uuur u uur ∵ CA ·(AB － AC )＝ 18，∴ CA ·CB ＝ 18，即 abcos C ＝ 18， ab ＝ 36. 由余弦定理得c2＝ a2＋ b 2－ 2abcos C＝ (a＋ b)2－3ab，∴ c2＝ 4c2－ 3×36， c2＝ 36，∴ c＝ 6.