层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法

层次分析法(AHP)

AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty 提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

AHP 十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

一、递阶层次结构的建立

一般来说，可以将层次分为三种类型：

（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。 （3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。 典型的递阶层次结构如下：

m 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：

（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。 （2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。 （4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

二、构造比较判断矩阵

设有m 个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m 个目标两两进行比较，把第i 个目标（i=1,2,…,m ）对第j 个目标

的相对重要性记为a ij ，(j=1,2,…,m)，这样构造的m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，

准则1

准则2 准则3 准则m 1

子准则1

子准则2 子准则3

子准则m 2

方案

1 方案

2 方案

3 方案n

总目标

简称判断矩阵，记作A=(a ij )m ×m 。

Satty 于1980年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表（见表4-4）。利用该表取a ij 的值，

称为1-9标度方法。

表4-4 目标重要性判断矩阵A 中元素的取值

相对重要性 定义 说明

1 同等重要 两个目标同样重要

3 略微重要 由经验或判断，认为一个目标比另一个略微重要 5 相当重要 由经验或判断，认为一个目标比另一个重要

7 明显重要 深感一个目标比另一个重要，且这种重要性已有实践证明 9 绝对重要

强烈地感到一个目标比另一个重要得多 2,4,6,8

两个相邻判断的中间值

需要折中时采用

若决策者能够准确估计a ij （i,j,k=1,2,…,m ），则有： a ij =1/a ji a ij= a ik ·a kj a ii =1

定义4-1 设A=(a ij )m ×m ，A>0，（即a ij >0;i,j=1,2,…,m ），如果满足条件（1）a ii =1（i =1,2,…,m ）；（2）a ij =1/a ji （i,j =1,2,…,m ），则称矩阵A 为互反正矩阵。

定义4-2 设A=(a ij )m ×m ，A>0，如果满足条件a ij= a ik ·a kj （i,j,k=1,2,…,m ）则称矩阵A 为一致性矩阵。 定理4-1 对于任何一个m 阶互反正矩阵A ，均有

m ax λ≥m ，其中m ax λ是矩阵A 的最大特征值。

定理4-2 m 阶互反正矩阵A 为一致性矩阵的充分必要条件是A 的最大特征根为m 。 三、单准则下的排序

层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每个准则都支配下一层若干因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。因此根据比较判断矩阵如何求得各因素w 1,w 2, …,w m 对于准则A 的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。这里设A=(a ij )m ×m ，A>0。 （一）本征向量法 利用AW=

λW 求出所有λ的值，其中m ax λ为λ的最大值，求出m ax λ对应的特征向量W *

，然后把特征向量W *

规一化为向

量W ，则W=[w 1,w 2, …w m ]T

为各个目标的权重。求λ需要解m 次方程，当m ≥3时，计算比较麻烦，可以利用matlab 来求解。

（二）判断矩阵的近似解法

判断矩阵是决策者主观判断的定量描述，求解判断矩阵不要求过高的精度。这里，介绍三种近似计算方法：根法、和法及幂法。幂法适于在计算机上运算。

1、根法

（1）A 中每行元素连乘并开m 次方，得到向量T

m

w w w W

)

,...,,(**2*

1*

=其中，m m

j ij

i

a w ∏==1

*

（2）对W *

作归一化处理，得到权重向量W=(w 1,w 2, …w m )T

，其中∑==m

i i i

i

w w w 1

**/

（3）对A 中每列元素求和，得到向量S=(s 1,s 2, …s m )，其中s j =

∑=m

i ij a

1

（4）计算m ax λ的值，SW w s i m

i i ==∑=1

max λ=∑=m i i i

w AW m 1)(1

2、和法

（1）将A 的元素按列作归一化处理，得矩阵Q=(q ij )m ×m 。其中，∑==m

k kj ij ij

a a q 1

/

（2）将Q 的元素按行相加，得向量

T

m )

,...,,(21αααα=。其中，

∑==m

j ij i q 1

α

（3）对向量

α

作归一化处理，得权重向量W=(w 1,w 2, …w m )T

，其中∑==m

k k

i i

w 1

/αα

（4）求出最大特征值∑==m i i

i w AW m 1max )(1λ

3、幂法

幂法是一种逐步迭代的方法，经过若干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵A 的最大特征值及其对应的特征向

量。

定理 3 设矩阵A=(a ij )m ×m

，A>0，则CW

e

A e e

A k T k k =∞→lim ，其中，W 是A 的最大特征值对应的的特征向量，C 为常

数，向量e=(1,1,…,1)T

。

幂法的计算步骤是：

①任取初始正向量X (0)

=(x 1(0)

, x 2(0)

, …, x m (0))T

，计算

0)0()0()0()

0(0/},{max m X Y x X m i i

===∞

②迭代计算，对于k=0,1,2, …计算

1)1()1()1()

1(1)()1(/},{,max ++++∞

+++====k k k k i i

k k k k m X Y x X m AY X

③精度检查。当

ε<-+k k m m 1时，转入步骤④；否则，令k=k+1，转入步骤②。

④求最大特征值和对应的特征向量，将Y (k+1)归一化，即

1max 1

)1()

1(,/+=++==∑k m

i k i k m y Y

W λ

例 判断矩阵 1 2 5 A = 1/2 1 7 1/5 1/7 1

用幂法计算A 的最大特征值

m ax λ及其对应额特征向量。精度ε

=0.0001。

解：取初始向量X (0)

=(1,1,1)T

，迭代过程见下表 k X (k)

Y (k)

1

1 1

1

1 1 1 8.0000 8.5000

1.3429 0.9412

1

0.1580

2 3.7312 2．5766 0.4891 1 0.6906 0.1311

3 3.0367 2.1083 0.4268 1 0.6943 0.1415

4 3.0961 2.1848 0.4406 1 0.7057 0.1423

5 3.1229 2.2018 0.4431 1 0.7050 0.1419

6 3.1195 2.1983 0.4426 1 0.704

7 0.1419 7 3.1189 2.1980 0.4426 1 0.7047 0.1419

8 3.1189

2.1980

0.4426

1

0.7047 0.1419

由上表看出，当k=7时，|m 8-m 7|=|3.1189-3.1189|=0<0.0001,迭代终止，得到

m ax λ=3.1189，W=（0.5415,0.3816,0.0769）

T

四、单准则下的一致性检验

由于客观事物的复杂性，会使我们的判断带有主观性和片面性，完全要求每次比较判断的思维标准一致是不太可能的。

因此在我们构造比较判断矩阵时，我们并不要求n(n-1)/2次比较全部一致。但这可能出现甲与乙相比明显重要，乙与丙相比极端重要，丙与甲相比明显重要，这种比较判断会出现严重不一致的情况。我们虽然不要求判断具有一致性，但一个混乱的，经不起推敲的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体一致。而上述计算权重的方法，当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了。因此，对于每一层次作单准则排序时，均需要作一致性的检验。

一致性指标（Consistency Index,CI ）:1

max --=

m m

CI

λ

随机指标（Random Index,RI ）

一致性比率（Consistency Rate,CR ）:CR=CI/RI 当CR 取0.1时，最大特征值

'm ax λ=CI ·(m-1)+m=0.1·RI ·(m-1)+m 表4-5 随机指标RI ，'m ax λ取值表

m 1 2 3 4

5

6

7

8

9

RI

0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 '

m ax λ

3.116

4.27

5.45

6.62

7.79

8.99

10.16

表中当n=1,2时，RI=0，这是因为1,2阶判断矩阵总是一致的。