[衡水二轮数学]第1部分 专题1 第1讲
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第一部分 专题一 第一讲
A 组
1．(文)(2018·天津卷,1)设集合A ＝{1,2,3,4},B ＝{－1,0,2,3},C ＝{x ∈R |－1≤x <2},则(A ∪B )∩C ＝( C )
A ．{－1,1}
B ．{0,1}
C ．{－1,0,1}
D ．{2,3,4}
[解析] ∵A ＝{1,2,3,4},B ＝{－1,0,2,3}, ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}, ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． 故选C ．
(理)(2018·天津卷,1)设全集为R ,集合A ＝{x |0 D ．{x |0 2．(2019·安徽皖南八校联考)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＝4y },B ＝{(x ,y )|y ＝x },则A ∩B 的真子集个数为( B ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 [解析] 由????? x 2＝4y ，y ＝x 得????? x ＝0，y ＝0或? ???? x ＝4，y ＝4， 即A ∩B ＝{(0,0),(4,4)}, ∴A ∩B 的真子集个数为22－1＝3.故选B ． 3．(文)命题“?x ∈[0,＋∞),x 3＋x ≥0”的否定是( C ) A ．?x ∈(－∞,0),x 3＋x <0 B ．?x ∈(－∞,0),x 3＋x ≥0 C ．?x 0∈[0,＋∞),x 3 0＋x 0<0 D ．?x 0∈[0,＋∞),x 30＋x 0≥0 [解析] 全称命题“?x ∈[0,＋∞),x 3＋x ≥0”的否定是特称命题“?x 0∈[0,＋∞),x 30＋x 0<0”． (理)已知f (x )＝3sin x －πx ,命题p ：?x ∈(0,π 2),f (x )<0,则( C ) A ．p 是假命题,?p ：?x ∈(0,π 2),f (x )≥0 B ．p 是假命题,?p ：?x 0∈(0,π 2),f (x 0)≥0 C ．p 是真命题,?p ：?x 0∈(0,π 2),f (x 0)≥0 D ．p 是真命题,?p ：?x ∈(0,π 2 ),f (x )≥0 [解析] 因为f ′(x )＝3cos x －π,所以当x ∈(0,π 2)时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,即对?x ∈ (0,π 2),f (x ) 2 ),f (x 0)≥0． 4．(文)设a ,b 是向量,则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] 取a ＝－b ≠0,则|a |＝|b |≠0,|a ＋b |＝|0|＝0,|a －b |＝|2a |≠0,所以|a ＋b |≠|a －b |,故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |,得|a ＋b |2＝|a －b |2,整理得a·b ＝0,所以a ⊥b ,不一定能得出|a |＝|b |,故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D ． (理)若p 是q 的充分不必要条件,则下列判断正确的是( C ) A ．?p 是q 的必要不充分条件 B ．?q 是p 的必要不充分条件 C ．?p 是?q 的必要不充分条件 D ．?q 是?p 的必要不充分条件 [解析] 由p 是q 的充分不必要条件可知p ?q ,q ? / p ,由互为逆否命题的两命题等价可得?q ??p ,?p ? / ?q , ∴?p 是?q 的必要不充分条件,故选C ． 5．(文)已知全集U ＝R ,集合A ＝{x |0 如图所示,则阴影部分所求集合中的元素共有(B) A．3个B．4个 C．5个D．无穷多个 [解析]由Venn图可知,阴影部分可表示为(?U A)∩B．由于?U A＝{x|x≤0或x≥9},于是(? A)∩B＝{x|－4 U (理)设全集U＝R,A＝{x|x(x－2)<0},B＝{x|y＝ln(1－x)},则图中阴影部分表示的集合为(B) A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0 [解析]分别化简两集合可得A＝{x|0 B＝{x|x<1},故?U B＝{x|x≥1}, 故阴影部分所示集合为{x|1≤x<2}． 6．(2019·洛阳市第一统考)设全集U＝R,集合A＝{x|log2x≤1},B＝{x|x2＋x－2≥0},则A∩?U B＝(C) A．(0,1] B．(－2,2] C．(0,1) D．[－2,2] [解析]不等式log2x≤1,即log2x≤log22,由y＝log2x在(0,＋∞)上单调递增,得不等式的解集为(0,2],即A＝(0,2]．由x2＋x－2≥0,得(x＋2)(x－1)≥0,得B＝{x|x≤－2或x≥1},所以?U B ＝(－2,1),从而A∩?U B＝(0,1)．故选C． 7．下列结论错误的是(C) A．命题“若x2－3x－4＝0,则x＝4”的逆否命题为“若x≠4,则x2－3x－4≠0” B．命题“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件 C．命题“若m>0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题 D．命题“若m2＋n2＝0,则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0,则m≠0或n≠0” [解析]C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根,则m>0”．若方程有实根,则 Δ＝1＋4m ≥0,即m ≥－1 4 ,不能推出m >0.所以不是真命题,故选C ． 8．已知全集U ＝R ,设集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)},集合B ＝{y |y ＝sin(x －1)},则(?U A )∩B 为( C ) A ．(1 2,＋∞) B ．(0,12] C ．[－1,1 2 ] D ．? [解析] 集合A ＝{x |x >1 2}, 则?U A ＝{x |x ≤1 2}, 集合B ＝{y |－1≤y ≤1}, 所以(?U A )∩B ＝{x |x ≤1 2}∩{y |－1≤y ≤1} ＝[－1,1 2 ]． 9．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x －1 e x ＋1为偶函数,下 列说法正确的是( B ) A ．p ∨q 是假命题 B ．(?p )∧q 是假命题 C ．p ∧q 是真命题 D ．(?p )∨q 是真命题 [解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )], 令(1－x )(1＋x )>0,得－1 所以函数f (x )的定义域为(－1,1),关于原点对称, 因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x ), 所以函数f (x )为偶函数,所以命题p 为真命题； 对于命题q ：y ＝f (x )＝e x －1e x ＋1,函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称,因为f (－x )＝e －x －1 e －x ＋1＝ 1 e x －11 e x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x ),所以函数f (x )为奇函数,所以命题q 为假命题,所以(?p )∧q 是假命题． 10．已知命题p ：x ≥1,命题q ：1 x <1,则?p 是q 的__既不充分也不必要__条件． [解析] 由题意,得?p 为x <1,由1 x <1,得x >1或x <0,故q 为x >1或x <0,所以?p 是q 的既不充 分也不必要条件． 11．设命题p：?a>0,a≠1,函数f(x)＝a x－x－a有零点,则?p：__?a0>0,a0≠1,函数f(x)＝a x0－x－a0没有零点__． [解析]全称命题的否定为特称命题,?p：?a0>0,a0≠1,函数f(x)＝a x0－x－a0没有零点．12．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于__3__．[解析]A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1 13．已知命题p：?x∈R,x2－a≥0；命题q：?x0∈R,x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为__(－∞,－2]__． [解析]由已知条件可知p和q均为真命题, 由命题p为真得a≤0,由命题q为真得a≤－2或a≥1, 所以a≤－2． B组 1．(文)设全集U＝{x|e x>1},函数f(x)＝ 1 x－1 的定义域为A,则?U A＝(A) A．(0,1] B．(0,1) C．(1,＋∞) D．[1,＋∞) [解析]全集U＝{x|x>0},f(x)的定义域为{x|x>1},所以?U A＝{x|0 (理)已知全集U＝R,集合A＝{x|y＝lg(x－1)},集合B＝{y|y＝x2＋2x＋5},则A∩B＝(C) A．?B．(1,2] C．[2,＋∞) D．(1,＋∞) [解析]由x－1>0,得x>1,故集合A＝(1,＋∞),又y＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4＝2,故集合B＝[2,＋∞),所以A∩B＝[2,＋∞),故选C． 2．(2019·辽宁八校联考)设集合M＝{x|x2＋3x＋2<0},集合N＝{x|(1 2) x≤4},则M∪N＝ (A) A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1} C．{x|x<－1} D．{x|x≤－2} [解析]因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2 3．若命题“?x 0∈R ,x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题,则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－1,3] B ．(－1,3) C ．(－∞,－1]∪[3,＋∞) D ．(－∞,－1)∪(3,＋∞) [解析] ∵?x 0∈R ,x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题, ∴x 2＋(a －1)x ＋1<0有解． 由Δ＝(a －1)2－4>0,可得a <－1或a >3,故选D ． 4．在△ABC 中,角A ,B 的对边分别为a ,b ,则“cos A >cos B ”是“a D ．既不充分也不必要条件 [解析] ①∵a ,b 分别是角A ,B 所对的边且a 而在(0,π)上,f (x )＝cos x 为减函数, ∴cos A >cos B ． ②在(0,π)上,函数f (x )＝cos x 为减函数,0cos B , ∴A ①?x ∈R ,不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2,则x >1； ③“若a >b >0且c <0,则c a >c b ”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题,则p ,q 均为假命题． 其中真命题的是( A ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ [解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0,恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋ 1 log 2x ≥2,得x >1；③中由a >b >0,得1a <1 b ,而 c <0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真；④由p 且 q 为假只能得出p ,q 中至少有一个为假,④不正确． 6．设x ,y ∈R ,则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 2 9≤1”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域,“x 216＋y 2 9≤1”表示的平面区 域N 为椭圆x 216＋y 2 9 ＝1及其内部,显然N M ,故选B ． 7．(文)若集合A ＝{x |2 D ．既不充分也不必要条件 [解析] 当a ＝1时,B ＝{x |－2 (理)设x ,y ∈R ,则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( D ) A ．既不充分又不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件 [解析] 当x ≥1,y ≥1时,x 2≥1,y 2≥1,所以x 2＋y 2≥2；而当x ＝－2,y ＝－4时,x 2＋y 2≥2仍成立,所以“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的充分不必要条件,故选D ． 8．已知命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞,1)内单调递减；命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数,则下列命题中为真命题的是( A ) A ．p ∧q B ．(?p )∨(?q ) C ．(?p )∧q D ．p ∧(?q ) [解析] 命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞,1)上单调递减,是真命题； 命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数,是真命题． 则p ∧q 是真命题．故选A ． 9．若集合P ＝{x |3 A ．(1,9) B ．[1,9] C ．[6,9) D ．(6,9] [解析] 依题意,P ∩Q ＝Q ,Q ?P , 于是???? ? 2a ＋1<3a －5， 2a ＋1>3， 3a －5≤22，