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中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图（ 9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太

阳能热水器：先安装支架AB 和 CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上 .为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为 1 ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为

2 ，并已知tan

1.082 ，

tan

0.412 ．如果安装工人确定支架AB 高为25cm，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？

【答案】

【解析】

过

A 作AF CD 于F ，根据锐角三角函数的定义用θ12 、θ表示出 DF、 EF的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据 DC=DE+EC进行解答即可．

2．在矩形ABCD中， AD＞AB，

点P 是CD边上的任意一点（不

含

C， D 两端点），过点P

作 PF∥BC，交对角线BD 于点F．

（1）如图 1，将△ PDF沿对角线 BD 翻折得到△ QDF，QF 交 AD 于点 E．求证：△ DEF是等腰三角形；

（2）如图 2，将△ PDF绕点 D 逆时针方向旋转得到△ P'DF'，连接 P'C， F'B．设旋转角为α（0°＜α＜ 180°）．

①若 0°＜α＜∠ BDC，即 DF'在∠ BDC的内部时，求证：△ DP'C∽ △ DF'B．

②如图 3，若点 P 是 CD 的中点，△ DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时

tan∠ DBF'的值，如果不能，请说明理由．

【答案】（ 1）证明见解析；（2）①证明见解析；② 1

或 3 .

2 3

【解析】

【分析】（ 1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠ DFQ=∠ ADF，所以△ DEF是等腰三角

形；

（2）①由于 PF∥ BC，所以△ DPF∽△ DCB，从而易证△DP′F∽′△ DCB；

②由于△ DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行

分类讨论．

【详解】（ 1）由翻折可知：∠ DFP=∠ DFQ，

∵PF∥ BC，∴∠

DFP=∠ ADF，∴∠

DFQ=∠ ADF，

∴△ DEF是等腰三角形；

（2）①若 0°＜α＜∠ BDC，即 DF'在∠ BDC 的内部时，

∵∠ P′ DF∠′=PDF，

∴∠ P′ DF﹣∠′F′ DC=∠PDF﹣∠ F′，DC

∴∠ P′ DC=∠F′ DB，

由旋转的性质可知：△ DP′F≌′△ DPF，

∵P F∥ BC，

∴△ DPF∽ △ DCB，

∴△ DP′∽F△′DCB

∴DC DP ' ，

DB DF '

∴△ DP'C∽ △DF'B；

②当∠ F′ DB=90时°，如图所示，

∵D F′ =DF=BD，

DF ' 1

∴，

BD 2

DF ' 1

∴tan ∠ DBF ′=；

BD 2

当∠ DBF′=90，°此时 DF′是斜边，即 DF′＞ DB，不符合

题意；当∠ DF′B=90时°，如图所示，

∵D F′ =DF=BD，

∴∠ DBF ′ =30，°

∴tan ∠ DBF ′= .

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似

三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定

理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.

3．已知 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°，点 D、 E 分别在 BC、 AC边上，连结BE、 AD 交于点 P，设AC=kBD， CD=kAE，k 为常数，试探究∠ APE的度数：

（1）如图 1，若 k=1，则∠ APE的度数为；

（2）如图 2，若 k= 3，试问（ 1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成

立，求出∠APE的度数．

（3）如图 3，若 k= 3，且 D、 E 分别在 CB、 CA 的延长线上，（ 2）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（ 1） 45°；（ 2）（ 1）中结论不成立，理由见解析；（3）（ 2）中结论成立，理

由见解析 .

【解析】

分析：（ 1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF， BF=AD，进而判断出△F AE≌△ ACD，得出 EF=AD=BF，再判断出∠ EFB=90 °即可得出结论；，

（2）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF， BF=AD，进而判断出

△FAE∽△ ACD，再判断出∠ EFB=90，°即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF 是平行四边形，得出BD=AF， BF=AD，进而判断出

△ACD∽ △ HEA，再判断出∠ EFB=90，°即可得出结论；

详解：（ 1）如图 1，过点 A 作 AF∥ CB，过点 B 作 BF∥ AD 相交于 F，连接 EF，

∴∠ FBE=∠APE，∠ FAC=∠ C=90 ，°四边形 ADBF 是平行四边形，

∴BD=AF，

BF=AD．∵AC=BD， CD=AE，

∴A F=AC．

∵∠ FAC=∠ C=90 ，°

∴△ FAE≌ △ ACD，

∴EF=AD=BF，∠ FEA=∠

ADC．∵∠ ADC+∠ CAD=90 ，°

∴∠ FEA+∠ CAD=90 =°∠ EHD．

∵AD∥ BF，

∴∠ EFB=90．°

∵EF=BF，∴∠

FBE=45，°∴∠

APE=45 ．°

（2）（ 1）中结论不成立，理由如下：

如图 2，过点 A 作 AF∥CB，过点 B 作 BF∥ AD 相交于 F，连接 EF，

∴∠ FBE=∠APE，∠ FAC=∠ C=90 ，°四边形 ADBF 是平行四边形，

∴ B D=AF ， BF=AD ．

∵ A C= 3 BD ， CD= 3 AE ，

AC CD ∴

3 ．

∵ B D=AF ，

∴ AC

CD 3 ．

∵∠ FAC=∠ C=90 ，° ∴△ FAE ∽ △ ACD ，

AD BF

．

∴

3 EF

∠ FEA=∠ ADC

∵∠ ADC+∠ CAD=90 ，°

∴∠ FEA+∠ CAD=90 =°∠ EMD ．

∵AD ∥ BF ，

∴∠ EFB=90．°

在 Rt △ EFB 中， tan ∠ FBE=

∴∠ FBE=30，° ∴∠ APE=30 ，°

（3）（ 2）中结论成立，如图

3 ， 3

3，作 EH ∥CD ， DH ∥BE ， EH ， DH 相交于 H ，连接 AH ，

∴∠ APE=∠ ADH ， ∠ HEC=∠ C=90 ，°四边形

EBDH 是平行四边形，

∴BE=DH ， EH=BD ．

∵ A C= 3 BD ， CD= 3 AE ，

AC CD ∴

3 ．

∵∠ HEA=∠ C=90 ，° ∴△ ACD ∽ △ HEA ，

AD AC ∴

3 ， ∠ ADC=∠ HAE ．

∵∠ CAD+∠ ADC=90 ，°

∴∠ HAE+∠CAD=90 ，°

∴∠ HAD=90 ．°

在 Rt △ DAH 中， tan ∠ ADH=

3 ，

∴∠ ADH=30 ，° ∴∠ APE=30 ．°

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

4．已知：如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点， MD ∥ BC ，且

MD=CM ， DE ⊥AB 于点 E ，连结 AD 、 CD ．

（ 1）求证： △ MED ∽ △BCA ；

（ 2）求证： △ AMD ≌ △ CMD ；

（3）设 △ MDE 的面积为 S 1 ，四边形 2 2 17 1 BCMD 的面积为 S ，当 S = 5 S 时，求 cos ∠ ABC 的

值．

【答案】（ 1）证明见解析；（

2）证明见解析；（ 3） cos ∠ ABC= .

【解析】

【分析】

（ 1）易证 ∠ DME=∠ CBA ， ∠ ACB=∠ MED=90° ，从而可证明 △ MED ∽ △ BCA ；

（ 2）由 ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，可知 MB=MC=AM ，从而可证明

∠AMD= ∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明

△ AMD ≌ △CMD ；

（3）易证 MD=2AB ，由（ 1 ）可知： △MED ∽ △ BCA ，所以

S 1

MD 1 ，所以

VACB

△MCB =

△ACB =2S 1

△EBD =S 2

△MCB ﹣S 1

= 2

S 1 ME

，从而可

S 2 S

，从而可求出 S ﹣ S

5 S

，由于

S VEBD

知 ME

ME=5x EB=2x

AB=14x BC=

，最后根据锐角三角函数的

EB ，设

，

，从而可求出

，

定义即可求出答案．【详解】

（ 1） ∵ MD ∥ BC ， ∴∠ DME=∠ CBA ， ∵∠ ACB=∠ MED=90 °，

∴△ MED ∽ △BCA ；

（2） ∵ ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，

∴MB=MC=AM ，

∴∠ MCB=∠ MBC ，

∵∠ DMB=∠ MBC ，

∴∠ MCB=∠ DMB=∠ MBC ，

∵∠ AMD=180 °∠﹣ DMB ，

∠ CMD=180 ﹣° ∠ MCB ﹣ ∠MBC+∠ DMB=180 ﹣°∠ MBC ，

∴∠ AMD=∠ CMD ，

在△ AMD 与△ CMD 中，

MD MD AMD

CMD ，

AM CM

∴△ AMD ≌ △ CMD （ SAS ）；（ 3） ∵ MD=CM ，

∴AM=MC=MD=MB ，

∴MD=2AB ，

由（ 1）可知： △ MED ∽△ BCA ，

∴

S 1

MD 1 ，

V ACB

∴S △ACB =4S 1，

∵CM 是 △ ACB 的中线，

∴S △MCB = 1

S △ACB =2S 1 ，

2 ∴S △EBD =S 2﹣ S △MCB ﹣ S 1= S 1，

S 1

ME ∵

S V EBD

，

EB S 1 ME

∴ 2

，

∴ ME

5 ， EB

设 ME=5x ， EB=2x ，

∴ M B=7x ，

∴ A B=2MB=14x ，

MD ME 1 ∵

，

∴ B C=10x ，

BC 10x 5

∴cos∠ ABC=.

AB 14x7

【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判

定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综

合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

5．如图，在⊙ O 的内接三角形A BC中，∠ ACB＝90°， AC＝2BC，过 C 作 AB 的垂线 l 交⊙O

于另一点D，垂足为 E.设 P 是上异于A，C的一个动点，射线AP 交 l 于点 F，连接 PC与PD， PD 交 AB 于点 G.

(1)求证：△ PAC∽ △ PDF；

(2)若 AB＝5，，求PD的长；

(3)在点 P 运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x 的取值范围 )

【答案】（1）证明见解析；（2）；（ 3）.

【解析】

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠ APD＝∠ FPC，得到∠ APC＝∠ FPD，又由∠ PAC＝

∠PDC，即可证明结论.

（2）由 AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC， AC 的长，则由AC=2BC得

，由△ ACE∽△ ABC可求得 AE， CE的长，由形，从而可求得PA的长，由△ AEF是等腰直角三角形求得

可知△ APB 是等腰直角三角EF=AE=4，从而求得DF 的长，

由（ 1）△ PAC∽ △ PDF得，即可求得PD 的长 .

（3）连接 BP， BD， AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得

，由△ AGP∽ △ DGB 可得，由△AGD∽ △PGB可得，两式相乘可得结果.

试题解析：（ 1）由 APCB内接于圆O，得∠ FPC＝∠ B，

又∵∠ B＝∠ ACE＝ 90°－∠BCE，∠ ACE＝∠ APD，∴ ∠APD＝∠ FPC.

∴∠ APD＋∠ DPC＝∠ FPC＋∠ DPC，即∠ APC＝∠ FPD.

又∵∠ PAC＝∠ PDC，∴△ PAC∽△ PDF.

（2）连接 BP，设，∵ ∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.

∵△ ACE∽ △ ABC，∴

∵AB⊥ CD，∴如图，连接BP，.

，即. ∴.

∵，∴△ APB 是等腰直角三角形. ∴∠ PAB＝ 45 °，

∴△ AEF是等腰直角三角形. ∴ EF=AE=4.∴DF=6.

. 由（ 1）△ PAC∽ △ PDF得，即.

∴PD 的长为.

（3）如图，连接BP， BD，AD，

∵AC=2BC，∴ 根据圆的对称性，得AD=2DB，即

∵AB⊥ CD， BP⊥ AE，∴∠ ABP＝∠ AFD.

∵，∴.

∵△ AGP∽ △ DGB，∴.

∵△ AGD∽△ PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴与之间的函数关系式为.

考点： 1.单动点问题； 2.圆周角定理； 3.相似三角形的判定和性质； 4.勾股定理； 5.等腰直角三角形的判定和性质； 6.垂径定理； 7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

6．问题背景 :

如图（ a） ,点 A、 B 在直线 l 的同侧，要在直线l 上找一点C，使 AC 与 BC 的距离之和最

小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点B′,连接 A B′与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求 .

（1）实践运用：

如图 (b)，已知，⊙ O 的直径 CD 为 4，点 A 在⊙ O 上，∠ ACD=30°， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD上一动点，则BP+AP的最小值为．

（2）知识拓展：

如图 (c)，在 Rt△ABC 中， AB=10，∠ BAC=45°，∠ BAC的平分线交 BC于点 D， E、 F 分

别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF的最小值，并写出解答过程．

【答案】解：（1）2 2 ．

（2）如图，在斜边AC 上截取 AB′=AB，连接 BB′．

∵AD 平分∠ BAC，∴点 B 与点 B′关于直线 AD 对称．

过点 B′作 B′F⊥ AB,垂足为 F，交 AD 于 E，连接 BE．

则线段 B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．

在Rt△ AFB/中，∵ ∠ BAC=450, AB/ ="AB=" 10 ，

∴．

∴B E+EF的最小值

为【解析】

试题分析：（ 1）找点 A 或点 B 关于 CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和

MN 的交点 P 就是所求作的位置，根据题意先求出∠ C′ AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出 PA+PB的最小值：

如图作点 B 关于 CD的对称点E，连接 AE 交 CD 于点 P，此时 PA+PB最小，且等于A．作直

径AC′，连接 C′E，

根据垂径定理得弧 BD=弧 DE．

∵∠ ACD=30 ，°∴ ∠ AOD=60 ，°∠DOE=30 ．°∴ ∠

AOE=90 ．°∴∠ C′ AE=45．°

又 AC 为圆的直径，∴ ∠ AEC′=90．°

∴∠ C′=∠ C′ AE=45．∴°C′ E=AE= AC′=2 2．

∴AP+BP的最小值是 2 2 ．

（2）首先在斜边 AC 上截取 AB′=AB，连接 BB′，再过点 B′作 B′F⊥ AB，垂足为 F，交 AD

于E，连接 BE，则线段 B′F的长即为所求．

7．已知：△ ABC 内接于⊙ O， D 是弧 BC上一点， OD⊥ BC，垂足为H．

（1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证： AC=2OH；

（2）如图 2，当圆心 O 在△ ABC外部时，连接 AD、 CD， AD 与 BC 交于点 P，求证：

∠ACD=∠ APB；

（3）在（ 2）的条件下，如图 3，连接 BD， E 为⊙ O 上一点，连接 DE交 BC于点 Q、交 AB 于点

N，连接 OE，BF 为⊙ O 的弦， BF⊥ OE 于点 R 交 DE 于点 G，若∠ACD﹣

∠ABD=2∠BDN， AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的长．

【答案】（ 1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 24.

【解析】

试题分析：（ 1）易证 OH 为△ ABC的中位线，可得 AC=2OH；（ 2 ）∠ APB=∠ PAC+∠ ACP，

∠ACD=∠ ACB+∠ BCD，又∵ ∠PAC =∠ BCD，可证∠ ACD=∠APB；（ 3 ）连接 AO 延长交

于⊙O 于点 I，连接 IC， AB 与 OD 相交于点 M ，连接 OB，易证∠ GBN=∠ABC，所以 BG=BQ.

在 Rt△ BNQ 中，根据tan ∠ ABC=，可求得NQ、BQ 的长 .利用圆周角定理可求得IC 和 AI

的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH 和 HD 的长度，利用垂径定理可求得ED 的长

度，最后利用tan ∠ OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．

试题解析：（ 1）在⊙O 中，∵ OD⊥ BC，∴BH=HC，∵点 O 是 AB 的中点，∴ AC=2OH；

（2）在⊙ O 中，∵ OD⊥ BC，∴弧 BD=弧 CD，∴ ∠ PAC=∠ BCD，∵ ∠ APB=∠ PAC+∠ ACP，

∠ACD=∠ ACB+∠ BCD，∴ ∠ ACD=∠APB；（ 3）连接 AO 延长交于⊙ O 于点 I，连接 IC，

AB与 OD 相交于点 M，连接 OB，

∵∠ ACD﹣∠ ABD=2∠ BDN，∴ ∠ ACD﹣∠ BDN=∠ ABD+∠ BDN，∵ ∠ ABD+∠ BDN=∠ AND，

∴∠ ACD﹣∠ BDN=∠ AND，∵∠ ACD+∠ ABD=180 ，°∴ 2∠ AND=180 ，°∴∠ AND=90 ，°

∵tan ∠ ABC=，∴，∴，

∴，∵∠ BNQ=∠ QHD=90 ，°

∴∠ ABC=∠ QDH，∵OE=OD，

∴∠ OED=∠ QDH，∵∠ ERG=90，°∴∠ OED=∠ GBN，∴∠ GBN=∠ ABC，∵ AB⊥ ED，

∴BG=BQ=，GN=NQ=，

∵∠ ACI=90 ，°tan ∠ AIC=tan∠ ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：

AI=25，

设 QH=x，∵ tan∠ ABC=tan∠ ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH= ，

∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，当 QH=

时，∴ QD= ，

∴ND=，∴MN= ， MD=15, ∵，∴ QH= 不符合题意，舍去，当 QH= 时，∴ QD=

∴ND=NQ+QD=

，ED=

，

∴ GD=GN+ND=,∴ EG=ED GD=

，

﹣

∵tan ∠ OED=，∴，

∴EG=RG，∴ RG= ，∴BR=RG+BG=12,∴ BF=2BR=24．

考点： 1 圆； 2 相似三角形； 3 三角函数； 4 直角三角形 .

8．水库大坝截面的迎水坡坡比（ DE 与 AE 的长度之比）为 1： 0.6，背水坡坡比为1： 2，大坝高 DE=30 米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长和面积．

【答案】故大坝的截面的周长是（ 6 34 +30 5 +98）米，面积是 1470 平方米．

【解析】

试题分析：先根据两个坡比求出AE 和 BF 的长，然后利用勾股定理求出AD 和 BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．

试题解析：∵迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为1： 0.6，DE=30m，

∴A E=18 米，

在 RT △ ADE 中， AD= DE 2 AE 2 =6 34 米

∵背水坡坡比为 1： 2， ∴BF=60 米，

在 RT △ BCF 中， BC= CF 2

BF 2 =30 5 米，

∴周长 =DC+AD+AE+EF+BF+BC=634 +10+30 5 +88=（ 6 34 +30 5 +98）米，

面积 =（ 10+18+10+60） ×30÷2=1470（平方米）．

故大坝的截面的周长是（ 6

34 +30 5 +98）米，面积是 1470 平方米．

9．如图， AB 是 ⊙ O 的直径， PA 、PC 与 ⊙O 分别相切于点 A ，C ， PC 交 AB 的延长线于点

D ， D

E ⊥ PO 交 PO 的延长线于点 E ． (1)求证： ∠ EPD=∠ EDO ；

(2)若 PC=3， tan ∠ PDA= 3

，求 OE 的长．

【答案】（ 1）见解析；（ 2）

【解析】

【分析】

（1）由切线的性质即可得证

.（2）连接 OC ，利用 tan ∠ PDA= 3 ，可求出 CD=2,进而求得

OC= 3

，再证明 △ OED ∽△ DEP ，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出

OE 的长 .

【详解】

（1）证明： ∵ PA ， PC 与⊙ O 分别相切于点 A ， C ，

∴∠ APO=∠ CPO, PA ⊥AO ，

∵DE ⊥ PO ，

∴∠ PAO=∠ E=90 ，°

∵∠ AOP=∠ EOD ，

∴∠ APO=∠ EDO ，

∴∠ EPD=∠EDO. （2）连接 OC ， ∴ P A=PC=3，

3 ∵ t an ∠ PDA= ，

∴在 Rt △ PAD 中，

AD=4， PD=PA2AD2=5，

∴CD=PD-PC=5-3=2，

∵t an ∠ PDA= ，

∴在 Rt△ OCD中，

OC= 3 ，

2 2 5

OD= OC CD =

，2

∵∠ EPD=∠ODE，∠ OCP=∠ E=90 ，°∴△ OED∽ △DEP，

PD PE DE

∴===2，

DO DE OE

∴D E=2OE,

在Rt△ OED中， OE2+DE2=OD2，即 5OE2 = 5

2 =

，

2 4

∴OE= 5 ．

【点睛】

本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用

tan∠ PDA= 3

，得线段的长是解题关键.

10．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知

识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120 米的点P 处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间为 5 秒且∠ APO＝60°，∠BPO＝ 45°．

（1）求A、 B 之间的路程；

（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65 千米的限制速度？请说明理由．（参考数

据： 2 1.414, 3 1.73 ）．

【答案】

【小题 1】73.2

【小题 2】超过限制速度．

【解析】

解：（ 1）AB100( 3 1)73.2 (米 )．?6分

(2) 此车制速度v==18.3 米 / 秒

11．已知 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．

（1）如图 1，求证： KE＝ GE；

（2）如图 2，连接 CABG，若∠ FGB＝1

∠ ACH，求证： CA∥ FE；2

（3）如图 3，在（ 2）的条件下，连接CG交 AB 于点 N，若 sinE＝3

， AK＝10 ，求CN 5

的长．

【答案】（ 1）证明见解析；（2）△ EAD是等腰三角形．证明见解析；（3）20

10 .

【解析】

试题分析：

（1）连接 OG，则由已知易得∠ OGE=∠ AHK=90°，由 OG=OA可得∠ AGO=∠ OAG，从而可得∠ KGE=∠ AKH=∠ EKG，这样即可得到 KE=GE；

（2）设∠ FGB=α，由 AB 是直径可得∠ AGB=90°，从而可得∠ KGE=90°-α，结合 GE=KE可得

∠E KG=90 -°α，这样在△ GKE中可得∠E=2 α，由∠ FGB= ∠ ACH 可得∠ ACH=2 α，这样可得

∠E=∠ ACH，由此即可得到 CA∥ EF；

（3）如下图 2，作 NP⊥ AC于 P，

由（ 2）可知∠ ACH=∠ E，由此可得 sinE=sin∠ ACH= AH

3 ，设 AH=3a，可得 AC=5a，

AC 5

CH 4

CH=4a，则 tan∠ CAH= ，由（ 2）中结论易得∠ CAK=∠ EGK=∠ EKG=∠ AKC，从而可

AH 3

得 CK=AC=5a，由此可得 HK=a，tan ∠ AKH= AH

3 ，AK= 10 a，结合AK= 10 可得a=1，HK

则AC=5；在四边形 BGKH中，由∠ BHK=∠ BKG=90°，可得∠ABG+∠ HKG=180°，结合∠AKH+∠ GKG=180 ，°∠ ACG=∠ ABG 可得∠ ACG=∠ AKH，

在Rt△ APN 中，由 tan∠ CAH= 4 PN

，可设 PN=12b， AP=9b，由3 AP

tan∠ ACG= PN

tan∠ AKH=3

可得

CP=4b AC=AP+CP= =5

，则可得

，由

CP ，由此可得13b 13 此即可在 Rt△ CPN 中由勾股定理解出CN 的长 .

试题解析：

（1）如图 1，连接 OG．

∵E F 切⊙ O 于

G，∴OG⊥EF，

∴∠ AGO+∠ AGE=90 ，°

∵CD⊥AB 于 H，

∴∠ AHD=90 ，°

∴∠ OAG=∠ AKH=90 ，°

∵OA=OG，

∴∠ AGO=∠ OAG，

∴∠ AGE=∠AKH，

∵∠ EKG=∠ AKH，

∴∠ EKG=∠ AGE，

∴KE=GE．

（2）设∠ FGB=α，

∵AB 是直径，

∴∠ AGB=90 ，°

∴∠ AGE =∠ EKG=90﹣°α，

∴∠ E=180 ﹣°∠ AGE﹣∠ EKG=2 α，

∵∠ FGB=1

∠ACH，2

∴∠ ACH=2 α，

∴∠ ACH=∠ E ，

∴CA ∥ FE ．

（ 3）作 NP ⊥ AC 于

P ． ∵∠ ACH=∠ E ，

AH 3

∴sin ∠ E=sin ∠ ACH=

，设 AH=3a ， AC=5a ，

AC 5

则 CH= AC

∵CA ∥ FE ，

∴∠ CAK=∠ AGE ， ∵∠ AGE=∠AKH ， ∴∠ CAK=∠ AKH ，

4a ， tan ∠ CAH=

4 ，

AH =3， AK=

，

∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣ CH=4a ， tan ∠ AKH=

AH HK

10a HK

∵AK= 10 ，

∴ 10 a

10 ，

∴a=1． AC=5，

∵∠ BHD=∠ AGB=90 ，°

∴∠ BHD+∠ AGB=180 ，°

在四边形 BGKH 中， ∠ BHD+∠ HKG+∠ AGB+∠ ABG=360°，

∴∠ ABG+∠HKG=180 ，°

∵∠ AKH+∠ HKG=180 ，°

∴∠ AKH=∠ ABG ，

∵∠ ACN=∠ ABG ，

∴∠ AKH=∠ ACN ，

∴ t an ∠ AKH=tan ∠

ACN=3， ∵NP ⊥ AC 于 P ，

∴∠ APN=∠ CPN=90 ，°

在 Rt △ APN 中， tan ∠ CAH=

，设 PN=12b ，则

AP=9b ，

在 Rt △ CPN 中， tan ∠ ACN=

=3，

∴ C P=4b ，

∴ AC=AP+CP=13b ，∵AC=5，

∴ 13b=5 ，

∴ b = 5

，

∴CN= PN 2 CP 2

=4 10 b =10 ．

12．如图，某人在山坡坡脚 C 处测得一座建筑物顶点 A 的仰角为63.4 ，°沿山坡向上走到 P 处再测得该建筑物顶点 A 的仰角为 53°．已知 BC＝ 90 米，且 B、 C、 D 在同一条直线上，山坡坡度 i＝ 5： 12．

(1) 求此人所在位置点P 的铅直高度． (结果精确到 0.1 米)

(2) 求此人从所在位置点P 走到建筑物底部 B 点的路程(结果精确到0.1 米)(测倾器的高度忽

略不计，参考数据：tan53 °≈， tan63.4 °≈ 2)

【答案】（ 1）此人所在 P 的铅直高度约为 14.3 米；（ 2）从 P 到点 B 的路程约为 127.1 米【解析】

分析： (1)过 P 作 PF⊥ BD 于 F，作 PE⊥ AB 于 E，设 PF＝ 5x，在 Rt△ ABC中求出 AB，用含 x 的式子表示出 AE， EP，由 tan∠ APE，求得 x 即可； (2)在 Rt△ CPF中，求出 CP的长 . 详解：

过 P 作 PF⊥ BD 于 F，作 PE⊥ AB 于 E，

∵斜坡的坡度i ＝5:12 ，

设PF＝5x， CF＝ 12x，

∵四边形 BFPE为矩形，

∴B F＝ PEPF＝ BE.

在RT△ ABC中， BC＝ 90，

tan ∠ ACB＝AB

，

∴AB＝ tan63.4 ×°BC≈ 2 ×＝90180，∴AE＝ AB－BE＝ AB－ PF＝ 180－ 5x，EP＝ BC＋ CF≈ 90＋ 120x.

在RT△ AEP中，

tan ∠ APE＝AE

＝

180 5x

4 ，EP 90＋12 x 3

∴x＝20 ，

100

∴PF＝ 5x＝14.3 .

答：此人所在P 的铅直高度约为14.3 米.

由(1) 得 CP＝ 13x，

∴CP＝13 ×37.1， BC＋ CP＝ 90＋ 37.1＝ 127.1.

答：从 P 到点 B 的路程约为127.1 米.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，构造直角三角形，用勾股定理或三角函数求相应的线段长 .

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

中考数学压轴题100题精选【含答案】

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）图① 图②

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选（附答案解析）【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -，、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式；（2 求tan ABO ∠的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分）解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分）（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分）在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分）在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分）设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分）解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

初中中考数学压轴题及答案(精品)

中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

中考数学压轴题专题复习——旋转的综合含详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形；（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.

∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。（1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k；利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

中考数学《压轴题》专题训练含答案解析

压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时，故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件.

综上可知,当时，△O ＡC 与△APQ 相似．（３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31）。２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >，顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）

中考数学压轴题专题动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。（2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

中考数学压轴题精选含详细答案

目录 2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题例2 2012年连云港市中考第26题例3 2010年上海市中考第25题例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3 动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系．思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答

（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ，所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65 MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425 OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658 OA =．图5 图6 （3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45 BF y =．在Rt △ONF 中，4105 OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2．于是得到22243()(10)()55 x y x y y +=--+．整理，得2505040 x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．图7 图8 考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85 BF =．

河北省中考数学压轴题汇总

2010/26．（本小题满分12分）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y= 1 100 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润=销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150 1 元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 2 x 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润=销售额－成本－附加费）．（1）当x=1000时，y =元/件，w 内=元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线 2(0) yaxbxca 的顶点坐标是 2 b4acb (,) 2a4a ． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0）秒，抛物线y=x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段A B 、CD 交于点M 、N. ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； 21 8 ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围. y ADP O －1 1 x N M BC 图15 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=．探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则A H=，AC=，△ABC 的面积S △ABC=；拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD=0）

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

中考数学压轴题精选及答案(整理版)

20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合），直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。（1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =；（2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥；（3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。（2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上），请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。

3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0），与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ．（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；（４分）（2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y

深圳十年中考数学压轴题汇总

200621．如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠. (1)(3分)求线段OC 的长. 解： (2)(3分)求该抛物线的函数关系式．解： (3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解：200622．(10分)如图10-1 ⊙M 交 x 轴于 A B 、两点，交y 轴于 C D 、两点，且C A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分 ) 如图10-2，过点 D 作⊙M 的切线，交x 轴于点的圆周上运动时， PF OF 解： 200722．如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB OD OB =，BD 交OC 于点E ．（1）求BEC ∠的度数．（2）求点E 的坐标．（3）求过B O D ，， 5== ② 1== ；③ ==等运算都是分母有理化） 200723．如图7x 相交于A B ，两点．（1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1大面积是多少？（3）如图8，线段AB M ，分别求出图6

OM OC OD ，，的长，并验证等式 222 111 OC OD OM += 是否成立．（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =o ∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =， AB c =．CD b =，试说明：222 111 a +=． 2+bx 点， 3 1 ． F ，使以点A 、 C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积. 200922．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 200923．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P （1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x （2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 201022．（本题9分）如图9，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）图7 图8 图9

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