2019年高一秋季物理竞赛班：能量转化与守恒定律(教师版)

能量转化与守恒定律

本讲提示：

1.清晰准确的了解各种能量的定义与判定

2.熟练掌握各种能量变化与功的关系

3.通过训练提升用多个力学观点联立思考一个物理过程的思维能力。

本讲知识教学内容量大，所以例题适当减少，综合运用的问题下一讲继续。

知识点睛 一．势能

运动的物体具备一种做功的本领，我们上讲定义其为动能。那么是否静止的物体也可以具有做功的本领呢？回答显然是肯定的，比如被举高的重物，形变后的弹簧等。为了研究这些现象，我们有必要拓展能量的定义。

我们把一个物理过程中，做功数值与路径无关的力叫保守力。若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。

存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即： P E W ?-=保守。

说明：势即位也，势能这个定义，顾名思义显然就是与物体间位置有关的能量，所以要引入保守力的概念。计算势能时，还要注意以下几点： （1）势能的相对性。

通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。 （2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。 （3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。 二．常见的几种势能 （1）重力势能

在地球表面附近小范围内，mg 重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h 高处重物m 的重力势能为

m g h E p =

（2）弹簧的弹性势能

取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x 时，弹力F=-kx ，弹力做的功为

2

21kx W -=

由前面保守力所做功与势能变化关系可知

)0(--=?-=P P E E W

所以： 2

2

1kx E =

弹 （3）引力势能

质点间的引力势能为 r

G M m

E P -

=（选取无穷远为零势能面）

关于万有引力的规律我们将在以后的讲义中具体讲解，这里列出这个公式是提醒同学们：重力势能公式是引力势能在近地附近的近似，如果一个物体被举高10m ，那么重力势能可以用mgh 近似计算，如果物体被举高1000km ，那么重力势能公式必须用r

GMm

E P -

=计算了。 中学物理定义动能，重力势能以及弹性势能统称为机械能（这个定义和普物有些不同，阅读大学物理的同学注意一下。由于机械能是个无关紧要的概念，所以不必较真）。 三．其它形式的能量

除了机械能，物理学研究的现象中还涉及内能，光能，电磁能，化学能，核能等。能量的定义体系很乱，有些是从应用的角度按表征定义的，比如风能，水能，潮汐能等。所有能量的本质都是四种自然作用的体现，比如弹性势能与内能的本质都是分子间电磁作用，所以我们能观察到实际的弹簧被拉长后温度降低（因为分子间相互作用做负功，分子热运动动能变少）被压缩后温度升高的现象。力学中阐述的弹性势能是一种理想情况。

在以后的物理学习过程中，我们会逐步的对每种能量的标度越来越清晰。本讲只定性的给出每种能量的定性介绍。

内能：由于物体内部大量分子热运动以及相互作用具有的能量。宏观可观测的内能标志是温度，以及形状，在理论上的完全恢复的弹性形变中，不考虑内能变化。机械能变为内能最常见的形式为滑动摩擦与不可恢复形变。后面的讲义会推导两种情况下内能与机械能转化的模型。 光能：由光的频率以及光子数（构成光的一份能量叫一个光子）决定的能量。

电磁能：具体体现形式很多，比如静电势能，电流能，磁能，电磁波能等，由于光也可以看做电磁波，所以可以认为光能本质也是电磁能，当然也可以倒过来。

化学能：化学反应中吸收或者释放出来的能量，本质也是电磁作用能。 核能：在核反应中才能释放和吸收的能量。

以上定义都是经验的，直观的定义法，分别有具体的实验对应。现有的理论认为，测量能量本质的方法是测量质量，根据是著名的E=mC 2（这个公式在以后的讲义推导），质量可以根据引力，惯性等标度。

关于能量与质量高度等效其实不难理解，我们需要做的只是观念的转变。比如高温物接触低温物，主要是高温物把红外光子辐射给了低温物（热传递一共有三种形式：传导，对流，辐射。传导与对流的本质是因为物质分子周围电磁场接近，所以产生了非球对称的辐射），那么高温物物质变少了，所以高温物内能以及质量都变少了。比如氢气与氧气燃烧，生成水并辐射出光能，那么生成的水比反应前的氢氧总质量少了。一个同学把落地的笔捡起来，那么人通过手部的分子电磁场接近笔的分子电磁场把电磁能传递给了笔，笔与地球体系总引力势能变多则其质量变多。不过以上现象由于质量变化都很少所以实际测量比较困难而已。物质的本质是质量，或者说能量，我们得为老爱因斯坦的工作喝一声彩，他给了我们对现有的一切现象统一简洁的描述。

四．能量守恒与机械能守恒

自然界的各种能量的总和在一切变化过程中保持不变，只能由一个物体转移给另一个物体，由一种形式转变成为另一种形式，这就是能量守恒定律。能量守恒定律发现的过程比较曲折，最初由各个学科的科学家分别在力学，热力学，生理学，电学等学科分别提出能量守恒的具体表达，后来由焦耳等科学家完成能量守恒的总结。

物理表达中，能量守恒的适用对象必须为孤立体系（这一点和动量守恒一致），如果有外界作用，那么外界会对体系内输入或者输走能量。能量转移的过程意味着有做功的过程，做功是能量转移转化的过程。

总的来说，能量守恒定律可以称为物理学建立以来最受物理学家信任的物理定律。在科学史上，人类经常会发现已定义的能量不守恒的现象，这时候物理学家们就会把能量的定义拓展一下，定义一种新的能量形式，能量守恒定律就又完美了。最经典的案例莫过于焦耳用内能的定义代替热质理论的成就（这段科学史比较普及，这里就不介绍了）。

很多同学看完这段会觉得这样的物理定律比较扯淡，有点像那个“史上最无敌的真理”—“一切事物都是矛盾统一的”在解释“一个饿了的人吃了面包肚子就饱了”时使用的逻辑—“饿和饱是一对矛盾，面包和人是一对矛盾，人

吃了面包，结果就矛盾统一了”！只要对所发表言论中的概念不做清晰定义并保有最终解释权，那么这个世界永远伟大

光荣正确的理论会无处不在。比如我们就可以说“报学而思物理竞赛班的同学其实都是free 的”。

不过物理毕竟不是扯淡理论，关于能量的理解会伴随我们同学学习研究物理的终身。基本从3岁开始，我们看到咸蛋超人胸前红灯嘟嘟直闪，就认识到那种对于超人来说都至关重要的东西原来叫能量。中学的时候，身处题海战的我们被迫的开始运用能量守恒去计算习题中的未知数。再后来，通过对相对论的推导，我们会意识到能量与质量的等效性，这时我们才真正的对能量有了清晰的认知。再到后来，我们的同学在科研工作中自觉的运用能量守恒分析实验的数据。可以说，能量是这颗行星上的智慧生命普及度最高的专业概念，虽然每个人对其理解深度不一，但是都在自觉不自觉的运用能量的概念在思维和判定。

在学习能量守恒的过程中我们同学会认识到物理学的终极目标：用更少的概念去描述更多的观测规律，并对没有观测到过的现象进行预言。从这个角度，我们应该意识到焦耳的工作是高度有效的，因为他让后来同学在学习中学物理时少背了一套理论，让我们对热效应的思考时少用了很多步骤。可笑的是无知的人理解物理学发展的过程老是用“真理战胜愚昧”来理解。比如国内的一些学者写的科普读物中就这么赞美焦耳，“热质是错误的假想的物质，在焦耳的实践斗争中被推翻”。其实稍微懂点现代物理的人都应该知道，热质学说很有道理啊，热质不就是现在说的光子么，只不过在当时热质说还只是个唯像理论。

作为能量守恒的特例，当一个系统除了速度，高度，形变以外没有其它物理参数变化时，自然机械能守恒，根据动能定理以及势能的功能关系，我们可以推导得出机械能守恒的力学条件。

对于一个质点系，由动能定理：

∑?=+K E W W 外内

又重力做功P G E W ?-=

系统内弹簧对质点总功弹弹E W ?-=

这两个功在方程的左边，把它们移项到右边，则有

∑∑∑?+?+?=弹其他E Ep E W K

左边为除重力以及系统内弹簧以外其它一切力做功，右边为机械能变化量。这个方程又叫功能原理。其推论是：如果一个系统除重力以及系统内部弹簧弹力功以外，其它力总功任意时段都为零，则系统机械能守恒。

这个表述虽然看上去严格，但是其实基本不实用，因为计算系统内力做功显然不是容易的事，多数我们还是从没有其他能量生成考虑机械能是否守恒。注意以上的推导和普物的不同，因为中学教材中对机械能定义的原因导致。其次就是机械能显然是对实际的一种理想近似。下面我们讨论两种常见的机械能与内能转化现象： 1.摩擦生热

回顾上讲中我们处理的一个模型：子弹击穿木块

一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为F ，则： 子弹队木块做功等于木块动能变化量：木块E Fs ?= 木块对子弹做功等于子弹动能变化：子弹E l s F ?=+-)( 叠加一下：木块子弹E E Fl ?+?=-

这个方程可以解读为摩擦内力的总功为负，其值等于总动能变化量（也是负数）。但是从能量守恒的角度，我们会发现系统作用后总动能减少了，减少的能量转变成什么形式的能量了呢？焦耳发现，子弹与木块的温度都上升了。这说明系统的内能增加了，通过测量，在摩擦内力做功的过程中，系统增加的内能总是正比于系统机械能减少量。这说明内能与机械能本质是等效的，所以焦耳用机械能的量度——

力与距离的乘积衡量内能。原子分子论建立起来后，内能有了明确的定义，就是大量微观粒子总动能与势能的总和。从上面的推导中可以看出，如果是通过滑动摩擦把机械能转化为机械能（简称摩擦生热）则生热的数量可以用fl Q =计算（l 为相对路程）。

如图为焦耳测量热功当量的实验之一，重物的机械能通过螺旋桨与水之间的摩擦转化为水的内能，使水温度上升。亏损的机械能与水温度升高量成简单正比，证明内能与机械能的本质是一回事。早期物理学计量内能的单位为卡路里（记为cal ，1cal 相当于把1g 的水升温1°C 需要的内能），该实验可测得1cal 的值约4.2J 。这个实验结果也可以理解为：把一瓶矿泉水从距地面高0.42m 的地方自由释放，不考虑空气阻力，水瓶落地后停下，即便生热全被内部的水吸收，水也只升高0.001°C 。这个现象很不明显，所以一直没有引起注意。 2.碰撞

动量失衡的学习过冲中我们知道质量1m 和2m 的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为

10

v 和

20

v 及1v 和2v ，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到：

2211202101v m v m v m v m +=+

上述方程在预言结构时候显然是不完备的，原因是不同的材料碰撞过程中能量变化不同，根据碰前后是否生热，生热的不同我们可以把碰撞分为： （1）弹性碰撞

在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有

22

2211220221012121212

1v m v m v m v m +=+ 结合动量守恒解得

20

2

1210212112v m m m v m m m m v +++-=

20

2

11

21021222v m m m m v m m m v +-++=

对上述结果可作如下讨论

①21m m =，则201

v v =，102v v =，即21m m 交换速度，这便是最初马尔西惠更斯他们得到的认识。

②若

1m ＞＞2m ，且有020=v ，则101v v ≈，1022v v ≈即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。 ③若

1m ＜＜2m ，且020=v ，则101v v -=，02≈v ，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。

（2） 完全非弹性碰撞

两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守

恒，损失机械能最大。

v m m v m v m )(21202101+=+

2

120

2101m m v m v m v ++=

碰撞过程中损失的机械能为

2

20102

1212212

2022101))((21)(212121v v m m m

m v m m v m v m E -+=+-+=

? （3）一般非弹性碰撞，恢复系数

一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度21v v ≠，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数e 定义为

20101

2v v v v e --=

①弹性碰撞， e =1。

②完全非弹性碰撞 12v v =，e=0。

③一般非弹性碰撞 0＜e ＜1。 说明：

1.碰撞生热的本质是因为物体接近时分子间作用力导致分子平均距离先压缩后恢复，有些材料分子相对位置稳定，所以几乎能完全恢复。碰撞过程中分子热运动动能不会增加，即不成热。有些则分子相对位置很容变动形成新的平衡点，碰撞时就不能完全恢复了，分子的热运动动能就增加了，体现在宏观上就是生热了。

2.以上推导全是讨论的一维的情况，对于速度与受力不共线的情况（即斜碰），只要分解后分别在法向与切向处理即可。

如图所示，设两物间的恢复系数为e ，设碰撞前1m 、2m 速度为

10v 、20v ，

其法向、切向分量分别为n v 10、n v 20、τ10v 、τ20v ，碰后分离速度1v 、2v ，法向、

切向速度分量

n v 1、n v 2、t v 1、t v 2，则有

n n n

n v v v v e 201012--=

若两物接触处光滑，则应有1m 、2m 切向速度分量不变 t t v v 101=

τ202v v t =

若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。

1

m 2m 10v l

v 10n

v 10l

v 20n v 2020v

五．伯努利方程

图表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的1a 处和2a 处

用横截面截出一段流体，即1a 处和2a 处之间的流体，作为研究对象。 1a 处的横截面积为1S ，流速为1v ，高度为1h ，1a 处左边的流体对研究对象的压强为1p ，方向垂直于1S 向右。

2a 处的横截面积为2S ，流速为2v ，高度为2h ，2a 处左边的流体对研究对象的压强为2p ，方向垂直于2S 向左。

经过很短的时间间隔t ?，这段流体的左端1S 由1a 移到1b 。右端2S 由2a 移到2b 。两端移动的距离分别为1l ?和2l ?。左端流入的流体体积为111l S V ?=?，右端流出的流体体积为222l S V ?=?，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，21V V ?=?，记为V ?。

现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力111S p F =，所做的功

V p l S p l F W ?=?=?=1111111。

作用在右端的力222S p F =，所做的功

V p l S p l F W ?-=?-=?-=2222222。

外力所做的总功

V p p W W W ?-=+=)(2121

外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是1a 到2a 这段流体的机械能1E ，末状态的机械能是1b 到2b 这段流体的机械能2E 。由1b 到2a 这一段，经过时间t ?，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v 没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变12E E -就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。

由于V m ?=ρ，所以流入的那部分流体的动能为 V

v mv ?=2

1212121ρ

重力势能为 V gh mgh ?=11ρ

流出流体的动能为 V v mv ?=2

2222121ρ

1

h 2

h 2a 1a 1b 2b 1

p 2

p

重力势能为 V gh mgh ?=22ρ

机械能的改变为

V h h g V v v E E ?-+?-=

-)()(2112212212ρρ

理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W 等于机械能的改变12E E -，

即 12E E W -=

所以有：

V h h g V v v V p p ?-+?-=

?-)()(21)(12212221ρρ

整理后得

22

2212112121gh v p gh v p ρρρρ++=++

1a 和2a 是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：

常量2

12=++gh v p ρρ 这个方程叫伯努利方程。

流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为

常量2

12

=+

v p ρ 可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v 大的地方要强p 小，流速v 小的地方压强p 大。 伯努利方程的应用举例：

经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。

球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。足球比赛中的香蕉球也是这个原理。 六．力的两种定义法

力的严格数学定义有两种，一种是从动量的角度定义， 即：t

p F x

x ??=

理解为一个体系受力为一个体系的动量随时间变化率。 另一种是从能量的角度定义 动能角度：x

E F k

x ??=

或者从势能的角度： x

E F p x ??-

=

从数学上，力的概念看起也很严密，当然这仅仅是从数学角度而已。牛顿质点力学的哲学体系还会要求每个力都找出“施力者”与“受力者”，并认为力具备相互性。对于容易隔离出个体的宏观低速问题，依然可以近似的认同牛顿体系对力的定义。继续的物理学习中我们会发现这两种定义方式都与牛顿体系有着深度的哲学上的矛盾。在数学方程与哲学原理在逻辑上产生矛盾的时候，物理学当然会毫不犹豫的选择放弃哲学观点。

例题精讲

【例1】如图，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中（ ） A ．动量守恒，机械能守恒 B ．动量不守恒，机械能不守恒 C ．动量守恒，机械能不守恒 D ．动量不守恒，机械能守恒

解析：以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所

以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能

甲：不转球

乙：旋转球

减少，也不守恒，故B 正确。

【例2】如图，质量为M 的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m 的子弹以速度v 0射入木块中。设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f ，且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为D ，则木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？

解析：以子弹、木块组成系统为研究对象。画出运算草图，如图3—11。系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。据动量守恒定律有 mv 0= (M+m)v (设v 0方向为正)

子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：

由运动草图可S 木=S 子－D ③

【例3】如图所示，质量均为M 的小车A B 、，B 车上挂有质量为

4

M

的金属球C ，C 球相对于B 车静止，其悬线长0.4m ，若两车以相同的速率1.8m/s 在光滑的水平桌面上相向运动，相碰后连在一起（碰撞时间很短），则C 球摆到最高点时的速度多大？

解析： A B 、相碰作用时间很短，C 没有参与它们的作用，这一过程中对A B 、两车组成的系统总动量守恒，1()()Mv M v M M v +-=+，由此得两车相碰后停止运动（10v =），而此时C 的速度仍是1.8m/s v =，水平向左，接着C 通过悬线跟A B 、两车发生相互作用，将A B C 、、作为系统，系统在水平方向的总动量守恒，C 摆到最高点时，它们具有共同运动速度2v ，由动量守恒定律得：

2()44M M

v M M v =++，解得C 球摆到最高点时的速度20.2m/s v =，方向水平向左．

【例4】质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图所示。物块从钢板正对距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物体质量也为m 时，它们恰能回到O 点，若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O 点的距离。

解析：物块从3x 0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒。则有

v 0为物块与钢板碰撞时的的速度。因为碰撞极短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒。设v 1为两者碰撞后共同速 mv 0=2mv 1 (2)

两者以v l 向下运动恰返回O 点，说明此位置速度为零。运动过程中机械能守恒。设接触位置弹性势能为E p ，则

同理2m 物块与m 物块有相同的物理过程 碰撞中动量守恒2mv 0=3mv 2 (4)

所不同2m 与钢板碰撞返回O 点速度不为零，设为v 则

因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化 E p =E 'p (6)

由于2m 物块与钢板过O 点时弹力为零。两者加速度相同为g ，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g ，所以与物块分离，物块以v 竖直上抛。

【例5】如图所示，质量M 为4kg 的平板小车静止在光滑的水平地面上．小车左端放一质量m 为1kg 的木块，车的右端固定一个轻质弹簧．现给木块一个水平向右、大小为10N s ?的瞬时冲量，木块便沿车板向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回，并且恰好能到达小车的左端．求： （1）弹簧被压缩到最短时平板车的动量；

（2）木块返回小车左端时的动能； （3）弹簧获得的最大弹性势能．

解析：（1）弹簧被压缩到最短时，车与木块有共同速度v ，根据动量守恒有0()mv m M v =+，又有0I mv =，联立求得010m/s v =，2m/s v =，此时车的动量8kg m/s p Mv ==?．

（2）木块返回到平板车左端时，根据动量守恒，木块速度为2m/s ，所以此时木块的动能为

21

2J 2

k E mv ==

（3）设弹簧获得的最大弹性势能为pm E ，对整个运动过程进行分析，从开始到弹簧压缩至最短时，

22011()22

pm F mv m M v mgL μ=-+-

全过程考虑：22011

2()22

mg L mv m M v μ?=-+

其μ为摩擦因数，L 为木块在平板上滑动的距离，所以

220111

[()]20J 222

pm E mgL mv m M v μ==-+=

【例6】（1）如下图，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等．现突然给左端小球一个向右的速度0u ，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度．

（2）如上题图右，将N 个这样的振子放在该轨道上．最左边的振子1被缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为0E ．其余各振子间都有一定的距离．现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰．求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值．已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

解析：（1）设每个小球质量为m ，以12u u 、分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度．

由动量守恒和能量守恒定律有120=mu mu mu +．（以向右为速度正方向）222

120111222

mu mu mu +=，解得

10u ＝，20u =或1=0u '，2

0u u '=．由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：10u =，20u u =．

（2）以11

v v '、分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度．规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律110mv mv '+=，2211011

22

mv mv E '+=．解得01E v m =，01

E v m '=-或01E v m =-

，0

1E v m

'=．在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解01E v m =-

，0

1E v m

'=．振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为1v ，此后两小球都向左运动．当它们向左的速度相同时，弹簧被

拉伸至最长，弹性势能最大．设此速度为0v ，根据动量守恒定律，012mv mv =．用1E 表示最大弹性势

能，由能量守恒有2220011111222

mv mv E mv ++=．解得101

4E E =．振子2被碰撞后瞬间，左端小球速度为

E m

，右端小球速度为0．以后弹簧被压缩，当弹簧再恢复到自然长度时，根据（1）题结果，弹性

势能20E =，同理得23

10n E E E -==，根据能量守恒，最大弹性势能01

4

n E E =

． 【例7】如图，两一样的立方体CD 对称的放在光滑的水平桌面上，两个质量一样的钢性球质量为立方体2倍，直径等于立方体边长，B 位于CD 之间，A 沿着对称轴线以速度A 装箱立方体，不计能量损失，计算B 最终速度。

答案：

v 3

2

2 【例8】皮托管原理。皮托管常用来测量气体流速，如图，开口1和1’与气体流动的方向平行，开口2则垂直于气体流动的方向。两开口分别通向U 形管压强计的两端，根据液面的高度差便可求出气体的流速。

(a) (b)

解析：用皮托管测流速,相当于在流体内放一障碍物,流体将被迫分成两路绕过此物体,在物体前方流体开始分开的地方,在流线上流速等于零的一点,成为驻点(如图上的2点)如图所示,通过1、2各点流线均来自远处,在远处未受皮托管干扰的地方,流体内各部分据相对于一起一相同的速度作

匀速直线运动(例如飞机在空中匀速直线飞行,远处空气相对于机身均以相同速度作匀速直线运动),空间个点的

2

12

v gh p ρρ++为一常量,对于1、2两点来说 22111222

1122

v gh p v gh p ρρρρ++=++. 12h h 和表示1、2两点相对于势能零点的高度,这两点的高度差很小,可不予考虑,因此

2

12112

v p p ρ=-. 皮托管的大小和气体流动的范围相比是微乎其微的,仪器的放置对流速分布的影响不大,可近似认为1v 即为预测流速,于是

212()

p p v ρ

-=

又 21p p gh ρ-=液.

故流速为2.gh

v ρρ=

液

课后练习

1.一个非常短的磁铁A ，质量为m ，被一根长度为l=1m 的线水平地悬挂着，现在让另一个非常短的磁铁B 慢慢的接近A ，保持两磁铁始终在同一水平线上。当两磁铁间距为d=4cm 时，磁铁A 离初始位置间距s=1cm ，磁铁A 能自发的及其缓慢的漂向B 。

1） 设磁铁间的相互作用关系为F （x ）=K/x n ,K 的取值恒定但正负由正对的磁极决定，试根据试验数

据确定n 的值。（n 为整数）

2） 把磁铁B 放在一个竖直的玻璃管里，管的下端是封住的，磁铁A 也放入玻璃管中，在B 的上面，

兵使得两磁铁相互排斥，计算两磁铁平衡时的距离。(保留两位有效数字即可)

答案：1)n=4 2)1.3cm

2.如图所示，A B C 、、三物块质量均为m ，置于光滑水平台面上．B C 、间夹有

原已完全压紧且不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展．物块A 以初速0v 沿B C 、连线方向向B 运动，相碰后，A 与B C 、粘合在一起，然后

连接B C 、的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A B 、分离，脱离弹簧后C 的速度为0v ．

（1）求弹簧所释放的势能E ?．

（2）若更换B C 、间的弹簧，当物块A 以初速v 向B 运动，物块C 在脱离弹簧后的速度

为

02v ，则弹簧所释放的势能E '?是多少？

（3）若情况（2）中的弹簧与情况（1）中的弹簧相同，为使物块C 在脱离弹簧后的速

度仍为02v ，A 的初速v 应为多大？ （1）设A 与B C 、粘合后的速度为1u ．C 脱离弹簧后A B 、的共同速度为2u ．由动量守恒：013mv mu =，

故1013u v =．由动量守恒：2002mu mv mv +=，故20u =．由动能定理：222

102

1113(2)222mu E mv m u +?=+，故222

000

11113()2233

E mv m v mv ?=-=． （2）设与（1）中12u u 、对应的量为1

2u u ''、，则有13mv mu '=，故11

3

u v '=，202(2)mu m v mv '+=． 故2

01

2u v v '=-，222021111(2)(2)(3)222E m v m u m u '''?=+-．将12u u ''、代入上式得 201

(6)12

E m v v '?=-．

（3）以201=3E E mv '?=?代入上式，得220011

(6)312mv m v v =-，

解得04v v =，08v v =（舍去），其中08v v =代入2

u '得20032u v v '=＞（C 脱离弹簧后的速度）不合题意，故舍去． 3.如图所示，质量为M ，长为 1.0m L =，右端带有竖直挡板的木板B 静止在光滑的水面上，一个质量

为m 的小木块（视为质点）A ，以水平速度04m/s v =滑上B 的左端，而后与右端挡板碰撞，最后恰好

滑到木板B 的左端，已知3M

m

=，并设A 与挡板碰撞时无机械能损失，碰撞时间忽略．求：

（1）A B 、的最后速度；

（2）木块A 与木板B 之间的动摩擦因数．

解析：（1）A B 、所组成的系统在相互作用过程中动量守恒，则0()mv M m v =+，所以A 与B 的最后速

度0

1m/s mv v M m

==+．

（2）A 与B 相对滑动过程中，由于要克服摩擦力，所以系统的动能不断转化为内能，由能量守恒可得22011()222mv M m v mgL μ=++，代入数据得0.3μ=．

通过今天学习，你觉得： 1. 本讲讲义内容设置： A ． 太难太多，吃不透

B ． 难度稍大，个别问题需要下去继续思考

C ． 稍易，较轻松

D ． 太容易，来点给力的

2. 本节课老师讲解你明白了： A .40%以下 B .40%到80%

C .80%以上但不全懂

D .自以为都懂了

3．有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号，知识点，或者填无）