第八章、非平稳时间序列分析
第八章、非平稳时间序列分析
很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。
8.1 随机游动和单位根
8.1.1随机游动和单位根
如果时间序列t y 满足模型
t t t y y ε+=-1 （8.1）
其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动
（standard random walk ）。随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。这便是 “随机游动”的由来。
随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。将（8.1）进行递归，可以得出
010
211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2）
。如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。由此看出随机游动在不同
时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。下图给出了随12机游动时间序列图：
图8.1 随机游动时间序列图
将随机游动（8.1）用滞后算子表示为
t t y L ε=-)1( （8.3）
，滞后多项式为L L -=Φ1)(。显然1=L 是滞后多项式的根，因此随机游动是一个单位根过程（unit root process ）。随机游动是最简单的单位根过程。
随机游动的概念可以进行推广。如果时间序列t y 满足
t t t y c y ε++=-1 （8.4）
，其中t ε为白噪声序列，c 为常数，称t y 为带漂移项的随机游动，c 称为漂移参数。将（8.4）进行递归，得出
01
2112y ct y c y c y t s s t t t t t t t ++==+++=++=∑-=----εεεε
，设
∑-=-+=1
00t s s t t y w ε
，则t w 为标准随机游动，且
t t w ct y += （8.5）
。由此看出，带漂移的随机游动可以表示为标准随机游动加上一个时间t 的线性函数ct 。ct 称为时间序列的趋势项（trend ）。由于ct Ew ct Ey t t =+=，由此看出，带漂移项的随机游动不仅方差是随时间变化的，数学期望也是随时间变化的。下图给出的是带漂移随机游动t t t y y ε++=-15.0的时间序列图：
10
20
30
40
50
60
147101316192225283134374043464952555861646770737679828588
图8.2 带漂移随机游动时间序列图 将图8.2和图8.1相比可以看出，带漂移随机游动具有明显的时间趋势。
8.1.2 伪回归
伪回归（spurious regression ）是指对事实上不存在任何相关关系的两个变量进行回归得出的能够通过显著性检验的回归模型。在对两个非平稳时间序列变量进行回归时，便会出现伪回归。下面通过简单的例子说明伪回归的表现形式及其发生的原因。
设t x 和t y 是完全独立的时间序列，并且均为随机游动，为非平稳时间序列。现将y 对x 进行回归，回归模型为
t t t v x y ++=10ββ （8.6）
，t v 为误差项。由于y 和x 没有任何相关关系，回归系数1β等于0。如果采用OLS 方法对
（8.6）进行估计，估计量1?β应该接近0，相应的t 检验也应该不显著。但实际回归结果却常常相反：t 检验表明1?β显著不为0，回归拟合优度2
R 也不接近0，即使在样本量很大时仍然如此。如果仅从一般的检验判断，会得出y 和x 有显著线性关系的错误结论。
造成伪回归的原因有很多，主要是时间序列本身的高度自相关造成的。在（8.6）中，1β的实际值等于0，误差项t v 等于t y 减去常数项0β，t y 为随机游动，存在高度自相关，因此t v 也存在高度自相关，不符合OLS 回归误差项的不相关假设，t 检验不再有效。
需要特别注意的是，伪回归是指当时间序列存在单位根时，采用传统的t 检验方法来判
断1β是否的等于0的结果是“伪”的，并不是说采用OLS 估计得出的1β的估计量1?β是“伪”
的。实际上，此时的1?β不仅仍然是1β的一致估计，而且是超一致估计（super-consistent estimation ），因此1?β收敛到1
β的速度比平稳情况下的收敛速度高一个阶数，由此计算的1?β的标准误将随样本量的增加迅速较小，采用原来的t 检验统计量计算方法会得出很大的t 值，而此时的统计量已经不服从（或者渐进服从）t 分布，以t 分布的临界值得出的检验结果也是错误的。这才是伪回归中“伪”的真正含义。
大量的研究表明，不仅非平稳时间序列会出现伪回归，就连平稳时间序列之间也会出现伪回归，并且时间序列自相关程度越高，伪回归出现的可能性越大。因此，在对时间序列进行回归时，要十分小心。首先对时间序列进行单位根检验，如果不能拒绝单位根过程，则对数据进行差分，直到数据平稳，然后用差分数据进行回归。如果能够拒绝单位根过程，但回归的D-W 值很小，则回归结果仍然不可信。此时不宜用Cochrane-Orcutt 广义差分法来降低残差中的自相关，正确的方法是将解释变量和被解释变量的滞后变量引入模型，形成滞后模型进行回归，对不同滞后阶数的模型进行尝试，直到回归残差为白噪声为止。
8.2 时间序列的趋势和去势
许多时间序列数据，尤其是宏观经济数据，常常表现出明显的时间趋势（time trend ），即序列的期望值是时间t 的函数。这种趋势会导致时间序列的非平稳性。去掉序列中时间趋势的过程和方法称为去势（de-trend ）。时间序列进行去势后可以进行有关的统计分析。
时间趋势可以分为带趋势项平稳序列中的时间趋势和带漂移项单位根序列中的时间趋势。带趋势项的平稳时间序列可以表示为
1||,1<+++=-ρερδt t t y t c y （8.8）
，其中t ε为白噪声。显然，带趋势项的时间序列的数学期望随时间t 的变化而变化，是不平稳时间序列。但是由于1||<ρ，去掉趋势项t δ后，时间序列t t t y c y ερ++=-1是平稳的。这样的趋势称为确定性趋势（deterministic trend ）。如果能够确认时间序列中的趋势为确定性趋势，可以将序列对时间t （或者t 的多项式）进行回归，回归残差便是去势后的平稳时间序列。另一种时间趋势是带漂移的单位根中的趋势，即形如（8.4）模型中隐含的趋势，亦即（8.6）中的趋势项ct ，这种趋势是由单位根序列的漂移项积累而形成的。
尽管两种时间趋势形式上是一样的，并且在数据上的表现也很相似，但含有不同时间趋势的时间序列的统计性质却大不相同，处理方法也不一样。对带确定趋势的时间序列，经去势后成为平稳时间序列，可以采用平稳时间序列的方法进行研究，而带漂移项的单位根是真正的非平稳时间序列，要么进行差分转换为平稳时间序列进行研究，要么采用其他方法（例如协整）进行研究。由此看出，严格区分两种序列十分重要。下图给出了具有两种不同趋势时间序列图：
图8.3 带趋势平稳时间序列y1和带漂移随机游动时间序列y2
从图中可以看出，y2序列y1序列都表现出明显的时间趋势，y1序列的波动比y2序列要剧烈一些，除此之外，另个序列的变化规律十分接近。因此，仅凭图形直觉很难确定实际数据到底符合哪个模型，必须进行严格的统计检验。
从表面上看，对模型（8.8）可以通过检验假设
0:,
0:10≠=δδH H （8.9）
确定时间序列是否含有确定性趋势：对模型（8.8）进行回归，对参数估计δ?进行t 检验。在不能确定时间序列是否平稳的情况下，这种做法是不合适的，如果序列是非平稳的单位根过程，用OLS 进行回归很容易出现伪回归，对应的检验也没有任何意义。因此，要确定时间序列是否包含趋势，包含哪种类型的趋势，首先要对序列进行单位根检验，以确定是否平稳。如果序列平稳，则可以采用t 检验确定是否包含确定性趋势，若包含则可用OLS 回归进行去势。 8.3 单位根检验
8.3.1 单位根假设
从上面的分析知道，确定性趋势和单位根过程都可以使时间序列成为非平稳序列，因此，在检验单位根时要考虑如下两种情况：
t t t y y ερ+=-1 （8.10）
和
t t t y c y ερ++=-1 （8.11）
。在（8.10）中时间序列t y 的均值为0，检验的内容是ρ是否等于1，如果等于1，则为单位根序列，否则为平稳序列。在（8.11）中，如果1||<ρ，则t y 为平稳序列，均值为常数，如果1=ρ，则t y 为带漂移的单位根序列，期望值随t 的变化而变化。由（8.10）生成和由（8.11）生成的数据，检验单位根的统计量具有不同的分布，因此对单位根的检验分下面四种情况进行。
情况一（既不带常数项也不带时间趋势项）：假设数据由t t t y y ερ+=-1生成，对模型进行回归，检验假设
1:;1:10<=ρρH H 。
情况二（带常数项但不带时间趋势项）：假设数据由t t t y y ερ+=-1生成，对模型
t t t y c y ερ++=-1进行回归，检验假设 0,1:;
0,1:10≠<==c H c H ρρ。
情况三（带常数项但不带时间趋势项）：假设数据由t t t y c y ερ++=-1生成，对模型t t t y c y ερ++=-1进行回归，检验假设
1:;1:10<=ρρH H 。
情况四（既带常数项又带时间趋势项）：假设数据由t t t y c y ερ++=-1生成，对模型t t t t y c y εδρ+++=-1进行回归，检验假设
0,1:;0,1:10≠<==δρδρH H 。
情况一和情况二适合没有明显趋势的数据。情况一适合均值明显为0的数据，因为在原假设和备选假设下，t y 的数学期望都是0。情况二适合均值是否为0不很明显的数据，如果原假设成立，则为标准单位根过程，均值为0，如果备选假设成立，则为平稳过程，均值不为0。
情况三、情况四适合有明显趋势的数据。情况三在原假设成立时，t y 为带漂移的随机游动，而在备选假设成立时为平稳时间序列，因此在数据表现出明显的趋势并怀疑是由带漂移随机游动间接形成的情况下，情况三较为适合。情况四在原假设和备选假设下t y 都是带趋势的非平稳序列，在原假设下序列为单位根过程，在备选假设下为带确定趋势的平稳过程。因此，在确定序列为带趋势的非平稳序列，但需要检验为哪种非平稳序列时，情况四较为适合。
8.3.2 单位根检验的方法—ADF 检验
ADF 检验是增广迪基-福勒（augmented Dickey-Fuller ）检验的简称，是迪基（Dickey ）和福勒（Fuller ）给出的一种单位根检验方法。ADF 检验的前身是DF 检验。DF 检验假定单位根检验中的模型误差项t ε为独立同分布的白噪声序列。
对于情况一，回归模型为t t t y y ερ+=-1。将模型两边同时减去1-t y 得出
t t t y y εα+=?-1
（8.12）
，其中1-=ρα。单位根检验等价于检验假设 0:;0:10<=ααH H
。对模型（8.12）进行OLS 估计，得出估计量α
?。在原假设下，t y 为单位根过程，尽管仍然可以构造α
?的检验统计量ααα??/)1?(s t -=，α?s 表示α?的标准误，但α?t 不再服从t 分布。迪基和福勒证明当样本量趋于无穷大时，α?t 以分布收敛到一个特殊的随机变量，该随机变量可以用布朗运动的积分表示，并通过模拟方法给出了用于检验的临界值。这种方法称单位根的DF 检验。对于情况二，回归模型为t t t y c y ερ++=-1。将模型两边减去1-t y 得出
t t t y c y εα++=?-1，对模型进行OLS 回归，得出估计量c
?和α?。迪基和福勒得出了样本量趋于无穷大时，在原假设下向量)?,?(2/1'αT c
T 联合分布的极限形式，以此为基础构造出单位根检验的统计量，并通过模拟方法给出了检验的临界值。对于情况三和情况四具有类似的推导过程，只是更为复杂。迪基和福勒的贡献在于构造出各种情况下单位检验的统计量，推导出极限分布，并用模拟方法得出检验的临界值。
ADF 检验是DF 检验的改进。DF 检验只对具有一阶自回归形式的AR(1)模型适用，如果序列中存在更高阶的自相关，模型误差项独立同分布假定将不再成立，DF 检验不再有效。为了使检验更加灵活，适合更广泛相关结构的时间序列，迪基和福勒对DF 检验进行了改进，假设时间序列t y 为p 阶自回归序列AR(p )，在检验模型中增加t y 一阶差分的p 阶滞后项，得出更为一般的检验模型。例如，对应情况一中模型（8.12）的改进模型为
t p t p t t t t y y y y y εβββα+?++?+?+=?---- 22111 （8.13）
。ADF 检验对形如（8.13）的模型进行回归，并对假设0:,0:10<=ααH H 进行检验，采用的检验统计量具有更为复杂的渐进分布。迪基和福勒给出了ADF 单位根检验统计量的极限分布，并用模拟方法给出了检验临界值。如果10<≤ρ，则01<≤-α。在备选假设1
H 下α的OLS 估计量α
?以概率收敛到∞-。因此ADF 检验的拒绝域是一个左侧的单侧区域：对给定的显著水平γ，找出临界值γu 使得γγα=≤)(?u t P 。
如果α?t 的实际值小于临界值γu 则拒绝原假设，认为时间序列没有单位根，为平稳时间序列；如果α?t 的实际值大于临界值γu 则不能拒绝时间序列存在单位根的假设。
8.3.3 用EViews 进行单位根检验
在EViews 中很容易对时间序列进行单位根检验。这里以EViews 文件lut1.wf1（参见第
七章的说明）中的变量inc为例进行说明。具体的操作方法有两种，第一种方法是点击主菜单中Quick—>Series Statistics—>Unit Root Test：
在弹出的对话框中输入要检验的变量名，点击OK后出现检验设定对话框（Unit Root Test）第二种方法是在工作文件界面点击要检验的序列名，在数据显示界面点击View—>Unit Root Test:
进入检验设定对话框（Unit Root Test）：
对各选项进行选择，以此确定检验的模型和方法。检验类型（Test type）有6个选项，分别对应不同的检验方法，其中以增广迪基-福勒（Augmented Dickey-Fuller）检验最为常用。数据选项（Test for unit root in）选择是在原数据（Level）中检验单位根还是在差分后的数据（difference）中检验单位根。差分数据有两种选择，一种是在一阶差分数据（1st difference）中检验单位根，另一种是在二阶差分数据（2nd difference）中检验单位根。模型选项（Include in test equation）用来选择检验模型中是否包含常数项和时间趋势项，有三种选择：包含常数项（Intercept）、包含常数项和时间趋势项（Trend and Intercept）和既不包含常数项又不包含时间趋势项（None）。模型的三种不同选择对应了单位根检验的四种情况：情况一对应第三种选择（None），情况二和情况三对应第一种选择（Intercept），情况四对应第二种选择（Trend and Intercept）。最后一个选项是模型中差分滞后阶数（Lag length）的选项，第一种选择是让EViews自动确定滞后阶数（Automatic selection），确定的标准有6中，第一种赤
池信息准则（Akaike info Criterion）和第二种施瓦兹信息准则（Schwarz info Criterion）对我们较为熟悉，默认选择是施瓦兹信息准则。第二种选择是让用户自己确定滞后阶数（User Specified），默认选择是2。如果自己选择滞后阶数，则需要进行多次尝试，以回归后误差项接近白噪声为选择标准。
选择完成后点击OK，EViews显示检验结果界面（Augmented Dickey-Fuller Test on ×××）。输出内容分两部分，第一部分为单位根检验结果：
。有关信息包括检验原假设（Null Hypothesis：）、模型类型（Exogenous：）和差分项滞后阶数（Lag Length：）及其选择的标准（Automatic based on SC, MAXLAG=11），表明滞后阶数的选择标准是施瓦兹信息准则（SC），最大可能滞后阶数为11（MAXLAG=11），最后选择结果为0阶，即检验模型不带差分滞后项（此时的检验是DF检验）。接下来是检验统计量的值（Augmented Dickey-Fuller test statistic）以及对应的显著水平（Prob.*），1%、5%和10%三个显著水平下的检验临界值（Test critical values）。注意，检验统计量的值越小越能拒绝单位根原假设。因此，如果检验统计量的值小于临界值，则拒绝原假设，可以认为时间序列不存在单位根，为平稳序列。否则不能拒绝原假设，即不能将序列看作平稳时间序列。EViews中采用的ADF检验显著水平概率值（Prob.）是麦金农1996年计算的单边检验概率值（MacKinnon (1996) one-sided p-values）。从本例结果看，时间序列inc存在明显的单位根。
输出的第二部分是ADF检验模型（8.13）的回归结果：
，可以依此对数据的特性进行分析。注意，当不能拒绝单位根原假设时，检验回归的t检验不再有效，因此尽管INC(-1)的系数α?的t统计量值为4.22，显著大于2，也不能据此得出α不等于0的结论。输出结果中的德宾-沃森统计量（Durbin-Waston Stat）具有参考意义，德宾-沃森统计量的值接近0，表明残差存在明显的自相关，说明检验模型中差分滞后项的选择不充分，需要增大滞后阶数；如果接近2，表明残差中不存在自相关，说明检验模型设定比较合理。具有同样作用的还有Akaike信息准则（AIC）和Schwarz准则（SC），如果增加差分滞后阶数能够降低两个准则的值，则需要增加差分项的滞后阶数。例如，重做对inc序列的单位根检验，并把检验模型选择为带常数项和时间趋势项，而滞后项选择为2阶，得出如下结果：
，尽管仍然不能拒绝原假设，但检验回归结果中德宾-沃森统计量的值为2.02，表明回归残差中不存在自相关。同时AIC和SC的值都有所减少，因此检验模型设定更为合理。
注：
1、采用ADF方法进行单位根检验，选择正确的原假设和备选假设十分重要，因为检验统计量不仅取决于生成数据的模型形式，也依赖检验模型的形式（情况一至情况四）。因此，在进行单位根检验之前，应首先从经济学和统计学的角度考虑数据生成模型的可能形式。例如对利率时间序列进行单位根检验时，由于利率不可能永远上升或者下降，因此只能选择即不带常数项又不带时间趋势的数据生成模型（情况一），因为如果采用带常数项的或者/和时间趋势项的模型，则意味着利率以一个固定的速率增加或者减少，从而使模型失去经济学上的意义。如果从经济学、统计学和其他方面不能得出明确的结论，则在单位根检验时应尽量采用较为一般的模型作为数据生成模型和检验模型（情况二和情况四）。
2、ADF检验的原假设是时间序列存在单位根，拒绝原假设得出时间序列平稳的结论，此时犯第一类错误（Type I Error）的概率小于显著水平 （0.01或者0.05），如果不能拒绝原假设而认为存在单位根，则所犯错误为第二类错误（Type II Error），犯第二类错误的概率很难确定。因此，有人认为应该将单位根检验的原假设设为时间序列平稳，通过拒绝原假设得出存在单位根的结论，此时所犯错误为第一类错误，这样就能够控制犯错误的概率。Kwiatkowski、Phillips、Schmidt和Shin（1992）*提出了单位根检验新的方法（KPSS检验），以时间序列平稳为原假设，采用检验统计量LM进行检验。EViews提供了KPSS检验方法，在检验类型（Test type）中选择
数据选项（Test for unit root in）和模型选项（Include in test equation）与ADF检验一样。由于KPSS检验涉及到OLS回归残差谱的估计，因此需要对谱估计方法（Spectral estimation method）和估计方法的带宽（Bandwidth）进行选择。不熟悉有关内容时，可以选择EViews 的默认选择。选择完成后点击OK进入检验结果界面：
* Kwiatkowski D. , P.C.B. Phillips, P. Schmidt and Y. Shin (1992). Testing the null of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics 54, 159-178.
。检验信息栏前两行显示，检验的原假设是inc 为平稳序列、检验模型带常数项，第三行显示谱估计采用的方法和带宽。结果栏给出KPSS 检验统计量的值（Kwiatkowski-Phillips-Sch- -midt-Shin test statistic ）以及三种显著水平下的渐进临界值（Asymptotic critical values*）。如果检验统计量值大于临界值，则拒绝原假设，认为时间序列存在单位根。与其它检验方法不同，KPSS 检验的输出结果中只给出了不同显著水平下的渐进临界值，没有给出相伴概率Prob 。
3、以上给出的单位根检验都是针对实际数据序列的检验。如果要进行单位根检验的是估计数据，尽管上述的一些方法仍然可以采用，但检验统计量的临界值不再有效，其原因是估计数据构成的统计量的渐进分布与实际数据不同。例如在下面谈到的E-G 两步法协整检验
中，对回归残差形成的序列进行单位根检验就属于这种情况。此时从戴维森和麦金农*（1993）
书中表20.2中可以查出一些检验统计量的渐进临界值。本书的附表？给出了这个表格。
8.4 单整序列和ARIMA 模型
非平稳时间序列可以通过差分降低非平稳的程度。如果非平稳时间序列t y 的一阶差分t y ?为平稳时间序列，则称t y 为一阶单整的（1st order integrated ），记为)1(~I y t 。更一般
地，如果非平稳时间序列t y 的d 阶差分t d y ?为平稳时间序列，称t y 为d 阶单整的（d th order
integrated ），记为)(~d I y t 。平稳时间序列称为0阶单整，记为)0(I 。
对非平稳序列进行差分得到平稳时间序列后，可以对差分数据建立ARMA 模型。如果)(~d I y t ，则d 阶差分t d y ?为平稳时间序列，对t d y ?建立ARMA 模型。如果t d y ?的模型为ARMA （p ,q ），则称t y 服从ARIMA （p ,d ,q ）（AutoRegression Integrated Moving Average ）
模型，其中d 表示单整阶数。ARIMA （p ,d ,0）表明对t d y ?建立的模型是p 阶自回归模型。
对非平稳时间序列数据建立ARIMA 模型的关键是确定数据的单整阶数d 。确定的方法是先对原始数据进行单位根检验，如果存在单位根则进行差分，然后对差分后的数据进行单位根检验，如果不存在单位根则1=d ，如果存在单位根，则对差分数据再进行差分（二次差分），然后再进行单位根检验，重复这个过程直到差分数据不存在单位根为止。实际中的大多非平稳时间序列，尤其是宏观经济数据形成的时间序列，都是1阶单整的，一次差分后就成为平稳序列，可以采用平稳时间序列分析方法建立ARMA 模型。
例子8.1：人口增长率ARIMA 模型。（人均GDP 的ARIMA 模型）
8.5 协整与误差修正模型
ARIMA 模型是对单个非平稳时间序列建立的模型。如果要对两个以上的非平稳时间序列建立模型，应该采用什么方法呢？由于非平稳时间序列之间存在伪回归的可能，传统分析方法是不行的。一种解决方法是在平稳时间序列的框架内分析问题，但首先要对两个序列进 * Davision R., J. G . MacKinnon (1993) , Estimation and Inference in Econometrics. New York: Oxford University Press.
行差分，待平稳后对差分数据建立模型。采用差分数据建立模型具有一定的缺陷。首先，差分会导致数据中信息的减少（趋势信息被消除），样本量减少。一些模型，尤其是宏观经济模型不能用差分数据来建立。一般均衡理论中的变量都是水平变量，采用差分模型很难对长期均衡状态进行说明。人们试图采用其他的方法对非平稳时间序列之间的关系进行分析，于20世纪80年代提出了协整分析方法和误差修正模型，使同一个模型中既可以包含非平稳时间序列变量又可以包含其差分变量（误差修正模型）。
8.5.1协整的定义
为简单期间，这里只讨论两个非平稳时间序列的协整关系。设)(~d I x t 和)(~d I y t 为两个d 阶单整的非平稳时间序列，如果存在常数b a ,，使得t x 和t y 的线性组合形成的时间序列t t by ax +的单整阶数小于d ，则称t x 和t y 存在协整关系，t t by ax +称为协整组合，常数b a ,称为协整系数。如果t t by ax +的单整阶数为k （ 非平稳时间序列之间是否存在协整关系需要进行检验。 8.5.2 协整检验 协整检验有很多方法，这里介绍检验两个非平稳时间序列是否存在协整关系的E-G 两步法，是由恩格尔（Engle ）和格兰杰（Grange ）提出的。这里仅就两个)1(I 变量的)0,1(CI 协整关系检验方法进行说明。 设)1(~),1(~I y I x t t 为两个1阶单整时间序列。检验的原假设是t x 和t y 之间存在协整关系，备选假设是不存在协整关系。 第一步：对模型t t t x y εβα++=进行OLS 回归，得出回归模型参数估计βα ?,?和回归残差序列t ε ?。 第二步：对残差序列t ε?进行单位根检验。如果t ε?为不存在单位根的平稳序列，则表明t x 和t y 具有协整关系，β ?为协整系数估计。如果t ε?为单位根序列，则表明t x 和t y 没有协整关系。 显然，E-G 两步法认为，如果t x 和t y 具有协整关系，必定存在t x 和t y 的协整组合为平稳序列，而采用一元线性回归的形式表示的协整组合为t t t c x y εβ=--，协整系数为β，从而将t x 和t y 是否协整归结为回归误差项t ε是否平稳。由于t ε不可观测，只能通过残差序列t ε ?的平稳性来推断t ε的平稳性。但能否用t ε?来推断t ε的性质呢？因为此时回归中的解释变量和被解释变量都是单位根过程，OLS 回归的结果可能是伪回归，βα ?,?可能不是βα,的一致估计，如果这样，即使样本量很大，也不能用t ε?来推断t ε的性质。前面已经解释过，即使存在单位根，回归模型t t t x y εβα++=的OLS 估计量βα ?,?仍然回归系数βα,是一致估计，而且是超一致估计，因此可以用残差序列t ε ?来推断误差序列t ε的性质。当t x 和t y 没有协整关系时，在线性组合t t x y β?-中，t x β?不能消除t y 中的非稳定成分，从而t t t x y εαβ???=--为非平稳序列。这便直观地解释了E-G 两步法的合理性 需要注意的是，E-G 两步法中的第二步，即残差的ADF 检验，不能直接对EViews 工作文件中的变量resid 进行，必须先用Genr 将回归残差赋值给一个新的变量，然后对新变量进行ADF 检验。另外，由于回归残差是估计数据，单位根检验的检验统计量渐进临界值要通过查本书附表？获得，而不能直接采用Eviews 输出界面的临界值来得出结论。 例子：人均gdp 和资本劳动比率的协整关系和误差修正模型lut1：ins 和inc 的协整检验。 8.5.3误差修正模型 误差修正模型是将平稳时间序列方法和协整方法结合得出的一种模型。设t t y x ,均为一阶单整序列，并且具有协整关系，协整组合为t t x y βα--平稳序列。由于t t y x ,的一阶差分t t y x ??,也是平稳序列，因此可以建立如下回归模型 t t t t t v x y x y +--+?+=?--)(11210βαγγγ ，其中t v 为模型误差项。将常数项合并得出 t t t t t v x y x y +-+?+-=?--)()(112120βγγαγγ （8.14） （8.14）称为误差修正模型（ECM ：Error Correction Model ），其中11---t t x y β称为误差修正项（Error Correction Term ），2γ称为误差协整系数。由于多出一个误差修正项，ECM 模型比仅用t x ?解释t y ?的传统模型更为合理，预测误差更小。 误差修正模型（8.14）给出了影响被解释变量t y 的短期变化t y ?的因素。t y ?一方面受解释变量短期变化t x ?的影响，另一方面受到误差修正项11---t t x y β的影响。如果误差修正系数02<γ，当11-- 将（8.14）中的差分写开并整理，可以将误差修正模型写成如下形式： t t t t t v y x x y ++++=--131210ββββ （8.15） 。因此，在确认t y 和t x 具有协整关系后，可以采用（8.15）来估计模型，然后把（8.15）式化为误差修正模型的形式，即 t t t t t v x y x y +??? ? ??-+--+?+=?--132113101)1(ββββββ （8.16） 例子8.2：城镇居民月人均生活费支出和可支配收入的协整分析（数据：？？） 第五章时间序列分析与建模简介 时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。 引言 根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。 §5—1 ARMA模型分析 一、模型类 把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ x k }视为以正态同分布白噪声序列{ a k }为 输入的动态系统的输出。用差分模型ARMA (n,m) 为(z-1) x k = (z-1) a k 式（5-1-1） 其中： (z-1) = 1- 1 z-1-…- n z-n (z-1) = 1- 1 z-1-…- m z-m 离散传函 式（5-1-2） 为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子 即： B x k = x k-1 B即z-1，B2即z-2… (B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。 二、关于格林函数和时间序列的稳定性 1．格林函数G i 格林函数G i 用以把x t 表示成a t 及a t 既往值的线性组合。 式（5-1-3） G I 可以由下式用长除法求得： 例1．AR(1): x t - 1 x t-1 = a t 即： G j = 1 j（显示） 例2．ARMA (1,1): x t - 1 x t-1 = a t - 1 a t G 0= 1 ; G j =( 1 - 1 ) 1 j-1 ,j 1 （显示） ∑∞=- = j j t j t a G x 第一章习题答案 略 第二章习题答案 2。1 （1)非平稳 （2)0．０173 ０．7０0 0.41２ 0.148 -0。07９—０。25８—0。376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 ２。２ (１)非平稳,时序图如下 （２)－（３)样本自相关系数及自相关图如下:典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图 ２.3 （１）自相关系数为：0。２023 0。013 0。042 —０。0４３ -0。17９－0．251 -0．0９4 0.0２４8 —0．０68 －0。0７2 0．01４0.1０9 0．217 0.3１６0。007０-0。02５ 0。075 -０．14１ -0。２04 -0。245 0。0６6 0。０0６2 -０．139 -0.０３４0。206 -0.010 0.0８0 ０。118 (2）平稳序列 (３）白噪声序列 2。４ ，序LB=４.83,LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0。03６3.显著性水平=0.05 列不能视为纯随机序列。 ２。5 (1)时序图与样本自相关图如下 (2) 非平稳 (3）非纯随机 ２。6 （1）平稳,非纯随机序列(拟合模型参考：ARMA(1,2）) （2)差分序列平稳,非纯随机 第三章习题答案 3。1 ()0t E x =，2 1 () 1.9610.7 t Var x ==-，220.70.49ρ==,220φ= 3．2 1715φ=，2115 φ= 3。3 ()0t E x =，10.15 () 1.98(10.15)(10.80.15)(10.80.15) t Var x += =--+++ 10.8 0.7010.15 ρ= =+,210.80.150.41ρρ=-=，3210.80.150.22ρρρ=-= 1110.70φρ==，2220.15φφ==-,330φ= ３。4 10c -<<， 1121,1,2 k k k c c k ρρρρ--?=? -??=+≥? 3．５ 证明： 该序列的特征方程为:32 --c 0c λλλ+=,解该特征方程得三个特征根: 11λ=,2c λ=3c λ=- 【时间简“识”】 说明：本文摘自于经管之家(原人大经济论坛) 作者：胖胖小龟宝。原版请到经管之家(原人大经济论坛) 查看。 1.带你看看时间序列的简史 现在前面的话—— 时间序列作为一门统计学，经济学相结合的学科，在我们论坛，特别是五区计量经济学中是热门讨论话题。本月楼主推出新的系列专题——时间简“识”，旨在对时间序列方面进行知识扫盲（扫盲，仅仅扫盲而已……），同时也想借此吸引一些专业人士能够协助讨论和帮助大家解疑答惑。 在统计学的必修课里，时间序列估计是遭吐槽的重点科目了，其理论性强，虽然应用领域十分广泛，但往往在实际操作中会遇到很多“令人发指”的问题。所以本帖就从基础开始，为大家絮叨絮叨那些关于“时间”的故事！ Long long ago，有多long估计大概7000年前吧，古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，这一记录也就被我们称作所谓的时间序列。记录这个河流涨落有什么意义当时的人们并不是随手一记，而是对这个时间序列进行了长期的观察。结果，他们发现尼罗河的涨落非常有规律。掌握了尼罗河泛滥的规律，这帮助了古埃及对农耕和居所有了规划，使农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂的史前文明。 好~~从上面那个故事我们看到了 1、时间序列的定义——按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。 2、时间序列分析的定义——对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。 既然有了序列，那怎么拿来分析呢 时间序列分析方法分为描述性时序分析和统计时序分析。 1、描述性时序分析——通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第一步。 2、统计时序分析 （1）频域分析方法 原理：假设任何一种无趋势的时间序列都可以分解成若干不同频率的周期波动 发展过程： 1）早期的频域分析方法借助富里埃分析从频率的角度揭示时间序列的规律 2）后来借助了傅里叶变换，用正弦、余弦项之和来逼近某个函数 3）20世纪60年代，引入最大熵谱估计理论，进入现代谱分析阶段 特点：非常有用的动态数据分析方法，但是由于分析方法复杂，结果抽象，有一定的使用局限性 （2）时域分析方法 目录 摘要 (1) 第一章绪论 (2) 1.1 时间序列模型的发展及其作用 (2) 1.2 什么是时间序列模型 (2) 1.3 本文研究的主要方法和手段 (2) 1.4 本文主要研究思路及内容安排 (2) 第二章 ARMA模型 (4) 2.1 ARMA模型的基本原理 (4) 2.2 样本自协方差函数、自相关函数和偏相关函数 (4) 2.3 ARMA模型识别方法 (5) 2.4 模型参数估计 (6) 第三章实例分析 (7) 3.1 题目 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 问题求解 (8) 3.3.1数据的观测 (8) 3.3.2数据处理 (8) 3.3.3求解自相关和偏相关函数 (8) 3.4 模型的识别及求解 (9) 3.5 结论 (11) 参考文献 (12) 附录 (12) 评阅书 (15) 《随机过程》课程设计任务书 摘要 ARMA模型是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。ARMA模型广泛应用在经济、工程等各个领域得益于其在具体预测方面的优势。在许多方面用该模型所作出的预测比其他传统经济计量方法更加精确。平稳时间序列模型主要有自回归模型(AR)、滑动平均模型(MA)和自回归滑动平均模型(ARMA)等，这些线性模型考虑因素较简单。自回归滑动平均模型(ARMA)计算简单，易于实时更新数据。 本文描述了ARMA模型的原理、自相关函数和偏相关函数的计算过程、模型的识别方法以及ARMA模型的计算过程。并给出一组平稳时间序列的数据，对数据进行分析和处理，求出自相关系数和偏相关，并利用MATLAB软件画出自相关系数和偏相关图形，有图可知它们都是拖尾的，因此可以确定是) ARMA模 p , (q 型。接下来就是确定) ARMA的阶数，本文采用了AIC准则确定模型的阶数， p , (q 在实际问题中，为使线性模型简单起见，通常p与q的数值被取得较小，却需都不为零。确定阶数后，就用我们学过的求解方法解出未知的参数，这样我们就得到了混合模型的表达式。 关键字：) ARMA模型，自相关函数，偏相关函数 p , (q 基于VAR模型的我国房地产市场与汇率 波动的因果关系 ————VAR模型实验 第一部分实验分析目的及方法 现选取人民币对美元汇率以及商品房房价作为变量构建VAR模型。对于不满足单位根检验的序列采取对数化或差分处理，使其成为平稳序列再进行模型的拟合。对于商品房房价这一变量，由于全国各省市差异较大，故此处采用全国房地产开发业综合景气指数这一变量。此外，为了消除春节假期不固定因素带来的影响，增强数据的可比性，按照国家统计制度，从2012年起，不单独对1月份统计数据进行调查，1-2月份数据一起调查，一起发布。所以国房景气指数p这一序列缺少每年一月份的相关数据，属于非随机、不可忽略缺失，在此采用平均值填充的方法，补足数据。 第二部分实验样本 2.1数据来源 数据来源于中经网统计数据库。具体数据见附录表。 2.2所选数据变量 由于我国于2005年7月实行第二次汇改，此次汇改以市场供求为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度取代了过去人民币汇率长达10年的紧盯美元的固定汇率体制。故本实验拟选取2005年07月到2014年10月我国以月为单位的数据。，用以上两个变量来构建VAR模型，并利用该模型进行分析预测。 第四部分模型构建 4.1判断序列的平稳性 4.1.1汇率E序列 首先绘制出E的折线图，结果如下图： 图4.1 汇率E的曲线图 从图中可以看出，汇率E序列较强的趋势性，由此可以初步判断该序列是非平稳的。为了减少m的变动趋势以及异方差性，先对m进行对数化处理，记为lm，其时序图如下： 图4.2 lm的曲线图 对数化后的趋势性减弱，但仍存在一定的趋势性，下面对lm进行一阶差分处理，去除趋势性，得到新变量dlm，观察dlm的曲线图。 图4.3 DLE的曲线图 从图中可以看出，dle序列的趋势性基本已经消除，且新变量dle基本围绕0上下波动，因此选择形式为y t=y t-1+u t进行单位根检验： 表4.1 单位根输出结果 Null Hypothesis: DLE has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 2 (Automatic - based on SIC, maxlag=12) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.031673 0.0351 Test critical values: 1% level -3.491928 5% level -2.888411 10% level -2.581176 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DLE) Method: Least Squares Date: 11/15/14 Time: 20:20 Sample (adjusted): 2005M11 2014M10 Included observations: 108 after adjustments 第一章习题答案 第二章习题答案 2.1 (1)非平稳 (2)0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 (3)典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图 Au+ocorreliil. i ons Correlation -1 M 7 6 5 4 3 2 1 0 I ； 3 4 5 6 7 9 9 1 1.00000■Hi ■ K. B H,J B ik L L1■* J.1 jA1-.IM L L* rn^rp ■ i>i?iTwin H'iTiii M[lrp i,*nfr 'TirjlvTilT'1 iBrp O.7QOO0■ill. Ii ill ■ _.ill?L■ ill iL si ill .la11 ■ fall■ 1 ■ rpTirp Tp和阳申■丽轉■晒?|?卉（ft 0.41212■强:料榊＜牌■ 0.14343'■讯榊* -.07078■ -.25758, WWHOHHf ■ -.375761 marks two 总t and&rd errors 2.2 (1) 非平稳，时序图如下 (2) - ( 3)样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图 Ctorrelat ion LOOOOO n.A'7F1 0.72171 0.51252 Q,34982 0.24600 0.20309 0.?1021 0.26429 0.36433 0.49472 0.58456 0.60198 0.51841 Q ?菲晡 日 0.20671 0.0013& -,03243 -.02710 Q.01124 0,08275 0.17011 Autocorrel at ions raarka two standard errors 2.3 (1) 自相关系数为： 0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118 (2 )平稳序列 (3) 白噪声序列 2.4 LB=4.83 , LB 统计量对应的分位点为 0.9634 , P 值为0.0363。显著性水平 :-=0.05，序列 不能视为纯随机序列。 2.5 (1) 时序图与样本自相关图如下 AuEocorreI ati ons 弗卅制iti 电卅栅冷卅樹 側樹 榊 惟 1 ■ liihCidi iliihQriHi il>LljU_nll Hnlidiili Hialli iT ,, T^,, T^s ?T* iTijTirr ,^T 1 IT * -i> ■> - ■ ■ *畑** ? ■ ■ 耶曲邯 ? ■ ■ ■ >|｛和怦I ｛册卅KHi 笊出恸 mrpmrp 山!rpEHi erp . 卑*寧* a 1 * 第八章思考题及练习题 (一) 填空题 1、时间数列又称数列,一般由和两个基本要素构成。 2、动态数列按统计指标的表现形式可分为、和三 大类，其中最基本的时间数列是。 3、编制动态数列最基本的原则是。 4、时间数列中的四种变动（构成因素）分别是：、、、和 5、时间数列中的各项指标数值，就叫，通常用a表示。 6、平均发展水平是对时间数列的各指标求平均，反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平，又称：平均数，或平均数。 7、增长量由于采用的基期不同，分为增长量和增长量，各增长量之和等于相应的增长量。 8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫，亦称动态系数。根据采用的基期不同，它又可分为发展速度和发展速度两种。 9、平均发展速度的计算方法有法和法两种。 10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍，比95年增长了0.8倍，则95年粮食产量比90年增长了倍。 11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是：。 12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列，仍属时期数列；由一个时点数列各逐期增长量构成的动态数列，属数列。 13、在时间数列的变动影响因素中，最基本、最常见的因素是，举出三种常用的测定方法、、。 14、若原动态数列为月份资料，而且现象有季节变动，使用移动平均法对之修匀时，时距宜确定为项，但所得各项移动平均数，尚需，以扶正其位置。 15、使用最小平方法配合趋势直线时，求解 a、b参数值的那两个标准方程式为。16、通常情况下，当时间数列的一级增长量大致相等时，可拟合趋势方程，而当时间数列中各二级增长量大致相等时，宜配合趋势方程。 17、用半数平均法求解直线趋势方程的参数时，先将时间数列分成的两部分，再分别计算出各部分指标平均数和的平均数，代入相应的联立方程求解即得。 18、分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是。这种方法是通过对若干年资料的数据，求出与全数列总平均水平，然后对比得出各月份的。 19、如果时间数列中既有长期趋势又有季节变动，则应用法来计算季节比率。 20、商业周期往往经历了从萧条、复苏、繁荣再萧条、复苏、繁荣……的过程，这种变动称为变动。 (二) 单项选择题 1、组成动态数列的两个基本要素是( )。 A、时间和指标数值 B、变量和次数（频数） 梧州学院 论文题目基于时间序列分析梧州市财政 收入研究 系别数理系 专业信息与计算科学 班级 09信息与计算科学 学号 200901106034 学生姓名胡莲珍 指导老师覃桂江 完成时间 摘要 梧州市财政收入主要来源于基金收入，地方税收收入和非税收收入等几方面。近年来梧州市在自治区党委、自治区政府和市委的正确领导下，全市广大干部群众深入贯彻落实科学发展观，抢抓机遇，开拓进取，克难攻坚，使得全市经济连续几年快速发展，全市人民的生活水平也大幅度提高，但伴随着发展的同时也存在一些问题，本文主要通过研究分析梧州财政收入近几年的状况，根据采用时间序列分析中的一次简单滑动平均法研究分析梧州市财政收入和支出的情况，得到的结果是梧州市财政收入呈现下降状态，而财政支出却逐年上涨，这种状况将导致梧州市人民生活水平下降，影响梧州市各方面的发展。给予一些有益于梧州市财政发展的建议。本文首先介绍主要运用的时间序列分析的概念及其一次简单滑动平均法的方法，再用图表说明了梧州市财政近几年的财政收入和支出状况，然后建立模型，分析由时间序列分析方法得出的对2012年财政收入状况的预测结果，最后，鉴于提高梧州市财政收入的思想，给予了一些合理性建议，比如：积极实施工业强县战略，壮大工业主导财源；大力发展第三产业，强化地方财源建设；完善公共财政支出机制，着力构建和谐社会。 关键词：梧州市；财政收入；时间序列分析；建立模型；建议 Based onThe Time Series Analysis of Wuzhou city Finance Income Studies Abstract Wuzhou city, fiscal revenue mainly comes from fund income, local tax revenue and the tax revenue etc. Wuzhou city in recent years in the autonomous region party committee, the government of the autonomous region and the municipal party committee under the correct leadership, the cadres and masses thoroughly apply the scientific outlook on development, catch every opportunity, pioneering and enterprising, g hard, make the crucial economic rapid development for several years, the people's living standard has also increased significantly, but with the development at the same time, there are also some problems, this paper mainly through the research and analysis the condition of wuzhou fiscal revenue in recent years, according to the time series analysis of a simple moving average method research and analysis of financial income and expenditure wuzhou city, the result obtained is wuzhou city, fiscal revenue decline present condition, and fiscal spending is rising year by year, the situation will lead to wuzhou city, the people's living standards decline, influence all aspects of wuzhou city development. Give some Suggestions on the development of the financial benefit wuzhou city. This paper first introduces the main use of the time series analysis of the concept and a simple moving average method method, reoccupy chart illustrates the wuzhou city, in recent years the financial revenue and expenditure situation, then set a model, analysis the time series analysis method to draw 2012 fiscal income condition prediction results, finally, in view of wuzhou city, improve the financial income thoughts, give some advice, for instance: rationality vigorously implement the strategy of industrial county, strengthen the industry leading financial sources, A vigorous development of the third industry, and to strengthen the construction of local revenue; 应用时间序列分析实验报告 实验名称第三章平稳时间序列分析 一、上机练习 data example3_1; input x; time=_n_; cards; 0.30 -0.45 0.036 0.00 0.17 0.45 2.15 4.42 3.48 2.99 1.74 2.40 0.11 0.96 0.21 -0.10 -1.27 -1.45 -1.19 -1.47 -1.34 -1.02 -0.27 0.14 -0.07 0.10 -0.15 -0.36 -0.50 -1.93 -1.49 -2.35 -2.28 -0.39 -0.52 -2.24 -3.46 -3.97 -4.60 -3.09 -2.19 -1.21 0.78 0.88 2.07 1.44 1.50 0.29 -0.36 -0.97 -0.30 -0.28 0.80 0.91 1.95 1.77 1.80 0.56 -0.11 0.10 -0.56 -1.34 - 2.47 0.07 -0.69 -1.96 0.04 1.59 0.20 0.39 1.06 -0.39 -0.16 2.07 1.35 1.46 1.50 0.94 -0.08 -0.66 -0.21 -0.77 -0.52 0.05 ; procgplot data=example3_1; plot x*time=1; symbolc=red i=join v=star; run; 建立该数据集，绘制该序列时序图得： 根据所得图像，对序列进行平稳性检验。时序图就是一个平面二维坐标图，通常横轴表示时间，纵 轴表示序列取值。时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的X围有界的特点。如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。 procarima data=example3_1; identifyvar=x nlag=8; run; 图一 图二样本自相关图 图三样本逆自相关图 7 平稳时间序列预测法 7.1 概述 7.2 时间序列的自相关分析 7.3 单位根检验和协整检验 7.4 ARMA模型的建模 回总目录 7.1 概述 时间序列取自某一个随机过程，则称： 一、平稳时间序列 过程是平稳的――随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的――随机过程的随机特征随时间变化而变化回总目录 回本章目录 宽平稳时间序列的定义： 设时间序列 ，对于任意的t,k和m，满足： 则称宽平稳。 回总目录 回本章目录 Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。 他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方 法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构 化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理 论基础。 ARMA模型是描述平稳随机序列的最常用的一种模型； 回总目录 回本章目录 ARMA模型三种基本形式： 自回归模型（AR：Auto-regressive）； 移动平均模型（MA：Moving-Average）； 混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 其中是独立同分布的随机变量序列,且满足： 则称时间序列服从p阶自回归模型。 二、自回归模型 回总目录 回本章目录 自回归模型的平稳条件： 滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 回总目录 回本章目录 如果时间序列满足 则称时间序列服从q阶移动平均模型。或者记为。 平稳条件：任何条件下都平稳。 三、移动平均模型MA(q) 回总目录 回本章目录 四、ARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足： 则称时间序列服从(p,q)阶自回归移动平均模型。 或者记为： 回总目录 回本章目录 q=0，模型即为AR(p)； p=0，模型即为MA(q)。 ARMA(p,q)模型特殊情况： 回总目录 回本章目录 例题分析 设 ，其中A与B 为两个独立的零均值随机变量，方差为1； 第八章 时间序列分析 、填空题: 1. 由于决定时间数列变化的因数是多方面的，因此通常把时间数列上各期发展水平按其影 响因素的不同分解成几个不同的组成部分， 即长期趋势、 _______ 、循环波动和不规则变 动。 2?时间序列按照数列中排列指标的性质不同，可分为 __________ 、 ___ 和 _____ 。 3. “增长1%绝对值”指标其实质是 _________ 水平的1%。 4. ___ 是把原动态数列的时距扩大，再采用逐项移动的方法计算扩大了时距的序时平均数。 5. ______ 就是研究某种现象在一个相当长的时期内持续向上或向下发展变动的趋势。 6. ___ 就是指某些社会现象由于受生产条件或自然条件因素的影响， 在一年内随着季节的 更换而呈现出比较有规律的变动。 二、单项选择题： 某银行投资额 2004年比2003年增长了 10%, 2005年比2003年增长了 15% , 2005年比 2004年增长了（ 销售额为（ 6.时间数列的构成要素是（ B 、时间和指标数值 C 、时间和次数 1. 时间序列在一年内重复出现的周期性波动称为（ A 、趋势 B 、季节性 C 、周期性 D 、随机性 2. 增长一个百分点而增加的绝对数量称为（ A 、环比增长率 B 、平均增长率 C 、年度化增长率 D 、增长1%绝对值 3. A 、15% - 10% B 、115% - 110% C 、(110% X 115%) +1 D 、(115%- 110%) -1 4?某种股票的价格周二上涨了 10%，周三上涨了 5%,两天累计张幅达（ A 、15% B 、15.5% 4.8% 5% 5?如果某月份的商品销售额为 84万元, 该月的季节指数为 1.2，在消除季节因素后该月的 A 、60万元 B 、70万元 C 、90.8 万元 D 、100.8 万元 A 、变量和次数 D 、主词和宾词 第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示 一、自回归模型（AR） 由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型： X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。 如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－ X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一1 ，…… 般形式为： X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（2.1.2）式可化为： X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt 从而有： （1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt 记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表 示成 φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt 二、滑动平均模型（MA） 有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即 X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列X t称为滑动平均序列。 使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成 X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为： X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为 φ（B）X t=θ(B)εt（2.1.7） 第八章 时间数列分析 一、单项选择题 1.时间序列与变量数列( ) A 都是根据时间顺序排列的 B 都是根据变量值大小排列的 C 前者是根据时间顺序排列的，后者是根据变量值大小排列的 D 前者是根据变量值大小排列的，后者是根据时间顺序排列的 C 2.时间序列中，数值大小与时间长短有直接关系的是( ) A 平均数时间序列 B 时期序列 C 时点序列 D 相对数时间序列 B 3.发展速度属于( ) A 比例相对数 B 比较相对数 C 动态相对数 D 强度相对数 C 4.计算发展速度的分母是( ) A 报告期水平 B 基期水平 C 实际水平 D 计划水平 B 5.某车间月初工人人数资料如下： 则该车间上半年的平均人数约为( ) A 296人 B 292人 C 295 人 D 300人 C 6.某地区某年9月末的人口数为150万人，10月末的人口数为150．2万人，该地区10月的人口平均数为( ) A 150万人 B 150．2万人 C 150．1万人 D 无法确定 C 7.由一个9项的时间序列可以计算的环比发展速度( ) A 有8个 B 有9个 C 有10个 D 有7个 A 8.采用几何平均法计算平均发展速度的依据是( ) A 各年环比发展速度之积等于总速度 B 各年环比发展速度之和等于总速度 C 各年环比增长速度之积等于总速度 D 各年环比增长速度之和等于总速度 A 9.某企业的科技投入，2010年比2005年增长了58．6％，则该企业2006—2010年间科技投入的平均发展速度为( ) A 5 %6.58 B 5%6.158 C 6 %6.58 D 6%6.158 B 10.根据牧区每个月初的牲畜存栏数计算全牧区半年的牲畜平均存栏数，采用的公式是( ) A 简单平均法 B 几何平均法 C 加权序时平均法 D 首末折半法 D 11.在测定长期趋势的方法中，可以形成数学模型的是( ) A 时距扩大法 B 移动平均法 C 最小平方法 D 季节指数法 基于时间序列分析的股票价格短期预测与 分析 姓名：王红芳数学与应用数学一班指导老师：魏友华 摘要 时间序列分析是经济领域研究的重要工具之一，它描述历史数据随时间变化的规律，并用于预测经济变量值。在股票市场上，时间序列预测法常用于对股票价格趋势进行预测，为投资者和股票市场管理方提供决策依据。本文通过各种预测方法的对比，突出时间序列分析的优势，从时间序列的概念出发介绍了时间序列分析预测法的基础以及其简单的应用模型。文中使用中石化股票的历史收盘价数据，运用时间序列预测法预测出中石化股票的后五个交易日的收盘价，通过对预测价格和实际价格做出对比，表明时间序列预测法的效果比较好。 关键词：时间序列；股票价格；预测 The short-term stock price prediction based on time series analysis Abstract: The analysis of time series is one of the important tools for researching in the field of economy, it describes the law of historic data with the time passing by and it is also used to predict the value of economic variables. In the stock market, the forecasting method of time series is commonly used to forecast the trend of stock price, and provide evidence of decision making for investors and managements. In the thesis, through the comparison of various forecasting methods to highlight the advantages of the analysis of time series, beginning with the concept of time series, I introduce the basic of forecasting method of the analysis of time series as well as its simple application model. in the paper, I use the historic closing price data of Sinopec shares and the forecasting method of time series to predict the Sinopec shares' closing price of the last five days, and by comparison between predicting price and actual price to show the good effect of the forecasting method of time series. Keywords: Time series; Stock price; Forecast 第八章时间序列分析与预测 【课时】 6学时 【本章内容】 §8.1 时间序列的描述性分析 时间序列的含义、时间序列的图形描述、时间序列的速度分析 §8.2 时间序列及其构成分析 时间序列的构成因素、时间序列构成因素的组合模型 § 8.3 时间序列趋势变动分析 移动平均法、指数平滑法、模型法 §8.4 时间序列季节变动分析 原始资料平均法、趋势-循环剔除法、季节变动的调整 §8.5 时间序列循环变动分析 循环变动及其测定目的、测定方法 本章小结 【教学目标与要求】 1.掌握时间序列的四种速度分析 2.掌握时间序列的四种构成因素 3.掌握时间序列构成因素的两种常用模型 4.掌握测定长期趋势的移动平均法 5.了解测定长期趋势的指数平滑法 6.掌握测定长期趋势的线性趋势模型法 7.了解测定长期趋势的非线性趋势模型法 8.掌握分析季节变动的原始资料平均法 9.掌握分析季节变动的循环剔出法 10.掌握测定循环变动的直接法和剩余法 【教学重点与难点】 1.对统计数据进行趋势变动分析，利用移动平均法、指数平滑法、线性模型法求得 数据的长期趋势； 2.对统计数据进行季节变动分析，利用原始资料平均法、趋势－循环剔除法求得数 据的季节变动； 3.对统计数据进行循环变动分析，利用直接法、剩余法求得循环变动。 【导入】 很多社会经济现象总是随着时间的推移不断发展变化，为了探索现象随时间而发展变化的规律，不仅要从静态上分析现象的特征、内部结构以及相互关联的数量关系，而且应着眼于现象随时间演变的过程，从动态上去研究其发展变动的过程和规律。这时需要一些专门研究按照时间顺序观测的序列数据的统计分析方法，这就是统计学中的时间序列分析。 通过介绍一些时间序列分析的例子，让同学们了解时间序列的应用，并激发学生学习本章知识的兴趣。 1.为了表现中国经济的发展状况，把中国经济发展的数据按年度顺序排列起来， 据此来研究。 2.公司对未来的销售量作出预测。这种预测对公司的生产进度安排、原材料采购、 存货策略、资金计划等都至关重要。 第二篇 预测方法与模型 预测是研究客观事物未来发展方向与趋势的一门科学。统计预测是以统计调查资料为依据，以经济、社会、科学技术理论为基础，以数学模型为主要手段，对客观事物未来发展所作的定量推断和估计。根据社会、经济、科技的预测结论，人们可以调整发展战略，制定管理措施，平衡市场供求，进行各种各样的决策。预测也是制定政策，编制规划、计划，具体组织生产经营活动的科学基础。20世纪三四十年代以来，随着人类社会生产力水平的不断提高和科学技术的迅猛发展，特别是近年来以计算机为主的信息技术的飞速发展，更进一步推动了预测技术在国民经济、社会发展和科学技术各个领域的应用。 预测包含定性预测法、因果关系预测法和时间序列预测法三类。本篇对定性预测法不加以介绍，对后两类方法选择以下几种介绍方法的原理、模型的建立和实际应用，分别为：时间序列分析、微分方程模型、灰色预测模型、人工神经网络。 第五章 时间序列分析 在预测实践中，预测者们发现和总结了许多行之有效的预测理论和方法，但以概率统计理论为基础的预测方法目前仍然是最基本和最常用的方法。本章介绍其中的时间序列分析预测法。此方法是根据预测对象过去的统计数据找到其随时间变化的规律，建立时间序列模型，以推断未来数值的预测方法。时间序列分析在微观经济计量模型、宏观经济计量模型以及经济控制论中有广泛的应用。 第一节 时间序列简介 所谓时间序列是指将同一现象在不同时间的观测值，按时间先后顺序排列所形成的数列。时间序列一般用 ,,,,21n y y y 来表示，可以简记为}{t y 。它的时间单位可以是分钟、时、日、周、旬、月、季、年等。 一、时间序列预测法 时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反应出来的发展过程、方向和趋势，进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年可能达到的水平。其容包括:收集与整理某种社会现象的历史资料；将这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间序列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模型，以此模型去预测该社会现象将来的情况。 二、时间序列数据的特点 通常，时间序列经过合理的函数变换后都可以看作是由三个部分叠加而成，这三个部分是趋势项部分、周期项部分和随机项部分。 1. 趋势性 许多序列的一个最主要的特征就是存在趋势。这种趋势可能是向下的也可能是向上的，也许比较陡，也许比较平缓，或者是指数增长，或者近似线性。总之，时间序列的趋势性是依据时间序列进行预测的本质所在。 2. 季节性/周期性 当数据按照月或季观测时，通常的情况是这样的:时间序列会呈现出明显的季节性。对季节性也不存在一个非常精确的定义。通常，当某个季节的观测值具有与其它季节的观测值明显不同的特征时，就称之为季节性。 3. 异常观测值 异常观测值指那些严重偏离趋势围的特殊点。异常观测值的出现往往是由于某些不可抗 1958 年自然灾害和1966年左右“文化大革命”对我国经拒的外部条件的影响。如1960 济的影响，造成经济指标陡然下降现象；1992年，我国银行紧缩政策造成的房地产业泡沫破灭，而使得房地产业的经济数据发生突然变化的例子等等。 4. 条件异方差性 所谓条件异方差性，表现出来就是异常数据观测值成群地出现，故也称为“波动积聚性”。由于方差是风险的测度，因此波动存在的积聚性的预测对于评估投资决策是很有用的，对于期权和其它金融衍生产品的买卖决策也是有益的。 5. 非线性 对非线性的最好定义就是“线性以外的一切”。非线性常常表现为“机制转换”(regime witches)或者“状态依赖”(State pendence)。其中状态依赖意味着时间序列的特征依赖于其现时的状态;不同的时刻，其特征不一样。当时间序列的特征在所有的离散状态都不一样时，就成为机制转换特性。 三、时间序列的分类 1. 按研究的对象的多少可分为单变量时间序列和多变量时间序列。 如果所研究的对象是一个变量，如某个国家的国生产总值，即为单变量时间序列。果所研究的对象是多个变量，如按年、月顺序排列的气温、气压、雨量数据，为多变量时间序列。多变量时间序列不仅描述了各个变量的变化规律，而且还表示了各变量间相互依存关系的动态规律性。 2. 按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列。 如果某一序列中的每一个序列值所对应的时间参数为间断点，则该序列就是一个离散时间序列。如果某一序列中的每个序列值所对应的时间参数为连续函数，则该序列就是一个连续时间序列。 3. 按序列的统计特性可分为平稳时间序列和非平稳时间序列两类。时间序列分析与建模简介
时间序列分析基于R——习题答案
时间序列分析——最经典的
平稳时间序列的模型
时间序列分析——var模型实验
时间序列分析基于R——习题答案
第八章 时间序列分析 思考题及练习题
基于时间序列序列分析优秀论文
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
平稳时间序列预测法
第八章时间序列分析
平稳时间序列模型及其特征
8章 时间序列分析练习题参考答案
基于时间序列分析的股票价格短期预测与分析
第八章--时间序列分析
时间序列分析简介与模型