《二次根式》分类练习题
《二次根式》分类练习题 知识点一：二次根式的概念
【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1）
22211
,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、2
1a
+
2、在
a 、2a
b 、1x +、2
1x +、
3中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子
3
x -有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学
*科*网Z*X*X*K]
举一反三： 1、使代数式
4
3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）
A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2、使代数式
2
21x x -+-有意义的
x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的
位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=
5-x +x -5+2009，则
x+y=
解题思路：式子a （a ≥0），50
,50
x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则
x+y=2014
举一反三： 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求
xy 的值
3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
已知a 5b
是51
2
a b +
+的值。 若3的整数部分是
a ，小数部分是
b ，则=-b a 3 。
若
17
的整数部分为x ，小数部分为y ，求
y
x 12+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (
)()a aa 2
0=≥．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥(
)()20
3. a a aa aa 2
00==≥-
||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a aa aa 2
00==≥-
||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2
表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．
（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a
的范围是非负数．
（3）
a 2
和()a 2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例4】若()2
2340a b c -+-+-=，则=
+-c b a ．
举一反三： 1、若
0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且
()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A ．3
B ．– 3
C ．1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若
1
a b -+与24a b ++互为相反数，则()
2005
_____________
a b -=。
（公式)0()(
2≥=a a a 的运用）
【例5】 化简：21(3)a a -+-的结果为（ ）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4 举一反三：
1、 在实数范围内分解因式: 23x -= ；4244m m -+=
429__________,222__________x x x -=-+=
2、 化简：
()3313
--
3、 已知直角三角形的两直角边分别为
2和5，则斜边长为
（公式
??
?<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2
的应用）
【例6】已知2x <,则化简
244x x -+的结果是
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三： 1
( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9 2、已知a<0
2a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a 3、若23a p p
） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7
－2a 5
2
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x - 6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-221
2＝ ．
7、已知0a
<
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简
│a
－b │的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简
：
1______a -=．
【例
8】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1
0 o
b
a
举一反三：若代数式22
(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范
围是（ ）
Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤ Ｄ．2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+
，那么
a 的取值范围是（ ）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1 举一反三：
1、如果2
693a a a +-+=成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3 【例10】化简二次根式22 a a a +-的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a - 1 化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --a C. - a D. a 2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；a a --11 )1(＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被 开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式1) 22 2;2);3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 举一反三： 1、 )b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式 是 。 2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ． 7 B ．3 C ． 1 2 D ．2 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A.21a + B. 21x + C. 2b D.0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2) 2 3ab (3) 2 2y x + (4) ) (b a b a >- (5) 5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1) 12 (2) b a 245 (3) x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A C 2、在二次根式：①12；② 3 2；③ 32 ；④27中，能与3合并 的二次根式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a ?=来确定，如：a a 与，a b a b ++ 与，b a-与b a-等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a b +与a b -，a b a b +- 与，a x b y a x b y +- 与分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】把下列各式分母有理化 （1） 48（2）43 37 -（3）11 212 （4）13 550 - 【例14】把下列各式分母有理化 （1） 3 28x x y （2） a b - （3）3 8x x （4）2 52 5 a b b a - 【例15】把下列各式分母有理化： （1） 2 21- （2）5353+- （3）333223 - 举一反三： 1、已知2323x -=+，2323 y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化： （1） ()a b a b ≠+ （2）22 22 a a a a +--++- （3） 222 2 b a b b a b -+++ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ② 与； ③ 与 ； ④ 与 ． 知识点五：二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】 【例20】计算（1）11 327520.53227 - - +-； （2）12 543102024553457????+-- ? ? ? ???； （3）1111 3275348532 -+-+； （4）113326327284814723247? ??? -+-+ ? ????? 【例 21】 （1）22 4344x y x y x y x y --+- -+ （2）a b a b a b -+-+ （3） 3213273108334 a a a a a a a -+- （4）114a a b b a b ?? +-- ? ??? （5）353 8154a a a a a -+ （6）2x y y x xy y x x y +-+++ 知识点六：二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 a b =a b （a≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 a b =a b （a ≥0，b>0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例16】化简 (1)916? (2)1681? (3) 1525? (4)229x y (0,0≥≥y x ) (5) 1 2 × 632? 【例17】计算（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【例18】化简： (1) 364 (2) 22 649b a )0,0(≥>b a (3) 2 964x y )0,0(>≥y x (4) 2 5169x y )0,0(>≥y x 【例19】计算：(1)123 (2)3128÷ (3)11 416÷ （4）648 【例20】能使等式 2 2x x x x =--成立的的 x 的取值范围是（ ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解 知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时； 5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化； 【典型习题】 1、 a b b a ab b 3)23(235÷-? 2、2 2 (212 +4 1 8 －348 ) 3、 13 2 x y · （-42 y x ）÷ 16 2x y 4、673)3 2272(-?++ 知识点八：根式比较大小 【知识要点】 1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则 a b >；②如果a b <，则 a b <。 2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b - 8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0 时，则：①1a a b b >?>； ② 1a a b b 【例23】比较31-与21-的大小。 【例24】比较1514-与1413-的大小。 【例25】比较76-与65-的大小。 【例 26】比较 73+与873-的大 小