高中数学优质课教案—抽象函数分类解析
高中数学优质课教案
--抽象函数问题分类解析
【教学内容】抽象函数问题分类解析
【教学目标】
1、知识目标：
（1）、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；
（2）、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；
（3）、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。
2、能力目标：
（1）、重视基础知识的教学，基本技能的训练和能力的培养。
（2）、逐步培养与提高学生的探索能力，研究能力以及正确地分析问题，解决问题的能力。
（3）、通过教师指导，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神。【教学重点】
抽象函数性质的研究及应用
【教学难点】
抽象函数性质研究中学生思维能力的形成，以及综合应用知识分析问题和解决问题能力的培养与提高。
【教学方法】自主探索，合作交流
【课型】拓展研究课
【教学过程】
一、课题引入：在高考对函数的考察中，经常出现未给出函数解析式，仅给出函数恒等式或函数方程的一类抽象函数推理问题，重点考察考生对函数概念、函数性质的掌握与应用，以及逻辑思维能力和抽象概括能力。由于其具有题型的新颖性、内容的综合性、解法的灵活性、思维的抽象性的特点，因而此类问题已成为高考备考中热点、重点和难点。
二、知识再现：
1、抽象函数关系式相应的函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y)-b。y=ax+b
f(m-x)=f(m+x) y=a(x-m)2+n
f(x+y)=f(x)f(y)（或f(x-y)=f(x)/f(y) ）y=a x(a>0且a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y)（或f(x/y)=f(x)-f(y)）y=log a x(a>0且a≠1)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) y=cosx
2、如何解决抽象函数问题？
利用赋值法, 类比猜测法等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题。
三、抽象函数问题归类与研究。
（一）研究函数性质
例1：定义在R上的函数f(x)满足
f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R) 当x＜0时，f(x)＞0
(1)、判断函数f(x)的奇偶性。(2)、证明f(x)是R上的减函数。
解：（1）令y=-x 得f(x)+f(-x)=f(0) ①
令x=y=0 得f(x)=0 ②
由①②得f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数。
（2）设x1﹤x2则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
∵x1﹤x2
∴x1-x2﹤o
∴f(x1-x2)﹥0
∴f(x1)﹥f(x2)
∴f(x)是R上的减函数。
探究:上述若为选择或填空题，应如何解答？
例２设函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)，并存在正实数c，使f(c/2)=0。试问f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析与思考：f(x)是否为周期函数→能否联想到一个特殊模型→能否依特殊模型猜测周期性→能否依特殊模型的周期及特性猜测f(x)的周期性
解:猜测f(x)是以2c为周期的周期函数。
∵f[(x+c/2)+c/2]+f[(x+c/2)-c/2]=2f(x+c/2)f(c/2)=0
∴f(x+c)=－f(x)
∴f(x+2c)=－f(x+c)=f(x)
故f(x)是周期函数，2c是它的一个周期。
点评：这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类比，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
（二）求参数范围
例３已知函数f(x)对任意x,y∈R有f(x)+f(y)=2+f(x+y)，当
X＞0时，f(x)＞2，f(3)=5，求使得f(a2-2a-2)＜3成立的实数a的取值范围。
分析与思考:如何解不等式f(a2-2a-2)＜3→能否将该不等式具体化→若不能具体化如何解不等式
解：设x1、x2∈R且x1＜x2则x2-x1＞0
∴f(x2-x1)＞2即f(x2-x1)-2＞0
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-2＞f(x1)
∴f(x2)＞f(x1)
故f(x)为增函数，又f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=3f(1)-4=5
∴f(1)=3
∴f(a2-2a-2) ＜3=f(1),即a2-2a-2＜1
∴-1＜a＜3
点评：这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉符号“f”，转化为代数不等式（组）求解，但要特别注意函数定义域的作用。
四、巩固练习：定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，求f(2000)的值。
五、小结
１、研究抽象函数性质的方法与技巧；
２、以抽象函数为载体的参数取值范围的求法
３、注意数学方法（赋值法、迭代法）和数学思想在解题中的渗透。
六、布置作业
高中数学函数解析式求法
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
指数函数及其性质 精品公开课教案
指数函数及其性质 （第一课时） 一、概述 ·指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，它既是函数概念及性质在高中数学的第一次应用，也是今后学习对数函数及其他初等函数的基础，当然指数函数在生活及生产实际中也有着广泛的应用．指数函数及其性质应重点研究. 二、教学目标分析 1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系． 2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和指数函数的图象所过的特殊点． 3．在学习的过程中，要体会研究具体函数及其性质的知识展示过程和思考方法，如从具体到抽象、由特殊到一般的思维过程，特别是运用数形结合的思想研究函数的方法等．4．通过对指数函数的研究，认识到数学的应用价值，激发学习兴趣，善于在现实生活中从数学的角度发现问题，解决问题． 三、学习者特征分析 1．在上一小节，学生学过了有关实数指数幂及其运算性质等知识，将指数幂由整数集推广到了实数集，这为本节学习指数函数的概念打下了学习的基础． 2．学生在前面已经学过了有关函数的概念及其性质的知识，并运用函数图象理解和研究函数的性质.在研究指数函数及其性质时，学生可以类比前面讨论函数性质的思路来研究，由于正在形成运用数形结合的思想方法来研究问题，所以利用指数函数的图象获取指数函数的性质还可能会感到有所困难． 四、教学策略选择与设计 1．把研究抽象函数概念及性质的方法，类比地应用到研究指数函数的概念及性质． 2 3．教学过程中要注意发挥信息技术对学生理解知识的支撑，尽量利用计算器或计算机等创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供数学实验模型． 4．注意渗透和运用一些数学思想方法，如数形结合的数学思想．利用指数函数图象获取指数函数的性质是重点，充分利用函数的图象，让学生发现、概括、记忆函数的性质，提高学生数形结合的能力．
高中数学优质课-对数函数及性质教学设计
高中数学优质课-对数函数及性质教学设计． 》教学设计1 《对数函数及其性质一、教学分析、教学内容1
.教学内容为对数函数的概念、图象及性质本节是学习指数、指数函数和对数的后继内容，作出对数函数的图象以及得到相应根据描点法，对数函数既是指数函数的反函的对数函数性质.也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广数，其研究方法以及研究的泛的重要初等函数之一，有利于进一步加深对函数思问题具有普遍意义.为进后面一步探究函数的综合应想方法的理解，用起到承上启下的作用.2、学生学习情况分析学
对数函数是高中引进的第二个初等函数，生在学习过程中，仍保留着初中生许多学习特能力发展正处于形象思维向抽象思维转折 阶点，由于函数概念十分抽象，段，但更注重形象思维.初中函数教学要求又以对数运 算为基础，同时，这双重问题增加了对较低，学生运算能力较弱，教师必须认识到这一点，教数函数教学的难度.学中要有控制的拔高，关注学习过程.但是只要 2 让学生类比指数函数的研究方法，通过课件演中，示，通过数形结合，让其感受1)a?0log y?x (a? 且a取不同值时反映出不同函数图象，并让学生观
a函数图象的规律.察、发现、归纳出图象的特征、、设计理念3以新课本节课以建构主义基本理论为指导， 针对学生的学习标基本理念为依据进行设计的，对数函数的教学首先要挖掘其与指数的联背景，系，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动合作交流的权交给学生，为他们提供自主探究、机会，改变学生的学习方式.、教学目标4 知识技能 4.1（1）掌握对数函数的
概念、图像及性质.）应用对数函数性质，掌握求简单对数2（型函数定义域的方法；）掌握三种简单的分别比较对数、真数（3 .和底数大小的方法4.2过程与方法 利用指数函数以及性质导出对数函数概念在学习和应用对数函数性质的过和相应的函数， 3 .程中，着重数学思想方法的培养指数函数和对数函数概念1（）类比的思想. 和性质的类比.
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
高中数学教案模板
高中数学教案模板 篇一：高中数学备课模板《空间中的垂直关系》教学计划- 1 -- 2 - - 3 - - 4 - 篇二：高中数学教案模板(1) 课题：三角函数模型的简单应用学校莱钢高中姓名李红一、教学目标：（1）通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法，根据解析式作出图象并研究性质；（2）体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；（3）让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。二、教学重点、难点：重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些问题抽象为三角函数模型。三、教学方法：数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。四、教学过程：（一）课题引入生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。（二）典型例题（1）由图象探求三角函数模型的解析式例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数错误！未找到引用源。．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，做好基础铺垫，让学生带着问题，有目的地参与后续教学活动。解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20?C；（2）从图可以看出：从6～14是y?Asin(?x??)?b的半个周期的图象，∴ T ?14?6?8∴T?16 2 2? ∵T? ? ，∴?? ? 8 30?10?A??10??A?10?2又∵? ∴? b?20??b?30?10?20 ?2? ∴y?10? 8 x??)?20 3? ??)??1， 4 将点(6,10)代入得：∴ 3?3????2k??,k?Z，42 3?3? ， ,k?Z，取?? 44 ∴??2k?? ?3? ∴y?10x?)?20,(6?x?14)。 84 【问题的反思】：①一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围；②与学生一起探索?的各种求法；（这是本题的关键！也是难点！）设计意图：提出问题，有学生动脑分析，
指数函数优秀教案
2.2.2 指数函数教案 教学目标： 1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。 2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。教学重点、难点： 1、重点：指数函数的图像和性质 2、难点：底数a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体 动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。 教学方法：引导观察发现教学法、比较法、讨论法 教学过程： 一、观察感受、事例引入 1. 问：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。首先什么是函数？（生：答略） 2. 函数关系主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个实际的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病
一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程： PPT演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4 个，。如果说我们引入两个变量x—分裂次数，y—细胞 数目，请问我们现在能不能建立y关于x的函数的关系？我们发现分裂次数与细胞数目能够建立一种函数关系：y=2 * x€ N 3. 还有这么一个故事： 有人要走完一段路，第一次走这段路的一半，每次走余下路程的一半，请问最后能达到终点吗？ PPT演示：如果说我们引入两个变量x—次数，y—剩下路程，请问我们现在能不能建立y关于x的函数的关系？我们发现次数与剩下的路程能够建立一种函数关系： 1 * y=（2）x，x € N 4. 学生分组讨论，培养观察能力 问题：我们在前面学习了分数指数幕？请问大家刚才两个函数 能不能输入其它非正整数的数呢？（PPT演示） 1 因此，我们得到了这样两个函数：y=2x和y=（ 2）x x € R 问题：大家还能举出形式和刚才差不多的函数吗？（PPT演示） 大家还能从这些特征中，概括出一个式子来表示它们吗？ 底数大于0且不同，指数均为x x
高中数学优秀教学案例设计汇编(上册)
高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部）
目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）……………………………………………………
21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用………………………………………
高中数学函数的解析式
课题：___函数的解析式___ 教学任务 教 学 目 标 知识与技能目标会求简单函数的解析式 过程与方法目标 学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中 总结简单函数的解析式三种类型及解法。理解掌握 换元法、待定系数法，体会建立数学模型。培养学 生分类讨论的数学思想。 情感,态度与价值 观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创 造，让他们在学习活动中培养独立的分析和建模的能力。 重点理解掌握应用换元法、待定系数法求简单函数的解析式 难点能初步掌握用数学模型解决实际问题，并能注意实际问题中的定义域 教学过程设计 问题与情境 设计 意图 活动1课前热身（资源如下） 1、设 ? ? ? ? ? < = > + = )0 (0 )0 ( )0 (1 ) ( x x x x x fπ，则f{f[f(－1)]}=_______ ___ 2、若一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1，则() f x= 3、已知：) (x f=x2-x+3 ，则 f(x+1) = , f( x 1 )= 4、若 x x x f - = 1 ) 1 (求f(x) = 5、客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙 地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙 地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过 的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）. A. B. C. D. . 从正 反两 种情 况出 发，让 学生 回忆 体会 函数 解析 式用 法和 求法。 活动2类型解法 函数的解析式的几种类型及解法： 1、已知所要求的函数类型（一次、二次、反比例、指对数等）， 利用待定系数法来求； 2、已知复合函数一般用变量代换（换元）法； 3、涉及实际问题求解析式，需建立数学模型即：把实际问题转 化为数学问题。 培 养学 生用 自己 的语 言来 总结 类型 与解 法 活动3提高探究 资源1、求满足下列条件的函数() f x的解析式： ①已知一次函数() f x，满足3(1)2(1)217 f x f x x +--=+. ②若二次函数满足(0)0 f=，且(1)()1 f x f x x +=++ ③设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得 的线段长为2 2. 掌 握利 用待 定系 数法 求解 析式。
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计
《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
高中数学求函数解析式的各种方法
函数解析式 1、已知2(21)42f x x x +=-,求()f x 表达式。 2、已知1()2()23f x f x x +=+，求()f x 表达式。 3、已知2(1)21f x x +=+，求(1)f x -，()f x 。 4、已知23()2()23f x f x x --=-，不求()f x 的解析式，直接求(0)f ，(2)f 。 5、已知2 211()11x x f x x --=++，求()f x 解析式。 6、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对任意的实数x,y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 。 7、若函数2 2()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++。 8、已知函数()x f x ax b =+，(2)1f =且方程()0f x x -=有唯一解，求()f x 表达式。 9、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 。 10、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 11、已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式。 12、已知函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 13、设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 。 14、设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1 1)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式。 15、设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 。 16、已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求()f x 的解析式。 17、已知f （x ＋ x 1）＝x 3＋31x ，求()f x 的解析式。 18、已知函数()f x 是一次函数，且满足关系式3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式。 19、已知2(1)lg f x x +=，求()f x 。 20、已知()f x 满足1 2()()3f x f x x +=，求()f x 。
高中数学必修一教案(全套)(word档)
第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面， 集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月 15 日 8 点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（se t）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共70页）——————————————
3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子， 对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4.关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5.元素与集合的关系； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to）A，记作a?A（或a∈A）（举例） 6.常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…； 例1．（课本例1） 思考2，引入描述法 说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 （2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特 ——————————————第 2 页（共70页）——————————————
高中数学《指数函数(一)》优质课比赛教案设计
指数函数（一） 教学目标： 知识与技能： 理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、底数变化图像的变化规律、中介值）比较大小。 过程与方法： (1). 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生 观察、猜想、归纳、概括的能力。 (2). 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分 类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直 观、严谨的思维品质。 情感、态度与价值观： (1). 体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的 普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激 发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐 趣。 (2). 让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步 培养学生的学习兴趣。 教学重点：指数函数的图像和性质。 教学难点：指数函数的底数a对图像的影响。
教学过程： （一）、概念引入： 1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，以此类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ 2．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的12 ，设该物质的初始质量为1，经过x 年后的剩余质量为y ，你能写出,x y 之间的函数关系式吗？ 1. 2()x y x N +=∈ 2. 1()()2x y x N +=∈ 上述两个函数都是正整数指数函数，但在实际问题中指数不一定都是正整数，比如在实例（2）中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，这就需要对正整数指数函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将正整数指数函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数。 一般地，函数(01x y a a a =>≠且）叫做指数函数，其中x R ∈。 结合指数的运算，引导学生分析为什么规定01a a >≠且，加深学生对概念的理解。 你能举出指数函数的例子吗？ 练习1：判断下列函数是否为指数函数。 （1）3x y -= （2）2y x = （3）23x y += （4）(2)x y =-
人教版高中数学必修一函数解析式的求法大盘点
函数解析式的求法大盘点 函数解析式的求解方法较多，在此，我归纳了几类供大家学习，希望对大家有所帮助。 一． 方程组法 型型和此法主要适用(x) )()()()()(c tx bf x af x c x t bf x af =+=+。 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。 联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。 ，求满足函数例3)(3)(-)(2)-()(2)(,)(,)()(2)()(.1x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f ==????=-=----=-- 。即函数的解析式为得：替换为解析：把。联立方程组，即可解出替换为分析：把的解析式。，求满足函数例)2(31)()2(31)(1 )(2)1()1(2)(,1)(,1)()1(2)()(.2x x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f +--=+--=???? ????-=--=----=-- 点评：方程组法求函数解析式关键是根据所给表达式列出方程组。 )()()()()()()()()()(x f x t c x bf x t af x c x t bf x af x t x x c x t bf x af 即可解出，即替换为型需把???????=+=+=+， ).()()()()()()((x) )()(x f tx c x bf tx af x c tx bf x af tx x c tx bf x af 即可解出，即替换为型需把???=+=+=+
高中数学难点解析教案14 数列综合应用问题
高中数学难点解析 难点14 数列综合应用问题 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. ●难点磁场 (★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =2 2 +t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0. (1)求y =f (x )的表达式； (2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ； (3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n . ●案例探究 ［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5 1 ，本年度当地旅游 业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加4 1 . (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目. 知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点. 错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差. 技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－5 1 )万元，…第n 年投入为800 ×(1－5 1)n － 1万元，所以，n 年内的总投入为 a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑ =n k 1 800×(1－51)k － 1
指数与指数函数教学设计
指数与指数函数教学设计 教学目标： 1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。 2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点、难点： 1、 重点：指数函数的图像和性质 2、 难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体， 动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。 教学方法：引导——发现教学法、比较法、讨论法 教学过程： 一、事例引入 上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。 主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个与医学有关的例子：我们来看一种球菌的分裂过程： 动画演示（某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的函数关系式是： y = 2 x ） （讨论） 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式（指数形式）， 从 函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量， 我们称这种函数为指数函数——点题。 二、指数函数的定义 定义： 函数 y = a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数， x ∈R.。 问题 1：为何要规定 a > 0 且 a ≠1？ （讨论） 回答 ：(1)当 a ＜0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x= 2 1就没有意义； （2）当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时， (3)当 a = 1 时， 函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。 练习：下列那些函数是指数函数（ ）
高中数学《排列与排列数公式》公开课优秀教学设计.docx
《排列与排列数公式》（第 1 课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A 版《数学选修 2-3》第一章第 2 节的第一节课，排列是一类特殊而重 要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出 排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根 据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计 数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的 理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特 征，得出排列的定义，再跟进10 个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排 列的特点， n 个不同的元素，取出 m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础， 为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为 后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让 学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题 是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步 骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题 作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻 辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际 生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的 着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置 密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、 有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜 色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨 论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x
(2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式
新课标高中数学必修解析几何全部教案
百读文库CHENyx2011 woaiwojia直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．