最新《三元一次方程组及其解法》例题与讲解

《三元一次方程组及其解法》例题与讲解

1.三元一次方程及三元一次方程组 (1)三元一次方程：

含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.

(2)三元一次方程组：

①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.如：

??? x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5，???

x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7

等都是三元一次方程组.

②拓展理解：

a.构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；

b.三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.

【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( ).

A.???

x 2－y ＝1，

y ＋z ＝0，xz ＝2

B.?????

1

x ＋y ＝1，

1

y ＋z ＝2，

1z ＋x ＝6

C.???

a ＋

b ＋

c ＋

d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3

D.???

m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0

解析：A ，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有D 符合三元一次概念内涵，故选D.

答案：D

2.三元一次方程组的解

(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，

叫做三元一次方程的解.

和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解.

(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解.它也是三个数.

(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解.

释疑点 检验三元一次方程组的解

三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解.

【例2】 判断???

x ＝2，

y ＝－3，

z ＝－3是不是方程组???

x ＋y －2z ＝5，

2x －y ＋z ＝4，

2x ＋y －3z ＝10

的解.

答：__________(填是或不是).

解析：把???

x ＝2，

y ＝－3，

z ＝－3

代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左

右两边都相等，所以是方程组的解.

答案：是

3.三元一次方程组的解法

(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.

(2)步骤：

①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；

②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；

③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；

④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；

⑤写出三元一次方程组的解.

(3)注意点：

①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；

②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确.

【例3】 解方程组??? x ＋3y ＋2z ＝2，

3x ＋2y －4z ＝3，

2x －y ＝7.

①②③

分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z ，而①，②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解.

解：①×2＋②，得5x ＋8y ＝7，④ 解③，④组成的方程组 ???

2x －y ＝7，5x ＋8y ＝7.

解这个方程组，得???

x ＝3，

y ＝－1.

把x ＝3，y ＝－1代入①，得z ＝1，

所以原方程组的解为???

x ＝3，

y ＝－1，

z ＝1.

4.运用三元一次方程组解实际问题

(1)方法步骤：

①审题：弄清题意及题目中的数量关系； ②设：设三个未知数；

③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；

④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际； ⑤答：回答说明实际问题的答案. 析规律 列三元一次方程组