证券投资组合优化组合习题解答
第二章
1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择：
资产1
市场条件 收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差
8 1/4
资产2
市场条件 收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差
8 1/4
资产3
市场条件 收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差
8 1/4
资产4
市场条件 收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差
8
1/3
求每种资产的期望收益率和标准差。
解答：
1111
16%*12%*8%*12%424
E =++= 10.028σ=
同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033σ=
2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。 证券A
证券B
证券C
时间
价格
股利
价格
股利
价格
股利
1 578 333 1068
2 7598
368
21088
3 3598 0.725
43688
1.35 124
0.40 4 4558 23828
21228
5 2568
386
41358
6 59
0.725 63978
1.35 61418
0.42 7 2608
392
61658
A. 计算每个公司每月的收益率。
B. 计算每个公司的平均收益率。
C. 计算每个公司收益率的标准差。
D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。
E.
计算下列组合的平均收益率和标准差：
1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C
B 、
1.2%
2.94%7.93%
A B C R R R === C 、
4.295%4.176%7.446%
A B C σσσ=== D 、
()()()0.140.2750.77
AB AC BC ρρρ===- E 、
3、已知：
期望收益
标准差
证券1 10% 5% 证券2
4%
2%
在P P R σ-_
空间中，标出两种证券所有组合的点。假设ρ=1 ，-1，0。对于每一个相
关系数，哪个组合能够获得最小的P σ？假设不允许卖空，P σ最小值是多少？
解答：设证券1比重为w1
22222(1,2)1112111,212(1)2(1)w w w w σσσρσσ=+-+-
1ρ= min 2%σ= 10w = 21w =
1ρ=- min 0σ= 12/7w = 25/7w =
0ρ= min 1.86%σ= 14/29w = 225/29w =
4、分析师提供了以下的信息。假设（标准定义）允许卖空。如果无风险借贷利率为5%，最优组合是什么？
协方差
证券 平均收益 标准差 A B C A 10 4 20 40 B 12 10 70 C
18
14
解答：设证券A 占Z1,B 占Z2,C 占Z3
21112123132
2112223232
311322333
()()()F F F E R R Z Z Z E R R Z Z Z E R R Z Z Z σσσσσσσσσ?-=++?-=++??-=++? 得 123796.524.8830.3,,272027202720Z Z Z =
== 因此每个证券投资比例为：X1=95.93% X2=2.99% X3=1.08%
5、考虑下面的数据。假设允许卖空（标准定义），最优组合是什么？并绘出有效边界。
数量
i R
i σ
1 10% 5
2 8 6
3 12
4 4 14 7
5
6 2 6 9 3
7 5 1
8 8 4
9 10 4 10
12
2
0.5ij ρ=，对所有,i j 4F R =%
解答：设分别占比Z1……Z10，联立10个方程式
123456789101234567891012345678910
625151017.557.5 2.51010541536122169312126...8564723444Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z =+++++++++??=+++++++++????=+++++++++?
解为 Z1=-0.082, Z2=-0.246, Z3=0.298, Z4=0.007, Z5=0.404 Z6=0.175, Z7=0.808, Z8=-0.202, Z9=0.048, Z10=2.596 则投资比例为
x1=-6% x2=-18% x3=21.7% x4=0.5% x5=-29.6% x6=12.7% x7=-59% x8=-14.8% x9=3.4% x10=189.1% 有效边界斜率
()P F
p
E R R σ-=4.56
F R =4%
得到有效边界方程为() 4.560.04Rp p E σ=+
第三章
1、考虑下面三项投资。如果2
()(1/2)U W W W =-，哪一项投资最好？
解答：17A E =- 19.75B E =- 47.8C E =- 投资A 最好 2、假设效用函数1/2
()U W W
-=-。第1题中的哪一项投资最好？
解答：0.396A E =- 0.393B E =- 0.447C E =- 投资B 最好 3
如果效用函数是2
()20.04U W W W =-，应选哪一项投资？ 解答：16.08A E = 15.06B E = 投资A 最好
4、考虑第3题中的选择。获得5元收益的概率是1/2，获得12元的概率是1/4。这些概率要如何改变才能使投资者对投资A 和投资B 无偏好差异？ 解答：设结果5的概率为x, 结果12的概率为y ()()()*5*121/4*2016.08
3/4
x U y U U x y ++=???
+=?? 得0.390.36x y =??=?
结果5的概率为0.39 结果12的概率为0.36 5、考虑效用函数1/2
()U W W -=。该函数的绝对和相对风险厌恶系数是什么？
解答：()()3/2
5/21/2,3/4U W W
U W W --'''=-=
绝对风险厌恶系数1
()()3()2W U W A W U W -''=-
='
相对风险厌恶系数()()3
()2
W WU W R U W ''=-=' 6、考虑效用函数()bW
U W ae
-=，a 和b 是常数。假定投资者的偏好是越多越好，并且厌恶
风险，a 和b 的符号是什么
解答：偏好越多越好 ()U W '>0 厌恶风险()U W ''<0
20
bw
bw
abe ab e --?->??0
A 、如果L R 等于５％，按照罗伊安全第一标准，哪一个投资是最优的？
B 、如果α等于１０％，按照卡陶卡安全第一标准，哪一个投资是最优的？
C 、如果L R ＝５％，α＝１０％，按照特尔泽安全第一标准，哪一个投资是最优的？
D 、用几何平均收益率作为标准，哪一个投资是最优的？
解答：
6.8%, 1.83%7%, 1.18%
7.1%, 1.22%
A A
B B
C C E E E σσσ====== A 、max P L P R R σ??
-?
???
0.982,
1.691,
1.72C L
A L
B L
A B
C
E R E R E R σσσ---=== 投资C 最优
B 、{}max L R 1.28L P R R σ=-
0.4496,0.549,0.0554A B C R R R === 投资C 最优
C 、{}
max P R 限制条件
L P R R ≤-1.28*σ 1.28*P L R R σ≥+
A E < 1.28*L A R σ+=0.07364 不满足条件
B E > 1.28*L B R σ+=0.065104
C E > 1.28*L C R σ+=0.07364 投资C 最优
D 、
0.20.30.40.10.1
0.3
0.2
0.3
0.1
0.40.30.20.1(14%)(16%)(18%)(110%)10.0678
(15%)(16%)(17%)(18%)(19%)10.0699(16%)(17%)(18%)(110%)10.079
A B C R R R =++++-==+++++-==++++-=
投资C 最优
第四章 市场均衡状态下的资本资产定价模型
1． 假设下列资产是按照证券市场线准确定价的。请推导出证券市场线；并求贝塔为2时资
产的期望收益率是多少？
R ——
1=6% β1=0.5 以及 R ——
2=12% β2=1.5
解答：由证券市场线：()i f i M f R R R R β=+-，联立资产1和资产2，可得方程组：
6%0.5()
12% 1.5()f M f f M f R R R R R R ?=+?-??
=+?-??
求出 3%f R =，6%M f R R -= 即证券市场线为：0.030.06i i R β=+? 当β＝2时代入，可得资产的期望收益率为15%
2． 假设给定以下证券市场线。假设分析师已经估计出两只股票的贝塔值：βx =0.5，βy =2。
如果两只股票值得购买，它们的期望收益率必须是多少？
R ——
i =0.04+0.08βi
解答：将股票X 和Y 的贝塔值代入CAPM ，可得 R ——
x =0.08 R ——
y =0.2
3． 考虑下面的CAPM 。在无风险利率之上的市场的超额收益率是多少？无风险利率是多少？
R ——
i =0.04+0.10βi
解答：由 CAPM 模型，可知无风险利率为0.04，在无风险利率之上的市场超额收益率为0.1。
4. 写出问题3的以价格表示的CAPM 。
解答： 因为市场资产组合M 的β值为1，由问题3可知市场组合的收益率为0.14，，也即
0.14M M
M M Y P R P -=
=，推出 1.14M M Y P =，代入以资产价格表示的CAPM ： 2
(,)1()1()i M i M i M F M F
M Cov Y Y P Y Y P R P R Y σ??=
---??+?
?，得到 2(,)10.11.04()i M i i M M Cov Y Y P Y P Y σ?
?=
-??
???
5. 假设有以下的均衡方程。如果零贝塔模型成立，零贝塔组合的收益率以及市场收益率是
多少？
R ——
i =0.04+0.10βi
解答：零贝塔组合的收益率以及市场收益率分别是0.04和0.14
6. 标准型CAPM 可以用价格形式表示。零贝塔模型的价格表示形式是什么？ 解答：通过标准型CAPM 的价格表现形式：
2
(,)1
()1()i M i M i M F M F
M Cov Y Y P Y Y P R P R Y σ??
=
---??+??
，将F R 替换为()Z E R ，即得零贝塔CAPM 的价格表现形式：
2(,)1
(())1()()i M i M i M Z M Z M Cov Y Y P Y Y P E R P E R Y σ??=
---?
?+??
7. 根据下面的条件：
R ——
M =15和δM =22； R ——
Z = 5和δz=8；以及R F =3
在期望收益—标准差空间上画出最小方差曲线和有效边界。要求标出所有关键点的坐标。画出证券市场线。 解答：由题意，可得：
允许无风险借贷时，证券市场线为R f －M ：()0.030.12T i E R β=+，有效边界为直线
R f -T ；
不允许无风险借贷时，证券市场线为E(R Z )－M ：()0.050.1T i E R β=+，有效边界为E(R z )-M ；
允许无风险贷出，不允许无风险借入时，证券市场线为R f -M-C ，有效边界为R f -T 以及曲线T-M-C 。
见书P93—94页，图4—10和4—11
8. 如果R ——
M =15%，R F =5%。并且允许无风险贷出资金，但不允许无风险借入资金，在期望收
益—标准差空间上勾画出有效边界的形状。在期望收益—贝塔空间上画出证券市场线及所有组合的轨迹。标出所有的点，并解释这么画的理由。解答：由题意，可得： 有效边界为R f -T-M-C ； 证券市场线为R f -T 和T-C 。 见书P93—94页，图4—10和4—11
9. 假设下面的双因素模型描述了收益：
R i =a i +b i1I 1+b i2I 2+e i 假设观察到以下三个组合：
求出描述均衡收益的平面的方程。
解答：将组合A 、B 、C 的数值代入双因素模型，得：
121212()0.512
()30.213.4()30.512
A i
B i
C i E R I I E R I I E
R I I ααα=++=??
=++=??=+-=?
12
10
12i I I α=??
=??=? 即平面方程为：12()102i i i E R b b =++
10. 利用问题9的结果，说明如果有一个组合D 具有下列观察到的性质，就存在套利机会：
R ——
D =10 b D1=2 b D2=0
解答：将组合D 的1i b 和2i b 代入题9的方程，得
()1210D E R =＞
表明组合D 的价格被高估，可以卖空组合D 进行套利。
11. 如果观察到的三个组合具有以下性质，重复第一个问题： 解答：同题9，得联立方程组：
121212()12
() 1.5213()0.5317
A i
B i
C i E R I I E R I I E R I I ααα=++=??
=++=??=+-=?
12
8
62i I I α=??
=??=-? 即平面方程为：12()862i i i E R b b =+-
12. 利用问题11的结果，说明如果有一个组合D 具有下列观察到的性质，就会存在套利机
会：
R ——
i =15 b i1=1 b i2=0
解答：将组合D 的1i b 和2i b 代入题11的方程，得
()1415D E R =＜
表明组合D 的价格被低估，可以买入组合D 进行套利。 第五章 单指数与多指数模型
1、下表列出了三个股票和S&P 指数在一个12个月的期间内月收益数据（已根据股利修正）。
月
A
B C S&P 1 12.05 % 25.20 31.67 12.28 2 15.27 2.86 15.82 5.99 3
-4.12
5.45
10.58
2.41
4 1.57 4.56 -14.43 4.48
5 3.1
6 3.72 31.98 4.41 6 -2.79 10.79 -0.72 4.43
7 -8.79 5.3
8 -19.64 -6.77 8 -1.18 -2.97 -10.00 -2.11
9 1.07 1.52 -11.51 3.46 10 12.75 10.75 5.63 6.16 11 7.48 3.79 -4.67 2.47 12
-0.94
1.32
7.94
-1.15
请计算：
（1） 每只股票的ai 和每只股票的i β （2） 每个回归残差的标准差
（3） 每个证券与市场组合之间的相关系数 （4） 市场组合平均收益和市场组合方差 解答：（1）每只股票的i α和i β
12
A,t
t 1A r
r 2.961%12
==
=∑；12
B,t
t 1
B r
r 6.031%12
==
=∑； 12
C,t
t 1
C r
r 3.554%12
==
=∑
?12
,A ,M 1
12
2
,M 1
(r )(r )
1.176(r )A t
M t t A
M t
t r
r r
β==--==-∑∑；同理，?B 1.021β=；?C
2.321β= ?0.57%A A A M r r αβ=-=-； 2.964%B α=；
3.42%C α=- 特征方程： 特征线：
0.57% 1.1762.964% 1.0213.42% 2.321A M i
B M i C
M i r r e r r e r r e
=-++??
=++??=-++?
μμ
μ
0.57% 1.1762.964% 1.0213.42% 2.321A M
B M C
M r r r r r r ?=-+??=+??=-+?? （2）每个回归残差的标准差：,i t i i i m e r r αβ=--，将以上数值代入，可得
A 中：,1 1.822%A e =-；,28.798%A e =；,3 6.381%A e =-；,4 3.126%A e =-； ,5 1.454%A e =-；,67.427%A e =-；,70.252%A e =-；,8 1.876%A e =； ,9 2.426%A e =-；,10 6.078%A e =；,11 5.148%A e =；,120.987%A e = 因此： 4.884%A e =。
B 中：,19.704%B e =；,2 6.217%B e =-；,30.026%B e =；,4 2.976%B e =-； ,5 3.745%B e =-；,6 3.305%B e =；,79.325%B e =；,8 3.781%B e =-； ,9 4.975%B e =-；,10 1.499%B e =；,11 1.695%B e =-；,120.470%B e =-
因此： 5.205%B e =
C 中：,1 6.584%C e =；,2 5.336%C e =；,38.467%C e =；,421.408%C e =-； ,525.164%C e =；,67.582%C e =-；,70.502%C e =-；,8 1.68%C e =-； ,916.12%C e =-；,10 5.248%C e =-；,11 6.962%C e =-，,1214.032%C e = 因此：12.89%C e =。
（3）由相关系数：μ·μμμμ12
,,1
,()()(,)i t
i M t M t i M
i M
i M
r
r r r Cov
i M ρσσσ
σ=--==
∑，可得
μ,0.755A M ρ=；μ,0.684B M ρ=；μ,0.652C M
ρ= （4）市场组合的平均收益：12
,1
3.005%12
M t
t M r
r ==
=∑；
市场组合方差：μ12
2
,2
1
()0.00228121
M t
M t M r
r σ=-=
=-∑
2、A 、计算问题1中每只股票的期望收益和收益的方差，使用： （1）单指数模型 （2）历史数据
B 、计算可能的每对股票间的协方差，使用：
（1）单指数模型 （2）历史数据
C 、在每只股票上投入资金的三分之一，计算这种组合的收益和标准差，使用： （1）单指数模型 （2）历史数据 解答：
A 、计算期望收益和方差
（1）由单指数模型：μi A i M r r αβ=+以及μ222i i M ei σβσσ=+，可得：
2.961%A r =； 6.031%B r =；
3.554%C r =
20.00554A σ=；20.00508B σ=；2
0.02891C σ=
（2）由历史数据，可得：
2.961%A r =； 6.031%B r =；
3.554%C r =
并代入μ12
2
,21
()121
i t
i t i r
r σ=-=
-∑，得
20.00554A σ=；20.00508B σ=；2
0.02891C σ=
B 、计算协方差
（1）由单指数模型：μ?2
ij i j M σββσ=，可得：
0.0027AB σ=；0.0054BC σ=；0.0062AC σ=
（2）由历史数据：12
,,1
()()(,)11
i t
i j t j t r
r r r Cov i j =--=
∑，可得：
(,)0.0020Cov A B =；(,)0.0059Cov B C =；(,)0.0067Cov A C = C 、每只股票分别投入资金的三分之一，计算收益和标准差：
1
() 4.182%3
P A B C r r r r =++=
8.7%P σ=
=
3、给定以下数据：2
10m σ=%
A 、假设不允许卖空，如果5%F R =，求最优组合。
B 、假设允许卖空，如果5%F R =，求最优组合。
C 、假设允许卖空，但禁止无风险借贷，求最优组合。 解答：
A ：（1）计算单位风险报酬排序：
（2）计算C i
可知：*
max 4.71i C C ==，组合包括证券1和6
（3）计算最优资产组合比例
11
(10 4.7)0.176730
Z =-=、同理，60.1953Z =； 1
116
47.5%Z X Z Z =
=+；同理，652.5%X =。但禁、39.5%X =-、4 6.46%X =-、
5 2.22%X =-、650.3%X =。
第七章
1、
根据下表，一价定律是否成立？如果不成立，投资者应该采取什么行动？
解答：A ：2
111001100
9701(1)k k =
+++ 1k =11.77% B ：2
22801080
9361(1)
k k =
+++ 2k =11.78% C ：2
33901090
9801(1)k k =
+++ 3k =10.16% 一价定律不成立，投资者可买入债券A 或B ，卖出债券C 。 2、
假定一个债券每年的现金流量为100元，5年后支付本金为1000元，现价为960美元。
求：A|、它的当期收益率。B 、它的到期收益率。 解答：A ：当期收益率=100/960=10.42% B ：到期收益率 5
5
1
1001000
960(1)(1)t k k ==+++∑ k=11.1% 3、
根据下列债券的价格，计算即期利率和远期利率。
012023034041000(1)9601000
(1)920
1000
(1)8851000
(1)855S S S S +=
+=
+=
+=
01020304 4.17%4.23%4.16%4%
S S S S ====
远期利率
2
021201
2
032302
2
043403
(1)(1)1(1)(1)1(1)
(1)1S f S S f S S f S ++=
+++=+++=
+ 122334 4.3%
4.02%3.5%f f f ===
4、
根据下表的现金流量，一价定律是否成立？如果不成立，债券C 的价格应该是多少才能
使其成立？
解答：三个债券的到期收益率不等，一价定理不成立。 债券B 011100
880(1)
S =
+ 01S =0.25
债券A 2
02801080
98210.25(1)
S =
+++ 02S =0.0847
债券C
2
010********
10471(1)S S +=++
债券C 的价格为1047时一价定律成立。 5、
给定下列数据，各期以年为单位，且征收资本利得税。任何资本利得和损失都在债券到
期时确认。如果资本利得税是15%，一价定律是否成立？
解答：三个债券的税后到期收益率不等，一价定理不成立。 由：债券B 资本利得税=（1000-900）*15%=15 01110015
900(1)
S -=
+ 01S =20.56%
债券A 资本利得税=（1000-985）*15%=2.25
2
02801080
98510.2056(1)S =
+++ 02S =8.31%
债券C 不交资本利得税
2
010********
10541(1)
S S +=++ 一价定理成立。 6、
一个公司的股票刚刚支付了0.5元的股利，并预期直到无穷期的股利增长率是10%。如
果投资者的预期收益率是14%，股票的现价应该是多少？
1010.5(110%)
13.75114%10%
D P k +=
==+-元 7、
一个公司的股票预期下一期的股利是1元，保留利润率是50%。新追加投资预期产生20%
的收益，投资者的预期收益率是12%，其合理的市场价格是多少？如果该股票目前市场价格是30元，其内含的投资回报率是多少？
解答：1101
5012%50%*20%
D D P k g k rb =
===---元 1
13.33%D k rb P =
+= 8、
一个公司的股票近期支付了0.5元的股利，预计在今后五年内股利增长率保持在10%，5
年之后公司长期增长率将保持在6%。预期公司在第5年末的股利支付比率将从现在的30%提高到50%。投资者的预期收益率是12%，你认为公司股票合理的市场价格应是多少？ 解：k=12%
6234501010101012
023455
(1)(1)(1)(1)(1)*5/31(1)(1)(1)(1)(1)D D g D g D g D g D g k g P k k k k k k +++++-=+++++++++++
=16.12元 9、
假定在上一问题中，预测该公司从第五年开始，它的利润增长率在4年内线性递减，最
后达到稳定的长期增长率6%。假定股利支付比率一直保持在30%，直到第8年末变为50%。公司股票合理的市场价格应是多少？
解答：k=12% g1=10% g2=9% g3=8% g4=7% g5=6%
144012012300156
1440123401234585788
511()(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1
*
(1)(1)(1)g D g g D g g g k P D g k g k k D g g g g D g g g g g D g k k k g k +?
?-??++++++=++++??-++????
++++++++++++++-+=15.5元
第八章
1、 根据以下数据，如果不考虑交易成本如何进行套利？交易成本为多少时会使 套利无效？
Ａ．６个月标准普尔指数期货合约 ２００美元 Ｂ．标准普尔指数现值 １９０美元 Ｃ．６个月利率 ６％ Ｄ．标准普尔指数６个月发放的股利现值 ４美元
解答：
200
188.68 116%
()1904186 F
r
P PV D
==
++
-=-=
期货价格过高，应买入指数基金，并出售国库券和股指期货
交易成本=188.68-186=2.68
2、日元对美元的即期汇率是１２０日元兑１美元，一年期的期货价格是１１５日元兑１美元。假设利率平价成立，如果日本一年期利率为４％，那么美国的一年期利率应是多少？解答：R=（1+4%）/115*120-1=8.52%
2、假定你管理一个债券组合，价值１亿元，由２０年期的公司债券组成。如果你想持有一
年期的公司债券，而且假设你可以使用任何期货合约，设计一种利用期货合约完成这种转换的策略。
解答：卖出一年期的公司债券，1年后该债券可用于交割。这样该债券就从长期债券转为期限仅为1年的债券。
4、作为公司的财务主管，你计划发行价值４０００万元的１０年期债券。但你
预期现在距发行还有三个月的时间而且利率会上升。你想锁定当前的利率水平。如何利用期货合约达到这一目的？
解答：想要出售长期债券可以卖出一份同样金额的长期政府债券的期货，来消除利率变动引起的风险。这样一来，公司实际上锁定了即期利率水平。
5、考虑购买两个看跌期权和一个看涨期权。假定看涨期权价格为5元，看跌
期权价格为6元，两种期权的执行价格都是50元。画出到期时这一组合的损益对股票价格的图形。
答、
6、利用布莱克-斯科尔斯公式计算下面看涨期权的价值。股票现在价格为95
元，股票收益率的标准差为0.6，看涨期权的执行价格为105元，8个月后到期，连续复合的无风险利率为8%。
解答：12()()16.64rT
C SN d Xe N d -=-=
7、假设一股票现在价格为25元，股票收益率的标准差为0.25，期权的执行价格 为22元，5个月后到期，连续复合的无风险利率为5%。
A 、 如果该期权为欧式看涨期权，求该期权的价格。
B 、 如果该期权为美式看涨期权，求该期权的价格。
C 、 如果该期权为欧式看跌期权，求该期权的价格。
D 、 如果该期权为美式看跌期权，求该期权的价格。
解答：A ：欧式看涨 12()()rT
C SN d Xe N d -=-=3.8061
B ：美式看涨 C=3.8061
C ：欧式看跌 0.3526rT
P C S Xe -=-+=
D ：美式看跌
rT rT
S X C P S Xe C S Xe
P C X S
---<-<--+<<+-
0.3633 8、某公司准备向其股东配售股票，每两股配售一股。公司股票的现价为12元，配售价格9元。（1）已知年无风险收益率（连续复利收益率）为15%，公司股票市场价格的均方差为40%，股票配售期30天。请利用布莱克-斯科尔斯期权定价模型测算配股权上市交易时的价格。 解答：S=（12*2+9）/3=11元 X=9元