模拟有源滤波器设计的MATLAB实现

摘要

本文阐述了滤波器的基本概念，介绍了模拟有源滤波器的设计原理和逼近理论。其中包括巴特沃思逼近、切比雪夫I型逼近、切比雪夫Ⅱ型逼近、椭圆函数逼近和贝塞尔逼近。并研究了模拟有源滤波器的设计流程及性能测试。

综合了传统的硬件设计方法与软件编程技术,由MATLAB仿真出了各种滤波器逼近技术的幅频特性曲线并进行了实例分析。对巴特沃思滤波器实例的研究仿真，由程序快速的得到了最小阶数和截止频率，取代了传统繁复的计算；方便的实现了由模拟低通滤波器向高通、低通和带阻滤波器的转换；对四运放复杂电路进行了设计仿真，通过求取其不同点的输出传递函数，模拟了二阶低通、高通、带通和带阻滤波器的幅频特性曲线并得到了较好的仿真结果。

关键词：模拟有源滤波器；逼近理论；幅频特性；MATLAB程序设计

ABSTRACT

This paper describes the basic concepts of filters introduced analog active filter design principles and approximation theory. Including Butterworth approximation, Chebyshev type I approximation, Chebyshev Ⅱ type approximation, elliptic function approximation and Bezier approximation. The first author studied the analog active filter design process and performance testing.

Combines the traditional hardware design methods and software programming techniques，the MATLAB simulation of a variety of filter approximation technique of amplitude-frequency characteristic curve and an illustrative example. Butterworth filter instance on simulation studies, by the program to quickly get the minimum order and the cutoff frequency, replacing the traditional complex calculations; conveniently achieved by the analog low-pass filter to the high-pass, low-pass and band-stop filter the conversion; complex on quad op amp circuit design simulation, through its different points strike output transfer function to simulate the second-order low-pass, high pass, band pass and band-stop filter frequency characteristic curve and get better simulation results.

Keywords:Analog and Active Filter;Theory of Approximation,Amplitude-frequency characteristics，MATLAB program design

Compiling and organizing data

After you have established the purpose of the report, you need to compile and organize the information needed to support it. The gathering of infor mation may have given you a lot of materials, but you need to be a firm editor and retain only the essential data and throw out the rest.

Consider your readers, and think about how much background information they will need.

Writing the report

A report consists of five parts: title, introduction, findings, conclusion and recommendations.

1. Title

This should run no longer than one line.

2. Introduction

This tells the reader what the purpose and objective of the report are. It might also give the reader some background information on the subject.

The purpose/objective/aim of this report is to...

This report aims to/is intended to...

3. Findings

This is the main part of the report. It tells the reader what you have found in your information gathering.

It is important to differentiate between fact and opinion. Which of the following phrases report facts and which report opinions?

We found that... (could be both fact and opinion)

It clearly shows that... (fact)

It was found that...(fact)

We discovered that...(fact)

We observed that...(opinion)

There is evidence that...(fact)

4. Conclusion

This part tells the reader about the results of the report based on the findings.

It's concluded/decided/agreed/felt that...

It can be seen that...

In conclusion...

No conclusions were reached regarding?...(关于......一事未得出任何结论)

We can conclude that...

5. Recommendations

Finally, recommendations are made on what future actions need to be taken.

Based on our findings, we (would) recommend that...

It is recommend-ed/proposed/suggested that?...

It seems to me that...

title, introduction, findings, conclusion and recommendations.

1 Introduction

滤波是信号处理的一种最基本而重要的技术，利用滤波可从复杂的信号中提取所需要的信号，抑制不需要的部分。所谓滤波器是具有一定传输特性的信号处理装置。根据滤波器所处理的信号不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器两类。模拟滤波器在测试系统或专用仪器仪表中是一种常用的变换装置。例如：带通滤波器用作频谱分析仪中的选频装置；低通滤波器用作数字信号分析系统中的抗频混滤波；高通滤波器被用于声发射检测仪中剔除低频干扰噪声；带阻滤波器用作电涡流测振仪中的陷波器，等等。与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处理。或者说，把输入信号变成一定的输出信号，从而达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一般可以用两种方法来实现：一种方法是用数字硬件装配成一台专门的设备，这种设备称为数字信号处理机；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运算编成程序让通用计算机来完成，即利用计算机软件来实现。

本论文首先介绍了滤波器的滤波原理以及模拟滤波器设计方法。重点介绍了模拟滤波器的设计和仿真。系统研究了模拟滤波器（包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆函数滤波器和贝塞尔滤波器）的设计原理和方法，并在此基础上论述了模拟滤波器（包括低通、高通、带通、带阻）的设计。在此基础上，用MATLAB虚拟实现模拟滤波器。此设计扩展性好，便于调节滤波器的性能，可以根据不同的要求在MATLAB上加以实现。通过MATLAB的仿真与实现，可以看出传统的模拟滤波器设计方法繁琐且不直观，而MATLAB具有较严谨的科学计算和图形显示这一优点，使设计结果显示的更加直观，而且对滤波器的精度也有了很大的提高，能更好的达到预期效果。同时，又对模拟滤波器低通至高通、带通、带阻的转换进行了理论上的阐述。

2 滤波器的基本概念

2.1 滤波原理

滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。在测试装置中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。

广义地讲，任何一种信息传输的通道（媒质）都可视为是一种滤波器。因为，任何装置的响应特性都是激励频率的函数，都可用频域函数描述其传输特性。因此，构成测试系统的任何一个环节，诸如机械系统、电气网络、仪器仪表甚至连接导线等等，都将在一定频率范围内，按其频域特性，对所通过的信号进行变换与处理。

按照滤波器处理信号的性质分为，模拟滤波器和数字滤波器。本文所述内容属于模拟滤波范围。主要介绍模拟滤波器（连续时不变系统）原理、种类、数学模型、主要参数、ＲＣ滤波器设计。尽管数字滤波技术已得到广泛应用，但模拟滤波在自动检测、自动控制以及电子测量仪器中仍被广泛应用。

2.2 滤波器分类

2.2.1 根据滤波器的选频作用分类

⑴低通滤波器

从c 0~ω频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于c ω的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f 2的频率成分受到极大地衰减。

图1 低通滤波器 图2 高通滤波器 ⑵高通滤波器 与低通滤波相反，从频率c ~ω∞，其幅频特性平直。它使信号中高于c ω的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于c ω的频率成分将受到极大地衰减。

⑶带通滤波器

它的通频带在~CL CN ωω之间。CN ω它使信号中高于而低于CL ω的频率成分可

以不受衰减地通过，而其它成分受到衰减。

⑷带阻滤波器

与带通滤波相反，阻带在频率~CL CN ωω之间。它使信号中高于CL ω而低于

CN ω的频率成分受到衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。

图3 带通滤波器 图4 带阻滤波器 低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器，例如：低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器，低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器。

图5低通滤波器与高通滤波器的串联 图6低通滤波器与高通滤波器的并联

2.2.2 根据“最佳逼近特性”标准分类

⑴ 巴特沃斯滤波器 从幅频特性提出要求，而不考虑相频特性。巴特沃斯滤波器具有最大平坦幅度特性，其幅频响应表达式为： 221

()1()n

c H ωωω=+ （1）

n 为滤波器的阶数；w c 为滤波器的截止角频率，当w=w c 时，|H(w c )|2=1/2,所

以，w c 对应的是滤波器的-3db 点。巴特沃思低通滤波器是以巴特沃思函数作为

滤波器的传递函数H(s)，以最高阶泰勒级数的形式逼近滤波器的理想矩形特性。

⑵切比雪夫滤波器

切贝雪夫滤波器也是从幅频特性方面提出逼近要求的，其幅频响应表达式

为： 2221

()1()n c H T ωωεω=+ （2）

ε是决定通带波纹大小的波动系数，0<ε<1，波纹的产生是由于实际滤波网络中含有电抗元件；w c 是通带截止频率，T n 是n 阶切贝雪夫多项式。

与巴特沃斯逼近特性相比较，这种特性虽然在通带内有起伏，但对同样的n 值在进入阻带以后衰减更陡峭，更接近理想情况。ε值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值也越小，但进入阻带后衰减特性变化缓慢。切贝雪夫滤波器与巴特沃斯滤波器进行比较，切贝雪夫滤波器的通带有波纹，过渡带轻陡直，因此，在不允许通带内有纹波的情况下，巴特沃斯型更可取；从相频响应来看，巴特沃斯型要优于切贝雪夫型，通过上面二图比较可以看出，前者的相频响应更接近于直线。

⑶贝塞尔滤波器

只满足相频特性而不关心幅频特性。贝塞尔滤波器又称最平时延或恒时延滤波器。其相移和频率成正比，即为一线性关系。但是由于它的幅频特性欠佳，而往往限制了它的应用。

2.2.3 按滤波器元件性质

无源滤波器(R 、L 、C)

有源滤波器(含运放)

3 模拟有源滤波器的设计原理

3.1 信号无失真传输的条件

信号)(t f 通过一个系统，其响应)(t y 若不失真，则这个系统称为无失真传输系统。实际中常常需要无失真传输系统，例如，高保真音响系统、示波器等。无失真传输系统对输入信号)(t f 的响应)(t y 应是)(t f 的准确的复制品，或者说两者的大小和出现的时间可以不同(见图7 a 、b)，但它们的波形变化规律应相同，即

)()(0t t Kf t y -= （3） 式中K 、0t 为常数，K 是系统增益，0t 为延迟时间。上式可以改写为

)(*)()(0t t K t f t y -=δ （4） 这说明无失真传输系统的单位冲激响应为

)()(0t t K t h -=δ （5） 对上式进行傅里叶变换，则有 )()()(0ω?ωωωj t j e j H Ke j H ==- （6） 由上式可知，无失真传输系统应满足下面两个条件：

(1) 幅频特性 K j H =)(ω （7）

即系统增益为一个常数K ，与信号频率无关，如图7(c)所示。

(2) 相频特性

0()t ?ωω=- （8） 即系统的相位和与信号频率成正比，如图7(d)所示。

(c) (d)

图7 无失真传输系统

实际系统，幅频特性和相频特性均不满足无失真传输系统的两个条件。工程上，只要信号在占有的频率范围内，系统的幅频特性和相频特性基本上满足无失真传输系统的两个条件，就可以认为是无失真传输系统了。

3.2 理想滤波器的特性

滤波器是一个选频装置。理想滤波器应能无失真地传输有用信号，而又能完全抑制无用信号。有用信号和无用信号往往占有不同的频带。信号能通过滤波器的频带称为通带(Passband)。信号被抑制的频带称为阻带（Stopband ）。理想滤波器频率特性可写为：

()???=在阻带内，

在通带内0,d t j Ke j H ωω 但通过后面的讲解我们会知道理想滤波器是物理不可实现系统。实际滤波器的频率特性只能“逼近”理想滤波器。图 8为低通滤波器的幅频特性示意图。

图8 低通滤波器的幅频特性示意图

可见，滤波器的幅频响应在通带内不是完全平直的，而是呈波纹变化；在阻带内，幅频特性也不为零，而是衰减至某个值；在通带和阻带之间存在一个过渡带，而不是突然下降。通常，实际设计要求滤波器的技术指标包括通带波纹Rp(Passband ripple)(dB)、阻带衰减(Stopband attenuation)(dB)、通带边界频率p ω、阻带边界频率s ω、过渡带宽()p s ωω-。

滤波器的通带波纹Rp 为相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越少说明通带越平直，滤波器的滤波效果越好（通常为1-5dB ）。滤波器的阻带衰减Rs 也是相对于频率响应最大点（一般为1）的下降，因此下降越多说明信号在阻带内越不容易通过，因此滤波效果越好(通常要大于15dB)。过渡带宽越窄，滤波器的频率特性越接近于直角矩形特性，滤波效果也越好。

3.3 模拟滤波器传递函数设计原理

模拟滤波器的设计理论通常在Laplace 域内进行讨论，本节内容我们只讨论其应用。模拟滤波器的技术指标可由平方幅值响应函数()()22ωω

j H A =形式给出，而()2ωj H 和传递函数H(s)存在下面关系：