人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测题(有答案解析)(1)
一、选择题
1．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ?∈，12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，则有（ ）
A ．()()()192120211978f f f =<
B ．()()()192119782021f f f <<
C ．()()()192120211978f f f <<
D ．()()()202119781921f f f <<
2．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ??-->??恒成
立，设1,(2),(3)2a f b f c f ??
=-== ???
，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
3．设函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，1
()2x f x -=，若32a f ?=?
???
，()30.5b f -=，()6
0.7c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>
D ．c b a >>
4．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，
()3f x <，则下列说法不正确的是（ ）
A ．()()6f x f x +-=
B ．()y f x =在R 上单调递减
C ．若()10f =，()
()2
2190f x x f x ++--->的解集()1,0-
D ．若()69f =-，则123
164f ??= ???
5．已知幂函数2
242
()(1)m
m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x
g x t =-，任意
1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）
A ．128t <<
B ．128t ≤≤
C ．28t >或1t <
D ．28t ≥或1t ≤
6．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1
()2
f -的值为（ ）
A ．52
- B ．32
- C ．
32 D ．
52
7．设函数()f x 的定义域为R ，()()112
f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若
存在[),x m ∈+∞，使得()3
64
f x =有解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2
??-∞ ??
?
B ．3,2
??-∞ ??
?
C ．9,4
??-∞ ??
?
D ．11,
4??-∞ ???
8．若定义在R 的奇函数()f x 在(],0-∞单调递减，则不等式()()20f x f x +-≥的解集为（ ） A ．(],2-∞
B ．(],1-∞
C ．[)1,+∞
D ．[)2,+∞
9．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-
D ．(4)(0)(4)f f f <<-
10．已知“函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数
()y f x a b =+-是奇函数”，现有函数：①1224x y x -=
-；②1(2)|2|2
y x x x =--+；③()3
21y x x =+--；④233
2
x x y x -+=-，则其中有相同对称中心的一组是（ ）
A ．①和③
B ．①和④
C ．②和③
D ．②和④
11．函数()ln x x
x
f x e e
-=
-的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当(]2,4x ∈时，
224,23,()2,34,x x x f x x x x ?-+≤≤?
=?+<≤??
，()1g x ax =+，对(]12,0x ?∈-，2[2,1]x ?∈-，使得
()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．11,,88?
???-∞-?+∞ ???????
B ．11,00,48????
-
? ?????? C ．(0,8]
D ．11,,4
8????-∞-+∞ ??
??
?
??
13．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （a
b ），有
()()0f a f b a b -<-，则不等式()
202
f x x -<-的解集是（ ）
A ．()()1,12,-+∞
B ．()(),13,-∞-+∞
C ．()
(),13,-∞+∞ D ．()
(),12,-∞-+∞
14．函数f (x )＝2
11x --的值域为( ) A ．[－
43,43
] B ．[－43,0] C ．[0,1] D ．[0,
43
] 15．函数3e e x x
x
y -=
+（其中e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
二、填空题
16．设()x
f x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.
17．函数24
x
y x =
+的严格增区间是_____________. 18．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，
3
()24
x f x =-，则12(log 25)f =________．
19．设函数()()3
33f x x x x R =-+∈.已知0a >，且()()()()2
f x f a x b x a -=--，
b R ∈，则ab =______.
20．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.
(1)在坐标系中画出函数()f x 在R 上的完整图象； (2)求函数()f x 在R 上的解析式.
21．设211()2,21x
x f x x x
=+
-∈+R ，则使得(32)(2)f x f x -<成立的x 的取值范围为____________________.
22．函数()21log f x x
=-___________.
23．定义在()1,1-上的函数()3sin f x x x =--，如果()()
2
110f a f a -+->，则实数
a 的取值范围为______.
24．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，
()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-，则m 的取值范围是_______
参考答案
25．函数()ln f x x x x =+的单调递增区间是_______． 26．已知函数24
2
1()3
49x x f x +-=-
+，则(21)(2)8f x f x -++>的解集为__．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小. 【详解】
()()22f x f x -=-+，()()4f x f x ∴+=-，即()()8f x f x +=， ()f x ∴的周期8T =，
由条件可知函数在区间[]0,4单调递增，
()()()1921240811f f f =?+=，
()()()()()202125285533f f f f f =?+==-=， ()()()1978247822f f f =?+=，
函数在区间[]0,4单调递增，()()()123f f f ∴<<， 即()()()192119782021f f f <<. 故选：B 【点睛】
结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含
()()f x a f x +=，则函数的周期是a ，若函数()()f x a f x +=-，或
()()
1
f x a f x +=
，则函数的周期是2a ，或是()()f x a f x b -=+，则函数的周期是b a +. 2．A
解析：A 【分析】
由题知函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，故
15(2)(3)22b f a f f c f ????
=<=-=<= ? ?????
，所以b a c <<.
【详解】
解：因为当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ??-->??恒成立， 所以函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，
由于函数(1)f x +是偶函数，故函数(1)f x +图象关于y 轴对称， 所以函数()f x 图象关于直线1x =对称， 所以1522a f f ????
=-= ? ?????
， 由于5
232
<
<，函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 所以15(2)(3)22b f a f f c f ????
=<=-=<= ? ?????
. 故选：A. 【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得函数()f x 图象关于直线1x =对称，在区间()1,+∞上单调递增，再结合函数对称性与单调性比较大小即可，考查化归转化思想与数学运算求解能力，是中档题.
3．B
解析：B 【分析】
由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2，再利用周期和偶函数的性质将32a f ?=?
???
，()30.5b f -=，转化使自变量在区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较
大小 【详解】
解：因为(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，
因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数， 所以331122222a f f f f ????????
==-=-=
? ? ? ?????????
， ()30.5(8)(0)b f f f -===，
因为6
2
1
00.70.72<<<
，()f x 在[0,1]上单调递增， 所以6
1(0)(0.7)()2
f f f <<， 所以b c a <<， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数周期性，单调性和奇偶性的应用，解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小，属于中档
题
4．D
解析：D 【分析】
构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数
()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式
()
()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ??
???
的值，可求得116f ??
???
的值，可判断D 选项的正误. 【详解】
构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，
取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数，
所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.
任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，
()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，
所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，
()10f =，可得()()1133g f =-=-，
由(
)()2
2190f x x f x ++--->，可得()
()22130g x x g x ++--->，
即()()()2
1311g x
x g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得
10x -<<.
C 选项正确； 对于
D 选项，
()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-，
()()112214324216g g g g ??
??
===
==- ? ???
??
，111316168f
g ????
∴-==- ? ?????
， 因此，123
168
f ??= ???，D 选项错误. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；
（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论.
5．B
解析：B 【分析】
先根据幂函数定义解得m ，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果. 【详解】
由题意22(1)1420
m m m ?-=?-+>?，则0m =，即()2
f x x =，
当[)11,6x ∈时， ()[
)11,36f x ∈， 又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--，
∴21
6436t t -≤??
-≥?
，解得128t ≤≤，
故选：B ． 【点睛】
对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即
1212,,()()()x x f x g x y f x ??=?=的值域包含于()y g x =的值域； 1212,,()()()x x f x g x y f x ??=?=的值域与()y g x =的值域交集非空．
6．C
解析：C 【分析】
根据函数为奇函数可知1122f f ??
??
-
=- ? ?????
，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ??
???
的值，则12f ??
- ???
的值可求. 【详解】
因为()f x 为奇函数，所以1122f f ????
-
=- ? ?????
，
又因为11
32222f ??=-=- ???，所以113222
f f ??
??-=-= ? ?????， 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ??- ?
??
的值转化为计算12f ??
???的值，从而根据已知条件完成求解.
7．D
解析：D 【分析】 根据()()112
f x f x +=
，可知()()1
12
f x f x =
-，可得函数解析式并画出函数图象，由图象可得m 的取值范围. 【详解】 根据()()112
f x f x +=
，可知()()1
12f x f x =
-， 又当(]0,1x ∈时，()()110,4f x x x ??=-∈????
， 所以(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，()()111(1)(1)20,228f x f x x x ??=
-=--∈????
， (]2,3x ∈时，(]11,2x -∈，()()111(1)(2)30,4416f x f x x x ??=-=--∈????， (]3,4x ∈时，(]12,3x -∈，()()111(1)(3)40,2832f x f x x x ??=
-=--∈????
，即3
()64
f x <
恒成立， 可画出函数图象，
当(]2,3x ∈时，
13(2)(3)464x x --=，解得94x =或114
x =， 故若存在[),x m ∈+∞，使得()364
f x =有解，则实数11
4m ≤，
故选：D.
8．B
解析：B 【分析】
由奇函数性质结合已知单调性得出函数在R 上的单调性，再由奇函数把不等式化为
(2)()f x f x -≥-，然后由单调性可解得不等式．
【详解】
∵()f x 是奇函数，在(,0]-∞上递减，则()f x 在[0,)+∞上递减， ∴()f x 在R 上是减函数，
又由()f x 是奇函数，则不等式()()20f x f x +-≥可化为(2)()f x f x -≥-， ∴2x x -≤-，1x ≤． 故选：B ． 【点睛】
方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性．这类问题常常有两种类型：
（1）()f x 为奇函数，确定函数在定义域内单调，不等式为12()()0f x f x +>转化为
12()()f x f x >-，然后由单调性去掉函数符号“f ”，再求解；
（2）()f x 是偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调，不等式为12()()f x f x >，首先转化为
12()()f x f x >，然后由单调性化简． 9．C
【分析】
由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】
由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，
所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：
（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；
（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.
10．D
解析：D 【分析】
根据定义依次判断即可求出. 【详解】 对于①，()12312422x y x x -=
=----，则()()3212y f x x
=+--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称； 对于②，()1
212
y f x x x x =+-=+
是奇函数，故函数关于()2,1对称； 对于③，
()321y f x x x =--=-是奇函数，故函数关于()2,1-对称；
对于④，223344211
21222
x x x x x y x x x x -+-++-+===-++---，则
()1
21y f x x x
=+-=+
是奇函数，故函数关于()2,1对称. 故有相同对称中心的一组是②和④. 故选：D. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数对称性的判断，解题的关键是能根据解析式化简整理，正确利用对称的定义进行判断，能根据解析式整理出奇函数特征.
11．C
解析：C
结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】
由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞?+∞，
()()ln ln x x x x
x x
f x f x e e e e
----=
=-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
12．D
解析：D 【分析】
问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集，先求出()f x 在(]2,4上的值域，再根据(2)2()f x f x +=求出()f x 在(]2,0-的值域；分类讨论
求出()g x 的值域，根据子集关系即可求出a 的范围. 【详解】
由题知问题等价于函数()f x 在(]2,0-上的值域是函数()g x 在[2,1]-上的值域的子集．
当(]2,4x ∈时，2(2)4,23
()2
,34x x f x x x x ?--+≤≤?
=?+<≤?
?
， 由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时9()3,2f x ??
∈????
，由(2)2()f x f x +=， 可得11
()(2)(4)24
f x f x f x =
+=+ 当(]
2,0x ∈-时，(]42,4x +∈．则()f x 在(]2,0-的值域为39,48
??????
．
当0a >时，()[21,1]g x a a ∈-++，则有3214
9
18a a ?
-+≤????+≥??
，解得18a ≥，
当0a =时，()1g x =，不符合题意；
当0a <时，()[1,21]g x a a ∈+-+，则有314
9
218a a ?+≤????-+≥??，解得14a -．
综上所述，可得a 的取值范围为11,,48?
???
-∞-+∞ ????
???
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查双变元利用值域求参数的问题，属于中档题.
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域
的子集 ．
13．C
解析：C 【分析】
易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，令2t x =-，将不等式
()
0f t t
<等价为()00t f t >??
0t f t ?
，进一步求出答案. 【详解】
∵对任意的正数a 、b （a
b ），有
()()
0f a f b a b
-<-，
∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∴()f x 在(),0-∞上单调递减. 又∵()10f =，∴()()110f f -=-= 令2t x =-
所以不等式()
0f t t <等价为()00t f t >??
00t f t ? ∴1t >或1t <-， ∴21x ->或21x -<-， ∴3x >或1x <，
即不等式的解集为()(),13,-∞?+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点，考查逻辑思维能力，属于基础题.
14．C
解析：C 【解析】
令cos ,[0,π]x θθ=∈，则sin 1
()()cos 2
f x
g θθθ-==
-的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)
上的动点(cos ,sin )M θθ与点(2,1)A 连线的斜率k ，由图象，得01k ≤≤，即函数()f x 的值域为[0,1]，故选C.
点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，
21x -sin 1
cos 2
θθ--的形式联想到过两
点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
15．A
解析：A 【分析】
由函数的奇偶性排除B ；由0x >的函数值，排除C ；由当x →+∞时的函数值，确定答案. 【详解】
由题得函数的定义域为R ,
因为3()()x x
x
f x f x e e ---=
=-+，所以函数是奇函数，所以排除B ；
当0x >时，()0f x >，所以排除C ；
当x →+∞时，()0f x →，所以选A . 故选：A 【点睛】
方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找图象的差异，再用解析式验证得解.
二、填空题
16．【分析】先由解出a 讨论的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为且所以解得在R 上单增可化为：解得：不等式的解集为故答案为：【点睛】利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合函 解析：()1,+∞
【分析】
先由()36f =，解出a ，讨论()x
f x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
因为()x
f x a x =+，且()36f =，，所以33a =
，解得1a =
>.
()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+'
ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，
()x f x a x ∴=+在R 上单增. ()()21f x f x ->可化为：21x x ->
解得：1x >.
不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】
利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；
17．【分析】根据的解析式可得为奇函数当时不妨令x>0设根据对勾函数的性质可求得的单调减区间可得的单调增区间综合分析即可得答案【详解】因为定义域为R 所以即在R 上为奇函数根据奇函数的性质可得在y 轴两侧单调性
解析：[]22-,
【分析】
根据()f x 的解析式，可得()f x 为奇函数，当0x ≠时，
21
()44x f x x x x
=
=
++，不妨令
x >0，设4
()g x x x
=+，根据对勾函数的性质，可求得()g x 的单调减区间，可得()f x 的单调增区间，综合分析，即可得答案. 【详解】
因为2()4
x
y f x x ==
+，定义域为R ，
所以22()()()44
x x
f x f x x x ---=
==--++，即()f x 在R 上为奇函数，
根据奇函数的性质可得，()f x 在y 轴两侧单调性相同， 当x =0时，()0y f x ==， 当0x ≠时，
21
()44x f x x x x
=
=
++，
不妨令x >0，设4()g x x x
=+
， 根据对勾函数的性质可得，当02x <≤上单调递减，证明如下： 在(0,2]上任取12,x x ，且12x x <， 则12121212124444()()()f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-=12
12124()x x x x x x ??-- ???
， 因为1202x x <<≤，
所以1212120,40,0x x x x x x -<-<>， 所以121212124()()()0x x f x f x x x x x ??
--=-> ???
，即12()()f x f x >， 所以4
()g x x x
=+
在(0,2]上为减函数， 所以21
()44x f x x x x
=
=
++在(0,2]上为增函数，
当0x +→时，()0f x →，0x -→，()0f x →，
又(0)0f =，所以2
()4
x
f x x =
+在[0,2]为增函数 根据奇函数的性质，可得
21
()44x f x x x x
=
=
++在[2,0)-也为增函数，
所以()f x 在 []22-,上为严格增函数， 故答案为：[]22-,
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性、单调性，并灵活应用，结合对勾函数的性质求解，考查分析理解，计算证明的能力，属中档题.
18．【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对
解析：1316
-
【分析】
由对称性、奇偶性得出周期性，然后再结合周期性和奇偶性进行计算． 【详解】 因为(1)(1)f x f x -=+，则()(2)f x f x =-，又函数为奇函数，
所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+，所以()f x 是周期函数，周期为
4． 又
12
5log 254-<<-，
所以
111
122
2
2
2252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )1616
16f f f f f =+==--=-225
log 163253132416416??=--=-+=- ??
?．
故答案为：1316
-． 【点睛】
结论点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性．函数()f x 具有两个对称性时，就具有周期性．
（1）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于直线x
n =对称，则()f x 是周期函数，
4m n -是它的一个周期；
（2）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于点(,0)n （m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期；
（3）()f x 的图象关于直线x m =对称，又关于直线x n =（m n ≠）对称，则()f x 是周
期函数，2m n -是它的一个周期．
19．【分析】先将进行因式分解再与比较利用对应系数相等可得关于的方程即可得的值即可求解【详解】因为所以因为所以对任意的恒成立所以不恒为所以展开整理可得：所以解得：或（舍）所以故答案为：【点睛】关键点点睛： 解析：2-
【分析】
先将()()f x f a -进行因式分解再与()()2
x b x a --比较，利用对应系数相等可得关于
,a b 的方程，即可得,a b 的值，即可求解.
【详解】
因为()()3
33f x x x x R =-+∈，
所以()()()
()3
3
3
3
33333f x f a x x a a x a x a -=-+----=-+，
()()()()2222
33x ax a x ax x a x a x a a ??---==+-++-?+?，
因为()()()()2
f x f a x b x a -=--，
所以()()()2
2
2
3x ax a x b x x a a ??-=?-?
++--，对任意的x 恒成立， 所以x a -不恒为0，
所以()()2
2
3x ax a x b x a ++-=--
展开整理可得：()2
3ax a a b x ab +-=-++，
所以()
2
3a a b a ab
?=-+?
-=? 解得：12a b =??
=-?或1
2
a b =-??=?（舍），
所以()122ab =?-=-， 故答案为：2-. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是将()()f x f a -进行因式分解，由x a -不恒为0，得出
()()223x ax a x b x a ++-=--利用待定系数法可求,a b 的值.
20．（1）图象答案见解析；(2)【分析】(1)利用奇函数图像关于原点对称先作出当时的图像在作出它关于原点的对称图像即可；(2)先用代入法求在的解析式在合并在一起写成分段函数即可【详解】解：(1)图像如图
解析：（1）图象答案见解析；(2)(1),0
()(1),0x x x f x x x x -≥?=?+
.
【分析】
(1)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当0x ≥时，()()1f x x x =-的图像，在作出它关于原点的对称图像即可；
(2)先用代入法求()f x 在0x <的解析式，在合并在一起写成分段函数即可． 【详解】
解：(1) 图像如图示．
(2)设0x <，则0x ->，
所以()(1())(1)f x x x x x -=---=-+， 又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()()f x f x -=-.
所以当0x <，()()1f x x x =+，
综上()f x 的解析式为：(1),0
()(1),0x x x f x x x x -≥?=?+
．
【点睛】
函数奇偶性的应用：
(1) 利用奇偶性求函数值； (2) 利用奇偶性画图像；
(3) 利用奇偶性求函数的解析式．
21．【分析】由已知可得为偶函数且在时单调递增结合函数性质可求【详解】解：因为则所以为偶函数当时单调递增由可得所以整理可得解可得故的取值范围故答案为：【点睛】本题解答的关键是判断函数的奇偶性与单调性利用函
解析：2
(,2)5
【分析】
由已知可得()f x 为偶函数且在0x >时单调递增，结合函数性质可求． 【详解】
解：因为2
11()2,21x
x
f x x R x =+
-∈+， 则()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数， 当0x >时，()f x 单调递增，
由(32)(2)f x f x -<可得|32||2|x x -<， 所以22(32)4x x -<， 整理可得，(52)(2)0x x --<， 解可得，
2
25
x <<， 故x 的取值范围2(,2)5
． 故答案为：2,25
?? ???
【点睛】
本题解答的关键是判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的奇偶性、单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解一元二次不等式即可；
22．【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可【详解】因为所以
即解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题考查了对数函数的性质属于中档题 解析：(0,2)
【分析】
根据函数的解析式有意义列出不等式求解即可. 【详解】 因为(
)f x =
所以21log 0
x x ->??
>?，
即2log 10x x ?
解得02x <<，
所以函数的定义域为(0,2), 故答案为：(0,2) 【点睛】
本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，属于中档题.
23．【分析】先得出函数是奇函数且是减函数从而得到结合函数的定义域从而求出的范围【详解】解：是奇函数又是减函数若则则解得：或由解得：综上：故答案为：【点睛】本题考查了函数的奇偶性函数的单调性的应用属于中档题
解析：(
【分析】
先得出函数是奇函数且是减函数，从而得到211a a -<-，结合函数的定义域，从而求出a 的范围． 【详解】 解：
()3sin (3sin )()f x x x x x f x -=-=-+=-，是奇函数，
又()3cos 0f x x '=-+<，是减函数， 若2
(1)(1)0f a f a -+->， 则2
((1))1f a f a -->，
则211a a -<-，解得：1a >或2a <-，
由2
111111a a -<-
，解得：0a <<，
综上：1a <<
故答案为：(．