2015年考研数学二真题和答案
2015年考研数学二真题
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnx
x +∞2
dx (C)∫1xlnx +∞
2
dx (D) ∫x
e x
+∞2
dx
【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x
+∞2
dx =2√x|2
+∞
=+∞；
∫lnx x
+∞2dx =
∫lnx +∞
2d(lnx)=1
2(lnx)2|
2
+∞=+∞；
∫1xlnx
+∞
2
dx =∫1
lnx
+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2
+∞=+∞； ∫x
e +∞2dx =
?∫x +∞2
de ?x
=
?xe ?x |2
+∞
+
∫e ?x
+∞2
dx
=2e ?2?e ?x |2
+∞=3e ?2
， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0
(1+
sin t x
)x
2
t 在(-∞,+∞)
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0
(1+
sin t x
)x 2t
=e
lim
t→0x 2t
(1+sin t x ?1)
=e
x lim
t→0sint
t
=e x (x ≠0),
f (x )在x =0处无定义，
且lim x→0
f (x )=lim x→0
e x =1,所以 x =0是
f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1
x β,x >0，
0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则
(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0<α?β≤2 【答案】A 【解析】易求出
f′(x )={αx α?1cos 1
x +βx α?β?1sin 1
x ,x >0，
0,x ≤0
再有 f +′(0)=lim x→0
+
f (x )?f (0)
x
=lim x→0
+
x α?1
cos 1x =
{0, α>1,
不存在，α≤1，
f ?′(0)=0
于是，f ′(0)存在?α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0
x α?1cos
1x β
=0，
lim x→0
βx
α?β?1
sin
1x β
={0, α?β?1>0,
不存在，α?β?1≤0，
因此，f′(x )在x =0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数f(x)在(-∞,+∞)连续，其
二阶导函数f′′(x)的图形如右图所示，
则曲线y=f(x)的拐点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C
【解析】f(x)在(-∞,+∞)连续，除点x=0外处处二阶可导。
y=f(x)的可疑拐点是f′′(x)=0的点及f′′(x)不存在的点。
f′′(x)的零点有两个，如上图所示，A点两侧f′′(x)恒正，对应的点不是y=f(x)拐点，B点两侧f′′(x)异号，对应的点就是y=f(x)的拐点。
虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y= f(x)的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数f(μ,ν)满足f(x+y,y
x )=x2?y2，则?f
?μ
|
μ=1
ν=1
与?f
?ν
|μ=1
ν=1
依次
是
(A)1
2,0(B)0,1
2
(C)?12
,0 (D)0,?1
2
【答案】D
【解析】先求出f (μ,ν) 令{μ=x +y,ν=y x
,?{x =μ
1+ν
,
y =μν1+ν,
于是 f (μ,ν)=
μ2(1+ν)2
?μ2ν2(1+ν)2
=
μ2(1?ν)1+ν
=μ2(
21+ν
?1)
因此?f ?μ|μ=1ν=1
=2μ(
21+ν
?1)|
(1,1)
=0
?f
?ν
|μ=1ν=1
=?
2μ2
(1+ν)2
|(1,1)
=?12
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D 上连续，则?f (x,y )dxdy =D (A)∫dθπ3π4
∫
f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θ
rdr (B) ∫dθπ
3π4∫f(r cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θ
rdr
(C) ∫dθπ3π4
∫
f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θ
dr (D) ∫dθπ3π4f(r cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θ
dr
【答案】 B
【解析】D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将?f (x,y )dxdy D
化为累次
积分。
D 的极坐标表示为
π3
≤θ≤π4
，
√sin 2θ
≤θ≤
√2sin 2θ
，
因此
?f (x,y )dxdy D
=∫dθπ
3π4
cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θ
rdr
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。 (7)设矩阵A=[1
111
2a 1
4a 2],b =[1
d d 2
]。若集合Ω={1,2}，则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为
(A)a ?Ω,d ?Ω (B) a ?Ω,d ∈Ω (C)a ∈Ω,d ?Ω (D) a ∈Ω,d ∈Ω 【答案】D
【解析】Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3
|A |是一个德蒙德行列式，值为(a ?1)(a ?2),如果a ?Ω，则 |A |≠0，r (A )=3，此时Ax =b 有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d ?Ω，则r (A |b )=3，排除(C)
当a ∈Ω,d ∈Ω时，r (A |b )=r (A )=2，Ax =b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】线性代数-线性方程组-德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22?y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,?e 3,e 2)在正交变换 x =Qy 下的标准形为
(A) 2y 12?y 22+y 32 (B) 2y 12+y 22?y 32 (C) 2y 12?y 22?y 32 (D) 2y 12+y 22+y 32 【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A ,则 P ?1AP =P T AP =[2
000
100
0?1
] 可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-e 3
也是A 的特征向量，特征值为-1，因此 Q T AQ =Q ?1AQ =[200
0?10001
]
因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12?y 22+y 32 综上所述，本题正确答案是A 。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。
(9)设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y
dx 2|t=1=
【答案】48
【解析】由参数式求导法
dy dx
=
y t ′x t
′=
3+3t 2
1
1+t 2
=3(1+t 2)2
再由复合函数求导法则得