高二数学上 7.1《数列及通项》教案沪教版

7.1 (1)数列（数列及通项）

一、教学内容分析

本小节的重点是数列的概念．在由日常生活中的具体事例引出数列的定义时，要注意抓住关键词“次序”，准确理解其概念，还应让学生了解数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义的函数()n a f n =，使学生能在函数的观点下理解数列的概念，这里要特别注意分析数列中项的“序号n ”与这一项“n a ”的对应关系（函数关系），这对数列的后续学习很重要．

本小节的难点是能根据数列的前几项抽象归纳出一些简单数列的通项公式．要循序渐进的引导学生分析归纳“序号n ”与“n a ”的对应关系，并从中抽象出与其对应的关系式．突破难点的关键是掌握数列的概念及理解数列与函数的关系，需注意的是，与函数的解析式一样，不是所有的数列都有通项公式；

给出数列的有限项，其通项公式也并不唯一，如给出数列的前k 项，若()n a f n =，则()(1)(2)

()n a f n n n n k =+-?--都是数列的通项公式，教学上只要求能写出数

列的一个通项公式即可．

二、教学目标设计 理解数列的概念、表示、分类、通项等，了解数列与函数的关系 ，掌握数列的通项公式，能用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．发展和培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．

三、教学重点及难点 理解数列的概念；能根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式．

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习回顾

思考并回答问题： 函数的定义

二、讲授新课

1、概念引入

请同学们观察下面的例子，看看它们有什么共同特点：（课本p5）

① 食品罐头从上到下排列成七层的罐头数依次为：

3，6，9，12，15，18，

21

② 延龄草、野玫瑰、大波斯菊、金盏花、紫宛花、雏菊花的花瓣数从少到多依次排成一列

数：3，5，8，13，21，34 ③ 3的不足近似值按精确度要求从低到高排成一列数： 1，1.7，1.73，1.732，1.7320,1.73205,

④ -2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂

依次排成一列数： -2，4，-8，16，

⑤ 无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，

⑥ 谢尔宾斯基三角形中白色三角形的个数，按面积大小，从大到小依次排列成的一列数：1，

3，9，27，81，

⑦ 依次按计算器出现的随机数：0.098,0.264,0.085,0.956

由学生回答上面各例子的共同特点：它们均是一列数，它们是有一定次序的，由此引出数列及有关定义：

1、定义：按一定次序排列起来的一列数叫做数列．

其中，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，第3项,第n 项，

数列的一般形式可以写成:

123,,,

n a a a a 简记作{}n a

2、函数观点：数列可以看作以正整数集N *（或它的有限子集）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时，所对应的一列函数值

3、数列的分类：

有穷数列： 项数有限的数列 （如数列①、②、⑦）

无穷数列：项数无限的数列 （如数列③、④、⑤、⑥）

4、数列的通项：

如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间可以用一个公式()n

a f n =来表示，那么这

个公式就叫做这个数列的通项公式．

启发学生练习找上面各数列的通项公式：

数列① ：3(17)n

a n n =≤≤ 数列④：(1)2n n n

a =-? 数列⑤：1n

a = （常数数列） 数列⑥：13n n a -=

指出（由学生思考得到）数列的通项公式不一定都能由观察法写出（如数列②）；数列并不都有通项公式（如数列③、⑦）；由数列的有限项归纳出的通项公式不一定唯一 （如数列①的通项还可以写为：

3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(17)

n a n n n n n n n n n =+-------≤≤ 5、数列的图像：请同学练习画出数列①的图像，得出其特点：数列的图像都是一群孤立的点 2、例题精析

例1：根据下面的通项公式，写出数列的前5项：（课本P6）

（1）21n n a n -=+； （2） 344()4

n n a =+- 解：（1）前5项分别为：1121,0,,,2452

- （2）前5项分别为：25373377811,,,,41664256

[说明]由数列通项公式的定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数

列的前5项.

例2：写出下面数列的一个通项公式，使它前面的4项分别是下列各数：

（1）1，5，9，13；

（2）222221314151,,,;2345

-+-+ （3）3579,,,24816

解：（1）43n a n =-

（2）

2

(1)(1)

1

n n

n

a

n

++-

=

+

（3）21 2

n n

n

a

+

=

[说明]：认真观察各数列所给出的项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.

例3：观察下列数列的构成规律，写出数列的一个通项公式（补充题）

（1）

1111

,,,,........

24816

--

（2）9，99，999，9999，

（3）

32537

,,,,,

23121030

（4）2，0，2，0，2，0，

解：（1）

1

(1)

2

n

n n

a=-

（2）9101,991001,101

n

n

a

=-=-∴=-

（3）

32537

,,,,,

23121030可写成

345672

,,,,,

26122030(1)

n

n

a

n n

+

∴=

+

（4）2=1+1，0=1-1 1

1(1)n

n

a+

∴=+-

（或2

2sin,1cos

2

n n

n

a a n

π

π

==-，

或

2(

0(

n

n

a

n

??

=?

??

为奇数）

为偶数）

）

[说明]本例的（2）-（4）说明了对数列项的一般分拆变形技巧．

例4、根据图7-5中的图形及相应的点数，写出点数的一个通项公式：（课本Ｐ７）

解：(1)n a n n =+

[说明] 本类“图形分析”题，解题关键在于正确把握图形依次演变的规律，再依点数写出它的通项公式

三、巩固练习

练习７.１（１）

四、课堂小结

本节课学习了数列的概念，要注意数列与数集的区别，数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；

本节课的难点是数列的通项公式，要会根据数列的通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项由观察法写出一些简单数列的一个通项公式．

五、课后作业

1．书面作业：课本习题７．１ A 组 习题1.----5

2．思考题：（补充题及备选题）

１．有下面四个结论,正确的是（Ｃ）

①数列的通项公式是唯一的；

②每个数列都有通项公式；

③数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数

④在直角坐标系中，数列的图象是一群孤立的点

A 、①②③④ B、③ C 、④ D 、③④ ２．若一数列为：2,5,2,11,，则25是这个数列的（Ｂ）

A 、第6项

B 、第7项

C 、第8项

D 、第9项

３．数列7，9，11，13，… 2n -1 中，项的个数为（Ｃ）

A 、n

B 、２n －１

C 、n －３

D 、n －４

４．已知数列的通项公式为：

1(21,)1

2(2,)

n n n k k N n a n k k N **?=-∈?+=??=∈?，它的前四项依次为____________

解：前四项依次为：11,4,,1624 ５．试分别给出满足下列条件的无穷数列}{n a 的一个通项公式 （1）对一切正整数n ，1

n a n <

（2）对一切正整数n ，11n n a a +-<

解：（１）1

1n a n =+ （不唯一）

（２）1

1

,2n n a n a n == 等（不唯一）

６．写出下列数列的一个通项公式

（１）1

1

1

1

2,4,6,8,35917

（２）3，8，15，24，35，…

（3）13

17

,,,,38324--

（４）0，0.3,0.33,0.333,0.3333,…

（５）1，0，-1，0，1，0，-1，0，…

解：（１）1

221n n a n =++；

（２）2(1)1n a n =+-

（３）1221

(1)(1)1n n n a n +-=-+-

（４）111

(1)310n n a -=-

（５）sin 2n n a π

=

７．根据下面的图像及相应的点数，写出点数的一个通项

公式：

解：以中间点为参照点，把增加的点作为方向点来分析，有：

第1个图形有一个方向，点数为1点；

第2个图形有2个方向，点数为1+2?1=3点；

第3个图形有3个方向，点数为1+32=7点；

第4个图形有4个方向，点数为1+4?3=13点；

…………

第n 个图形有n 个方向，点数21(1)1n n n

n +?-=-+点 21n

a n n ∴=-+

六、教学设计说明

本节课为概念课，按照“发现式”教学法进行设计

结合一些具体的例子，引导学生认真观察各数列的特点，逐步发现其规律，进而抽象、归纳出其通项公式

例题设计主要含以下二个题型：

（１） 由数列的通项公式，写出数列的任意一项；

（２） 给出数列的若干项，观察、归纳出数列的一个通项公式

补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．