宜宾二诊理科数学试题和答案

宜宾市高2015级高三第二次诊断测试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.本试卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合}0158|{},6|{2

<+-=<∈=x x x B x N x A ，则B A I 等于

A ．}53|{<

B ．}4{

C ．}4,3{

D ．}5,4,3{

2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)+的共轭复数虚部为

A ．i 4

B ．3

C ．4

D ．4-

3．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的

菱形组成，那么图形中的向量,AB CD u u u r u u u r 的数量积AB CD ?u u u r u u u r

等于

A ．

172 B ．152

C ．8

D ．7

4．某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小组积分的方差为

俯视图

侧视图

正视图33

4

34

3A ．

0.5 B ．0.75 C ．1 D ．1.25

5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是

A ．18122+

B ．1862+

C ．2422+

D ．2442+

6．设537535714

(),(),log 755

a b c -===，则c b a ,,的大小顺序是

A ．c a b <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．a b c <<

7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为

A ．2018

B ．20181-

C ．2019

D ．20191-

8．在各项均不为零的等差数列}{n a 中，若2

110(2)n n

n a a a n +--+=≥，则=--n S n 412 A ．2- B ．0 C ．1 D ．2

9．若

2

1

sin cos 1=+αα，则=+ααsin 2cos

A ．1-

B ．1

C ．2

5

-

D ．1或25-

10．某班级需要把6名同学安排到周一、周二、周三这三天值日，每天安排2名同学，已

知甲不能安排到周一，乙和丙不能安排到同一天，则安排方案的种数为 A ．24

B ．36

C ．48

D ．72

11．已知双曲线22

4x y -=上存在两点,M N 关于直线2y x m =-对称,且线段MN 的中

点在抛物线2

16y x =上，则实数m 的值为 A ．016或-

B ．016或

C ．16

D ．16-

12．设1=x 是函数3212()1()n n n f x a x a x a x n N +++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足：11a =，

22a =，n n a b 22log =，若[]x 表示不超过

x 的最大整数，则

122320182019

201820182018

[

]b b b b b b +++L = A ．1008 B ．1009 C ．2017 D ．2018

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设y x ,满足约束条件,0

1310

2????

???≥≤+≥-y y x y x 若x y z +=，则z 的最大值为_________.

14．已知正三棱锥P ABC -的侧面都是直角三角形，3PA =，顶点P 在底面ABC 内的射

影为点Q ，则点Q 到正三棱锥P ABC -的侧面的距离为_________.

15．若动点P 在直线022:=--y x a 上，动点Q 在直线062:=--y x b 上，记线段PQ

的中点为),(00y x M ，且5)1()2(2020≤++-y x ，则2

020y x +的取值范围为________.

16．已知函数x

x x x f ln )

1()(-=

，偶函数2()e (0)x g x kx b k =+≠的图像与曲线)(x f y =有且仅有一个公共点，则k 的取值范围为_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）

如图，在ABC ?中，7tan =A ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，设=CBD θ∠，其中θ是直线0542=+-y x 的倾斜角． （1）求C 的大小；

（2）若]2

,0[,2sin

cos 2sin sin )(2

π

∈-=x x C x C x f ， 求)(x f 的最小值及取得最小值时的x 的值．

18．（12分）

某小组同学为了研究昼夜温差对反季节大豆发芽的影响，他们分别记录了3月1

日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：

日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日

温差x/摄氏度 10 11 13 12 8 发芽y/颗

23

25

30

26

16

的2组数据进行检验．

（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据(ξ=0表示数据来自互不相邻的三天)，求ξ的分布列及期望；

（2）根据3月2日至4日数据，求出发芽数y 关于温差x 的线性回归方程y ^=b ^x +a

^.由所求的线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？

附：参考公式：x b y a x x y y

x x b n

i i

n

i i

i

^

^1

2

1

^

,)

()

)((-=---=

∑∑==.

19．（12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中,11,AAC C ABC ⊥侧面底面11

2,AA AC AC ===AB BC =，,AB BC O AC ⊥且为中点．

（1）证明：1

;AO ABC ⊥平面 （2）求直线1BC 与平面1A AB 所成角的正弦值．

20．（12分）

在直角坐标系xoy 中，已知点2F (1，0)，动点P 满足:22||||4OP OF OP OF ++-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r

．

（1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）若分别过点F 1(-1,0)、F 2作两条平行直线m ,n ，设m ,n 与轨迹C 的上半部分分别交于A 、B 两点，求四边形ABF 2F 1面积的最大值． 21．（12分）

已知()ln ()f x x mx m R =+∈. （1）求()f x 的单调区间；

（2）若m =e （其中e 为自然对数的底数），且()f x ax b ≤-恒成立，求b

a 的最大值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为3cos ().2sin x y φ

φφ

?=??=??为参数以坐标原点

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1.ρθρθ+=

（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；

（2）若点P 的极坐标为(1,)2π

,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数()|21|f x x =+．

（1）求不等式()10|3|f x x ≤--的解集；

（2）若正数m ，n 满足：2m n mn +=，求证：()()216f m f n +-≥．

宜宾市高2015级高三第二次诊断测试题

数学（理工类）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一.选择题（每题5分，共60分）

12.解析：由题可知，212()32n n n f x a x a x a ++'=--，则

1221(1)320320n n n n n n f a a a a a a ++++'=--=-+=即

()2112n n n n a a a a +++-=-，211a a -=，32212a a -=?=，243222a a -=?=，L ，212n n n a a ---=，累加得12n n a -=。故12-=n b n 。

122320182019201820182018b b b b b b +++L =)4037

40351

531311(2018????+?+?=)403711(1009-=403710091009-

=4037

3028

1008+。故选A 。

二.填空题（每题5分，共20分）

13.

59?? 14. 1 15.]16,516[

16.),1()1,0(+∞∈Y k 16.解析：解法1:由)0()(2≠+=k be kx x g x 为偶函数得0=b ，所以

2ln )

1()()(kx x

x x x g x f =-?

= 即x x x k ln 1

-=

，令0)ln (1ln )(',ln 1)(2

<+-=-=x x x x x h x x x x h ，所以)(x h 在)1,0(和),1(+∞单调递减，

由洛必达法则知11

ln 1

lim ln 1lim

)(lim 111

=+=-=→→→x x x x x h x x x ，又因为0)(>x h 恒成立

01

ln 1lim ln 1lim

)(lim =+=-=∞→∞→∞

→x x x x x h x x x ，所以),1()1,0(+∞∈Y k 。

解法2:)1,0(,ln )1(1

)()(≠>=-?

=x x x x x k

x g x f , 令1)1(',0)1(,1ln )(',ln )(==+==h h x x h x x x h ，由图像可知),1()1,0(+∞∈Y k

三.解答题（共70分.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17至21题为必考题，22题和23题为选考题（二选一），请考生根据要求作答）

17.解：由题可知2

1

tan =

θ，所以3

4

tan 1tan 22tan tan 2=

-==∠θθθABC ， …………2分 又tan 7A = 所以

1347134

7tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan =?-+

-

=-+-=+-=+-=B A B A B A B A C π

…………5分 所以

4π

=C

(6)

分

（2）由（1）可知22

)4

sin()cos 1(4

cos

sin 4

sin

)(-

+

=--=π

π

π

x x x x f

…………8分

因为]2,0[π∈x ，所以]43,4[4πππ∈+x ，因为x y sin =在]2,4[ππ上单调递增，在]4

3,2[π

π上

单调递减，且

0)2()0(==π

f f

…………10分

所以当0=x 或2

π

=

x 时，)(x f 取得最小值为

0. …………12分

18.解：(1)由题意知，ξ=0，2，3； 则P(ξ=0)=1C 5

3=110，P(ξ=3)=3C 5

3=3

10，

∴P(ξ=2)=1?P(ξ=0)?P(ξ=3)=

610

， …………3分

∴ξ的分布列为：

数学期望为Eξ=0×110

+2×610

+3×

310

=

2.1； …………6分 (2)由题意，计算x .

=1

3×(11+13+12)=12，

()272630253

1

=++?=y )，

5

)1(031)2(1))((3

1

=-?+?+-?-=--∑=i i i

y y x x

2

01)1()(2223

1

2=++-=-∑=i i

x x

………

…8分

所以3122

5

27,25)()

)((^^1

2

1

^

-=?-=-==---=

∑∑==x b y a x x

y y x x

b n

i i

n

i i i

∴y 关于x 的线性回归方程为

32

5

^

-=

x y ； …………10分 当x =10时，y =5

2×10?3=22，且|22?23|<2， 当x =8时，y =5

2×8?3=17，且|17?16|<2；

∴所求得线性回归方程是可靠

的．?? …………12分

19.（1）证明：因为A 1A =A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ． …………2 分

又由题意可知，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，且A 1O?平面AA 1C 1C ∴A 1O ⊥平面

ABC ； …………6分（条件不全扣2分）

（2） 解：如图，以O 为原点，1,,OA OC OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意可知A 1A =A 1C =AC =2，

∵AB =BC ，AB ⊥BC ∴OB =1

2AC =1∴O(0，0，0)，A(0，

?1，0)，A 1(0，0，√3)，C(0，1，0)，C 1(0，2，√3)，B(1，0，0)

…………7分 则有：

)0,1,1(),3,1,0(),3,2,1(11==-=AB AA BC . …………8分

设平面AA 1B 的一个法向量为n ? =

(x ，y ，z)， 则有{

n?AA 1??????? =0

n?AB ????? =0

，∴{y +√3z =0x +y =0，

令1=y ，得3

3

,1-==z x ，所以)3

3

,1,1(-

-=n …………10分

所以

14

423

21

222|

|||,cos 111=?

=?

………

…11分

因为直线A 1C 与平面A 1AB 所成角θ和向量n 与A 1C ??????? 所成锐角互余，所以14

42

sin =

θ．…………12分 20.解：（1）设点),(y x P ，由已知可得

4)1()1(2222=+-+++y x y x 。 …………1分

根据椭圆定义可知点P 的轨迹是以点)0,1(和)0,1(-为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为1

342

2=+y x …………4分

(2)设直线1t :-=y x m ，它与轨迹C 的另一个交点为D ．由椭圆的对称性知

22||21

|)||(|21|)||(|2111121ADF F ABF S d AD d AF DF d AF BF S ?=?=?+=?+= ………

…5分

与C 联立，消去x ，得096)43(22=--+ty y t ， …………7分

431121||,0)1(14422

2

2

++?+=>+=?t t t AD t

……

……8分

又F 2到m 的距离为2

12t

d +=

, …………9分

所以43112222++=?t t S ADF .令112

≥+=t w ，则w

w S ADF 13122

+=?，因为w w y 13+=在),1[+∞上单调递增

所以当时及01==t w 时，2ADF S ?的最大值为3。

所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为

3.?????? …………12分

21.解：(1)由mx x x f +=ln )(，得

x mx

m x x f +=

+=

11)('

…………1分 （ⅰ）当0≥m 时，0)('>x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞上单调递增； …………2分 （ⅱ）当0

=，当)1

,0(m

x -∈时，0)('

(∞+-∈，m

x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递减。

…………4分

（2）当e m =时，ex x x f +=ln )(， 令b x a e x x g +-+=)(ln )(，则

)(1

)('a e x

x g -+=

， …………5分

由（1）可知，当e a ≤时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，不合题意； 当e a >时，)(x f 在)1,

0(e a -上单调递增，在),1(+∞-e

a 上单调递减， 当e

a x -=

1

时)(x f 取得最大值。 …………6分 所以0)1(

≤-e a f 恒成立，即01)(1ln ≤+-?-+-b e

a a e e a ，整理得01)ln(≥+--

b e a 即a e a a b e a b 1)ln(,

1)ln(+-≤

+-≤。令a e a a h 1

)ln()(+-=，)

()

ln()()('2e a a e a e a e a h ----=

， …………8分 令)ln()()(e a e a e a H ---=，1)ln()('---=e a a H ，解0)('=a H 得e

e a 1+

=， 当)1,(e e e a +∈时，)(,0)('a H a H >单调递增；当),1

(+∞+∈e e a 时，)(,0)('a H a H <单调

递减； 当e e a 1+=时)(a H 取得最大值为e

e e e H 1)1(+=+， …………10分

因为当e a →时，，）然而（根据洛必达法则可证0)2(,0)(=>e H a H 恒成立时恒成立，当时，当0)(),2(0)()2,(<+∞∈>∈∴a H e a a H e e a

所以)(a h 在)2,(e e 上单调递增，在),2(+∞e 上单调递减，即函数)(a h 的最大值为

e e h 1)2(=

，所以a

b

的最大值为e

1

。 …………12分

22. 解：（I ）将椭圆C

的参数方程为()x y φ

φφ

?=??

=??为参数消去参数可得椭圆C 的普通方程221,32x y += 将cos sin x y ρθρθ

=??=? 代入22

1,32x y +=得22222cos 3sin 6ρθρθ+=, 化简得椭圆C 的极坐标方程为

2222sin 60ρρθ+-= …………3分

将cos sin x y ρθ

ρθ=??

=?

代入cos sin 1ρθρθ+=可得直线l 的方程为10x y +-=,

故直线l

的参数方程为

2().12

x t y t ?=-???

?=+??为参数 …………5分 （II ）设,A B 对应的参数分别为12,t t ,将直线l

的参数方程为2()12

x t y t ?=-????=+??为参数代入22132x y +=

得2560t +-=,

则1212565t t t t ?+=-????=-

??

,不妨取12

0,0t t <>, 又P (1,)2

π在直线l 上，∴

1221||||||||PA PB t t t t +=+=-=

…………10分

23.解：(1)此不等式等价于{x

2

?2x?1+(3?x)≤10或{?1

2≤x ≤3

2x +1+(3?x)≤10

或

{x >32x +1+x?3≤10.

解得?83≤x

2≤x ≤3或3

]4,38

[ ． …………5分 (2)证明：∵m >0，n >0，m +2n =mn ，m +2n =1

2(m?2n)≤(m+2n)2

8

，即m +

2n ≥8，

当且仅当{m =2n m +2n =mn 即{m =4

n =2

时取等

号． …………7分

∴f(m)+f(?2n)=|2m +1|+|?4n +1|≥|(2m +1)?(?4n +1)|=|2m +4n|=2(m +2n)≥16，

当且仅当?4n +1≤0，即n ≥1

4时，取等号．

∴f(m)+f(?2n)≥16．??