任意项级数敛散性判断练习及 答案

任意项级数敛散性判断

下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、

()

∑∞

=--1

1

11n n n

2、 ()∑∞

=--1131n n n

n

3、 ()

∑∞=+121sin n n na

4、 ()()011>-∑∞=a na n n

n

5、 ∑∞=??? ??

+2ln 1sin n n n π

6、 +-+-+-

332210

3

211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11

2

212

12121n n n n n 8、 ()()

[]

()01111

>-+-∑∞=-p n n p n n }

答 解：1、()

∑

∞

=--1

1

11n n n

取绝对值 ()∑

∑∞=∞

=-=-1

11

1

1n n n n

n >∞

（

2

1

=p 的p 级数）

而原级数是交错级数

且： 01lim 1

111==<+=∞

→+n

u n

n u n n

n

~

由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。

2、()∑∞

=--113

1n n n

n

13111lim 313

31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n

绝对值级数 ()∞<-∑∞

=-113

1n n n

n

所以原级数绝对收敛

3、()

∑∞

=+12

1sin n n na

#

()()

2

211

1sin +≤+n n na

()

∑∞

=+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！ 所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、()

()011>-∑

∞

=a na

n n

n

()111lim lim 11<=+=+∞

→+∞→a

a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛

0

01lim lim ≠-=∞

→∞→n

n

n n n na

u

级数发

散

（ 0ln 1

lim lim lim =-==-∞

→∞

∞

-∞→∞→a

a a n na n n n n n

n \

()

)

01lim ≠∞=-∴

∞

→n

n

n na

a=1 时 ()∑∞=-11n n

n

满足莱布尼兹定理，

原级数条件收敛 5、

∑∞

=??? ?

?

+2ln 1sin n n n π n

n n

n n n ln 1sin cos ln 1cos

sin ln 1sin ?+?=??

? ?

?+πππ ()n n n n n n ln 1sin

1ln 1sin 11-=??? ?

?

+∑∑∞=∞

=π 因为当x y x sin 2,0=?

?

?

??∈π 单调递增

且 ()n

n n u n

n u n

=<+==+∞

→ln 1

sin 1ln 1sin 0ln 1

sin lim 1

（

∞

?

+∴∑∞

=1ln 1sin n n n π

所以原级数条件收敛

6、 +-+-+-

3322103

211032110321 b a b a +≤+

∑∞

=??? ??-110321n n n ∑∞=??

?

??-+110321n n n

设： n n n

n v u 10

321

==

∞<∞

<∑∑∞

=∞

=1

1

n n n n v u

(

所以原级数绝对收敛

7、()()

()∑∞

=+-+-+112

2

12

12121n n n n n ()()12

1122232lim lim 21

221<=+?+=++∞

→+∞→n n u u n n n n n n 所以原级数绝对收敛

8、 ()()[]()01111

>-+-∑∞

=-p n n p

n n

()()[]

∑∞=--+-11

11n p n n n

()[]()1111lim

1

11

lim

=??

????-+=-+∞

→∞

→p

n

n p p

n n n n

n

p>1 原级数绝对收敛

p≦1 原级数发散