残差GM模型
§10.3 残差GM （1，1）模型 1．()
X 0为原始序列 2．
()
X
1为一次累加序列
3．按GM(1,1)模型求解 4．得到()
X
?1，即
()
X
1的预测值
5．计算
()
X
1的残差序列()
()()
()()
()k k k x
x
?110-
=
ε
6．判断可建模残差尾段： （1）存在k 0
（2）k
k
≥?，()
()k ε
0的符号一致，4
≥-k
n
（3）称()
()()()()()???
? ?
?+n k
k εεε
0,
,1, 为可建模残差尾段
7．计算可建模残差尾段的一次累加序列
8．按GM(1,1)模型计算可建模残差尾段的时间响应式 9．计算残差尾段()
ε0的模拟序列：
()
()
()()()()()??
? ?
?+=n k k εεεε0
00,
,1,
???
，这里，()()10
+k ε为导数还原值
即：
()
()()()
()()[]k a a b k a k k 0
000exp 1?--??
?
????
?--=+εεεεεε, k k 0≥
10．用()
ε?
0修正
()
X
?1(用一次累加序列的残差修正一次累加序列预测值)，称修正后的时间
响应式：
()()()
()()
()()
()()
????
?
???
?≥
??
?
????
?-±+?
?
????-<
+
??
?
???
-
=+--
--k
e
a b k a e x
k e
x x
k a b
a b k a b a b k k a k ab
ab
000
010111?εεεεε
其中残差修正值()()1?0+k ε的符号应与残差尾段()
ε0的符号保持一致。
11．用()
ε?
0修正()
x ?
0（用原始序列的残差修正原始序列预测值），根据由()
x ?1到()
x ?
0的不同
还原方式，得到不同的残差修正时间响应式。 11．1 若()
()()
()()
()()
()()
e
x
e
x x
x k a a a b k k k 10110111???--??
??
?
?
-
??? ?
?-=--
=
则相应的残差修正时间响应式为：
()()()
()()
()()
()()
????
?
???
?≥
??
?
????
?-±?
?
????
-??? ??-<
??
??
?
?
-
??? ??
-=+--
--k
e
a b k a e x
e k e
x
e x
k a b k a b k k a k ak
a ak
a 0
000
00011111?εεεεε
11．2 若()()()()
()e
x x ak
a b a k -??
?
??
?
--=+1100?
，则相应的残差修正时间响应式为：
()()()()
()()()
()()
()()
????
?
???
?
≥
??
?
????
?-±?
?
????
--<
??
?
??
?
-
-=+--
--k
e
a b k a e x
k e
x x
k a b a k a b a k k a k ak ak
000
000111?εεεεε
12．对从式（10）到式（11.2）中的()
()k 0
0ε
还原，也可以采用累减还原式，即：
()
()()
()()e
a b k e k a a k k 00
0011?
--
??
????
?
?
-????
?
?
-
=+εεεεεε，
k
k 0
≥
§10.4 GM （1，1）模型群 1．设序列()
()
()()()()()??
? ?
?
=n x x x
x 0000,,2,1 ，
将()
()n x 0取为时间轴的原点，称n
t <为过去，n
t
=为现在，n t
>为未来。
2．设序列()
()
()()()()
()??
? ?
?
=n x x x
x
0000,,2,1
()
()()
()e
x
e
x
ak
a a
b k -??
? ?
?
-
??? ?
?-=+11100?为其GM （1，1）时间响应式的累减还原值，则：
当n t ≤时，称
()
()t x ?0为模型模拟值 当n t
>时，称
()
()t x
?0为模型预测值
3．利用从时刻t ＝0到时刻t ＝n 的原始数列建立的GM （1，1）模型称为全数据GM(1,1)。
将时刻t ＝0到时刻t ＝n 的原始数列去掉前面若干连续数据后，用剩余数据建立GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1). 将()()10+n x 加入()
()
()()()()
()??
? ?
?=n x x x
x 0000,,2,1 中，建立的GM(1,1)称为新信息GM(1,1).
在()
()
()()()()()??
? ?
?
=n x x x
x
0000,,2,1 中去掉()
()10x ，加入
()
()10+n x
，建立的GM(1,1)称为新
陈代谢GM(1,1).
§10.6 GM(1,N)和GM(0,N)模型 一、GM(1,N)模型 1．系统特征数据序列 2．相关因素序列
3．紧邻均值生成序列
4．灰色微分方程
5．系统发展系数、驱动项、驱动系数、参数列
6．参数列的最小二乘估计
7．白化方程、影子方程
8．时间响应式、累减还原式
二、GM(0,N)模型
1．模型定义
2．最小二乘估计
§10.7 GM(2,1)、DGM和V erhulst模型
基本思想：根据规定定义按最小二乘法求参数解，然后按照线性微分方程的解法求出特解与通解。
残差自相关的修正
应用回归分析·上机作业二 学号：200930980106 姓名：何斌年级专业： 10级统计1班指导老师：丁仕虹 思考与练习 4.9 1.用普通最小二乘法建立回归方程，并画出残差散点图。 1.1首先录入数据，sas程序如下： proc import out=aa /*使用import过程导入数据，并输出到数据集aa*/ datafile="d:\xt4.09.xls" dbms=excel2000 replace; getnames=yes; /*首行为变量名*/ run; proc print data=aa noobs; run; 1.2建立回归方程，画残差散点图，sas程序如下： proc reg data=aa; model y=x; output out=out r=residual;/*把回归的结果输出在文件out里，残差给变量名residual */ run; proc gplot data=out; plot residual*x;/*做残差图，检验是否存在异方差*/ symbol v=star i=none; run; 1.3得到结果如下： 图1.3.1方差分析以及参数估计
1.4结果分析： 1.4.1由方差分析可知：p 值小于0.05，所以该回归方程显著有效。 1.4.2 R-Square=0.7046，Adj R-Sq=0.6988，可见回归方程的拟合度较高。 1.4.3由参数估计可得，常数项的检验P 值为0.0655大于0.05，故常数项不显著。 1.5除去常数项，重新拟合方程。 1.5.1 sas 程序如下： proc reg data=aa; model y=x/noint; run; 1.5.2得到结果如下： 图1.5.1方差分析以及参数估计 1.5.3结果分析： （1）由方差分析可知：P 值小于0.05，所以该回归方程显著有效，且F 值较有常数项时明显变大，故拟合方程较有常数项时更好。 （2） R-Square=0.8704，Adj R-Sq=0.8679，可见回归方程的拟合度有较大幅度提高。 （3）由参数估计可得，所有参数的检验P 值均小于0.05，参数显著有效。 （4）拟合的回归方程为：x y 0.00314 =∧ （1.5.3.4） 1.6得到残差散点图如下：
误差修正模型实例(精)
一、误差修正模型的构造 对于yt的(1，1阶自回归分布滞后模型： 在模型两端同时减yt-1，在模型右端，得： 其中，，，。 记（5-5） 则（5-6） 称模型（5-6）为“误差修正模型”，简称ECM。 二、误差修正模型的含义 如果yt ~ I(1，x t ~ I(1，则模型（5-6）左端，右端，所以只有当yt和x t协整、即yt和x t之间存在长期均衡关系时，式（5-5）中的ecm~I(0，模型（5-6）两端的平稳性才会相同。 当yt和x t协整时，设协整回归方程为：
它反映了yt与x t的长期均衡关系，所以称式（5-5）中的ecm t-1是前一期的“非均衡误差”，称误差修正模型（5-6） 中的是误差修正项，是 修正系数，由于通常 ，这样；当ecm t-1 >0时（即出现正误差），误差修正项< 0，而ecm t-1 < 0时（即出现负误差）， > 0，两者的方向恰好相反，所以，误差修正是一个反向 调整过程（负反馈机制）。 误差修正模型有以下几个明确的含义： 1．均衡的偏差调整机制 2．协整与长期均衡的关系 3．经济变量的长期与短期变化模型 长期趋势模型： 短期波动模型： 三、误差修正模型的估计 建立ECM的具体步骤为： 1．检验被解释变量y与解释变量x（可以是多个变量）之间的协整性； 2．如果y与x存在协整关系，估计协整回归方程，计算残差序列e t：
3．将e t-1作为一个解释变量，估计误差修正模型： 说明： （1）第1步协整检验中，如果残差是确定趋势过程，可以在第2步的协整回归方程中加入趋势变量； （2）第2步可以估计动态自回归分布滞后模型： 此时，长期参数为： 协整回归方程和残差也相应取成： ， （3）第2步估计出ECM之后，可以检验模型的残差是否存在长期趋势和自相关性。如果存在长期趋势，则在ECM中加入趋势变量。如果存在自相关性，则在ECM的右端加入 误差修正项的滞后期一般也要作相应 调整。 如取成以下形式：
经典线性回归模型的诊断与修正
经典线性回归模型的诊断与修正下表为最近20年我国全社会固定资产投资与GDP的统计数据：1 年份国内生产总值（亿元）GDP 全社会固定资产投资（亿元）PI 1996 71813.6 22913.5 1997 79715 24941.1 1998 85195.5 28406.2 1999 90564.4 29854.7 2000 100280.1 32917.7 2001 110863.1 37213.49 2002 121717.4 43499.91 2003 137422 55566.61 2004 161840.2 70477.43 2005 187318.9 88773.61 2006 219438.5 109998.16 2007 270232.3 137323.94 2008 319515.5 172828.4 2009 349081.4 224598.77 2010 413030.3 251683.77 2011 489300.6 311485.13 2012 540367.4 374694.74 2013 595244.4 446294.09 1数据来源于国家统计局网站年度数据
1、普通最小二乘法回归结果如下： 方程初步估计为： GDP=75906.54+1.1754PI (32.351) R2=0.9822F=1046.599 DW=0.3653 2、异方差的检验与修正 首先，用图示检验法，生成残差平方和与解释变量PI的散点图如下：
从上图可以看出，残差平方和与解释变量的散点图主要分布在图形的下半部分，有随PI的变动增大的趋势，因此，模型可能存在异方差。但是否确定存在异方差，还需作进一步的验证。 G-Q检验如下： 去除序列中间约1/4的部分后，1996-2003年的OLS估计结果如下所示：
灰色预测模型介绍
数学模型与数学实验数 课程报告 题目：灰色预测模型介绍专业： 班级： 姓名： 学号： 二0一一年六月
1. 模型功能介绍 预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。 灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚 龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个 变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。 现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点： 为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 关联度]1[
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析 山东胡大波 判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。下面具体分析残差分析的途径及具体例子。 一、残差分析的两种方法 1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 2、可以进一步通过相关指数 ∑ ∑ = = - - - = n i i n i i i y y y y R 1 2 1 2 ^ 2 ) ( ) ( 1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2 R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。 二、典例分析： 例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 次数/x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩/y 30 34 37 39 42 46 48 51 试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。 解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。 次数 i x 成绩 i y2 i x2 i y i x i y 30 30 900 900 900 33 34 1089 1156 1122 35 37 1225 1369 1295 37 39 1369 1521 1443 39 42 1521 1764 1638 44 46 1936 2116 2024 46 48 2116 2304 2208
GM(1,1)模型应用及残差修正
一．GM(1,1)预测模型应用举例 灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1) 数列预测。这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。 (2) 灾变预测。这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。 (3) 季节灾变预测。若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。 (4) 拓扑预测。这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。 例1（数列预测）：设原始序列 )679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X 试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。 解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得 )558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。由 ) 1()()()1()0(-=k x k x k ρ 得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。 当k>3时准光滑条件满足。 第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。由 )(1) 1() ()()1()1() 1(k k x k x k ρσ+=-= 得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ 当k>3时，5.0],5.1,1[)()1(<=∈δσk ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。 第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得 )718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z 于是
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析 残差分析的相关概念辨析及应用素材 北师大版选修1-2
残差分析的相关概念辨析及应用 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，可以通过残差^ ^2^1,,,n e e e 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．这方面的分析工作称为残差分析.残差分析一般有两种方法:(1)作残差图；（2）利用相关指数R 2来刻画回归效果. .,,2,1,^^^^n i a x b y y y e i i i i i ^ i e 称为相应于点(x i ，y i )的残差．类比 样本方差估计总体方差的思想，可以用)2)(,(2121^^ 1 ^2^2 n b a Q n e n n i i 作 为σ2 的估计量，其中^a 和^b 由公式x b y a ^^ , n i i n i i i x x y y x x b 1 2 1 ^ )() )((给出，Q(^ a ， ^ b )称为残差平方和.可以用^ 2 衡量回归方程的预报精度．通常，^ 2 越小，预报 精度越高． 例1．设变量x,y 具有线性相关关系，试验采集了5组数据，下列几个点对应数据的采集可能有错误的是( ) A 点A B.点 B C.点 C D.点E 思路与技巧 由散点图判断出，点A,B,C,D,F 呈线性分布，E 点远离这个区域，说明点E 数据有问题． 解答D 评析 可以用Excel 画散点图，样本的散点图可以形象的展示两个变量的关系，画散点图的目的是用来确定回归模型的形式，若散点图呈条状分布，则x 与y 有较好的线性相关关系，散点图除了条状分布，还有其他形状的分布．
例2．为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，得如下数据： (1)画出散点图． (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程． (3)求出残差，进行残差分析． 思路与技巧可以用Excel画散点图，由散点图发现x与y是否呈线性分布，由此判断x与y之间是否有较好的线性相关关系，若有，求出线性回归方程，再画出残差图，进行残差分析． 解答 (1)由Excel表格画散点图如图 (2)设y?=bx+a是线性回归直线方程，
两种灰色GM(1,1)残差修正方法在工程造价中的对比
两种灰色GM(1,1)残差修正方法在工程造价中的对比 李丹莹 金华正达工程造价咨询有限公司，浙江省金华市，321000 摘要：为了更准确地预测工程材料价格走势，本文介绍并比较了两种灰色GM(1,1)残差修正方法，并应用在了圆钢综合、螺纹钢综合及水泥价格的模拟和预测上，结果证明圆钢综合价格模拟仅能采取残差方法一，而残差方法二可以大大提升螺纹钢综合和水泥价格模拟精度。 关键词：工程造价；灰色预测；GM(1,1)模型；残差修正 一、概述 灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授在1982年率先提出的。近年来，不少学者已经将主要的灰色系统预测模型应用在了工程造价领域[1-3]，并取得了一定的成果，但是灰色残差修正模型在工程造价方面的研究还不多。灰色残差修正模型是在灰色GM(1,1)模型的基础上，对其模拟值的残差再进行GM(1,1)建模，并将其叠加到原模型上，从而形成一个新的、精度更高的模型。尤其对于摆动或震荡的数据序列，残差修正模型的模拟精度明显优于GM(1,1)模型。 在工程造价预测领域，材料价格走势的预测是一大研究方向。由于某些工程材料价格的波动较大，而影响工程材料价格波动的因素又较复杂，经典灰色GM(1,1)模型的模拟精度常常无法达到要求，故本文引入并介绍了两种常用的灰色残差修正模型。在给出这两种计算方法的基础上，利用取得的工程材料历史价格数据，具体比较、分析了这两种方法建模的优劣和适用性。 二、灰色模型的建立 （一）灰色GM(1,1)模型的建立 设有变量X (0)＝{X (0)(k), k=1,2,…,n}={X (0)(1), X (0)(2), …, X (0)(n)}为某一预测对象的非负单调原始数据序列。 为建立灰色预测模型，首先对X (0)进行一次累加(1-AGO, Acumulated Generating Operator)生成一次累加序列： X (1)＝{X (1)(k ), k ＝1,2,…,n}={X (1)(1), X (1)(2), …, X (1)(n)} 其中 X (1)(k +1)＝X (1)(k )+ X (0)(k +1) (1) 对X (1)可建立下述白化形式的微分方程： dt dX ) 1(十)1(aX ＝u (2) 即GM(1,1)模型。 上述白化微分方程的解为 X ?(1)(k +1)＝(X (0)(1)－a u )ak e ＋a u (3) 式中：k 为时间序列。 记参数序列为a ?,a ?＝[a,u]T , a ?可用下式求解:
灰度预测模型详解举例分析
灰色系统预测 重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM （1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用举例。 1灰色系统理论的产生和发展动态 1982邓聚龙发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2灰色系统的基本原理 2.1灰色系统的基本概念 我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别 主要在于对系统内涵与外延处理态度不同； 研究对象内涵与外延的性质不同。 灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。
2.3灰色系统的基本原理 公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。 公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。 公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。 公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G ，M ）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。 灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类 3灰色系统预测模型 灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。 3.1灰色系统理论的建模思想 下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析 山东 胡大波 判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。下面具体分析残差分析的途径及具体例子。 一、 残差分析的两种方法 1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图，以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 2、可以进一步通过相关指数∑∑==--- =n i i n i i i y y y y R 1 2 1 2 ^ 2 )()(1来衡量回归模型的拟合效果，一般 规律是2 R 越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。 二、 典例分析： 例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。 解答：（1）作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如图1所示，由散点图可 知，它们之间具有线性相关关系。 （2）列表计算： 由上表可求得875.40,25.39==y x ， 126568 1 2 =∑=i i x ，137318 1 2=∑=i i y ，
131808 1 =∑=i i i y x ，所以∑∑==---= 8 1 2 8 1 )() )((i i i i i x x y y x x β.0415.188 1 2 28 1≈--= ∑∑==i i i i i x x y x y x 00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^ -=x y （3）计算相关系数 将上述数据代入∑∑∑===---= 8 1 8 1 2 22 2 8 1 ) 8)(8(8i i i i i i i y y x x y x y x r 得992704.0=r ，查表可知 707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显着的相关关系。 （4）残差分析： 作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适。 计算残差的方差得884113.02 =σ ，说明预报的精度较高。 （5）计算相关指数2 R 计算相关指数2 R ＝0.9855.说明该运动员的成绩的差异有98.55％是由训练次数引起的。 （6）做出预报 由上述分析可知，我们可用回归方程 .00302.00415.1^ -=x y 作为该运动员成绩的预报值。 将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57， 故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 点评：一般地，建立回归模型的基本步骤为： （1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量； （2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）； （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ＝bx ＋a ）； （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）； （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。 例2、某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取
回归模型拟合精度分析
应用回归分析例库封面
一、案例背景 文章通过分阶段建立多元线性回归模型，分析了改革开放32年来民航客运量与相关因素之间的关系。结果表明：在不同历史阶段影响民航客运量的因素有所不同，并且从经济学角度对所建立的模型给出了合理的解释。 二、数据介绍 数据来自《新中国五十五年统计资料汇编》和《中国统计年鉴2010》。 三、分析过程 根据以上的分析，自改革开放以来，将中国民航客运量的增长趋势分为三个阶段，这里还有一个问题，就是年段的划分选在何处会更合理呢？对于这个问题，我们主要依据表2中分段回归拟合的残差平方和的大小，同时结合自变量选择时考虑的诸多因素做适当调整。 下面分阶段建立因变量y 关于自变量的各种组合的回归方程，这种组合方程共有 12552131555 C C C +++=-=个，根据自变量的选择准则，从中选择最优回归方程。 3.1 第一阶段：1978~1988年最优回归模型 经过比较，在通过回归方程和回归系数的显著性检验的方程中（取显著性水平0.05α=），发现表3中的两个模型最优。 由表3可见，模型一的各项指标都优于模型二，但是模型一中2x 的系数-0.290602β=<， 与实际意义不符，最终消费与民航客运量应该正相关。模型二中3x 的系数-0.008703β=<，与实际意义相符合，铁路客运量与民航客运量应该负相关，出现与实际意义不符的情况可能是由变量间的多重共线性造成的，为此考察其它几项指标，见表4. 表3 两个最优回归模型比较 模型 1978~1988年拟合回归方程 标准残差 复相关系数 PRESS AIC 模型一 721.0010-0.29060.690225 y x x =+ 41.91 0.9920 26372.68 111.0539 模型二 837.1212-0.00870.517435 y x x =+ 46.03 0.9904 52010.33 113.1177 表4 多重共线性、异常值诊断 模型 方差扩大因子 绝对值最大的删除学生化残差SRE 最大库克距离 最大杠杆值 模型一 27.9371025VIF VIF ==> 2.60473< 0.57970.5> 0.45162ch > 模型二 4.9581035VIF VIF ==< 2.6833< 0.42700.5< 0.33642ch < 从表4可见，模型一的自变量间存在严重的多重共线性，而且存在异常值点，模型二的自变量间不存在多重共线性，而且没有异常值点。为了进一步考察模型二的拟合效果，做残
灰色预测模型理论及其应用
灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 1.1灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 1.2灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如 灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
2016-2017学年高中数学 第三章 统计案例 3.1 第2课时 残差分析及回归模型的选择学案 新
3.1 第二课时 残差分析及回归模型的选择 一、课前准备 1.课时目标 (1) 了解残差分析回归效果； (2) 了解相关指数2R 分析回归效果； (3) 了解常见的非线性回归转化为线性回归的方法. 2.基础预探 1.在线性回归模型y bx a e =++中，a b 和为模型的未知参数，e y 是与y bx a =+之间的误差，通常ｅ为随机变量，称为_______.它的均值E(ｅ)＝0，方差2 ()0D e σ=>. 线性回归模型的完整表达形式为2 ()0,()y bx a e E e D e σ=++??==? .在此模型中，随机误差ｒ的方差2 σ越小，通过回归直线y bx a =+预报真实值ｙ的精度越高. 2.对于样本点1122(,),(,), ,(,)n n x y x y x y 而言，相应于它们的随机误差为 (1,2,,)i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其估计值为(1,2, ,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=， i e 称为相应于点(,)i i x y 的______.类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 2 1 (,)2 Q a b n σ= -(ｎ＞2)作为2σ的估计量，其中a b 和由公式给出，()Q a b ,称为残差平方和.可以用2 σ衡量回归直线方程的预报精度.通常2 σ越小，预报精度越高. 3.在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差12,, n e e e 来判断模型拟合的效果，判断 原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为_______. 4.用相关指数2 R 来刻画回归的效果，其计算公式是：2 2 12 1 () 1() n i i n i i y y R y y ==-=- -∑∑.显然2 R 取值 越大，意味着残差平方和_______，也就是说模型的拟合效果________. 二、学习引领 1. 进行回归分析的步骤是什么？ (1)确定研究对象，明确是哪两个变量之间的相关关系. (2)画出散点图，观察它们之间的关系是否存在线性关系，也可计算变量间的线性相关系数的值来精确判断它们之间是否存在相关关系.如果不存在线性相关关系，判断散点图是否存在非线性相关关系.
误差修正模型.
第二节误差修正模型（Error Correction Model，ECM） 一、误差修正模型的构造 对于yt的(1，1阶自回归分布滞后模型： 在模型两端同时减yt-1，在模型右端，得： 其中，，，。 记（5-5） 则（5-6） 称模型（5-6）为“误差修正模型”，简称ECM。 二、误差修正模型的含义 如果yt ~ I(1，xt ~ I(1，则模型（5-6）左端 ，右端，所以只有当yt和xt协整、即yt 和xt之间存在长期均衡关系时，式（5-5）中的 ecm~I(0，模型（5-6）两端的平稳性才会相同。 当yt和xt协整时，设协整回归方程为：
它反映了yt与xt的长期均衡关系，所以称式（5-5）中的ecmt-1是前一期的“非均衡误差”，称误差修正模型（5-6）中的是误差修正项，是修正系数，由于通常 ，这样；当ecmt-1 >0时（即出现正误差），误差 修正项< 0，而ecmt-1 < 0时（即出现负误差）， > 0，两者的方向恰好相反，所以，误差修正是一个反向 调整过程（负反馈机制）。 误差修正模型有以下几个明确的含义： 1．均衡的偏差调整机制 2．协整与长期均衡的关系 3．经济变量的长期与短期变化模型 长期趋势模型： 短期波动模型： 三、误差修正模型的估计 建立ECM的具体步骤为： 1．检验被解释变量y与解释变量x（可以是多个变量）之间的协整性； 2．如果y与x存在协整关系，估计协整回归方程，计算残差序列e t：
3．将e t-1作为一个解释变量，估计误差修正模型： 说明： （1）第1步协整检验中，如果残差是确定趋势过程，可以在第2步的协整回归方程中加入趋势变量； （2）第2步可以估计动态自回归分布滞后模型： 此时，长期参数为： 协整回归方程和残差也相应取成： ， （3）第2步估计出ECM之后，可以检验模型的残差是否存在长期趋势和自相关性。如果存在长期趋势，则在ECM中加入趋势变量。如果存在自相关性，则在ECM的右端加入的滞后项来消除自相关性，误差修正项的滞后期一般也要作相应调整。如取成以下形式： 由于模型中的各项都是平稳变量，所以可以用t检验判断各项的显著性，逐个剔除其中不显著的变量，当然误差修正项要尽可能保留。
数学建模之灰色预测模型
一、灰色预测模型 简介（P372） 特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。 优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。 缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。 1、GM(1,1)预测模型 GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。 1.1模型的应用 ①销售额预测 ②交通事故次数的预测 ③某地区火灾发生次数的预测 ④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库） ⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档） ⑥网络舆情危机预警（下载的文档） 1.2步骤 ①级比检验与判断 (0)(1),k k - GM(1,1)建模。 光滑比为 若序列满足
则序列为准光滑序列。 否则，选取常数c 建立模型: （1） ③构造数据矩阵B 及数据向量Y (1),()z n ? ??- 1?(0)Y x =? ??? (1 0.5(1),2,3, x k k -=） ④由 ⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为 则模型还原值为 ⑥精度检验和预测 残差
相对误差 相对误差精度等级表 级比偏差 ，则可认为达到较高要求。利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表 经过验证，给出相应预测预报。 2、新陈代谢模型 灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。 与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据, 就能 获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势, 从而使预测结果的精度 获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列, 只能描述单调变化的过程。 2.1模型的应用 ①深圳货运量预测；（下载文档） ②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）； ③网络舆情危机预警（下载文档）。 2.2步骤 ①建立新陈代谢数据序列 y= ，即得到新陈代谢数据序列(0)( ②后续步骤同GM(1,1)模型。
误差修正模型
第二节 误差修正模型（Error Correction Model ，ECM ） 一、误差修正模型的构造 对于y t 的(1，1)阶自回归分布滞后模型： t t t t t y x x y εβββα++++=--12110 在模型两端同时减y t-1，在模型右端10-±t x β，得： t t t t t t t t t t t t t x y x x y x y x x y εααγβεββββαββεββββα+--+?=+---+--+?=+-+++?+=?------)(]) 1()1()[1()1()(1101012120120121100 其中，12-=βγ，)1/()(200ββαα-+=，)1/(211ββα-=。 记 11011-----=t t t x y ecm αα （5-5） 则 t t t t ecm x y εγβ++?=?-10 （5-6） 称模型（5-6）为“误差修正模型”，简称ECM 。 二、误差修正模型的含义 如果y t ~ I(1)，x t ~ I(1)，则模型（5-6）左端)0(~I y t ?， 右端)0(~I x t ?，所以只有当y t 和x t 协整、即y t 和x t 之间存在长期均衡关系时，式（5-5）中的ecm~I(0)，模型（5-6）
两端的平稳性才会相同。 当y t 和x t 协整时，设协整回归方程为： t t t x y εαα++=10 它反映了y t 与x t 的长期均衡关系，所以称式（5-5）中的ecm t -1是前一期的“非均衡误差”，称误差修正模型（5-6）中的1-t ecm γ是误差修正项，12-=βγ 是修正系数，由于通常1||2<β，这样0<γ；当ecm t -1 >0时（即出现正误差），误差 修正项1-t ecm γ< 0，而ecm t -1 < 0时（即出现负误差）， 1-t ecm γ> 0，两者的方向恰好相反，所以，误差修正是一个反向调整过程（负反馈机制）。 误差修正模型有以下几个明确的含义： 1．均衡的偏差调整机制 2．协整与长期均衡的关系 3．经济变量的长期与短期变化模型 长期趋势模型： t t t x y εαα++=10 短期波动模型： t t t t ecm x y εγβ++?=?-10
回归分析方法
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MA TLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MA TLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MA TLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 01y x ββε=++ 2~(0,)N εσ 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。
人教版数学高二回归模型的残差分析
回归模型的残差分析 判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容，在回归分析中，通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果。下面具体分析残差分析的途径及具体例子。 一、残差分析的两种方法 1、差分析的基本方法是由回归方程作出残差图，通过观测残差图， 以分析和发现观测数据中可能出现的错误以及所选用的回归模型是否恰当；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 2、可以进一步通过相关指数 ∑ ∑ = = - - - = n i i n i i i y y y y R 1 2 1 2 ^ 2 ) ( ) ( 1来衡量回归模型的拟合效果，一般规律是2 R越大，残差平方和就越小，从而回归模型的拟合效果越好。 二、典例分析： 例1、某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下： 试预测该运动员训练47次以及55次的成绩。 解答：（1）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系。 （2）列表计算：
由上表可求得875.40,25.39==y x ， 126568 1 2=∑=i i x ，137318 1 2=∑=i i y ， 131808 1 =∑=i i i y x ，所以∑∑==---= 8 1 2 8 1 )() )((i i i i i x x y y x x β.0415.188 1 2 28 1≈--= ∑∑==i i i i i x x y x y x 00302.0-≈-=x y βα，所以回归直线方程为.00302.00415.1^ -=x y （3）计算相关系数 将上述数据代入∑∑∑===---= 8 1 8 1 2 22 2 8 1 ) 8)(8(8i i i i i i i y y x x y x y x r 得992704.0=r ，查表可知 707.005.0=r ，而05.0r r >，故y 与x 之间存在显著的相关关系。 （4）残差分析： 作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适。