2008年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
2008年全国初中数学联赛试卷
（第一试）
一、选择题
1．设a2＋1＝3a，b2＋1＝3b，且a≠b，则代数式1
a2
＋
1
b2
的值为（）
(A) 5. (B) 7.(C) 9.(D) 11.
2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，
若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（）
(A) 18
5
. (B) 4. (C)
21
5
. (D)
24
5
.
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（）
(A)1
5
. (B)
3
10
. (C)
2
5
. (D)
1
2
.
4．在△ABC中，∠ABC＝12°，∠ACB＝132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则（）
(A) BM＞CN. (B) BM＝CN.
(C) BM＜CN. (D) BM和CN的大小关系不确定.
5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）
(A) (9
8
)3. (B) (
9
8
)4. (C) (
9
8
)5. (D)
9
8
.
6．已知实数x，y满足(x－x2－2008)(y－y2－2008)＝2008，则3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为（）
(A) -2008.(B) 2008. (C) -1.(D) 1.
二、填空题
1．设a＝5－1
2
，则
a5＋a4－2a3－a2－a＋2
a3－a
＝ _________.
2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的两点，且AM＝5，∠MAN＝135°，则四边形AMCN的面积为___________.
3．已知二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且│m│＋│n│＜1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则│p│＋│q│＝__________.
4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.
第二试
一、已知a2＋b2＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式
a (1－x) (1－x－ax)－bx (b－x－bx)≥0恒成立. 当乘积ab取最小值时，求a，b的值.
二、如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC. （1）证明：点O在圆D的圆周上.
（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.
三、设a为质数，b为正整数，且9(2a＋b)2＝509(4a＋511b) 求a，b的值.
参考答案
第一试
选择题
1.B
2.D
3.C
4.B
5.B
6.D
填空题.
1. -2
2. 5 2
3.
1 2
4. 1
第二试
一、已知2
2
1a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式
(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立.当乘积ab 取最小值时，求,a b 的值.
解：设)()1)(1()(bx x b bx ax x x a x f ------=，则
)1()1()1()(2222x x b bx x x a x a x f --+---=
=)1()()1(2222x x b a bx x a -+-+-=)1()1(22x x bx x a --+-
当0=x 时，0)0(≥=a f ，当1=x 时，0)1(≥=b f ，故0,0≥≥b a .
若0=a ，则1=b ，x x x f -=2
2)(，不恒大于等于0，故,0≠a 即0>a ，同理0>b .
当10< x x ab x b x a x f --+--= （1） 当x b x a =-)1(，即)1,0(∈+= b a a x 时， 0)1()12()(≥--=x x ab x f ，故012≥-ab ，即4 1≥ ab . （2） 当4 1 ≥ ab ，即012≥-ab 时， 0)1()12(])1([)(2≥--+--=x x ab x b x a x f 综上所述，ab 最小值是41，此时??? ? ?? ?-= +=426426b a 或??? ????+=-=42 642 6b a . 二、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =. （1）证明：点O 在圆D 的圆周上. （2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值. 解：(1)连接OC OB OA ,,，则OC OB OA ==，又 AC AB =，故等腰 BCO ABO ???，CBO ABO ∠=∠.由于 BC 为圆D 的切线， 故弦切角ABC ∠所夹劣弧长为OBC ∠所夹劣弧长的2倍，即半径BO 所在直径通过弧AB 的中点，即点O 在圆D 上. （2）连接BD AD ,，则AB BD AD r ≥+=2， 故 AC AB AB r ?=≥224，又S AC AB 2≥?，故S r 242 ≥，即2 2S r ≥ ，且当AB 为圆D 的直径时可以取等号，故r 的最小值是 2 2S . 三、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值. 解：将原等式整理为关于b 的一元二次方程： 0509436)51150936(922=?-+?-+a a b a b ，由于b 为正整数，则方程判别式)72511(509)509436(94)51150936(2222a a a a -=?-??-?-=?是完全平方 数，即a 725112 -为完全平方数，设)(725112 2N t t a ∈=-，则 a t 7251122=-，即a t t 72)511)(511(=+-，由于1022)511()511(=++-t t ，故)511(),511(t t +-同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除. 当2=a 时，检验得2725112 ?-不是完全平方数 当3=a 时，检验得3725112?-不是完全平方数 当5≥a 时，由上面分析可知18436218436272?=?=?=?=a a a a a 共4种分解方式可能满足条件. 当?? ?=+=-a t t 365112511时，385=a 不是整数，当???=+=-a t t 185114511时，9509 =a 不是整数， 当?? ?=+=-365112511t a t 或???=+=-a t t 251136 511时，2917493?==a 不是质数， 当?? ?=+=-a t t 451118 511时，251=a 是质数，此时只有7=b 满足条件， 综上所述，251=a ，7=b .