leslie人口增长模型
人口增长预测模型
摘要
本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。
模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。
模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；
然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的Leslie模型。
首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，
在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。
其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。
再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。
最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。
关键词Logistic 人口模型 Leslie 人口模型人口增长预测MATLAB软件
1
§1、问题重述
一、背景知识：
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了
多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别
比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时
期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在
二、相关数据：
附件1《国家人口发展战略研究报告》
附件2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据
三、要解决的问题：
1、试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附件2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
2、利用所建立模型的预测结果，参照附件1的相关叙述对反映中国人口增长特点的一系列指标如人口老龄化、人口抚养比等进行分析预测。
3、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和管理进行
分析。
§2、问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模
型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们分析了题目以及附录1中所给的相
关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。
一、从附件1中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了2010年、2020 年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。因而，
我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较，对于预测所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型Ⅰ：阻滞增长模型。
二、模型Ⅰ只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。但实际中在对人口进行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。在人口总数一定时，不同年龄段的人的生育率和死亡率
是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论
不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们依据附件2建立了模型Ⅱ：按年龄分布
的Leslie模型。
三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结果我们还能
够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。
2
§3、合理的假设
1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争 b i ,s i 不随时间而变化
2、超过90岁的妇女（老寿星）都按 90岁年龄计算
3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变
4、不考虑移民对人口总数的影响
§4、名词解释与符号说明
一、名词解释
1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。
2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。
3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常用百分比表示。说明每100名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。根据劳动年龄人口的两种不同定义（15-59岁人口或15-64岁人口），计算总抚养有两种方式
4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。
促使人口老龄化的直接
原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中
65岁及以上
老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。
5、出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。
二、符号说明
序号
符号
意义
1： t 表示年份（选定初始年份的t 0） 2 r 人口增长率 3： x 人口数量 4： x m 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量
5：
R 2
可决系数
6： n i (t),i1,2, m 在时间段t 第i 年龄组的人口总数
7： i 0,1,2, ,90)
第i 年龄组的生育率
8：
b （i 第i 年龄组的死亡率 i
0,1,2, ,90)
d （i 9： s i (i
0,1,2, ,90) 第i 年龄组的存活率 10： L Leslie 矩阵
11： Z 0 2001 年全国人口总数 12： z s 2001 年城市总人口 13：
z z 2001 年镇总人口 14：
z x
2001 年乡总人口
3
15：16：17：18：19: 20：n i(0),i1,2,m 2001年第i年龄段的人口总数
v i(i 1,2,3) i1,2,3时分别表示市、镇、乡的女孩出生率L(j)j时段具有劳动能力的人口
(j) 社会的抚养比指数
k 总和生育率
K i(j)j时段i年龄组中女性所占的百分比
§5、模型的建立与求解
模型Ⅰ：阻滞增长模型（Logistic 模型）[1]
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞
作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口
增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r(x)。
则它应是减函数。于是有：
dx
r(x)x,x(0) x0（1）
dt
对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即
r(x)rsx(r0,s0) （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x m，当x x m时人口不再增长，即
增长率r(x m) 0，代入（2）式得s r ，于是（2）式为
x m
x
（3）r(x)r(1)
x m
将（3）代入方程（1）得：
dx rx(1 x)
（4）
dt x m
x(0) x0
解方程（4）可得：
x(t)
x m
（5）(
x m
1 1)e rt
x0
二、模型的建立
为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库
（http://211.86.245.155/index.aspx ）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的
4
数据如表1。
表1
各年份全国总人口数（单位：千万）
年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 总人口 60.2 61.5 62.8 64.6 66.0 67.2 66.2 65.9 67.3 年份 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 总人口 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83.0 85.2 年份 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 总人口 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95.0 96.259 97.5 98.705
年份
1981
1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
1989
总人口 100.1 101.65 103.00 104.35 105.85 107.5
109.3
111.02 112.7
0 4 8 7 1 6 4
年份
1990
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
1998 总人口 114.33 115.82 117.17 118.51 119.85 121.12 122.38 123.62 124.7
6 3 3 1
7 0 1 9 6
1
年份
1999
2000 2001 2002 2003 2004
2005
总人口 125.78 126.74 127.62 128.45 129.22 129.98 130.75 6
3
7
3
7
8
6
1、将1954年看成初始时刻即t 0，则1955为t 1，以次类推，以2005年为t51
作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用
Matlab 编程（程序见 附录1）得到相关的参数x m 180.9871,r -0.0336 ，可以算出可决系数（可决系数是判
别曲线拟合效果的一个指标）：
5
? 2
(y i
2
y i )
R 1 i 1 0.9959 5 y)2
(y i
i 1
由可决系数来看拟合的效果比较理想。 所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲
线：
x(t)
180.9871
（6）
1(
180.98711)e 0.0.0336t
60.2
根据曲线（6）我们可以对2010年（t 56）、2020年（t
66）、及2033年（t 79）
进行预测得（单位：千万）：
x(56)138.6161,x(66)
148.5400,x(79)
158.6028
结果分析：从附录1所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国
人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响
模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选择1963年作为初始年份对表1中的数据进行拟合。
2、将1963年看成初始时刻即t 0，以2005年为t 32作为终时刻。运用Matlab
5
编程（程序见附录2）得到相关的参数x m151.4513,r0.0484，可以算出可决系数R20.9994得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
x(t)
151.4513
（7）(151.4513 1)e0.0484t
1
69.1
根据曲线（7）我们可以对2010年（t47）、2020年（t57）、及2033年（t70）进行预测得（单位：千万）：
x(47)134.9190, x(57) 140.8168,x(70) 145.5908
结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是
这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因
素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；
1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育
的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布（当然均值与方差可能不同）因此用最小二
乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人
口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此
我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。运用Matlab编程
（程序见附录3）得到相关的参数x m153.5351,r0.0477，可以算出可决系数
R20.9987得到中国各年份人口变化趋势的第三条拟合曲线：
x(t)
153.5351
（8）1(153.53511)e0.0477t
98.705
根据曲线（7）我们可以对2010年（t 30）、2020年（t40）、及2033年（t53）进行预测得（单位：千万）：
x(30)135.5357,x(40) 141.8440,x(53) 147.0172 结果分析：这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本
稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以我们的结
果应是比较可信的。
我们分别根据拟合曲线（6）、（7）、（8）对各年份中国总人口进行预测得到结果如
表2：
表2 各年份全国总人口用不同拟合曲线预测数（单位：千万）
全国总人口预测（单位：千万）
年份
预测曲线（6）预测曲线（7）预测曲线（8）
2000126.7649 126.3338 126.473
2003130.5141 129.2303 129.5168
2006134.1 131.8447 132.2758
2009137.516134.1926 134.7638
2012140.7577 136.2917 136.9971
2015143.8231 138.1607 138.9933
2018146.7117 139.819140.771
2021149.4251 141.2856 142.3489
2024151.9662 142.579143.7452
6
2027154.3392 143.7168 144.9778
2030156.5494 144.7157 146.0632
2033158.6028 145.5908 147.0172
2036160.5063 146.3562 147.8541
2039162.267147.0247 148.5871
2042163.8924 147.6077 149.2284
2045165.3903 148.1158 149.7886
2048166.7683 148.558150.2775
由上表可以看出：用拟合曲线（6）预测得到的数据比较大，在2024年总人口就已经超过了151.9662千万，而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。用拟合曲线（7）预测得到的数据偏小，到2048年人口只有148.558千万。相比较而言用拟合曲线（8）预测的数据比较接近附件1中的预测。画出图形如图1：
对各年份全国总人口的预测
数
口180
预测曲线（6）
人170
预测曲线（7）
160
150
预测曲线（8）
140
130
120
110
100
年份
000612182430364248
202020202020202020
图1：对各年份全国总人口数的预测
模型Ⅱ：按年龄分布的Leslie 模型[2]
一、模型的准备
将人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离
散化为t0,1,2 .设在时间段t第i年龄组的人口总数为n i(t),i1,2,m，定义向量
n(t)[n1(t),n2(t), n m(t)]T，模型要研究的是女性的人口分布n(t)随t的变化规律，从而
进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第i年龄组的生育率为b i，即b i是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i
年龄组的死亡率为d i，即d i是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之
比，s i 1 d i称为存活率。设b i、s i不随时间t变化，根据b i、s i和n i(t)的定义写出n i(t)
与n i(t 1) 应满足关系：
m
n i(t1) b i n i(t)
i1
（9）
n i1(t1) s i n i(t),i1,2, ,m1
7
在（9）式中我们假设b i中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不
到t 1的那些婴儿。若记矩阵
b1b2b m1b m
s10 0
L0s2（10）
0 0 s m10
则（9）式可写作
n(t 1) Ln(t)
（11）
当L、n(0)已知时，对任意的t 1,2, 有
n(t) L t n(0) （12）若（10）中的元素满足
（ⅰ）s i0,i 1,2, ,m1；
（ⅱ）b i0,i 1,2 ,m，且至少一个b i0。
则矩阵L称为Leslie矩阵。
只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量n(0)，我们就可以求出t时
段的人口分布向量n(t)。
二、模型的建立
我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据附件2 中所给数据，以一岁为间距对女性分组。
(1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量n i(0),（i0,1,2,,90)：
附件2给了2001年中国人口抽样调查数据，提取为表3
表3
城市男147907
城市女147465
镇男80279
镇女77976
乡男394690
乡女372242
根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：
p s0.242,p z0.1297,p x0.6283
我们由表1数据知2001年全国总人口Z0127. 627（单位：千万），因此可以算出
2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：
z s p s z030.885、z z p z z016.548、z x p x z080.194
根据附件2给的2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001
年城市、镇、乡处在第i(i0,1,2,,90)年龄段的女性的总数分别为n1i(0),n2i(0),n3i(0)。以城市为例，设2001年城市中处在i年龄段妇女占城市总人口比率分别为P i，则n1i(0)P i Z s（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第
8
i(i0,1,2, ,90)年龄段上的妇女总人数
n i(0)n1i(0) n2i(0) n3i(0)（见附录7）。
（2）计算处在第i(i0,1,2,,90)年龄段的每个女性平均生育女儿的人数b i(i0,1,2, ,90)。附件2中分别给出了2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）
的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）i(
i 0,1, ,90 )（i 15或i49时都为0），则
可以分别算出2001 年处在第i(i0,1, ,90)年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：
H1i(i15,16, ,49),H2i(i15,16, ,49),H3i(i 15,16,,49)。
以城市为例计算H1i(i 15,16,,49)：`
H1i(i15,16, ,49) b1i*n1i(0) (i 15,16, ,49)（镇、乡类似）。
附件2中还分别给出了2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比c1,c2,c3（女
100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率v i
c i
(i 1,2,3)。由此100c i
就可以求出2001年处在第i(i 15, ,49)年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：
H1i v
1H2i v2 H3i v
3
(i 15, ,49)，
b i
n i(0)
49
经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们
由于总和生育率：S b i 1.389
i15
对生育率进行修正：b i((1.8 v1S)/S 1)*b i具体计算结果见附录7。
(3)计算第i年龄段的女性总存活率率d i(i 0,1,2, ,90)：
记第i(i 0,1,2,,90 )年龄段的女性的死亡率为di。附件2中分别给出了城市、镇、乡处在第i(i 0,1,2, ,90 ) 年龄段的女性死亡率d1i,d2i,d3i(i0,1,2,,90)，则处在第i年龄段的女性总死亡率d i(i 0,1,2,,90)为：
d1i n
1i(0)b2
i n2i
(0
) b3i n3i(0)
)，
d i
n i(0)
(i0,1,2,,90
于是总存活率为：s i1 d i见附录4。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，
于是可以用上面(12) 式
n(t) L t n(0)
进行预测。
三、对模型结果作进一步讨论
我国人口发展形势复杂，目前人口的低生育水平面临着严峻的挑战，下面我们分别从如下方面分析预测我国人口发展将要面临的复杂局面。（1）人口总量与劳动力人口的发展变化根据考虑种群结构的Leslie离散模型，利用2001年的数据建立人口预测模型。通过分析，计算出我国人口的预测值，对应作出的我国劳动年龄人口与总人口的折线图如下：
9
16
15
14
13
12
人11
10
9
8
7
61 5 9 3 7 1 5 9 3 7 1 5 9
0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 年
份
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
劳动年龄人
口总人口
图2 我国全国总人口与劳动年龄人口折线
图
根据图2可以知道从2001年到2023年预测我国全国总人口是呈现上升趋势的，随后几年呈现缓慢下降的趋势。总人口在2010年、2020年分别达到14.2609亿人和14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人，在2033年达到14.7455亿人。把预测数值与
附件2中所提供的预测数值进行比较，发现我们预测的未来人口的高峰期提前10年。这一方面可能由我国男女的出生性别比例中女性所占的比例较小的原因；另一方面，我
们计算出人口更替率仅为 1.42（此为5年的均值），而中外专家对我国90年代中期以来
的人口更替率的计算结果为 1.8（见附录10），两者相差甚远，这说明附录---提供的数据可能不够真实，从而导致了我国人口峰值的预测年份提前。
根据图2，我国劳动年龄人口庞大，15-64岁的劳动年龄人口2010年为10.4421亿人，2013年将达到高峰10.4852亿人，随后劳动年龄人口呈现下降的趋势。由此，可知在相当长的
时间内，我国不缺劳动力，但需要加强劳动力结构性的调整，同时由于我国
计划生育等宏观政策的影响，近几年总和生育率已降低到 1.8，并将稳定在1.8的水平
上，所以经过较长的时期，我国的劳动年龄人口将有所降低。
（2）人口老龄化与人口抚养比
通过计算分析人口结构持续老龄化，运用Leslie 离散模型，通过MATLAB软件计算
出我国60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：
我国老年人口预测
数5
人4
3
2
1
1 4 7 0 3 6 9
2 5 8 1 4 7 0
3 6 9 年
份
0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
60老年人65-老年人
图3 我国老年人口预测值的折线图
从图3可以直观的看出我国老龄人口在持续增加，说明我国老龄化进程在加速。同
10
时做出未来我国老龄人口占总人口的比例的折线图如下：
例我国老年人口占总人口的比例
比
0.4
0.3
0.2
0.1
1 5 9 3 7 1 5 9 3 7 1 5 9 年份
200
20
20
20
1
20
1
20
2
20
2
20
2
20
3
20
3
20
4
20
4
20
4
60-老年人占总人数的比例65-老年人占总人数的比例
图4 我国老龄人口占总人口预测比例的折线图
从图3，图4得到：2001年我国60岁以上老年人口已达到1.5538亿人，占总人口的11.5693%。到2020年，60岁以上老年人口将达到2.907亿人比重为19.443%；65岁以上老年人口将达到2.0628亿人比重从2000年的8.009%增长到13.797%。预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老
年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%。综上可知我国
老龄人口数量大，老龄化速度快，高龄趋势明显，加上我国人口基数大，所以我国是个老龄人口多的国家。
老龄化也在一定程度上导致了我国人口抚养比的不断增高。下面计算人口抚养比指
数：
设l1,,l2与l'1l'2分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则j时段具有劳动
能力的人口为
l2l'2
L(j)[1 K
i(j)]N(i,j) K i(j)N(i,j),
il1il'1
而N(j)L(j)为j时段由社会抚养的失去劳动能力与老人或尚未具有劳动能力的为成年
人的数量。定义社会的抚养比指数(j) N(j) L(j)，即平均每一劳动者抚养的无劳动
L(j
)
能力的人数。我们以0—14岁为没有劳动能力的儿童，以15-64岁为具有劳动能力的年龄劳动人口，以65岁及以上的为老龄人口。首先，通过MATLAB编程计算出2002到2051
年0-14岁、15-64岁、65岁及5以上三段的人数；其次，根据人口抚养比的含义，计算出每一年
份的人口抚养比得出人口抚养比。得出的每年人口抚养比的折线图如下：
11
人口抚养比
0.7
0.6
0.5
例0.
4比
0.30.
2
0.1
1 4 7 0 3 6 9
2 5 8 1 4 7 0
3 6 9
0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
年份
总抚养比
图5 预测人口抚养比
从图5可以看出预测的以后各年的人口抚养比呈增长的趋势。人口抚养比比较高主要原因有：每年新生婴儿数目在增加；老龄化的加剧，老龄人口数量大；15-64岁年龄段中的人的残疾、生病而无劳动能力等。
（3）人口调控与管理
现阶段我国生育水平的不稳定性，根据建立的Leslie模型，运用MATLAB软件计算出2000年到2050年我国育龄妇女（15-49岁）人口，并做出的散点图如下：
38
36
34
人32 0
万
百30
28
26
24
20002005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050
年份
图6 未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测
从图6中可以看出我国育龄妇女（15-49岁）人口在2010年左右到达到高峰，
12
110
105
100
95
90 人 万 85 百
80
75
70
65
60
2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050 年 份
图7 未来我国生育旺盛期育龄妇女（ 20-29）人数预测
从图7我们发现，我国生育旺盛期育龄妇女（ 20-29）人数在2012年将达到高峰，
到 2025年左右有进入一个小低谷，然后再2037年左右有达到一个小高峰。第二个我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女婴
到 2037年时达到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数达到低谷时有回升的形势。
§6、误差分析与灵敏度分析
一、模型的残差分析：
1、运用Matlab 软件计算出用 1954年到2005年的总人口数进行拟合产生的残差,
再利用EXCEL 作出残差的散点图如下：
残差分
析 2
1
值 0 4 7 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7 0 3 6 9 2 5 -1 5 5
6 6 6 6
7 7 7
8 8 8
9 9 9 9 0 0 差 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
残-2 -3 -4
-5
年份 系列1
图8残差分析
Leslie矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型预测人口 Leslie 矩阵模型的基本概念 参数定义[11] 我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到： x k (i )——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数 i =1,2,3,…n 注：这里的x k (1)表示的最低年龄段的人数，如0岁~5岁的人数；一定存在整数n 使得 x k (n )表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。 其他关于人口的参数： 1）b k (i)——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率 2）d k (i)——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率 Leslie 矩阵 1.转移过程 在一个时间周期内x k?1(i )里的人数转移到x k (i +1)里，考虑死亡的人数我们得到如下式子： 11(1)()(1()),1,2, k k k x i x i d i i n --+=-= (4-1) 下面来讨论i =0的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为 1 ()2 k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下： 1111 ()() ()2 n k k k i x i b i x i --==∑ (4-2) 2. 人口发展模型 1 11111111 11 1(0) (1)(1)()22 2 2 1(0) 00 001(1)00001(1) 0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------??- ? ?- ? =? ?- ? ? ?--? ? (4-3)
人口增长模型的确定
题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测
一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250
图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公
人口预测模型经典
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为 负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量。 最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络
一、问题重述 1. 背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2. 问题 人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1． 假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2． 假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3． 不考虑战争 瘟疫等突发事件的影响 4． 在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5． 假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布 6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。 7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 ()i a t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数 ()i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段人口总数占总人口的比例 ()k i c t --------------------第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人口 的比例 ()A t --------------------第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 ()P t --------------------第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵
leslie人口增长模型
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
人口预测的最小二乘模型
实验24 人口预测的最小二乘模型 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下： 表24-1 世界人口数据（单位：亿） 年1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 的方法就是数据拟合方法。 一、问题分析 据人口增长的统计资料和人口理论，当人口总数N 不是很大时，在不长的时期内，人口增长率与人口数N成正比，这就是著名的马尔萨斯人口模型，用微分方程描述为 dN =(24.1) bN dt 其中，b为人口增长系数。用分离变量法解常微分方程，得ln N = b t + a，即 =(24.2) ()a bt N t e+ 由此可知，马尔萨斯模型是人口数量按指数函数递增的模型。由于指数函数表达式中a和b均未知，需要用人口数据来确定。即用指数函数对数据进行拟合，确定指数函数中参数使指数函数与人口数据偏差（残差平方和）尽可能小。下图是经数所拟合后的指数函数图形与原始数据散点图的对比，残差平方和为3.6974×10- 4 图24-1指数函数图形与原始数据散点图 为了计算方便，将上式两边同取对数，还原为ln N = a + b t，令 y = ln N或N = e y
- 160 - 第三章 综合实验 160 变换后的拟合函数为 y (t ) = a + b t (24-3) 由人口数据取对数（y = ln N ）计算，得下表 表24-2 世界人口数据（单位：亿） 二、求解超定方程组的数学原理 根据表中数据及等式a + b t k = y k ( k = 1，2，……，9)可列出关于两个未知数a 、b 的9个方程的线性方程组 ????? ??? ?? ?? ???=+=+=+=+=+=+=+=+=+5505 .319685322.319675133.319664920.319654763.319644698.319634503.319624213.319613918.31960b a b a b a b a b a b a b a b a b a (24-4) 由于这一问题中方程数目多于未知数个数，被称为超定方程组，用矩阵形式表示 为 AU = f (24-5) 显然A 矩阵的行数大于列数。求解这一类方程组的数学原理是将等式左、右同时乘以A 的转置矩阵，得新的线性方程组 A T AU =A T f (24-6) 令G =A T A ， b = A T f 。得系数矩阵为方阵的线性方程组。 GU=b 求解得原方程组的最小二乘解（广义解）。由于原方程组一般无解，将最小二乘解代入下式计算 R = f – A U (24-7) 通常会得非零向量，这一向量称为残差。残差的内积可以用来度量最小二乘解的逼近程度。
Leslie人口模型及例题详解
Leslie 人口模型 现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记 )](,),(),([)(21t n t n t n t n m = 第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记 1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 )1(1+t n = ∑=m i i i t n b 1 )( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为 )()1(t Ln t n =+ 其中，L =?????? ? ? ??--00000000 0121121m m m s s s b b b b （1） 记 )]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2） 假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则 t 1 +t
人口模型预测数学建模作业
上传是为了分析数学的乐趣，请粘贴复制的时候也多思考哈。为了更多的学子们 2014 年数学建模论文 第二套 题目：人口增长模型的确定 专业、姓名：土木135 提交日期：2015/7/2 晚上
题目：人口增长模型的确定 摘要 对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，用 matlab 里的 cftool 工具箱求出参数，即人口净增长率 r=, 对该模型与实际数据进行对比，并计算了从 1980年后每隔10 年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=和人口所能容纳最大值 x m =, 与实际数据对比，拟合得很好，并预测出 1980年后每隔 10 年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，以及两个模型的误差图。 关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型 一、问题重述 1790-1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示 表 1 人口记录表 试用以上数据建立马尔萨斯 (Malthus) 人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人 口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方程并求解，并进行未来 50 年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数，列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。 三、问题假设
2019年人口增长的预测.doc
人口增长的预测 关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1．Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：如果人口的增长符合Malthus的模型，则意味着人口数量呈指数级数增长，最终结果是人口爆炸。 2．Logistic模型 1938年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设（1.1）式可改为： ，（2.1） 上述方程为可分离变量方程，可直接求解。也可用符号微分方程解题器求它的解： N=dsolve（’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’） N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0) 化简后得： 四利用数学模型对中国人口的预测
中国人口预测模型
全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 20011 年 7 月4 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
中国人口增长模型 摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能过较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。针对题目所提要求，我们首先建立了Malthus模型。此模型假设人口增长率为常数，即人口按指数增长。但实际上人口增长率受环境、资源等多重因素影响，并不是常数。用Malthus模型计算1982~2005年的中国人口总量并与实际值比较发现，在短期内(1982~1995)Malthus模型能过较准确的计算出人口总量，但中长期的计算值误差较大，所以此模型只适用于短期的人口预测。为使人口预报特别是中长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，注意到，自然资源、环境条件等因素对人口起着阻滞作用，并随着人口的增加，阻滞作用越来越大。假设人口增长率随着人口总量的增加线性递减，从而建立了性能更好的Logistic 模型。经对比发现，作为短期预测，Malthus模型和Logistic模型不相上下，但作为中长期预测Logistic模型比Malthus模型更合理一些。
人口增长数学模型
软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究
摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述
人口预测论文
人口增长预测 数学实验 指导教师：何仁斌 城市建设与环境工程学院环境工程1班 姓名：郑惋月 学号：20096545
人口增长预测 摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。 模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。我们要验证该模型是否适用。取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。 模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。 模型三：对模型进行了进一步的修正。 最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。 关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型
中国人口预测模型(精)
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
leslie人口增长模型模型
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
人口预测模型
一、问题重述 人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国实行计划生育政策，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但该政策实施30多年来，其负面影响也开始显现。如临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应进行了大量的研究和评论。 党的十八届三中全会《决定》提出，启动实施单独两孩政策。这是新时期我国生育政策的重大调整完善，备受社会关注。 请解决以下问题： （1）针对国家卫生计生委副主任王培安单独二孩不会导致人口大增的人口预测，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对单独二孩会不会导致人口大增进行分析，并发表自己的独立见解。 （2）建立数学模型，针对深圳市讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，但只须选择某一方面作重点讨论）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 二、问题分析 问题1、启动实施单独二胎政策，是经过充分的论证和评估的。对于我国目前为什么要放开二胎政策这个问题，以及为什么单独二孩不会导致人口大增是有以下情况决定的。 进入本世纪以来，我国人口形势发生了重大变化。一是生育水平稳中趋降，我国目前总和生育率为1.5-1.6，如果不实行单独二胎新政策，总和生育率将继续下降。二是人口结构性问题，劳动年龄人口开始减少，人口老龄化速度加快，出生人口性别比长期偏高。三是家庭规模持续缩减。四是城乡居民生育意愿发生很大变化，少生优生、优育优教的生育观念正在形成。 通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图，最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化来验证单独二孩政策的必要性以及单独二孩不会导致人口大增的预测。
数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增 长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r - = （3）
将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0) 解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5 得到1954-2005实际人口与理论值的结果： 根据《国家人口发展战略研究报告》 我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年
基于人口增长模型的数学建模(DOC)
数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：
人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型
一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明
中国人口预测模型
中国人口预测模型 专业：数学与应用数学姓名：蒲世吉指导教师：焦玉娟 摘要本文针对我国人口现状，综合考虑城镇和乡村男女性比率、出生率、死亡率及国内人口迁移等因素，建立人口发展方程，结合最优控制原理及曲线拟合等技术，分别建立了城镇和乡村男、女性人口变化模型.通过实际数据的检验，结果表明该模型能够较好地刻画我国目前的人口现状,从而用它可以预测我国人口的未来发展趋势并为国家进行相关人口政策的制定提供必要的理论指导. 根据模型预测，在2015年，我国人口将达到139846万人；在2030年，我国人口将达到峰值144679万人；在2050年将达到141527万人.这与国家人口发展战略研究报告中预测的数据接近.从全国总人口变化曲线上直接看来，在国家人口政策相对稳定的情况下，2030年后我国人口逐渐有所减少. 关键词人口模型,人口发展方程,最优化控制原理,人口增长率 ABSTRACT This paper concerns the status of our country's population,with consideration of the sex ratio ,birthrate ,mortality and inland migration of counties and towns, this paper establish both the male and female population model of the chinese counties and towns with optimal control theory and curve fitting and so on. Through checking the model with real data, the results manifest that this model