范里安-微观经济学现代观点(第7版)-33福利(含习题解答)

Chapter 33: Welfare

Intermediate Microeconomics:

A Modern Approach (7th Edition)

Hal R. Varian

(University of California at Berkeley)

第33章:福利（含习题含习题详细详细详细解答解答解答））

中级微观经济学：现代方法（第7版）

范里安 著

（加州大学伯克利）

曹乾 译

（东南大学 caoqianseu@https://www.360docs.net/doc/902208454.html, ）

简短说明：翻译此书的原因是教学的需要，当然也因为对现行中文翻译版教材的不满。范里安的书一碗香喷喷的米饭，但市场中的教材却充满了沙子（翻译生硬而且错误百出）。此次翻译的错误是微不足道的，但仍欢迎指出。仅供教学和学习参考。

33.福利

直到现在我们关注的重点是，评价经济配置的帕累托效率。但是还有其他重要的议题。必须记住帕累托效率和福利在人们间的分配问题毫无关系；将一切都分配给一个人，这个结果是帕累托有效率的。但是我们其他人可能认为这不是一个合理的分配。在本章，我们研究一些技术，并用这些技术分析福利的分配问题。

帕累托有效率本身就是一个人们想要的目标——如果存在能让一伙人状况更好，而又不损害其他人的方法，为什么不去做呢？但是帕累托有效率的配置有很多；社会应该选择其中哪一个配置？

本章的关键是福利函数

．．．．（welfare function）的思想，使用福利函数可将不同消费者的效用“加总”。更一般地，我们可以使用福利函数对效用在消费者群体的不同分配方式进行排序。在应用这个概念之前，我们先分析怎样对个体的偏好进行“加总”，以构建某类“社会偏好”。

33.1偏好的加总

首先回顾一下消费者偏好的内容。和往常一样，我们假设这些偏好是可传递的。以前，我们将消费者的偏好定义在他自身的消费束上，但是现在我们想扩展这个概念，认为每个消费者的偏好是针对商品在消费者之间分配的问题而说的。当然，这个概念也包含着下列的可能性：消费者可能并不关心其他人的消费束状况，这又回到了我们原来的假设。

我们用x表示某个特定的配置——每个人得到的每种商品的数量。于是给定两个配置，x和y，每个消费者可以判断他是否更偏好x而不是y。

给定所有人的偏好，我们希望能找到一种方法将它们全部“加总”，从而形成一个社会

．．

偏好

．．（social preference）。也就是说，如果我们知道所有个体是如何对各种配置结果进行排序的，那么我们想使用这些信息构建这些配置的社会排序方法。这是最广泛意义上的社会决策问题。我们先分析几个例子。

加总个人偏好的一种方法是使用某种投票机制。如果社会上大多数人偏好x胜于y，我们可以认为x被“社会偏好”于y。然而，投票方法存在着一个比较严重的问题——它可能不能产生一个传递性的社会偏好排序。例如，考虑表33.1所示的情形。

表33.1：多数人投票通常不能产生具有传递性的社会偏好

此处，我们列出了三个人对三个选择x, y 和z 的排序结果。注意多数人多数人．．．

的偏好排序：y x f ,z y f 和x z f 。因此，通过多数人投票(majority vote)的方法来加总个人偏好的方法不可行，因为通过这样方法得到的社会偏好不是良好性状的偏好，这又是因为这些社会偏好不具有传递性。由于社会偏好不是传递的，因此我们无法从选择集),,(z y x 中选择出“最佳的”选择。这种情形下，社会最终选择哪个结果取决于投票顺序。

为了看清这一点，假设表33.1中的三个人先对x 和y 投票，然后再对胜出者与y 进行投票。由于多数人偏好x 胜于y ，x 暂时胜出。第二轮投票在x 和z 之间进行，由于多数人偏好z 胜于x ，z 最终胜出。

但是如果这三个人先对z 和x 投票，然后再对胜出者和y 进行投票，结果将如何？现在z 在第一轮投票中胜出，但在第二轮，z 击败y ，从而最终结果为z 。最终哪个选择胜出取决于人们对这些选择的投票顺序。

另外一种投票方法称为排序打分-按总分排位的投票法（rank-order voting ）。在这种方法中，每个人先按照自己的偏好对选择进行排序，然后对这些选择相应进行打分（赋值）：例如，最佳选择的分数为1，次佳选择的分数为2，以此类推。然后我们将每个人每种选择的分数相应进行加总，得到每一种选择的总分数，在这种情形下，哪一种选择的分数最低，哪一种选择就是社会最偏好的。

在表33.2中，我们给出了两个人对三种选择x,y 和z 的偏好排序。假设现在只有x 和y 两种选择，那么A 对x 的赋值为1，B 对x 的赋值为2；A 对y 的赋值为2，B 对y 的赋值为1。由于x 和y 的总分数都为3，因此x 和y 不分胜负。

表33.2：人们对x 和y 的选择取决于z

现在我们将z 引入投票中。A 对这三种选择的打分分别如下：x 为1，y 为2，z 为3；B 的打分为：x 为3，y 为1，z 为2。这种情形下，x 的总分为4，y 的总分为3，因此按照这种投票方法，社会对x 的偏好超过了y ，因为我们在前面假设分数越低越好。

多数人投票法和排序打分-按总分排位投票法存在的问题是，狡猾的投票负责人可以操纵最终的结果。在多数人投票法中，投票负责人可以改变选项的投票顺序，从而得到他所想要的结果；而在排序打分-按总分排位投票法中，投票负责人可以引入新的选项，从而改变其他相关选项的最终排位。

人们自然会问：是否存在社会决策机制，即是否存在能将个人偏好加总的方法，而且要使得这种方法不能受到人为操纵的影响？能否找到对不具备传递性的偏好进行“加总”的方

我们先列出我们期望社会决策机制应该能做到的事情：

1.给定具有完备性、反身性和传递性的个人偏好的任一集合，社会决策机制应该能产生具有相同性质的社会偏好。

2.如果每个人对选择x 的偏好超过y ，那么社会的偏好应该将x 排在y 的前面；

3.人们对x 和y 的偏好应该仅取决于人们如何对x 和y 进行排序，而不应受到其他选择的影响。

这些要求似乎非常合理。然而却很难找到同时满足上述条件的社会决策机制。事实上，肯尼斯.阿罗已经证明了下面著名的结论（一）：

阿罗不可能定理（Arrow’s Impossibility Theorem ）。若一个社会决策机制满足上述性质若一个社会决策机制满足上述性质．．．．．．．．．．．．．．．1,2．．．和．3．，则它必定是独裁的则它必定是独裁的：：所有社会偏好都是独裁者一个人的偏好所有社会偏好都是独裁者一个人的偏好。。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

阿罗的不可能定理让人们非常惊讶。它表明上述三条性质与民主是不相容的，尽管这三条性质非常合理而且令人喜欢。也就是说，不存在制定社会决策的“完美”方法。既然不存在将个人偏好“加总”为社会偏好的完美完美．．

方法，如果我们又想找到加总的方法从而得到社会偏好，我们必须放弃阿罗定理中社会决策机制上述三个性质中的一个。

33.2社会福利函数

如果我们想放弃社会福利函数上述三个性质中的一个，应该放弃哪一个？最有可能放弃性质3。如果放弃了性质3，前面介绍的排序打分-按总分排位投票法就可行了。

给定每个人i 对各种配置方法的偏好，我们可以构建效用函数)(x u i ，这些函数总结了个人的价值判断：个人i 对x 的偏好超过y 当且仅当)()(y u x u i i >。当然，这些效用函数和其他效用函数一样——正单调变换后仍能保留偏好的原来排序（保序性）。因此，能代表个人i 的效用函数不是唯一不是唯一．．．．

的。 但是，出于方便起见，在我们找到这样的效用函数后，我们就一直用它。于是，从个人偏好得到社会偏好的一种方法是，将这些个人偏好加总，用加总得到的和和．

表示社会偏好。也就是说，我们说x 这个配置好于配置y ，若

)()(11y u x u n

i i

n i i ∑∑==>, 其中n 为社会中的人数。

这种方法是可行的，但是需要注意它也是非常主观的，因为我们对效用函数的选择是非常主观的。选择使用加和表示社会偏好也是主观的。当然，你完全可以使用下列方法中的

（一）See Kenneth Arrow, Social Choice and Individual Values (New York: Wiley, 1963).阿罗, 斯坦福大学教授，因在该领域的工作而获得诺贝尔经济学奖。

任何一个来表示社会偏好：个人效用的加权平均数；个人效用的乘积；个人效用的平方和；等等。

我们需要对该“加总函数”作出一个假设，即它随每个人的效用增加而增加，这个假设比较合理。作出该假设的目的，是想保证若每个人偏好x 胜过y ，则社会偏好必然也是偏好x 胜过y 。

这类加总函数有个名字，叫做社会福利函数．．．．．．

（social welfare function ）。社会福利函数是个人效用函数的函数：))(),...,((1x u x u W n 。使用社会福利函数可以对不同配置进行排序。注意，社会福利函数仅取决于个人的偏好，而且它是每个人效用的增函数。

下面我们分析几个例子。一种特别的情形，就是前面说到的，社会效用函数是个人效用函数的加和：

∑==n

i i n u u u W 11),...,(.

这个函数有时称为古．典效用主义福利函数．．．．．．．．．（classical utilitarian welfare function ）或边沁．．

主义福利函数．．．．．．（Benthamite welfare function ）（一）。该函数的一般形式是效用加权和福利．．．．．．．

函数．．

（weighted-sum-of-utilities welfare function ）: i n

i i n u a u u W ∑==11),...,(,

其中，权重i a 表示第i 个人在社会福利中的重要性。自然可假设i a 为正数。

另外一个有趣的效用函数为极小极大．．．．（即极大中的极小）社会福利函数．．．．．．或罗尔斯社．．．．会福利函数．．．．．

（minimax or Rawlsian social welfare function ）： },...,min{),...,(11n n u u u u W =.

这个效用函数是说，某个配置的社会福利仅取决于状况最差的那个人的福利，即取决于效用最小的人的福利（二）。

上面介绍的每个福利函数都是可行的，都可以用来比较不同配置的评价。每个福利函数背后的伦理标准是不一样的。我们对福利函数结构的限制，暂时只要求它是每个人效用的增函数。

33.3福利最大化

在找到福利函数之后，我们就可以分析福利最大化问题。令j

i x 表示第i 个消费者拥有的商品j 的数量，假设有n 个消费者和k 种商品。于是，配置x 表示每个消费者拥有的每种商

（一） 杰里米.边沁（Jeremy Bentham ，1748-1832），是道德哲学的效用主义学派的创始人，该学派认为最大的善是使得尽可能多的人实现最大幸福。

（二） 约翰.罗尔斯（John Rawls ）是当代道德哲学家，哈佛大学教授，他认为这样的正义原则是合理的，即认为上述福利函数是合理的。

品的数量。

如果这k 种商品的数量分别为k X X ,...,1，现在要将它们分配给上述n 个消费者，则福

利最大化问题为：

))(),...,((max 1x u x u W n

使得111max X x

n i i =∑=

k n i k i X x

=∑=1max M

因此，我们试图找到能使社会福利最大的可行配置。这样的配置应该具有什么样的性质？

我们首先指出，使福利最大化的配置必然是帕累托有效率的配置使福利最大化的配置必然是帕累托有效率的配置

使福利最大化的配置必然是帕累托有效率的配置。证明很简单：假设使福利最大化的配置不是不是．．

帕累托有效率的。既然不是有效率的，则意味着存在着帕累托改进的余地，因此总可以找到另一个配置，使得部分人的效用和前面的那个配置一样大，但其他人的效用更大。然而福利函数又是每个人效用的增函数，因此这个新配置的福利必然更大，但这和开始时假设原来的那个配置已实现福利最大化相矛盾。这样就证明了我们的断言：使福利最大化的配置必然是帕累托有效率的配置。

图33.1：福利最大化福利最大化

福利最大化。使福利函数达到极大值的配置必然是帕累托有效率的。

我们用图33.1说明这种情形，其中集合U 表示两人情形下的可能效用集。这个集合称为效用可能集．．．．．（utility possibilities set ）。该集合的边界称为效用可能边界．．．．．．

（utility possibilities frontier ），效用可能边界是一个集合，它由与帕累托有效率的配置相伴的效用值组成。如果某个配置在效用可能边界上，那么我们就无法找到能使这两个人的效用都更高的其他可行配置。

这个图中的“无差异曲线”称为等福利曲线．．．．．

（isowelfare curves ），因为在同一条曲线上的这两个人的所有效用组合),(21u u ，它们代表的福利值都是相等的。和往常一样，最优点可用相切条件进行刻画。但是对于我们的目的来说，我们关注的是，这个最大福利点是帕累托有效率的——它必然位于效用可能边界上。

根据这个图，我们还可以断言：任一任一．．

帕累托有效率的配置必然是某个福利函数的极大值点

值点。图33.2就是这样的例子。

图33.2：效用加权和福利函数的极大值效用加权和福利函数的极大值。如果效用可能集为凸，则任何一个帕累托有效率的点都是效用加权和福利函数的极大值点。

在图33.2中我们我们选择了一个帕累托有效率的配置，并且找到了一组等福利线。由图可知，对于这组等福利线来说，该配置点的福利是最大的，因为尽管最外面一条等福利线代表的福利更大，但受效用可能集所限，无法达到该位置。事实上，我们可以进一步说，如果效用可能集为凸集（如图33.2所示），那么效用可能边界上的任何一点都是效用加权和福利函数的极大值点，如图33.2所示。因此，我们可以使用福利函数筛选出帕累托有效率的那些配置点：每个福利极大值点都是帕累托有效率的配置点，而且每个帕累托有效率的配置点都是福利极大值点。

33.4个人主义的社会福利函数

直到现在，我们都将个人偏好看成个人对整个配置的偏好（即他关注所有人拥有的商品），而不是对他自己消费束的偏好。但是，我们在前面也说过，个人可能只关心他自己的消费束。在这种情形下，我们可用i x 表示第i 个人的消费束，令)(i i x u 表示第i 个人的效用水平，当然前提是我们已经找到了效用函数的表示方法。于是，社会福利函数的形式为

))(),...,((11n n x u x u W W =.

这个社会福利函数是个人效用函数的直接函数，但它是个人消费束的间接函数。这种特别形式的福利函数称为个人主义的福利函数．．．．．．．．．（individualistic welfare function ）或柏格森．．．-．萨缪．．

尔森福利函数．．．．．．

（Bergson-Samuelson welfare function ）（一）。 如果每个人的效用仅取决于他自己的消费，那么就不存在消费的外部性（consumption externalities ）。因此，我们就可以直接运用第31章得到的结果，即帕累托有效率配置和市场均衡之间的关系：所有竞争均衡都是帕累托有效率的，而且，在凸性的假设下，所有帕累托有效率的配置也都是竞争均衡。

现在，我们可以将上述分类推进一步。给定上述帕累托效率和福利极大之间的关系，我们可以断言：所有的福利极大值点都是竞争均衡，而且所有的竞争均衡对于某个福利函数来说都能是极大值点。

33.5公平配置

在分析社会福利时，最常规的方法就是使用福利函数。正因为福利函数的这种常规性，因此可用它总结很多类型的道德判断（moral or ethical judgments ）问题。但是，另一方面，福利函数一般不能用于决定哪种道德判断是合理的。

分析社会福利的另外一种方法是，首先界定所使用的具体道德判断标准，然后将其用于评价经济配置。公平配置．．．．

（fair allocations ）问题就是使用这种方法进行分析的。下面我们首先介绍什么样的商品束分配方法可能是公平的方法，然后再用经济分析方法研究这种公平配置方法的应用。

假设某几种商品的数量都是既定的，有n 个人有权得到这些商品，而且这些人的索取权是相等的。如何公平地进行分配？在这种情形下，可能大多数人会选择将这些商品平均分配给这些人。由于我们假设这些人的索取权是相等的，你难道还能相处其他的分配方法？

平均分配思想有什么吸引人的地方？一是它具有对称性对称性．．．

，每个人得到的每种商品数量是相等的；每个人都不偏爱其他人得到的商品束，因为他们得到的商品束是完全一样的。

不幸的是，平均分配不一定不一定．．．

是帕累托有效率的。如果人们的偏好不同，在平均分配之后，他们通常会进行交易。假设这种交易发生，使得我们向一个帕累托有效率的配置移动。

由此产生的问题是：这个帕累托有效率的配置仍然是公平的吗？平等分配之后进行的交易过程是否仍然具有对称性？

答案为：不一定。例如，有三个人：A ，B 和C 。A 和B 的偏好相同，C 的偏好不同。我们从平均分配结果开始分析，假设A 和C 进行交易。那么，A 和C 的状况通常会改善。但是B 却没机会与C 进行交易，因此B 会妒忌．．

（envy ）A ——也就是说，他偏好A 的商品束胜过他自己的。尽管由于平均分配，A 和B 得到的商品束是相同的，但是A 却有幸进行

（一） 艾布拉姆.柏格森（Abram Bergson ）和保罗.萨缪尔森（Paul Samuelson ）都是当代经济学家，他们在1940年代研究了这类福利函数的性质。萨缪尔森因为对经济学作出了很多贡献而获得了诺贝尔经济学奖。

了交易，这种行为破坏了原来分配结果的对称性。

这表明在平均分配后，如果人们进行交易，那么交易过程不一定保留了原来的对称性。我们因此会问：是否存在能保留对称性的配置？是否能找到某种方法，使得我们得到的配置既是帕累托有效率的又是公平的？

33.6妒忌和平等

我们先分析一些概念。我们所说的“对称的”和“公平的”到底是什么意思？下面给出了一组可行的定义。

一个配置是平等

．．的．（equitable），若无人偏好其他人的商品束胜过自己的商品束。若第

i人更喜欢第j人的商品束而不是他自己的，则i妒忌

．．j。若一个配置既是平等的又是帕累

托有效率的，则它是一个公平的

．．．（fair）配置。

我们可以使用这些定义阐述前文对称性这个概念的思想。平均分配的配置的特点是，每个人都不妒忌其他人。但是其他一些配置也具有这种性质。

考虑图33.3。为了判断任何一个配置（比如F点）是否为平等的，我们只要看看如果这两个人进行交易得到的配置在哪里。如果交换后的配置，位于通过原配置（F点）的每个人的无差异曲线的“下方”，那么原配置（F点）就是一个平等配置。（此处，“下方”表示每个人自己认为的下方；但是从我们的角度来看，交换后的配置点S位于两条无差异曲线之间。）（一）

图33.3：公平配置

公平配置。埃奇沃思盒内的公平配置。每个人对公平配置（点F）的偏好都胜过对

公平配置

交换后的配置（点S）的偏好。

（一）这个结论从相反的角度论证，可以看得更清楚。假设消费者从S点开始交易，最终达到F点。消费者交易的原因就是因为互相妒忌，即更喜欢对方的商品束。到达F点之后，双方不再彼此妒忌。因此F点是一个平等配置点。译者注。

同时还要注意图33.3中的配置（F 点）也是帕累托有效率的配置。因此，它不仅是平等的（按照本节给出的定义），而且是有效率的。因此，根据前面的定义可知，它是一个公平的配置。这样的配置是偶然得到的吗？换一种问法，一般来说，公平配置是否存在？

可以证明，公平配置一般来说是存在的，证明此事很简单。和上一节一样，我们从平均分配配置点进行分析，让消费者进行交易从而实现一个帕累托有效率的配置。假设消费者在竞争市场中进行交易。交易后得到了一个新的配置，在这个配置中，每个消费者都按照均衡价格),(21p p 购买他能买得起的最优商品束。根据第31章的知识可知，这样的配置必然是帕累托有效率的。

但是，它是否仍然是平等的？假设不是。因此其中一个消费者，比如A 会妒忌B 。这表示A 更喜欢B 的商品束而不是自己的。即

),(),(2121

B B A A A x x x x p .

但是，若A 更喜欢B 的商品束，而我们又知道他自己的消费束，是在价格),(21p p 下他能买得起的最优商品束，这意味着A 买不起B 的消费束，即

22112211B B A A x p x p p p +<+ωω.

这样我们就得到了矛盾！根据假设，A 和B 开始交易之前所拥有的商品束是一样的，因为我们是从平均分配配置开始分析的。如果A 买不起B 的商品束，那么B 买不起自己的商品束，显然这是不可能的。

因此，我们可以断言，在这种情形下A 不可能妒忌B 。从平均分配配置开始交易而得到的竞争均衡，必然是公平配置。因此，市场机制能保留这样的平等性：若初始配置是平均分配配置，那么最终配置必定是公平的。

总结

1.阿罗不可能定理表明，不存在将个人偏好加总为社会偏好的理想方法。

2.尽管如此，经济学家仍然使用这种或那种福利函数分析配置的福利。

3.若福利函数是每个人效用的增函数，则福利极大值点必定是帕累托有效率的。而且，每个帕累托有效率的配置，都可以被认为是某个福利函数的极大值点。

4.对配置进行评价的另外一种方法，是使用公平分配的思想。这个思想强调配置的对称性。

5.即使初始配置是对称的，也不是每一种交易方式都能导致公平配置。然而，可以证明，市场机制能实现公平配置。

复习题

1.假设我们说，只有只有．．社会中的每个人每个人．．．

都偏好配置x 胜过配置y 时，社会的偏好才是偏好x 胜过y 。（这有时称为帕累托排序方法，因为它和帕累托效率的思想密切相关）。如果将这种说法作为制定社会决策的准则，有什么缺陷？

2.罗尔斯福利函数的值仅取决于福利最差的那个人的效用。与该福利函数相对的一种函数叫作“尼采”（Nietzschean ）福利函数——其值仅取决于福利最好的那个人的效用。尼采福利函数的表达形式是什么样的？

3.假设效用可能集是一个凸集，而且假设每个消费者仅关注他自己的消费。如果我们采用尼采福利函数进行分析，那么什么样的配置能使得该函数达到极大值？

4.假设某个配置是帕累托有效率的，而且每个人仅关注他自己的消费。证明，在这种情形下，必然存在这样的人：他不妒忌其他任何人。请使用我们课文中对妒忌的定义。（这个题目需要思考一会，但这样做是值得的。）

5.制定投票日程的能力，是一种非常重要的能力。假设社会偏好将通过多数人投票方法决定，并且将备选项成对进行投票角逐。假设人们的偏好如教材图30.1所示，请制定投票日程从而让y 最终胜出。再制定另外一个日程让z 最终胜出。如果你具备这种制定投票日程的能力，那么你是利用了社会偏好的什么性质？

附录

此处我们使用个人主义的福利函数求解社会福利最大化的问题。使用第32章介绍过的转换函数来描述生产可能边界，我们可将福利最大化问题写成

)),(),,((max 2121,,,2121B B B A A A x x x x x x u x x u W B B A A

使得0),(21=X X T

其中，21,X X 分别表示商品1和2的产量和消费量，并且假定产量和消费量相等。 该最大化问题的拉格朗日函数为

0]0),([)),(),,((212121

=??=X X T x x u x x u W L B B B A A A λ

对每个选择变量分别求导可得一阶条件：

0),(),(1211211=???????=??X X X T x x x u u W X L A

A A A A A λ 0),(),(2212212=???????=??X

X X T x x x u u W X L A A A A A A λ

0),(),(1211211=???????=??X

X X T x x x u u W X L B B B B B B λ 0),(),(2

212212=???????=??X X X T x x x u u W X L B B B B B B λ. 变形整理，并用第一式除以第二式，第三式除以第四式可得

21

21////X

T X T x u x u A A A A ????=???? 2

1

21////X T X T x u x u B B B B ????=???? 注意，这两个式子正是我们在第32章附录中推导出来的式子。因此，福利最大化问题的一阶条件和帕累托有效率问题的一阶条件是相同的。

这显然不是偶然的。根据教材中的讨论可知，柏格森-萨缪尔森福利函数（即个人主义福利函数）极大值对应的配置点，是帕累托有效率的，而且每个帕累托有效率的配置都能使得某个福利函数达到极大值。因此，福利最大化和帕累托有效率配置必然有相同的一阶条件。

复习题参考答案

1.假设我们说假设我们说，，只有．．社会中的社会中的每个人每个人．．．

都偏好配置x 胜过配置y 时，社会的偏好才是偏好x 胜过y （。（这有时称为帕累托排序方法这有时称为帕累托排序方法这有时称为帕累托排序方法，，因为它和帕累托效率的思想密切相关因为它和帕累托效率的思想密切相关）。）。如果将这种说如果将这种说法作为制定社会决策的准则法作为制定社会决策的准则，，有什么缺陷有什么缺陷？？

【复习内容】个人偏好加总；社会福利；不同配置的社会福利比较

【参考答案】

这种标准过于严格，在现实中几乎无法运用。因为这样的假设要求社会中的每个人的偏好都是一样的。

这直接导致帕累托有效率的两个不同配置无法进行比较。以两个人的社会为例进行说明。假设这两个人分别为A 和B 。

假设配置x 为（A 拥有一切，B 一无所有）；配置y 为（A 一无所有，B 拥有一切）。这两个配置都是帕累托有效率的，因为按照帕累托效率的定义，这两种情形下，已无法找到让一人状况变好而又不损害另一方利益的方法。

显然，A 更喜欢x ，B 更喜欢y 。如果按照题目的要求，我们无法比较x 和y 这两个配置的福利大小。

2.罗尔斯福利函数的罗尔斯福利函数的值仅取决于福利最差的那个人的效用值仅取决于福利最差的那个人的效用值仅取决于福利最差的那个人的效用。。

与该福利函数相对的一种函数叫作“尼采尼采””（Nietzschean ）福利函数福利函数——————其值仅取决于福利最好的那个人的效用其值仅取决于福利最好的那个人的效用其值仅取决于福利最好的那个人的效用。。尼采福利函数的表达形式是什么样的函数的表达形式是什么样的？？

【复习内容】

罗尔斯社会福利函数，又叫极小极大（即极大中的极小）社会福利函数：

},...,min{),...,(11n n u u u u W =.

这个效用函数是说，某个配置的社会福利仅取决于状况最差的那个人的福利，即取决于效用最小的人的福利

【参考答案】

比照罗尔斯社会福利函数，容易写出尼采福利函数的表达式:

},...,max{),...,(11n n u u u u W =.

3.假设效用可能集是一个凸集假设效用可能集是一个凸集，，而且假设每个消费者仅关注他自己的消费而且假设每个消费者仅关注他自己的消费。。如果我们采用尼采福利函数进行分析采福利函数进行分析，，那么什么样的配置能使得该函数达到极大值那么什么样的配置能使得该函数达到极大值？

【复习内容】凸集；尼采社会福利函数；社会福利最大化

【参考答案】

为简单起见，假设社会是两人社会，该两人分为为1和2。由于题目告知，效用可能集为凸集、福利函数为尼采福利函数，因此可以相应画出效用可能集和三条尼采福利函数曲线。

图：效用可能集为凸且社会福利函数为尼采福利函数情形下的福利最大化

由于尼采福利函数只关注状况最好的那个人的效用，从图可以看出，这种情形下的福利最大化解是边界解，即位于纵轴上的那个红点，也就是说此时第2个人得到了全部财富。

类似地，你也可以画出第1个人得到了全部财富的情形。

4.假设某个配置是帕累托有效率的假设某个配置是帕累托有效率的，，而且每个人仅关注他自己的消费而且每个人仅关注他自己的消费。。证明证明，，在这种情形下在这种情形下，，必然存在这样的人必然存在这样的人：：他不妒忌其他任何人他不妒忌其他任何人。。请使用我们课文中对妒忌的定义请使用我们课文中对妒忌的定义。。（（这个题目需这个题目需要思考一会要思考一会，，但这样做是值得的但这样做是值得的。。

） 【复习内容】帕累托有效率配置；妒忌的定义

若第i 人更喜欢第j 人的商品束而不是他自己的，则i 妒忌．．j 。

【参考答案】

我们先分析两个人的社会。因为将这个情形下得到的结论推广到多人社会并不难。

使用反正法。即不存在这样的人。那么这意味着这两个人是互相妒忌的。根据妒忌的定义可知，这两个人必然会进行交易，从而两个人的状况比交易前更好。或者简单地说，既然妒忌意味着这两个人更喜欢对方的商品束，那么就让他们将两个商品束对换，这样他们的状况都改善了。

然而，这样我们就得到了矛盾，因为题目告知我们初始配置是帕累托有效率的，换句话说，初始时，每个人的效用都已最大。由此可知，题目中的结论是正确的。

5.制定投票日程的能力制定投票日程的能力，，是一种非常重要的能力是一种非常重要的能力。。假设社会偏好将通过多数人投票方法决定假设社会偏好将通过多数人投票方法决定，，并且将备选项成对进行投票角逐并且将备选项成对进行投票角逐。。假设人们的偏好如教材图30.1所示所示，，请制定投票日程从而让y 最终胜出最终胜出。。再制定另外一个日程让z 最终胜出最终胜出。。如果你具备这种制定投票日程的能

力，那么你是利用了社会偏好的什么性质

那么你是利用了社会偏好的什么性质？ 【复习内容】多数人投票；投票结果的操纵

【参考答案】

（1）让y 最终胜出的日程安排：第一轮投票先在x 和z 之间进行，第二轮投票在胜出者和y 之间进行。

（2）让z 最终胜出的日程安排：第一轮先让x 和y 对决，然后胜出者再和z 对决。

（3）你利用了社会偏好不可传递性的特点。

为方便说明，将教材中图30.1拷贝如下。

从教材中的例子我们可以知道，采用多数人投票的方法，对于这个具体的例子这个具体的例子．．．．．．．

来说，如果想

让哪个选项最终胜出，必须将这个选项安排在最后一轮进行投票。

因此，如果想让y 最终胜出，那么对投票日程的安排是：第一轮投票先在x 和z 之间进行，第二轮投票在胜出者和y 之间进行。我们来验证一下。根据多数人投票的规则可知，第一轮投票中，B 和C 将票投给z ，而只有A 投给x ，因此多数人选择了z ，z 在第一轮胜出。（这也正是多数人投票的含义）。

在第二轮投票中，z 将和y 对决。按照上面的分析思路，可知在第二轮y 胜出。因此最终的结果是z 。

类似地，如果想让z 胜出，那么第一轮先让x 和y 对决，然后胜出者再和z 对决。

你之所以能操作投票的最终结果，是因为你利用了社会偏好的不可传递性这个性质。因为在这个例子中，多数人多数人．．．

的偏好排序：y x f ,z y f 和x z f 。如下图所示：

在这个图形中，哪一点是终点？这取决于你在什么位置将这个圆形砍为两半。