利用空间向量解立体几何(完整版)
向量法解立体几何
一、基本工具
1.数量积： cos a b a b θ?=
2.射影公式：向量a 在b 上的射影为
a b
b
? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系
线线平行?两线的方向向量平行
线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的
距离为(PQ x =2.点线距离
求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：
方法：在直线上取一点(),Q x y ，
则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n
?
=
即为点P 到l 的距离. 3.点面距离
求点()00,P x y 到平面α的距离：
方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，
计算平面α的法向量n ，
计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离.
四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）
线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角
求线面夹角的步骤：
① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=
''''
AA BB AA BB ??, 不需要用法向量。
1、运用法向量求直线和平面所成角
设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为
sin θ= cos(2
π
-θ) = |cos
AB AB n n
??
2、运用法向量求二面角
设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。
二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离
设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离
d =AB ·cos ∠BAA
＇
=||||
AB n n ?
略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇
为过F 与a 平行的直线，
在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA
＇//
EF ，交a ＇于A
＇
，
则?ˉ
//AA n ，所以∠BAA
＇
=<,BA n >（或其补角）
∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA
＇
=||||
AB n n ? *
其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得
n a n a n b n b ??⊥?=?????
⊥?=???? ① 解方程组可得n 。
2、求点到面的距离
求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =
||
||
AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =，下同）。
3、求直线到与直线平行的平面的距离
求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离d =
||
||
AB n n ? 4、求两平行平面的距离
设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离d =
||
||
AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则
1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥?
12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
四、应用举例：
例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.
解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，
则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)
于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有
1330
1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=?
?==-++=⊥??
????
??
11111(1,1,2),
(0,0,2),
cos 3
||||1tan 2
n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?==
=
?∴=
向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角
（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则
1111cos 14
||||
1EC FD EC FD β?=
=
=
?
例2：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。
（1）证明平面PED
⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600，
∴△ABD
是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900
，
如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1，则PF=FD=1
2
，ED=2
， ∴ P （0，0，1），E
0，0），B 12，0）
∴PB =（
，12，-1
），PE =
0，-1），
平面PED 的一个法向量为DC =（0，1，0） ，设平面PAB 的法向量为n =（x, y, 1)
由
1
1
(,,1),1)0102
2
0(,,1)1)010x y x y x n PB n PE y x y
x ?
??-=--=??=⊥?????
??
??⊥????=?-=-=???
∴n =∵DC ·n =0 即DC ⊥n ∴平面PED ⊥平面PAB
（2）解：由（1）知：平面PAB 的法向量为n =（3
, 0, 1), 设平面FAB 的法向量为n 1=（x, y, -1)， 由（1）知：F （0，0，12
），FB =（3，12，-12），FE = （3，0，-1
2
），
由
11311
311
(,,1)(,,)00222
222
331310(,,1)(
,0,)0022
x y x y x n FB n FE y x y x ?
??-?-=-+=??
?=-⊥????????
??
?⊥?????=-?-=+=????
∴n 1=（-
3
, 0, -1) ∴二面角P-AB-F 的平面角的余弦值cos θ= |cos
11
n 57
n n n ?=?
例3：在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.
(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD 1, ∵棱长为4
∴A （4，0，0），B （4，4，0），P （0，4，1）
∴AP = (-4, 4, 1) , 显然DC =（0，4，0）为平面BCC 1B 1的一个法向量
∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ= |cos DC 33 = ∵θ为锐角，∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为 arcsin 33 (Ⅲ) 设平面ABD 1的法向量为n =（x, y, 1)， ∵AB =（0，4，0），1AD =（-4，0，4） 由n ⊥AB ，n ⊥1AD 得0 440y x =??-+=? ∴ n =（1, 0, 1)， ∴点P 到平面ABD 1的距离 d = 32 2 AP n n ?= 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面中心，求A 1O 与B 1C 的距离。 解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则O （1，1，0），A 1 （2，2，3），C （0，2，0） ∴1(1,1,3)AO =-- 1(2,0,3)B C =-- 11(0,2,0)A B = 设A 1O 与B 1C 的公共法向量为(,,1)n x y =，则 113(,,1)(1,1,3)0302 (,,1)(2,0,3)0230 32 x n AO x y x y x y x n B C y ? =-??⊥?--=-+-=??????????? ?--=--=⊥?????=?? ∴ 33(,,1)22 n =- ∴ A 1O 与B 1C 的距离为 d = ()112 2 330,2,0,,122|| 322 11|| 113312 22A B n n ?? ?- ??? ?== =???? -++ ? ????? 例5：在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，求A 1到面BDFE 的距离。 解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则B （1，1，0），A 1（1，0，1），E （12 ，1，1） ∴(1,1,0)BD =-- 1 (,0,1)2 BE =- 1(0,1,1)A B =- 设面BDFE 的法向量为(,,1)n x y =，则 (,,1)(1,1,0)0021 12(,,1)(,0,1)01022 x y x y n BD x y x y x n BE ?--=--=???⊥=???????????=-?-=-+=⊥??????? ∴ (2,2,1)n =- ∴ A 1到面BDFE 的距离为d =()()()1220,1,12,2,1|||3| 13||221 A B n n -?-?-===+-+ 五、课后练习: 1、如图,已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1, AB=1,AA 1=2,点E 为CC 1中点,点F 为BD 1中点. （1） 证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线; （2）求点D 1到面BDE 的距离. F E A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 2、已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD=1，E 、F 分别是AB 和BC 的中点，（1）求D 到平面PEF 的距离；（2）求直线AC 到平面PEF 的距离 3、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2（如图） （1）求证：平面A 1BC 1//平面ACD 1； （2）求（1）中两个平行平面间的距离； （3）求点B 1到平面A 1BC 1的距离。 D C1 A A1 B B1 D1 4、如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB； （Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .